1、第5章 扭轉桿件的強度和剛度計算5.1 圓軸扭轉時的應力和變形計算5.2 圓軸扭轉時的強度和剛度計算5.3 非圓截面桿的自由扭轉簡介5.1 圓軸扭轉時的應力和變形計算一、描述變形的指標三、薄壁圓筒的扭轉二、等直圓桿扭轉的應力返返 回回*扭轉角（扭轉角（）：）：任意兩截面繞軸線轉動的相對角位移。*剪應變（剪應變（）：直角的改變量一、描述變形的指標返返 回回* 平面假設 橫截面象剛性平面一樣繞軸線轉過一個角度。5.1.1 等直圓桿扭轉的應力1 1、實驗觀察：、實驗觀察：橫截面仍為平面；橫截面仍為平面；軸向無伸縮；軸向無伸縮；縱向線變形后仍為平行。縱向線變形后仍為平行。返返 回回2、橫截面上的應力：

2、、橫截面上的應力：1）. 變形幾何關系：變形幾何關系：xxGGdddtg1xdd距圓心為距圓心為 任一點處的任一點處的 與到圓心的與到圓心的距離距離 成正比。成正比。xdd 扭轉角沿長度方向變化率扭轉角沿長度方向變化率。剪切虎克定律：剪切虎克定律： GT2）. 物理關系物理關系TT 剪切彈性模量G、彈性模量E和泊松比是表明材料彈性性質的三個常數。對各向同性材料：)1 ( 2EG* 重要關系變形關系代入虎克定律： GxGxGGddddxGdd 虎克定律：3）. 靜力學關系靜力學關系AIApd2令代入物理關系 得：xGdd dATA AxGAddd 2AxGAddd2d dp TGIxOdAMnd

3、 dpTxGIpTI* 討論：1 僅適用各向同性、線彈性材料，小變形僅適用各向同性、線彈性材料，小變形 的圓截面等直桿。的圓截面等直桿。2 T橫截面上的扭矩，由橫截面上的扭矩，由平衡方程求得。平衡方程求得。 該點到圓心的距離該點到圓心的距離Ip極慣性矩，純幾何量極慣性矩，純幾何量pTI3 應力分布應力分布（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構件：提高強度，節約材料， 結構輕便，應用廣泛。TT4 確定最大剪應力確定最大剪應力max , 2dRWp 抗扭截面系數（抗扭截面模量） pTImax22ppdTTdII2 dIppW令maxpTWmm3或m35.1.2 Ip的計算的計算AIApd2單

4、位：單位：mm4，m4對于實心圓截面：DdOAIApd2202d2 D441 . 032 DD對于空心圓截面：)1 (1 . 0)1 (32 )(32 d2 d4444442222DDdDAIDdAp)(DddDOd對于實心圓截面：對于空心圓截面：332 . 016DDRIWpp16)1 (43DRIWpp)-(12 . 043D薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚0101rt（r0：為平均半徑）1、實驗：、實驗：*實驗前：實驗前：繪繪縱向線，圓周線縱向線，圓周線5.1.3 薄壁圓筒的扭轉返返 回回*實驗后：實驗后：圓周線不變；圓周線不變；縱向線變成斜直線縱向線變成斜直線。*結論結論各圓周線的形狀、大小和

5、間距均未改變，只是各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是 繞軸線作了相對轉動繞軸線作了相對轉動各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 所有矩形網格均歪斜成同樣的平行四邊形。所有矩形網格均歪斜成同樣的平行四邊形。 acddxbdy 無正應力 橫截面上各點，只產生垂直于半徑的均布的剪應力 ，沿周向大小不變*微小矩形單元體微小矩形單元體：2、薄壁圓筒剪應力：、薄壁圓筒剪應力： A0：平均半徑所作圓的面積。0dAA rT000 d2 ArArr tT 20 0 2 2 TTr tAt3、剪應力互等定理剪應力互等定理acddxb dy tz0zmdxdytdxdyt 純剪切應力狀態純

6、剪切應力狀態例5-15.2 圓軸扭轉時的強度和剛度計算5.2.1 圓軸扭轉時的強度計算圓軸扭轉時的強度計算5.2.2 圓軸扭轉時的剛度計算5.2.3 圓軸扭轉時斜截面上的應力圓軸扭轉時斜截面上的應力返返 回回5.2.1 圓軸扭轉時的強度計算圓軸扭轉時的強度計算強度條件：強度條件：對于等截面圓軸：對于等截面圓軸：max( ：許用剪應力)*強度的三種計算：強度的三種計算： 校核強度： 設計截面： 求許可載荷：max pTWmaxmax pTWmax pTW）（空：實：433116 16 DDWpmax pTW返返 回回 功率為150kW，轉速為15.4轉/秒的電動機轉子軸， =30M Pa, 試校

7、核其強度。m)(kN55. 1m)(N4 .1514. 32101503解：作扭矩圖，確定危 險截面此軸滿足強度要求D3 =135D2=75 D1=70ABCmmTmx3102BCNTmnmaxBCpTW1607. 01055. 133MPa23，動軸，外徑無縫鋼管制成的汽車傳mmD90max2.51.5,tmmKNmT壁厚，MPa60、校核強度) 1 (，并比較重量變，求、改為實心軸，強度不D)2(944. 09025 . 290Dd)1 (1614. 3944. 09043)1 (1643DWpmm329400maxmaxpTW910294001500（1）（2）強度相同max51pTMP

8、aW3116 TD 36105114. 3150016mm1 .53（3）比較重量AAAAQQLL2121實空DdDDdD21222122)(4)(431. 051.385902225.2.2 圓軸扭轉時的剛度計算1、扭轉時的變形、扭轉時的變形由公式長為長為 l 的兩截面間相對扭轉角的兩截面間相對扭轉角 為d dpTxGI0d dlpTxGI pTlGI（當T為常量時）返返 回回2、單位長扭轉角、單位長扭轉角 (rad/m) dd pnGIMx /m)( 180 dd pnGIMx 3、剛度條件、剛度條件 (rad/m) maxpnGIM /m)( 180 maxpnGIM 4、剛度的三種計算

9、、剛度的三種計算 校核剛度： 設計截面 求許可載荷： max max pTIG max p TGI 傳動軸，n = 500 r / min，輸入N1 = 500 馬力， 輸出 N2 = 200馬力及 N3 = 300馬力，G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定：AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應為多少？ 主動輪與從動輪如何安排合理？解：作內力圖 500400N1N3N2ACB Tx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m500400N1N3N2ACBxMn7.0244.21(kNm)31 16 ABpdTW 3116ABTd 3

10、6107014. 3702416mm80 3216BCTd 36107014. 3421016mm4 .67* 由強度條件500400N1N3N2ACBT7.0244.21(kNm)* 由剛度條件 4 32 pdTIG mm75 mm8521 d,d4412932 32 7024 18084mm 3.1480 101ABTdG4232 BCTdG 4921108014. 3180421032mm4 .74(2),全軸選同一直徑時 mm851 ddTx 4.21(kNm)2.814(3),max1 2T越小越合理， 輪 、應換位。mmd75max此時，軸的例5-4長為L=2m的圓桿受均布力偶m=

11、20Nm/m的作用，如圖，若桿的內外徑之比為a =0.8 ，外徑D=0.0226m ，G=80GPa，試求固端反力偶。 5-3 5-3 扭轉超靜定問題扭轉超靜定問題 例題例題 兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C處受扭轉力偶矩Me作用，如圖a。已知桿的扭轉剛度為GIp。試求桿兩端的約束力偶矩以及C截面的扭轉角。(a) 解解: : 1. 有二個未知約束力偶矩MA, MB，但只有一個獨立的靜力平衡方程故為一次超靜定問題。0 0eBAxMMMM，(a)MAMB 2. 以固定端B為“多余”約束，約束力偶矩MB為“多余”未知力。在解除“多余”約束后基本靜定系上加上荷載Me和“多余”未知力偶矩MB，如圖b

12、；它應滿足的位移相容條件為注：這里指的是兩個扭轉角的絕對值相等。BBMBMe另一約束力偶矩MA可由平衡方程求得為3. 根據位移相容條件利用物理關系得補充方程：由此求得“多余”未知力，亦即約束力偶矩MB為ppeGIlMGIaMB elaMMB eeeelbMlaMMMMMBA4. 桿的AC段橫截面上的扭矩為lbMMTAACe從而有 peplGIabMGIaTACC(a) 例題例題2由半徑為a的銅桿和外半徑為b的鋼管經緊配合而成的組合桿，受扭轉力偶矩Me作用，如圖a。試求銅桿和鋼管橫截面上的扭矩Ta和Tb，并繪出它們橫截面上切應力沿半徑的變化情況。(a) 解解: : 1. 銅桿和鋼管的橫截面上各有

13、一個未知內力矩 扭矩Ta和Tb(圖b)，但只有一個獨立的靜力平衡方程Ta+Tb= Me，故為一次超靜定問題。TaTb(b)2. 位移相容條件為BbBa3. 利用物理關系得補充方程為4. 聯立求解補充方程和平衡方程得：bbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlTpppp ，即epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa，TaTb(b)5. 銅桿橫截面上任意點的切應力為aIGIGMGITbbaaaaaa0ppep鋼管橫截面上任意點的切應力為baIGIGMGITbbaabbbbppep 上圖示出了銅桿和鋼管橫截面上切應力沿半徑的變化情況。需要注意的是，由于銅的切變模量Ga小于鋼的切變模量Gb，故銅桿和鋼管在 = a處切應力并不相等，兩者之比就等于兩種材料的切變模量之比。這一結果與銅桿和鋼管由于緊配合而在