1、平面向量數量積的物理背景及其含義教案授課教師:寧夏銀川唐徠回民中學馬海軍教材:普通高中課程標準實驗教科書(人教A版數學必修4一、教學目標1、了解平面向量數量積的物理背景,理解數量積的含義及其物理意義;2、體會平面向量的數量積與向量投影的關系,理解掌握數量積的性質和運算律,并能運用性質和運算律進行相關的判斷和運算;3、體會類比的數學思想和方法,進一步培養學生抽象概括、推理論證的能力。二、教學重、難點教學重點:1、平面向量數量積的含義與物理意義2、性質與運算律及其應用教學難點:1、平面向量數量積的概念2、平面向量數量積的運算律(2、(3的證明三、教學過程活動一:創設問題情景,引出新課1、提出問題1

2、:請同學們回顧一下,我們已經研究了向量的哪些運算?這些運算的結果是什么?期望學生回答:向量的加法、減法及數乘運算。2、提出問題2:請同學們繼續回憶,我們是怎么引入向量的加法運算的?我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的?期望學生回答:物理模型概念性質運算律應用3、新課引入:本節課我們仍然按照這種研究思路來研究向量的另外一種運算:平面向量數量積的物理背景及其含義活動二:探究數量積的概念1、給出有關材料并提出問題3:(1如圖所示,一物體在力F的作用下產生位移S,那么力F所做的功:W= |F| |S| cos。(2這個公式的有什么特點?請完成下列填空:SF W(功是量,F(力是量,S(位移是量,是。

3、(3你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?期望學生回答:功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積2、明晰數量積的定義(1數量積的定義:已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為,我們把數量ab bcos叫做a與b的數量積(或內積,記作:ab,即:ab=abcos(2定義說明:記法“ab”中間的“”不可以省略,也不可以用“”代替。“規定”:零向量與任何向量的數量積為零。3、提出問題4:向量的數量積運算與線性運算的結果有什么不同?影響數量積大小的因素有哪些?期望學生回答:線性運算的結果是向量,而數量積的結果則是數,這個數值的大小不僅和向量a與b的模有關,還和它們的夾角有關。4、學生討論,并完成下表:的范圍0

4、°<90°=90°0°<180°ab的符號5、研究數量積的幾何意義(1給出向量投影的概念: 如圖,我們把bcos(acos叫做向量b在a方向上(a在b方向上的投影,記做:OB1=bcos(2提出問題5:數量積的幾何意義是什么?期望學生回答:數量積ab等于a的長度a與b在a的方向上的投影bcos的乘積。6、研究數量積的物理意義(1 請同學們用一句話來概括功的數學本質:功是力與位移的數量積 。(2嘗試練習:一物體質量是10千克,分別做以下運動:、豎直下降10米;、豎直向上提升10米;、在水平面上位移為10米; 、沿傾角為30度的斜面向上

5、運動10米;分別求重力做功的大小。活動三:探究數量積的運算性質1、提出問題6:(1將嘗試練習中的 的結論推廣到一般向量,你能得到哪些結論?(2比較a b 與a ×b 的大小,你有什么結論?2、請證明上述結論。3、明晰:數量積的性質活動四:探究數量積的運算律1、提出問題7:我們學過了實數乘法的哪些運算律?這些運算律對向量是否也適用?預測:學生可能會提出以下猜想: a b = b a (a b c =a (b c (a + b c =a c +b c2、分析猜想:猜想的正確性是顯而易見的。設a 和b 都是非零向量,則1、a b a ·b =02、當a 與b 同向時,a 

6、3;b =a b ;當a 與b 反向時,a ·b = -a b , 特別地,a ·a =a 2或a =a a3、a ·b a ×b 關于猜想的正確性,請同學們先來討論:猜測的左右兩邊的結果各是什么?它們一定相等嗎?期望學生回答:左邊是與向量c共線的向量,而右邊則是與向量a共線的向量,顯然在向量c與向量a不共線的情況下猜測是不正確的。3、明晰:數量積的運算律:已知向量a、b、c和實數,則:(1a·b= b·a(2(a·b=(a·b=a·(b(3(a+ b·c=a·c+b·c4、

7、學生活動:證明運算律2在證明時,學生可能只考慮到>0的情況,為了幫助學生完善證明,提出以下問題:當<0時,向量a與a,b與b的方向的關系如何?此時,向量a與b及a與b 的夾角與向量a與b的夾角相等嗎?5、師生活動:證明運算律(3活動五:應用與提高1、學生獨立完成:已知a=5,b=4, a與b的夾角=120°,求ab2、師生共同完成:已知a=6,b=4, a與b的夾角為60°,求(a+2b(a-3b,并思考此運算過程類似于哪種實數運算?3、學生獨立完成:對任意向量a,b是否有以下結論:(1(a+b2=a2+2ab+b2(2(a+b (a-b=a2b24、師生共同完

8、成:已知a=3,b=4, 且a與b不共線,k為何值時,向量a+k b與a-k b互相垂直?并討論:通過本題,你有什么體會?5、反饋練習1、判斷下列各題正確與否:、若a0,則對任一非零向量b,有ab0.、若a0,ab=ac,則b=c.2、已知ABC中,AB=a, AC=b,當ab<0或ab=0時,試判斷ABC 的形狀。活動六:小結1、本節課我們學習的主要內容是什么?2、平面向量的數量積有哪些應用?3、本節課主要采用了什么研究方法?4、類比向量的線性運算,我們還應該怎樣研究數量積?布置作業:1、課本P121習題2.4A組1、2、3。2、拓展與提高:已知a與b都是非零向量,且a+3b與7a -

9、5b垂直,a-4b與 7a-2b垂直,求a與b的夾角。(本題供學有余力的同學選做教學設計說明平面向量的數量積是一種非常重要的運算,同其線性運算一樣,既有其深刻的數學背景,也有其現實的物理背景。本節課從總體上說是一節概念教學,依據數學課程改革應關注知識的發生和發展過程的理念,在數量積概念的引入過程中,我從數學和物理兩個角度創設問題情景,使學生明白研究這種運算不僅是數學本身發展的必然,更是研究客觀世界的需要,從而產生強烈的求知欲望。相對于線性運算而言,數量積的結果發生了本質的變化,為了讓學生理解這一點,我首先安排讓學生討論影響數量積結果的因素并完成表格,其次將數量積的幾何意義提前,這樣使學生從代數

10、和幾何兩個方面對數量積的“質變”特征有了更加充分的認識。通過嘗試練習,一方面使學生嘗試計算數量積,另一方面使學生理解數量積的物理意義,同時也為數量積的性質埋下伏筆。數量積的性質和運算律是數量積概念的延伸,教材中這兩方面的內容都是以探究的形式出現，為了讓學生很好的完成這兩個探究活動，我始終按照先創設一 定的情景，讓學生去發現結論，教師明晰后，再由學生或師生共同完成證明。比 如數量積的運算性質是將嘗試練習的結論推廣得到，數量積的運算律則是通過和 實數乘法相類比得到，這樣不僅使學生感到親切自然，同時也培養了學生由特殊 到一般的思維品質和類比創新的意識。在應用這個環節中，對教材中提供的四個 例題，我重點講解例 2 和例 4，例 1 和例 3 則由學生獨