1、第5章 扭轉(zhuǎn)桿件的強(qiáng)度和剛度計(jì)算5.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算5.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算5.3 非圓截面桿的自由扭轉(zhuǎn)簡(jiǎn)介5.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算一、描述變形的指標(biāo)三、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力返返 回回*扭轉(zhuǎn)角（扭轉(zhuǎn)角（）：）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的相對(duì)角位移。*剪應(yīng)變（剪應(yīng)變（）：直角的改變量一、描述變形的指標(biāo)返返 回回* 平面假設(shè) 橫截面象剛性平面一樣繞軸線轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度。5.1.1 等直圓桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力1 1、實(shí)驗(yàn)觀察：、實(shí)驗(yàn)觀察：橫截面仍為平面；橫截面仍為平面；軸向無(wú)伸縮；軸向無(wú)伸縮；縱向線變形后仍為平行。縱向線變形后仍為平行。返返 回回2、橫截面上的應(yīng)力：

2、、橫截面上的應(yīng)力：1）. 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：xxGGdddtg1xdd距圓心為距圓心為 任一點(diǎn)處的任一點(diǎn)處的 與到圓心的與到圓心的距離距離 成正比。成正比。xdd 扭轉(zhuǎn)角沿長(zhǎng)度方向變化率扭轉(zhuǎn)角沿長(zhǎng)度方向變化率。剪切虎克定律：剪切虎克定律： GT2）. 物理關(guān)系物理關(guān)系TT 剪切彈性模量G、彈性模量E和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料：)1 ( 2EG* 重要關(guān)系變形關(guān)系代入虎克定律： GxGxGGddddxGdd 虎克定律：3）. 靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系A(chǔ)IApd2令代入物理關(guān)系 得：xGdd dATA AxGAddd 2AxGAddd2d dp TGIxOdAMnd

3、 dpTxGIpTI* 討論：1 僅適用各向同性、線彈性材料，小變形僅適用各向同性、線彈性材料，小變形 的圓截面等直桿。的圓截面等直桿。2 T橫截面上的扭矩，由橫截面上的扭矩，由平衡方程求得。平衡方程求得。 該點(diǎn)到圓心的距離該點(diǎn)到圓心的距離Ip極慣性矩，純幾何量極慣性矩，純幾何量pTI3 應(yīng)力分布應(yīng)力分布（實(shí)心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。TT4 確定最大剪應(yīng)力確定最大剪應(yīng)力max , 2dRWp 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量） pTImax22ppdTTdII2 dIppW令maxpTWmm3或m35.1.2 Ip的計(jì)算的計(jì)算AIApd2單

4、位：?jiǎn)挝唬簃m4，m4對(duì)于實(shí)心圓截面：DdOAIApd2202d2 D441 . 032 DD對(duì)于空心圓截面：)1 (1 . 0)1 (32 )(32 d2 d4444442222DDdDAIDdAp)(DddDOd對(duì)于實(shí)心圓截面：對(duì)于空心圓截面：332 . 016DDRIWpp16)1 (43DRIWpp)-(12 . 043D薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚0101rt（r0：為平均半徑）1、實(shí)驗(yàn)：、實(shí)驗(yàn)：*實(shí)驗(yàn)前：實(shí)驗(yàn)前：繪繪縱向線，圓周線縱向線，圓周線5.1.3 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)返返 回回*實(shí)驗(yàn)后：實(shí)驗(yàn)后：圓周線不變；圓周線不變；縱向線變成斜直線縱向線變成斜直線。*結(jié)論結(jié)論各圓周線的形狀、大小和

5、間距均未改變，只是各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是 繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣的平行四邊形。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣的平行四邊形。 acddxbdy 無(wú)正應(yīng)力 橫截面上各點(diǎn)，只產(chǎn)生垂直于半徑的均布的剪應(yīng)力 ，沿周向大小不變*微小矩形單元體微小矩形單元體：2、薄壁圓筒剪應(yīng)力：、薄壁圓筒剪應(yīng)力： A0：平均半徑所作圓的面積。0dAA rT000 d2 ArArr tT 20 0 2 2 TTr tAt3、剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理acddxb dy tz0zmdxdytdxdyt 純剪切應(yīng)力狀態(tài)純

6、剪切應(yīng)力狀態(tài)例5-15.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算5.2.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算5.2.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度計(jì)算5.2.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力返返 回回5.2.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件：對(duì)于等截面圓軸：對(duì)于等截面圓軸：max( ：許用剪應(yīng)力)*強(qiáng)度的三種計(jì)算：強(qiáng)度的三種計(jì)算： 校核強(qiáng)度： 設(shè)計(jì)截面： 求許可載荷：max pTWmaxmax pTWmax pTW）（空：實(shí)：433116 16 DDWpmax pTW返返 回回 功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸， =30M Pa, 試校

7、核其強(qiáng)度。m)(kN55. 1m)(N4 .1514. 32101503解：作扭矩圖，確定危 險(xiǎn)截面此軸滿足強(qiáng)度要求D3 =135D2=75 D1=70ABCmmTmx3102BCNTmnmaxBCpTW1607. 01055. 133MPa23，動(dòng)軸，外徑無(wú)縫鋼管制成的汽車(chē)傳mmD90max2.51.5,tmmKNmT壁厚，MPa60、校核強(qiáng)度) 1 (，并比較重量變，求、改為實(shí)心軸，強(qiáng)度不D)2(944. 09025 . 290Dd)1 (1614. 3944. 09043)1 (1643DWpmm329400maxmaxpTW910294001500（1）（2）強(qiáng)度相同max51pTMP

8、aW3116 TD 36105114. 3150016mm1 .53（3）比較重量AAAAQQLL2121實(shí)空DdDDdD21222122)(4)(431. 051.385902225.2.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度計(jì)算1、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形由公式長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l 的兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角的兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 為d dpTxGI0d dlpTxGI pTlGI（當(dāng)T為常量時(shí)）返返 回回2、單位長(zhǎng)扭轉(zhuǎn)角、單位長(zhǎng)扭轉(zhuǎn)角 (rad/m) dd pnGIMx /m)( 180 dd pnGIMx 3、剛度條件、剛度條件 (rad/m) maxpnGIM /m)( 180 maxpnGIM 4、剛度的三種計(jì)算

9、、剛度的三種計(jì)算 校核剛度： 設(shè)計(jì)截面 求許可載荷： max max pTIG max p TGI 傳動(dòng)軸，n = 500 r / min，輸入N1 = 500 馬力， 輸出 N2 = 200馬力及 N3 = 300馬力，G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定：AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？解：作內(nèi)力圖 500400N1N3N2ACB Tx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m500400N1N3N2ACBxMn7.0244.21(kNm)31 16 ABpdTW 3116ABTd 3

10、6107014. 3702416mm80 3216BCTd 36107014. 3421016mm4 .67* 由強(qiáng)度條件500400N1N3N2ACBT7.0244.21(kNm)* 由剛度條件 4 32 pdTIG mm75 mm8521 d,d4412932 32 7024 18084mm 3.1480 101ABTdG4232 BCTdG 4921108014. 3180421032mm4 .74(2),全軸選同一直徑時(shí) mm851 ddTx 4.21(kNm)2.814(3),max1 2T越小越合理， 輪 、應(yīng)換位。mmd75max此時(shí)，軸的例5-4長(zhǎng)為L(zhǎng)=2m的圓桿受均布力偶m=

11、20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為a =0.8 ，外徑D=0.0226m ，G=80GPa，試求固端反力偶。 5-3 5-3 扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題 例題例題 兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C處受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛度為GIp。試求桿兩端的約束力偶矩以及C截面的扭轉(zhuǎn)角。(a) 解解: : 1. 有二個(gè)未知約束力偶矩MA, MB，但只有一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程故為一次超靜定問(wèn)題。0 0eBAxMMMM，(a)MAMB 2. 以固定端B為“多余”約束，約束力偶矩MB為“多余”未知力。在解除“多余”約束后基本靜定系上加上荷載Me和“多余”未知力偶矩MB，如圖b

12、；它應(yīng)滿足的位移相容條件為注：這里指的是兩個(gè)扭轉(zhuǎn)角的絕對(duì)值相等。BBMBMe另一約束力偶矩MA可由平衡方程求得為3. 根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程：由此求得“多余”未知力，亦即約束力偶矩MB為ppeGIlMGIaMB elaMMB eeeelbMlaMMMMMBA4. 桿的AC段橫截面上的扭矩為lbMMTAACe從而有 peplGIabMGIaTACC(a) 例題例題2由半徑為a的銅桿和外半徑為b的鋼管經(jīng)緊配合而成的組合桿，受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。試求銅桿和鋼管橫截面上的扭矩Ta和Tb，并繪出它們橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。(a) 解解: : 1. 銅桿和鋼管的橫截面上各有

13、一個(gè)未知內(nèi)力矩 扭矩Ta和Tb(圖b)，但只有一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程Ta+Tb= Me，故為一次超靜定問(wèn)題。TaTb(b)2. 位移相容條件為BbBa3. 利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程為4. 聯(lián)立求解補(bǔ)充方程和平衡方程得：bbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlTpppp ，即epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa，TaTb(b)5. 銅桿橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力為aIGIGMGITbbaaaaaa0ppep鋼管橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力為baIGIGMGITbbaabbbbppep 上圖示出了銅桿和鋼管橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。需要注意的是，由于銅的切變模量Ga小于鋼的切變模量Gb，故銅桿和鋼管在 = a處切應(yīng)力并不相等，兩者之比就等于兩種材料的切變模量之比。這一結(jié)果與銅桿和鋼管由于緊配合而在