1、 2-1 流體靜壓強及其特性流體靜壓強及其特性第二章 流體靜力學 2-2 靜止流體中的力平衡關系靜止流體中的力平衡關系 2-3 重力場中流體靜壓強的分布規律重力場中流體靜壓強的分布規律 2-4 流體壓強的度量流體壓強的度量 2-5第五節第五節 靜止流靜止流體與固體壁面體與固體壁面間的作用力間的作用力 本節導讀本節導讀 靜止液體作用在平面上的總壓力包括三個問題：靜止液體作用在平面上的總壓力包括三個問題： 平面平面水平面水平面垂直面垂直面斜斜 面面1.總壓力的總壓力的大小大小2.總壓力的總壓力的作用點作用點3.總壓力的總壓力的方向方向pp一、水平面一、水平面1.總壓力的總壓力的大小大小ph0p 容

2、器底面上液體靜壓強容器底面上液體靜壓強ghpp 0 水面上部壓力分布均勻水面上部壓力分布均勻AghApAp )(0 水面下部壓力水面下部壓力0pAghFp )( 僅有液體產生的力僅有液體產生的力0p相減相減ph0pAghFp )( 物理含義：物理含義：水平面上總壓力大小底面積為水平面上總壓力大小底面積為A、高度為、高度為h、密度、密度 為為這么多液體的質量力這么多液體的質量力3.總壓力的總壓力的方向方向沿內法線方向，垂直指向底面沿內法線方向，垂直指向底面2.總壓力的總壓力的作用點作用點平面（？）的形心平面（？）的形心ph0p平面的形心平面的形心幾何中心幾何中心r1/2 h2/3 hhhph0p

3、AghFp )( 僅由液體產生作用在水平平面上的總壓力僅由液體產生作用在水平平面上的總壓力同樣只與同樣只與液體的密度、平面面積和液深液體的密度、平面面積和液深有關。有關。),(AhfF AhAhAhAh 液體對容器底部的作用力液體對容器底部的作用力相等相等靜水奇象靜水奇象二、斜面二、斜面（一）（一）總壓力的總壓力的大小大小 則作用在這條微元面積上靜止液體的總壓力為則作用在這條微元面積上靜止液體的總壓力為 h h為傾斜平面上任一點到自由液面的深度為傾斜平面上任一點到自由液面的深度 y y為相應的點在為相應的點在OYOY軸上的坐標軸上的坐標 在深度在深度h h內選取一微元面積，內選取一微元面積，d

4、A=xdydA=xdy 由靜止液體產生的壓強由靜止液體產生的壓強 p=ghp=ghh=ysinh=ysinpdAdF ghdA dAgy sin 圖2-20 靜止液體中傾斜平面上液體的總壓力 圖2-20 靜止液體中傾斜平面上液體的總壓力 MyFhh=ysinh=ysinpdAdF ghdA dAgy sin dA=xdyp=gh積分上式積分上式得靜止液體作用在整個淹沒平面上的總壓力得靜止液體作用在整個淹沒平面上的總壓力pdAdF dAgy sin AAgyFdsin AygFc sin AAygdsin 淹沒面積淹沒面積A A對對OXOX軸的面積矩軸的面積矩為平面A的形心C到O點的距離cy稱為

5、形心y坐標 圖2-20 靜止液體中傾斜平面上液體的總壓力 MychchcAygFc sin 如果用如果用 表示形心的垂直深度，稱為形心淹深表示形心的垂直深度，稱為形心淹深ch 那么那么 sinccyh AghFc 與水平面完全一致與水平面完全一致v 思考一下！思考一下！1h2h3h1A2A3A 三個面上的壓力三個面上的壓力111AghF 222AghF 333AghF 容器旋轉結果怎樣？容器旋轉結果怎樣？（二）（二）總壓力的總壓力的作用點作用點 淹沒在靜止液體的平面上總壓力的作用點，淹沒在靜止液體的平面上總壓力的作用點，壓力中心壓力中心。 合力矩定理可知，總壓力對合力矩定理可知，總壓力對OX軸

6、之矩等于各微元面軸之矩等于各微元面積上的總壓力對積上的總壓力對OX軸之矩的代數和。軸之矩的代數和。用一個集中壓力代用一個集中壓力代替分布壓力系替分布壓力系AgyFdsind 作用在微元面積上的總壓力作用在微元面積上的總壓力 對對OX軸的力矩為軸的力矩為AygFydsind2 AFyyFd 用用 表示表示OY軸上點軸上點O到壓力中心的距離到壓力中心的距離py 則按合力矩定理有則按合力矩定理有 ApAygFydsin2 AygFydsind2 AFyyFdxIg sin AxAyId2為平面面積對為平面面積對OX的慣性矩。的慣性矩。xpIgFy sin 總壓力總壓力AygFc sin 兩式相除兩式

7、相除AyIAygIgycxcxp sinsinAyIAygIgycxcxp sinsin 根據慣性矩的平行移軸公式根據慣性矩的平行移軸公式cxcxIAyI 2AyIyAyIAyyccxcccxcp 2AyIyAyIAyyccxcccxcp 2 面積對于通過它形心且平行于面積對于通過它形心且平行于OXOX軸的軸線的慣性矩軸的軸線的慣性矩cxI 平面形心的平面形心的y y坐標坐標cy查表查表 通常，實際工程中遇到的平面多數是對稱的，因此壓力通常，實際工程中遇到的平面多數是對稱的，因此壓力中心的位置是在中心的位置是在平面對稱的中心線平面對稱的中心線上，此時不必求上，此時不必求 的坐標的坐標值，只需求

8、得值，只需求得 坐標值即可。坐標值即可。pypxAyIyAyIAyyccxcccxcp 2 壓力中心的位置與壓力中心的位置與角無關，即平面面積可以繞與角無關，即平面面積可以繞與OX軸軸平行且通過壓力中心的軸旋轉。平行且通過壓力中心的軸旋轉。 由方程還可看到，壓力中心總是在形心下方，隨淹沒的由方程還可看到，壓力中心總是在形心下方，隨淹沒的深度增加，壓力中心逐漸趨近于形心。深度增加，壓力中心逐漸趨近于形心。截面幾何圖形面積A型心yc慣性距Icx bh 1/2h 1/12bh3 1/2bh 2/3h 1/36bh3 1/2h(a+b)babah 231bababah22343612rr44rbh42

9、h364bh23rr344272649r【例例2-6】 圖2-22表示一個兩邊都承受水壓的矩形水閘，如果兩邊的水深分別為h1=2m，h2=4m，試求每米寬度水閘上所承受的凈總壓力及其作用點的位置。 【解解】 淹沒在自由液面下h1深的矩形水閘的形心 yc=hc=h1/2 每米寬水閘左邊的總壓力為 由式(2-40)確定的作用點F1位置 )(19612 298062121 12221111NghhhgAghFcAyIyycccp1圖 2-22784484980621212222ghF其中通過形心軸的慣性矩IC=bh31/12，所以F1的作用點位置在離底1/3h=2/3m處。1113111322112

10、121hbhhbhhyp 淹沒在自由液面下h2深的矩形水閘的形心yc=hc=h2/2。每米寬水閘右邊的總壓力為331122hFhFFh 56. 158836321961247844831122 FhFhFh同理F2作用點的位置在離底1/3h2=4/3m處。每米寬水閘上所承受的凈總壓力為F=F2-F1=78448-19612=58836假設凈總壓力的作用點離底的距離為h，可按力矩方程求得其值。圍繞水閘底O處的力矩應該平衡，即第六節 曲面上的靜水總壓力 AghsghbFddd一、總壓力的大小和方向一、總壓力的大小和方向圖2-23所示為一圓柱形開口容器中某一部分曲面AB上承受液體靜止壓強的情況設曲面

11、的寬度為b，在A處取一微小弧段ds則作用在寬度為b、長度為ds的弧面dA上僅由液體產生的總壓力為CDAxHhdFdFxdFzds圖2-23 作用在圓柱體曲面上的總壓力BAghsghbFdddcosdcosddAghFFxsindsinddAghFFzAghsghbFddd OX軸方向的分力為 OZ軸方向的分力為cosdcosddAghFFxsindsinddAghFFzcosdcosddAghFFx1. 水平分力水平分力 dsdxdhxdAzdAxAAdcosdxxAghFdd因此，靜止液體作用在曲面AB上的總壓力在OX軸方向的分力，即水平分力為xcAxxAghAhgFd dsdxdhxdAz

12、dAxcAxxAghAhgFdAxcxAhAhd曲面面積在垂直平面（曲面面積在垂直平面（OYZ坐標面）上坐標面）上的投影面積的投影面積AX對對OY軸的面積矩軸的面積矩 該圓柱形曲面在垂直平面上的投影面積該圓柱形曲面在垂直平面上的投影面積Ax=bH， 則則 其形心其形心hc=H/2221gbHFx dsdxdhxdAzdA221gbHFx xcAxxAghAhgFd 靜止液體作用在曲面上的總壓力的水平分力等于作用在這一曲面的垂直投影面上的總壓力。 F作用線的位置位于自由液面下2/3H處。1113111322112121hbhhbhhyp 思考一下！思考一下！判斷：下述結論哪一個是正確的？判斷：下

13、述結論哪一個是正確的？兩圖中兩圖中F均為單位寬度上的靜水總壓力。均為單位寬度上的靜水總壓力。 A. FxF2 B. Fx=F2 正確答案正確答案B2. 垂直分力垂直分力 dsdxdhxdAzdAzAAdsind sindsinddAghFFz AzzAhgFd 靜止液體作用在曲靜止液體作用在曲面面ABAB上的垂直分力上的垂直分力pgV dsdxdhxdAzdApAzVAhd曲面AB與自由液面間的柱體體積壓力體壓力體pzgVF 靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂直分力等于壓力體的液體重量，Fz的作用線通過壓力體的重心。3. 總壓力的大小和方向總壓力的大小和方向pzgVF 221gbHFx 靜止液體

14、作用在曲面上水平分力Fx 靜止液體作用在曲面上水平分力Fz 靜止液體作用在曲面上的總壓力22zxFFF 總壓力與垂線間夾角的正切為zxFFtg二、總壓力的作用點二、總壓力的作用點總壓力的作用線通過點總壓力的作用線通過點Fx和和Fz與作用線的交點。與作用線的交點。總壓力作用線與曲面的交點就是總壓力在曲面上的作用總壓力作用線與曲面的交點就是總壓力在曲面上的作用點，即壓力中心。點，即壓力中心。FzF ABFx 總壓力總壓力F的作用點：作出的作用點：作出Fx及及Fz的作用線，得交點，的作用線，得交點，過此交點，按傾斜角過此交點，按傾斜角作總壓力作總壓力F的作用線，與曲面壁的作用線，與曲面壁AB相交的點

15、，即為總壓力相交的點，即為總壓力F的作用點。的作用點。三、壓力體的概念三、壓力體的概念 v 定義定義 壓力體是所研究的曲面（淹沒在靜止液體中的部分）壓力體是所研究的曲面（淹沒在靜止液體中的部分）到自由液面或自由液面的延長面間投影所包圍的一塊空到自由液面或自由液面的延長面間投影所包圍的一塊空間體積。間體積。v 數學體積計算式數學體積計算式 AzpAhVdv 作用在曲面上的垂直分力的大小等于壓力體內液體的作用在曲面上的垂直分力的大小等于壓力體內液體的重量，并且與壓力體內是否充滿液體無關。重量，并且與壓力體內是否充滿液體無關。v 壓力體體積的組成：壓力體體積的組成：（1）受壓曲面本身；）受壓曲面本身

16、；（2）通過曲面周圍邊緣所作的鉛垂面；）通過曲面周圍邊緣所作的鉛垂面； （3）自由液面或自由液面的延長線。）自由液面或自由液面的延長線。壓力體壓力體bAVabcdp v 壓力體的種類：壓力體的種類： 實壓力體：實壓力體方向向下實壓力體：實壓力體方向向下 虛壓力體：虛壓力體方向向上虛壓力體：虛壓力體方向向上實壓力體實壓力體虛壓力體虛壓力體v 壓力體的繪制（一）：壓力體的繪制（一）：v 壓力體的繪制（二）：壓力體的繪制（二）：四、靜止液體作用在曲面上的總壓力的計算程序四、靜止液體作用在曲面上的總壓力的計算程序(1) 將總壓力分解為水平分力將總壓力分解為水平分力Fx和垂直分力和垂直分力Fz(3) 確

17、定壓力體的體積確定壓力體的體積(7) 作用點的確定，即總壓力的作用線與曲面的交點即是。作用點的確定，即總壓力的作用線與曲面的交點即是。(2) 水平分力的計算水平分力的計算xcxAghF(4) 垂直分力的計算，垂直分力的計算， 方向由虛、實壓力體確定。方向由虛、實壓力體確定。pzgVF(5) 總壓力的計算總壓力的計算22zxFFF(6) 總壓力方向的確定總壓力方向的確定zxFF /tg 【例例2-7】 求圖2-25所示流體施加到水平放置的單位長度圓柱體上的水平分力和垂直分力：（a）如果圓柱體左側的流體是一種計示壓強為35kPa被密封的箱內的氣體；（b）如果圓柱體左側的流體是水，水面與圓柱體最高部

18、分平齊，水箱開口通大氣。 【解解】 （a）圓柱體表面所研究部分的凈垂直投影為則35kPa計示壓強的氣體作用在單位長度圓柱體上的水平分力為 Az=4-2(1-cos300) 1 則35kPa計示壓強的氣體作用在單位長度圓柱體上的水平分力為 Fx=pAz=354-2(1-cos300) 1 =353.75=130.5(kN) 圓柱體表面所研究部分的凈水平投影為 Ax=2sin3001 則氣體作用在單位長度圓柱體上的垂直分力為 Fz=pAx=352sin3001=35(kN) （b） Fx=ghcAx=9.81(1/23.73) (3.731) 1000=68.1（kN） Fz=gVp=9.811000(2100/360022+1/21 1.732+12) 1=100.5(KN) 圖2-25 【例例2-8】 圖2-26所示為一水箱，