1、 2010年年控制工程基礎控制工程基礎( (第二章）第二章） )()()(22txdtdmtvdtdmtfm1212( )( )( )( )( )( )( )kttf tk x tx tkx tkv tv tdtkv t dt1212( )( )( )( )( )( )( )DftD v tv tDv tdx tdx tDdtdtdx tDdtq 機械平移系統機械平移系統22( )( )( )( )( )( )( )( )iDkokoDodf tftf tmx tdtf tkx tdftDx tdtmmfi(t)kDxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fk(t) 機械平移系統機械平移系

2、統 及其力學模型及其力學模型fD(t)靜止（平衡）工作點作為靜止（平衡）工作點作為零點，以消除重力的影響零點，以消除重力的影響22( )( )( )( )oooiddmy tDy tky tf tdtdtq 彈簧阻尼系統彈簧阻尼系統xo(t)0fi(t)kD彈簧彈簧-阻尼系統阻尼系統系統運動方程為一階常系數系統運動方程為一階常系數微分方程。微分方程。 ( )( )( )ooidDx tkx tf tdt( )( )( )iDkf tftftq 機械旋轉系統機械旋轉系統k i(t) o(t)00Tk(t)TD(t)D粘性液體粘性液體齒輪齒輪J J 旋轉體轉動慣量；旋轉體轉動慣量； k 扭轉剛度系

3、數；扭轉剛度系數； D 粘性阻尼系數粘性阻尼系數柔性軸柔性軸22( )( )( )( )( )( )( )( )kioDookDTtkttdTtDtdtdJtTtTtdt22( )( )( )( )oooiddJtDtktktdtdt( )( )u tR i t 電容電容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t) 電感電感dttdiLtu)()(Li(t)u(t)dttiCtudttiCtidtdLtRituoi)(1)()(1)()()(q R-L-C無源電路網絡無源電路網絡LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無源電路網絡無源電路網絡一般一般R、L、C均為常數，上式為二階常系數微均為

4、常數，上式為二階常系數微分方程。分方程。 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo若若L=0=0，則系統簡化為：，則系統簡化為：)()()(tututudtdRCioo)()(0)(21titituaq 有源電路網絡有源電路網絡+ CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)adttduCRtuoi)()()()(tudttduRCio即：即：)()()(2121xfxfxxf)()(xfxf)()()(2121xfxfxxf)()()()()()()()(111101111txbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimm

5、immonononnonn3003320022000)()(! 31)()(! 21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy)()()(000 xxxxdxxdfxfy0)(xxdxxdfK)()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xKxKyyy),(20100 xxfy 2021012021012211,xxxxxxxxxfKxfK0o.2( )sin( )( )iooT tmgltmltsino.2( )( )( )ooimltmgltT t( )( ( )y tf x t)(

6、xfy yx,x222( )1( )( )( )()()2df xd f xyf xf xxxxxdxdxxxyK x ( )yyyyf x xxx x xdfKdx0)(limtfett0)()()(dtetftfLsFst0dtest0,)(21)()(1tdsesFjsFLtfjjst0100)( 1ttt)0)(Re(101 )(1)(10ssesdtettLststatetf)()0)(Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat0sinsindtettLst0coscosdtettLsttjtjtjtjeeteejt21cos21sin0)Re(112121si

7、n2200ssjsjsjdteedteejtLsttjsttj22cossstL)0(1lim)0(0)(0tttt且)1 (1lim1lim)(000sstesdtetL)()1 (lim)1 (1lim00seesss1lim)(0setL000)(ttttf0)Re(1)(2000ssdtsesetdttetfLststst02100)(2ttttf0)Re(121)(302ssdtettfLst ttn1 11001!1nnstnunnnL ttt edtu e duss0)()(dtetftfLst000)()()()(dtetftfLdtetftfLstst0)()0(),0()(

8、)(ttfffssFdttdfL)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn)0()()()0()()(fssFdttdfLfssFdttdfL), 3, 2, 1()() 1()()()()()(222ntftLsFdsdtftLsFdsdttfLsFdsdnnnn0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssFdttfL)(1)(sFsdttfLsfssFdttfLsfssFdttfL)0()()()0()

9、()()1()1()(1)(sFsdttfLnn)0(1)0(1)(1)()1()1(1nnnnfsfssFsdttfL sXeatatxLas1)()(asFtfeLat2222cossinsstLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat)(lim)0()(lim0ssFftfst)(lim)()(lim0ssFftfst)(limtft)()()()(sGsFtgtfLttdtgfdgtftgtf00)()()()()(*)()0tL faF asaa常數11)(ssFeLt1)(/asaasaFeLattfa)()()()(11101110mnasasasa

10、bsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm)()()()()(2101110nmmmpspspscscscscsAsBsFniiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(ipsiipssFA)()(nitpiniiiieApsALsFL1111)()6(2)(22ssssssF23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssFA158)2(2)() 3(3232sssssssFsA54)3(2)()2(2223sssssssFsA)0(5415831)()(231teesFLtftt2154311

11、58131)(ssssFnnpsApsApspsAsAsAsBsF332121)()()()(21212121)()(pspspspsAsApspssF或或niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(ipsiipssFA)()()1(1)(2sssssF1232123211)(2210ssAsAsAjsjssssF1)(00sssFA23212123212)()() 1(jsjsAsAsFss0, 123)(2321)(21212121AAAAAA11)(2sssssF2223211sss22222321212321211ssss2222232123312321211

12、sssstetetftt23sin3123cos1)(22ttet23sin2123cos2332120,6023sin3212ttet sssssX231 sajsajsasssssX321232321232116321232112321231jjsssssajs63212ja則則110233ssssssa sjsjjsjsssssX12321632123216321123 131322221213131 12626333sincos1 1322jtjttx tjejetettt )()()()()()(101110nrrmmmmpspspsbsbsbsbsAsBsF)()()()()(11

13、001002001nnrrrrrpsApsApsApsApsA0)(001pspssFAr0)(002pspssFdsdAr0)(! 2102203pspssFdsdAr0)()!1(10110pspssFdsdrArrrrtpnnentpsL0)!1()(1101)0( )!2()!1()()(10102021011teAeAeAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr) 1()2(3)(2ssssF12)2()(302201sAsAsAsF12132)2)(201ssssssFA2 2) 1() 1)(3() 1()3( 2132)2)(2202sssssssssdsdsssFds

14、dA21) 1)(3sssFA1222)2(1)(2ssssF)0(2)2()()(21teetsFLtfttl 借用拉氏變換解常系數線性微分方程借用拉氏變換解常系數線性微分方程 求解步驟求解步驟q 將微分方程通過拉氏變換變為將微分方程通過拉氏變換變為 s 的代數方的代數方 程；程； q 解代數方程，得到有關變量的拉氏變換表解代數方程，得到有關變量的拉氏變換表 達式；達式；q 應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。 原函數原函數（微分方程的解）（微分方程的解）象函數象函數微分方程微分方程象函數的象函數的代數方程代數方程拉氏反變換拉氏反變換拉氏變換拉氏變換解

15、解代代數數方方程程拉氏變換法求解線性微分方程的過程拉氏變換法求解線性微分方程的過程 實例實例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo設系統微分方程為：設系統微分方程為：若若xi (t) =1(t)，初始條件分別為，初始條件分別為xo(0)、xo(0)，試求試求xo(t)。解：對微分方程左邊進行拉氏變換解：對微分方程左邊進行拉氏變換)0()0()()(222ooooxsxsXsdttxdL)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL)(6)(6sXtxLoostLsXtx

16、Lii1)( 1)()(323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooosxxssXssooo1)0()0()5()()65(261065121sssA212) 3(12sssA313)2(13sssA)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsB)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxs

17、sssXoooooq 應用拉氏變換法求解微分方程時，由于初始應用拉氏變換法求解微分方程時，由于初始 條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式 中，因此，不需要根據初始條件求積分常數中，因此，不需要根據初始條件求積分常數 的值就可得到微分方程的全解。的值就可得到微分方程的全解。 q 如果所有的初始條件為零，微分方程的如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏變換可以簡單地用拉氏變換可以簡單地用sn代替代替dn/dtn得到。得到。 由上述實例可見：由上述實例可見：五、傳遞函數以及典型環節的傳遞函數五、傳遞函數以及典型環節的傳遞函數l 傳遞函數的概念和定義傳遞函數的概

18、念和定義 傳遞函數傳遞函數 在在零初始條件零初始條件下，線性定常系統輸出量的拉下，線性定常系統輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。比。 零初始條件：零初始條件：q t0時，輸入量及其各階導數均為時，輸入量及其各階導數均為0 0；q 輸入量施加于系統之前，系統處于穩定輸入量施加于系統之前，系統處于穩定的工作狀態，即的工作狀態，即t 0 時，輸出量及其各階時，輸出量及其各階導數也均為導數也均為0 0；)()()(sXsXsGio)()()()()()()()(111)(00111)(0txatxbtxbtxbtxatxatxatxaimimmi

19、minonnononnnnmmmmioasasasabsbsbsbsXsXsG11101110)()()(等效彈性剛度等效彈性剛度 力學模型力學模型 時域方程時域方程 拉氏變換式拉氏變換式 等效彈簧等效彈簧剛度剛度 彈簧彈簧 k x(t) tkxtf skXsF k 阻尼器阻尼器 D x(t) txDtf sDsXsF Ds 質量質量 M x(t) txMtf sXMssF2 2Ms 22( )( )( )( )oooiddmx tDx tkx tf tdtdt2( )( )( )( )oooims XsDsXskXsF s2( )1( )( )oiXsG sF smsDsk21( )( )1

20、( )11oiUsCsG sU sLsRCsLCsRCsq 幾點結論幾點結論 傳遞函數是復數傳遞函數是復數s域中的系統數學模型，域中的系統數學模型， 其參數僅取決于系統本身的結構及參數，其參數僅取決于系統本身的結構及參數， 與系統的輸入形式無關。與系統的輸入形式無關。 若輸入給定，則系統輸出特性完全由傳遞若輸入給定，則系統輸出特性完全由傳遞函數函數G(s) 決定，即傳遞函數表征了系統內在決定，即傳遞函數表征了系統內在的固有動態特性。的固有動態特性。 傳遞函數通過系統輸入量與輸出量之間的傳遞函數通過系統輸入量與輸出量之間的關系來描述系統的固有特性。即以系統外部關系來描述系統的固有特性。即以系統外

21、部的輸入輸出特性來描述系統的內部特性。的輸入輸出特性來描述系統的內部特性。 傳遞函數的一般形式傳遞函數的一般形式)()()()()()()()()(111101111mntxbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考慮線性定常系統考慮線性定常系統當初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換當初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換可得系統傳遞函數的一般形式：可得系統傳遞函數的一般形式：1011( )mmmmN sb sbsbsb10

22、11( )nnnnD sa sa sasa令：令：( )( )( )( )( )oiXsN sG sX sD s則：則：D(s)=0稱為系統的稱為系統的特征方程特征方程，其根稱為系統，其根稱為系統的的特征根特征根。特征方程決定著系統的動態特性。特征方程決定著系統的動態特性。D(s)中中s的最高階次等于系統的階次。的最高階次等于系統的階次。l 特征方程、零點和極點特征方程、零點和極點 特征方程特征方程式中，式中，K稱為系統的稱為系統的放大系數放大系數或或增益增益。當當s=0時：時： G(0)=bm/an=K從微分方程的角度看，此時相當于所有的從微分方程的角度看，此時相當于所有的導數項都為零。因此

23、導數項都為零。因此K 反應了系統處于靜反應了系統處于靜態時，輸出與輸入的比值。態時，輸出與輸入的比值。 零點和極點零點和極點 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG將將G(s)寫成下面的形式寫成下面的形式 D(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根的根s=pj (j=1, 2, , n)，稱為傳遞函數的，稱為傳遞函數的極點極點；式中，式中，N(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根的根s=zi (i=1, 2, , m)，稱為傳遞函數的，稱為傳遞函數的零點零點；系統傳遞函數的極點就是系統的特征根。零點系統傳遞函數

24、的極點就是系統的特征根。零點和極點的數值完全取決于系統的結構參數。和極點的數值完全取決于系統的結構參數。 零、極點分布圖零、極點分布圖 將傳遞函數的零、將傳遞函數的零、極點表示在復平面極點表示在復平面上的圖形稱為傳遞上的圖形稱為傳遞函數的零、極點分函數的零、極點分布圖。圖中，零點布圖。圖中，零點用用“O”表示，極表示，極點用點用“”表示。表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點分布圖的零極點分布圖0 12312-1-2-3-1-2 j l 傳遞函數的幾點說明傳遞函數的幾點說明 傳遞函數是一種以系統參數表示的線性定常傳遞函數是一種以系統參數表示的線性定常 系統輸入量與輸出量之

25、間的關系式；傳遞函系統輸入量與輸出量之間的關系式；傳遞函 數的概念通常只適用于線性定常系統；數的概念通常只適用于線性定常系統； 傳遞函數是傳遞函數是 s 的復變函數。傳遞函數中的各的復變函數。傳遞函數中的各 項系數和相應微分方程中的各項系數對應相項系數和相應微分方程中的各項系數對應相 等，完全取決于系統結構參數；等，完全取決于系統結構參數； 傳遞函數是在零初始條件下定義的，即在零傳遞函數是在零初始條件下定義的，即在零 時刻之前，系統對所給定的平衡工作點處于時刻之前，系統對所給定的平衡工作點處于 相對靜止狀態。因此，傳遞函數不反映系統相對靜止狀態。因此，傳遞函數不反映系統 在非零初始條件下的全部

26、運動規律；在非零初始條件下的全部運動規律； 傳遞函數只能表示系統輸入與輸出的關系，傳遞函數只能表示系統輸入與輸出的關系， 無法描述系統內部中間變量的變化情況。無法描述系統內部中間變量的變化情況。 一個傳遞函數只能表示一個輸入對一個一個傳遞函數只能表示一個輸入對一個輸出的關系，適合于單輸入單輸出系統的輸出的關系，適合于單輸入單輸出系統的描述。描述。 l 脈沖響應函數脈沖響應函數 初始條件為初始條件為0 0時，系統在單位脈沖輸入作用下時，系統在單位脈沖輸入作用下的輸出響應的拉氏變換為的輸出響應的拉氏變換為)()()()(sGsXsGsY拉氏反變換拉氏反變換)()()()(11tgsGLsYLtyg

27、(t)稱為系統的稱為系統的脈沖響應函數脈沖響應函數（權函數權函數）。）。系統的系統的脈沖響應函數脈沖響應函數與傳遞函數包含關與傳遞函數包含關于系統動態特性的相同信息。于系統動態特性的相同信息。注意到復數域相乘等同于時域內卷積，因此，注意到復數域相乘等同于時域內卷積，因此，由：由：)()()(sXsGsY知線性系統在任意輸入作用下，其時域輸出知線性系統在任意輸入作用下，其時域輸出ttdtgxdtxgtxtgty00)()()()()()()(式中，當式中，當t 0時，時，g(t) = x(t) = 0。l 典型環節及其傳遞函數典型環節及其傳遞函數 環節環節 具有某種確定信息傳遞關系的元件、元件組

28、或具有某種確定信息傳遞關系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個元件的一部分稱為一個環節環節。經常遇到的環節。經常遇到的環節稱為稱為典型環節典型環節。 任何復雜的系統總可歸結為由一些典型任何復雜的系統總可歸結為由一些典型環節所組成。環節所組成。 環節的分類環節的分類 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG假設系統有假設系統有b個實零點，個實零點，c 對復零點，對復零點，d 個實個實極點，極點，e對復極點和對復極點和v個零極點，由線性系統個零極點，由線性系統傳遞函數的零、極點表達式傳遞函數的零、極點表達式可見可見 b+2c = m v+d+2e =

29、 niiiiiisszs1),1(1jjjjjjTsTTsps1),1(1對于實零點對于實零點zi= i和實極點和實極點pj= j ，其因式可，其因式可以變換成如下形式：以變換成如下形式：1222222()()()() 21 (21)szszsjsjssss 對于復零點對對于復零點對z= +j 和和z+1= j ，其因，其因式可以變換成如下形式：式可以變換成如下形式：22221, 式中，式中，對于復極點對對于復極點對pk= k+j k和和pk+1= k j k ，其，其因式可以變換成如下形式：因式可以變換成如下形式：1222222()()()() 21 (21)kkkkkkkkkkkkksps

30、psjsjssT sT sT22221, kkkkkkkT式中，式中，22112211(1)(21)( )(1)(21)bciidevjkkkjkKsssG ssT sT sT s 于是，系統的傳遞函數可以寫成：于是，系統的傳遞函數可以寫成：ekkdjjcbiiTTabK1211210011式中，式中，為系統靜態放大倍數。為系統靜態放大倍數。2222111,1,21,121KssssTsT sTs由上式可見，傳遞函數表達式包含六種不同的由上式可見，傳遞函數表達式包含六種不同的因子，即：因子，即：一般，任何線性系統都可以看作是由上述一般，任何線性系統都可以看作是由上述六種因子表示的典型環節的串聯

31、組合。上六種因子表示的典型環節的串聯組合。上述六種典型環節分別稱為：述六種典型環節分別稱為：比例環節比例環節：K一階微分環節一階微分環節： s+12221ss二階微分環節二階微分環節：s1積分環節積分環節：11Ts慣性環節慣性環節：22121T sTs振蕩環節振蕩環節：)()(sXesXiso實際系統中還存在純時間延遲現象，輸出完全實際系統中還存在純時間延遲現象，輸出完全復現輸入，但延遲了時間復現輸入，但延遲了時間 ，即，即xo(t)=xi(t- )，此時：此時：sesG)(或：或：se因此，除了上述六種典型環節外，還有一類典因此，除了上述六種典型環節外，還有一類典型環節型環節延遲環節延遲環節

32、 。 典型環節示例典型環節示例 q 比例環節比例環節輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關系。比例關系。其運動方程為：其運動方程為：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)分別為環節的輸出和輸入量；分別為環節的輸出和輸入量；K比例系數，等于輸出量與輸入量之比。比例系數，等于輸出量與輸入量之比。KsXsXsGio)()()(比例環節的傳遞函數為：比例環節的傳遞函數為：z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動副齒輪傳動副R2R1ui(t)uo(t)比例運算放大器比例運算放大器KzzsNsNsGio21)()()(KRRsUsUsGio12)()()

33、(q 一階慣性環節一階慣性環節)()()(tKxtxtxdtdTioo1)()()(TsKsXsXsGio凡運動方程為下面一階微分方程凡運動方程為下面一階微分方程形式的環節稱為一階慣性環節。其傳遞函數為：形式的環節稱為一階慣性環節。其傳遞函數為： T時間常數，表征環節的慣性，和時間常數，表征環節的慣性，和 環節結構參數有關環節結構參數有關式中，式中，K環節增益（放大系數）；環節增益（放大系數）；( )( )( )ooidx tDKx tKx tdt1( ),1KDG sTDskTsK如：彈簧如：彈簧-阻尼器環節阻尼器環節xi(t)xo(t)彈簧彈簧-阻尼器組成的環節阻尼器組成的環節KDq 微分

34、環節微分環節輸出量正比于輸入量的微分。輸出量正比于輸入量的微分。dttdxtxio)()(運動方程為：運動方程為：ssXsXsGio)()()(傳遞函數為：傳遞函數為：式中，式中， 微分環節的時間常數微分環節的時間常數dttdKtuito)()(sKssUsGtio)()()(如：測速發電機如：測速發電機uo(t) i (t)測測 速速 發發 電電 機機式中，式中， Kt為電機為電機常數。常數。 無負載時無負載時RCui(t)uo(t)i(t)無源微分網絡無源微分網絡無源微分網絡無源微分網絡 RtituRtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)(顯然，

35、無源微分網絡包括有慣性環節和微顯然，無源微分網絡包括有慣性環節和微分環節，稱之為分環節，稱之為慣性微分環節慣性微分環節，只有當，只有當|Ts|1時，才近似為微分環節。時，才近似為微分環節。 在物理系統中輸入輸出同量綱的微分環節在物理系統中輸入輸出同量綱的微分環節很難獨立存在，經常和其它環節一起出現。很難獨立存在，經常和其它環節一起出現。) 1()()()(sKsXsXsGio除了上述微分環節外，還有一類一階微分環除了上述微分環節外，還有一類一階微分環節，其傳遞函數為：節，其傳遞函數為：微分環節的輸出是輸入的導數，即輸出反微分環節的輸出是輸入的導數，即輸出反映了輸入信號的變化趨勢，從而給系統以映

36、了輸入信號的變化趨勢，從而給系統以有關輸入變化趨勢的預告。因此，微分環有關輸入變化趨勢的預告。因此，微分環節常用來改善控制系統的動態性能。節常用來改善控制系統的動態性能。q 積分環節積分環節輸出量正比于輸入量對時間的積分。輸出量正比于輸入量對時間的積分。 tiodttxTtx0)(1)(運動方程為：運動方程為：TssXsXsGio1)()()(傳遞函數為：傳遞函數為：AtTAdtTtxto11)(0積分環節特點：積分環節特點： 輸出量取決于輸入量對時間的積累過程。輸出量取決于輸入量對時間的積累過程。 具有明顯的滯后作用。具有明顯的滯后作用。積分環節常用來改善系統的穩態精度。積分環節常用來改善系

37、統的穩態精度。如當輸入量為常值如當輸入量為常值 A 時，由于時，由于輸出量須經過時間輸出量須經過時間T才能達到輸入量在才能達到輸入量在t = 0時的值時的值A。如：有源積分網絡如：有源積分網絡 + CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a)()(tudttduRCioRCTTsRCssG,11)(q 二階振蕩環節二階振蕩環節含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能夠相互轉換，從而導致輸出帶有振蕩的性能夠相互轉換，從而導致輸出帶有振蕩的性質，運動方程為：質，運動方程為： 222( )2( )( )( ),01oooiddTx tTx tx tKx td

38、tdt22( )( )( )21oiXsKG sX sT sTs傳遞函數：傳遞函數：式中，式中，T振蕩環節的時間常數振蕩環節的時間常數 阻尼比，對于振蕩環節，阻尼比，對于振蕩環節，01 K比例系數比例系數2221( ),2nnnnG sssT 振蕩環節傳遞函數的另一常用標準形式為（振蕩環節傳遞函數的另一常用標準形式為（K=1）：）： n稱為稱為無阻尼固有角頻率無阻尼固有角頻率。)()()()(22tftKxtxdtdDtxdtdmiooo22211/( )21KG smsDsKT sTs如：質量如：質量-彈簧彈簧-阻尼系統阻尼系統傳遞函數：傳遞函數：,2mDTKmK式中，式中，mkD2當當時，

39、為振蕩環節。時，為振蕩環節。q 延遲環節延遲環節 慣性環節從輸入開始時刻起就已有輸出，僅慣性環節從輸入開始時刻起就已有輸出，僅 由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要 求的輸出值；求的輸出值；)()(txtxio運動方程：運動方程：sesG)(傳遞函數：傳遞函數：式中，式中， 為純延遲時間。為純延遲時間。 延遲環節從輸入開始之初，在延遲環節從輸入開始之初，在0 時間內時間內, , 沒有輸出，但沒有輸出，但t= 之后，輸出等于之后，輸出等于 之前時刻之前時刻 的的 輸入。輸入。延遲環節與慣性環節的區別延遲環節與慣性環節的區別： 小結小結 q 構造數學模型時，

40、構造數學模型時，環節是根據微分方程劃環節是根據微分方程劃分的，往往不是具體的物理裝置或元件；分的，往往不是具體的物理裝置或元件；q 一個環節往往由幾個元件之間的運動特性一個環節往往由幾個元件之間的運動特性 共同組成；共同組成；q 同一元件在不同系統中作用不同，輸入輸同一元件在不同系統中作用不同，輸入輸 出的物理量不同，可起到不同環節的作用。出的物理量不同，可起到不同環節的作用。 六、方塊圖和信號流圖六、方塊圖和信號流圖l 方塊圖方塊圖系統方框圖是系統控制系統的動態數學模型系統方框圖是系統控制系統的動態數學模型的圖解形式。可以形象直觀地描述系統中各的圖解形式。可以形象直觀地描述系統中各環節間的相

41、互關系及其功能以及信號在系統環節間的相互關系及其功能以及信號在系統中的傳遞、變換過程。中的傳遞、變換過程。注意：即使描述系統的數學關系式相同，注意：即使描述系統的數學關系式相同，其方框圖也不一定相同。其方框圖也不一定相同。 方框圖的結構要素方框圖的結構要素 q 信號線信號線 帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記變量，即信號的時間函數或象函直線旁標記變量，即信號的時間函數或象函數。數。X(s), x(t)信號線信號線q 信號引出點（線）信號引出點（線） 表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。 同一信號線上引出

42、的信號，其性質、大小完同一信號線上引出的信號，其性質、大小完全一樣。全一樣。 引出線引出線X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)q 函數方塊函數方塊( (環節環節) ) G(s)X1(s)X2(s)函數方塊函數方塊函數方塊具有運算功能，即函數方塊具有運算功能，即X2(s)=G(s)X1(s) 傳遞函數的圖解表示。傳遞函數的圖解表示。q 求和點（比較點、綜合點）求和點（比較點、綜合點）信號之間代數加減運算的圖解。用符號信號之間代數加減運算的圖解。用符號“ ”及相應的信號箭頭表示，每個箭頭前方的及相應的信號箭頭表示，每個箭頭前方的“+”或或“-”表示加上此信號或減去此信號。表示加上此信號

43、或減去此信號。 相鄰求和點可以互換、合并、分解，即滿相鄰求和點可以互換、合并、分解，即滿足代數運算的交換律、結合律和分配律。足代數運算的交換律、結合律和分配律。 X1(s)X2(s)X1(s) X2(s) ABA-BCA-B+C A+C-BBCAA+C ABA-B+CCA-B+C求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的。求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的。 R1Cs1 求和點求和點函數方塊函數方塊函數方塊函數方塊引出線引出線Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框圖示例方框圖示例任何系統都可以由信號線、函數方塊、信號任何系統都可以由信號線、函數方塊、信號引出點及求和點組成的方框圖來表示。引出點及

44、求和點組成的方框圖來表示。 系統方框圖的建立系統方框圖的建立 q 步驟步驟 建立系統各環節的微分方程建立系統各環節的微分方程, ,明確信號的明確信號的 因果關系（輸入因果關系（輸入/ /輸出）。輸出）。 對上述微分方程進行拉氏變換，繪制各部對上述微分方程進行拉氏變換，繪制各部 件的方框圖。件的方框圖。 按照信號在系統中的傳遞、變換過程，依按照信號在系統中的傳遞、變換過程，依 次將各部件的方框圖連接起來，得到系統次將各部件的方框圖連接起來，得到系統 的方框圖。的方框圖。 方塊圖簡化方塊圖簡化q 方框圖的運算法則方框圖的運算法則 串聯串聯G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)

45、Xn-1(s)Xo(s).G(s)=G1(s) G2(s) Gn(s)Xi(s)Xo(s) 并聯并聯Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s) +Gn(s).Xi(s)Xo(s)G1(s)+ G2(s)+ + Gn(s) 反饋反饋G(s)H(s) Xi(s)Xo(s) B(s)E(s)()()()()()()()()(sXsHsBsBsXsEsEsGsXoio)()(1)()()()(sHsGsGsXsXsioXi(s)Xo(s)()(1)(sHsGsGq 方塊圖變換法則方塊圖變換法則 求和點的移動求和點的移動 G(s) ABCG(s) ABCG(s) ABCG(s)G(s) ABC)(1sG

46、求和點后移求和點后移求和點前移求和點前移 引出點的移動引出點的移動 G(s)ACCG(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)AC)(1sGA引出點前移引出點前移引出點后移引出點后移q 由方框圖求系統傳遞函數由方框圖求系統傳遞函數 基本思路：利用等效變換法則，移動求和點和基本思路：利用等效變換法則，移動求和點和引出點，消去交叉回路，變換成可以運算的簡引出點，消去交叉回路，變換成可以運算的簡單回路。單回路。 例：求下圖所示系統的傳遞函數。例：求下圖所示系統的傳遞函數。H1(s)Xo(s)G1(s) G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s) BH2(s)AH1(s)G1(s) G3(s)H3(s

47、)+Xi(s)G2(s) Xo(s)H2(s)G3(s)解：解：1 1、A點前移；點前移；2 2、消去、消去H2(s)G3(s)反饋回路反饋回路2232( )1( )( )( )G sG s G s H sH1(s)Xo(s)G1(s) G3(s)H3(s)+Xi(s)1231212321233( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )G sG sG sG sG s H sG sG s H sG sG sG s H sXi(s)Xo(s)123121232( )( )( )1( )( )( )( )( )( )G s G s G sG s G

48、 s H sG s G s H sH3(s) Xi(s)Xo(s)3 3、消去、消去H1(s) 反饋回路反饋回路4 4、消去、消去H3(s) 反饋回路反饋回路l 信號流圖及梅遜公式信號流圖及梅遜公式信號流圖起源于梅遜（信號流圖起源于梅遜（S. J. MASON）利用圖）利用圖示法來描述一個和一組線性代數方程，是由示法來描述一個和一組線性代數方程，是由節節點點和和支路支路組成的一種信號傳遞網絡。組成的一種信號傳遞網絡。 信號流圖及其術語信號流圖及其術語 q 支路支路 連接兩個節點的定向線段，用連接兩個節點的定向線段，用支路增益支路增益（傳（傳遞函數）表示方程式中兩個變量的因果關系。遞函數）表示方

49、程式中兩個變量的因果關系。支路相當于乘法器。信號在支路上沿箭頭單支路相當于乘法器。信號在支路上沿箭頭單向傳遞。向傳遞。q 節點節點 表示變量或信號，其值等于所有進入該節表示變量或信號，其值等于所有進入該節點的信號之和。點的信號之和。節點用節點用“ ”表示。表示。q 輸入節點（源點）輸入節點（源點） 只有輸出的節點，只有輸出的節點，代表系統的輸入變量。代表系統的輸入變量。q 輸出節點（阱點、匯點）輸出節點（阱點、匯點） 只有輸入的節點，代表系統的輸出變量。只有輸入的節點，代表系統的輸出變量。 源點源點匯點匯點x1x2x3x4x5x51eafbdc1gq 混合節點混合節點 既有輸入又有輸出的節點。

50、若從混合節點引出一既有輸入又有輸出的節點。若從混合節點引出一條具有單位增益的支路，可將混合節點變為輸出條具有單位增益的支路，可將混合節點變為輸出節點。節點。x1x2x3x4x5x51eafbdc1gq 通路通路 沿支路箭頭方向穿過各相連支路的路徑。沿支路箭頭方向穿過各相連支路的路徑。 q 前向通路前向通路 從輸入節點到輸出節點通路上通過任何節點不從輸入節點到輸出節點通路上通過任何節點不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘積，稱積，稱前向通路總增益前向通路總增益，一般用，一般用pk表示。表示。x1x2x3x4x5x51eafbdc1gq 回路回路 起點

51、與終點重合且通過任何節點不多于一次的閉起點與終點重合且通過任何節點不多于一次的閉合通路。回路中所有支路增益之乘積稱為回路增合通路。回路中所有支路增益之乘積稱為回路增益，用益，用La表示。表示。 x1x2x3x4x5x51eafbdc1gq 不接觸回路不接觸回路 相互間沒有任何公共節點的回路。相互間沒有任何公共節點的回路。 梅遜公式梅遜公式 式中，式中，P 系統總傳遞函數系統總傳遞函數kkkPP1Pk 第第k條前向通路的傳遞函數（通條前向通路的傳遞函數（通 路增益）路增益） 流圖特征式流圖特征式Xi(s)到到Xo(s)的信號傳遞通路稱為的信號傳遞通路稱為前向通道前向通道；Xo(s)到到B(s)的

52、信號傳遞通路稱為的信號傳遞通路稱為反饋通道反饋通道； aaL所有不同回路的傳遞函數之和；所有不同回路的傳遞函數之和；cbcbLL,每兩個互不接觸回路傳遞函數每兩個互不接觸回路傳遞函數 乘積之和乘積之和fedfedLLL,每三個互不接觸回路傳遞函數每三個互不接觸回路傳遞函數 乘積之和乘積之和fedfedcbcbaaLLLLLL,1 k 第第k條前向通路特征式的余因子，即對于條前向通路特征式的余因子，即對于 流圖的特征式流圖的特征式 ，將與第，將與第k 條前向通路相條前向通路相 接觸的回路傳遞函數代以零值，余下的接觸的回路傳遞函數代以零值，余下的 即為即為 k。 Ui(s)I1(s)I2(s)UA

53、(s)11 R-11I2(s)sC11-121 R1-1Uo(s)sC211例：用梅遜公式求系統傳遞函數例：用梅遜公式求系統傳遞函數對于二階對于二階RC電路網絡，輸入電路網絡，輸入Ui(s)與輸出與輸出Uo(s)之間只有一條前向通路，其傳遞函數為：之間只有一條前向通路，其傳遞函數為：sCRsCRP221111111Ui(s)I1(s)I2(s)UA(s)11 R-11I2(s)sC11-121 R1-1Uo(s)sC211三個不同回路的傳遞函數分別為：三個不同回路的傳遞函數分別為：sCRL11111sCRL22211sCRL12311L1L2L3sCRsCRsCRsCRsCRLLLLL2211

54、12221121321111111)(1流圖特征式為：流圖特征式為：11前向通路特征式的余因子為：前向通路特征式的余因子為：1)(1112122112212111sCRCRCRsCCRRPPPkkk所以，所以，l 控制系統的傳遞函數控制系統的傳遞函數G1(s)H(s) Xi(s)Xo(s)B(s) (s)G2(s) N(s)+ 閉環系統的開環傳遞函數閉環系統的開環傳遞函數 閉環系統的開環傳遞函數也可定義為反饋信閉環系統的開環傳遞函數也可定義為反饋信號號B(s)和偏差信號和偏差信號 (s)之間的傳遞函數，即：之間的傳遞函數，即：)()()()()()(21sHsGsGssBsGK將閉環控制系統主

55、反饋通道的輸出斷開，即將閉環控制系統主反饋通道的輸出斷開，即H(s)的輸出通道斷開，此時，前向通道傳遞函數與的輸出通道斷開，此時，前向通道傳遞函數與反饋通道傳遞函數的乘積反饋通道傳遞函數的乘積G1(s)G2(s)H(s)稱為該稱為該閉環控制系統的開環傳遞函數閉環控制系統的開環傳遞函數。記為。記為GK(s)。 xi(t)作用下系統的閉環傳遞函數作用下系統的閉環傳遞函數 令令n(t)=0，此時在輸入，此時在輸入xi(t)作用下系統的閉作用下系統的閉環傳遞函數為：環傳遞函數為：G1(s)H(s) Xi(s)Xo1(s)B(s) (s)G2(s)xi(t)作用下的閉環系統作用下的閉環系統)()()(1

56、)()()()()(212101sHsGsGsGsGsXsXsii 輸入輸入作用下系統的偏差傳遞函數作用下系統的偏差傳遞函數 1H(s) Xi(s)G1(s)G2(s) (s)偏差信號與輸入信號之間的關系偏差信號與輸入信號之間的關系)()()(11)()()(21sHsGsGsXssiii)(si令令n(t)=0，此時系統輸入，此時系統輸入Xi(s)與偏差與偏差 (s)之間的之間的傳遞函數稱為傳遞函數稱為輸入作用下的偏差傳遞函數輸入作用下的偏差傳遞函數。用。用表示。表示。 n(t)作用下系統的閉環傳遞函數作用下系統的閉環傳遞函數 令令xi(t)=0，此時在擾動，此時在擾動n(t)作用下系統的閉

57、作用下系統的閉環傳遞函數（環傳遞函數（干擾傳遞函數干擾傳遞函數）為：）為： G1(s)H(s) N(s)Xo2(s)G2(s)n(t)作用下的閉環系統作用下的閉環系統)()()(1)()()()(21202sHsGsGsGsNsXsN 擾動作用下系統的偏差傳遞函數擾動作用下系統的偏差傳遞函數 令令xi(t)=0，此時系統在擾動作用下的偏差傳遞函，此時系統在擾動作用下的偏差傳遞函數（稱數（稱擾動偏差傳遞函數擾動偏差傳遞函數）。）。 )()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsNssNN-1 N(s)G1(s) (s)偏差信號與干擾信號之間的關系偏差信號與干擾信號之間的關系G2(

58、s)H(s)+ 結論結論 q 系統的閉環傳遞函數系統的閉環傳遞函數 、 、 及及 具有相同的特征多項式：具有相同的特征多項式： 1+G1(s)G2(s)H(s) 其中其中G1(s)G2(s)H(s)為系統的開環傳遞函數。為系統的開環傳遞函數。 閉環傳遞函數的極點相同閉環傳遞函數的極點相同。 )(si)(si)(sN)(sNq 系統的固有特性與輸入、輸出的形式、系統的固有特性與輸入、輸出的形式、位置均無關；同一個外作用加在系統不同位置均無關；同一個外作用加在系統不同的位置上，系統的響應不同，但不會改變的位置上，系統的響應不同，但不會改變系統的固有特性；系統的固有特性； 系統的總輸出系統的總輸出 )()()()(1)()()()()(1)()()()()(21221210201sNsHsGsGsGsXsHsGsGsGsGsXsXsXio根據線性系統的疊加原理，系統在輸入根據線