1、Chapter 9-1 粘性不可壓縮流體流動1概述一、粘性不可壓縮流動模型、關于粘性 粘性摩擦的存在必導致繞流阻力的存在，運動的衰減及渦量的擴散。在大數下，慣性力粘性力，采用理想流體模型，理想流體理論對不脫體繞流情況下的升力，壓力分布和速度分布給出了符合實際的結果，但在阻力等與粘性效應相關的問題上卻無能為力。因而，在研究阻力等起源于粘性的現象時須拋棄理想流體假設。在小數和中數情況下，粘性作用不可忽略。2、關于不可壓縮流動（流體的壓縮性對流動的影響可略）液體壓縮系數小，一般可認為不可壓縮（極端情況如激波等除外）。氣體在低速運動（速度遠小于聲速）、非定常時速度變化緩慢，且重力方向上流場的尺度10k

2、m時，可略其壓縮性。（當研究對流層（10km）內大氣運動時，不能忽略重力場引起的壓縮效應）。、基本方程組和邊界條件均質不可壓縮流體，且溫度變化小，故有 求速度和壓力場的完備方程組。能量方程 用于求溫度場本構方程 用于求應力邊界條件：在固壁表面上，流體的法向和切向速度分別等于固體表面的對應速度分量。 在自由表面上，。二、粘性流動分類，求解問題的幾種途徑層流：流體運動規則、穩定，各部分分層流動互不摻混，質點軌跡光滑。脈線清晰湍流：流體運動極不規則、極不穩定，伴有高頻擾動，各部分激烈摻混，質點軌跡雜亂無章。決定流動狀態的參數是數(Batchlor page255)，2000 一定是層流，此時粘性力足

3、以保持流動的穩定。層流：極少有準確解（某些特殊的簡單問題，非線性方程得以簡化） 近似解法：大數，邊界層理論 小數，部分或全部忽略慣性力。湍流：湍流理論（近似解法）三、粘性流動的一般特征1、運動的有旋性由 () 知N一S方程可化為粘性不可壓縮流動方程組改寫為若則N-S方程化為Euler方程，粘性與無粘流動的區別就僅在于固壁上的無滑移邊界條件。理想流體上述方程組在下有唯一解，此解一般不滿足無滑移條件，也就是說，粘性不可壓縮無旋流動的解一般不存在粘性不可壓縮流動一般是有旋運動。特例：點渦引起的理想流體二維流動在區域的解亦是的圓柱在粘性流體中勻角速度定軸轉動引起的粘性流動。、機械能的耗損性 3、渦旋的

4、擴散性與耗散性 （北大） 粘性不可壓縮流動的一些準確解一、定常的單一方向流動1、平面Couette流動與Poiseuille流動兩無限大平行平板，平板間充滿均質不可壓縮流體，間距，上板以速度沿軸方向運動，下板靜止，研究板間流體的定常流動。由流動特點可知：， 。N-S方程：。邊界條件：，。1）若沿軸方向無壓差，流動僅由上板拖動引起，即稱Couette流動，此時 簡單剪切流動。2）上板、下板均不動，則為Poiseuille流動，此時。3）平板所受粘滯力（以Couette流為例）或下板受切應力。4）拖動單位面積上平板外力做功功率。單位體積流體機械能耗散。單位面積平板板間流體柱內的總機械能耗散。例1

5、求解粘性流體沿傾斜平板下瀉的流動（考慮重力的影響，假設自由表面與平板平行）。邊界條件：，公式(2)，代入(1)并考慮到(3)知 -（4）設，則，代入（4）得。再利用邊界條件得。討論：1）若上邊界處是自由表面，則由于邊界上故；另外自由表面要求，故 。2）上板速度多大時，下板上摩檫應力為零，此時。2、截面均勻的圓管內的粘性層流（Hagen-Poiseuille流動）無限長圓管內壓強梯度力作用下的定常層流。假設外加壓差不隨時間變化，不考慮入口段流動（粘性作用尚未達到充分，速度剖面隨離入口的距離變化）可假設管無限長。流體在壓差作用下開始流動，當進入管中充分長距離后，粘性力達到與壓強梯度力平衡，速度剖面

6、不再變化，取柱坐標系如圖，。柱坐標系下原始方程見吳書（下冊page229），此流動軸對稱，僅考慮N-S 方程的和兩分量方程： 則 邊界條件：，另外附加有，有限； 故 討論：流量及平均速度 , ，可利用此關系通過測量流量來獲得粘性系數。注 關于壓差（管長）的量綱分析解見余志豪習題解答page119。流體層間的阻力：；軸上：；壁上：。 阻力系數 ，其中。二、兩同軸旋轉圓柱間的定常流動（圓形流線情形，不計重力）流體充滿兩無限長同軸圓柱之間，兩圓柱旋轉角速度分別為。求解啟動充分長時間后的定常流動。選取柱坐標系，由流動特點可知：，N-S方程：(1)式解釋：壓強梯度力提供向心力；(2)式解釋：.(2)式即

7、一一Euler方程，設代入得，故解為。邊界條件： ， ；最后可得 -（3）討論：1）應力張量分量，它代表任一流體柱殼外表面上的粘性應力，任一單位長流體柱殼外表面受摩擦力矩，與無關，因而該柱殼內外表面摩檫力矩平衡，故作定常運動。2）(3)式中第一項表示剛性旋轉(有旋流動)，第二項表示無旋運動. 若（無內柱）則 表示旋轉的桶內流體與桶一起剛性旋轉； 若無外柱殼則，這是N-S方程無旋流解的一個實例。 將以上二者結合起來，即考慮一個旋轉的圓柱殼浸沒于無界的粘性不可壓縮流體中旋轉，則得到3、非定常的單一方向的流動一、平板的突然啟動Stokes第一問題（瞬態過程）假設有一無限大平板浸沒在無界的靜止流體中，

8、突然平板以速度沿其自身所在平面運動起來，并且此后一直保持這一速度不變，求解平板啟動后流體運動的演化過程。；（任意時刻流動還沒有傳到的地方就可看成無窮遠）解定解問題 解法一：由定解問題形式知，而組成唯一無量綱變數 （）；由量綱齊次性原理知定解問題化為，（把偏微分方程化成了常微分方程）故 （，）解法二：用Laplace變換方法求解解法三：李新明書分析：1、速度分布 北大圖； 2、渦量 渦量的產生：在啟動的那一瞬間，板面上流體質點速度，其外的流體在瞬時的粘性作用下有加速度，但還沒有速度（速度的獲得需要時間）從而出現一個速度的間斷面，板上這層流體在板和板外靜止流體的粘性切應力的作用下被“搓”出渦量。

9、3、速度和渦量的擴散（時是由于均攤，還是由于粘性損耗？） 當時，可以認為渦量和動量主要集中于以下，即可作為速度和渦量已傳播到的區域的邊線，對應渦量和速度擴散的距離以的規律增加，擴散速率按規律減小。另外越大，擴散越快。渦量和速度都集中于板面附近的小區域內，隨，界面上渦量場逐漸減弱。而某一處，渦量先增后減。整個渦量場逐漸趨于均勻，最后達到（渦量由于粘性而擴散，（總量不變，參考教材習題11外力拖板作功補充動能損耗），擴散方程中未含有耗散項，粘性只導致擴散。eg：關于渦量的產生和擴散的一個規律在平板突然啟動問題中證明，式中，該流動的速度為，這個積分意味著，由于平板的運動在時產生了一定量的渦量，隨時間的

10、推移，渦量在流體內部擴散，但總的渦量保持不變。證明： 代入積分即得證。（兩無限大平板突然啟動，速度均為，中間流體時達到，渦量消失始自兩板附近反向渦層的擴散。）9.3相似原理與量綱分析一、 模型實驗的必要性：可以求得理論上的精確解的流動，只是一些簡單的流動。實際的情形要復雜得多，以至求解一種真實的流動往往會變得非常困難，甚至無可能實現。要解決復雜的真實流動問題，一方面依靠發展各種相似理論和數值解法；另一方面則要通過對實驗觀測結果的正確分析。流體力學實驗原則上是要研究尺度上縮小或放大了的真實流動。通過對這種模擬流動的觀測與分析，去推知真實流動的特性與規律。例如，用飛機模型在風洞中作吹風試驗，艦船在

11、水槽中拖動測量等。模擬實驗一方面可以降低費用，另一方面也可使實驗條件容易控制。于是就提出了一個問題：應該如何設計模型實驗，才能使模擬流動與真實的流動之間有簡單的變換關系，以及如何將有限的實驗結果應用于廣泛的實際流動中去。這些正是相似性原理所要回答的問題。 本課程不準備講述相似理論的全面、嚴格的理論內容，只著重于介紹其思想方法，故僅從一例出發進行分析。二、相似原理考慮不可壓縮粘性流體定常繞流圓球的問題，動力學方程組和定解條件：將上述定解問題無量綱化， ，得無量綱方程由此可見，若兩個不可壓縮粘性流體繞球定常流動滿足，則此二流動無量綱方程解完全一致。此二流動之間有簡單變換關系，如，說明（相似原理主要

12、內容）：定義Renold數“流動相似”的概念首先是幾何相似（僅強調邊界的幾何相似），從而無量綱化后的邊界條件一致。其次在確定實驗參數時要求數相等從而保證無量綱化方程組一致。這樣兩個流動就是相似的。此時，兩個流動的同一物理量（如）在對應點上的值成比例，這叫作力學相似。數相等是“相似準則”之一。相似準則無量綱化方程各項的系數，不同的流動問題相似準則個數不同，要具體問題具體分析。（兩個定常粘性繞球流動若數相等則相似，故數稱為相似準則）。，適用于所有相似的流動。一般粘性不可壓縮流動力學相似性：吳書p231-238。三、相似原理對模型實驗的指導意義：對于模型實驗設計的指導意義：設計實驗必須保證幾何相似和

13、滿足相似準則。可在相似準則允許的前提下適當選擇實驗參數，eg.研究飛機在空中的等速平飛，其相似準則為數：。實驗參數（風洞風速，模型特征尺寸，風洞內介質）須滿足： ，可增大風洞尺寸以增大，或增大空氣密度以減小從而減小。（，戰斗機可達2倍音速，甚至接近3倍音速） 對于實驗研究的指導意義：例如繞流問題中物體受力的實驗測量。吳書p236。二、量綱分析1. 量綱的概念。（實例說明）2. 量綱齊次性原理。 描述物理定律的等式或不等式兩端的物理量必須有相同的量綱，也就是說，只有量綱相同的量才能夠相加或比較。eg 應用：用于分析或檢驗物理量之間的關系。eg：聲速是一個平衡態的熱力學狀態變量，在任何均質系統中，

14、任一熱力學量都是兩個獨立熱力學變量的確定函數，我們取和為獨立熱力學變量，于是，為關于的多項式，設冪次分別為按量綱齊次性原理 其中，于是有， ，得，（為唯一一組可能值）因此，我們得到或（可能的關系式中的一種）這里為常數，只能由熱力學理論或實驗求得。實驗測量時，只需測量數據組，根據數據擬合出二者之間的線性關系，而不是測，大大簡化測量與分析。例1，用：30的模型在水槽中研究潛艇阻力問題。若實際潛艇水下航速為10knot，試確定研究摩阻時，模型拖拽速度多大。答：研究摩阻時，相似準則為數： 故 參見吳望一：定常繞流數消失，不計重力數消失，潛艇在水下，不考慮自由表面，數消失，只剩下數。例2，一模型港尺度比

15、為280：1，設真實storm wave 振幅1.524m，波速9.144m/s。試確定模型實驗波的特征量。答：幾何相似要求模型波浪尺寸：，。考慮重力起作用的表面波（重力波）：特征量周期T，；波高，；波速c，及無量綱化方程： Strouhal數：，若滿足幾何相似，則Strouhal數自然相等。 Froude數：故模型波速為。粘性流體的不可壓縮流動習題課小結：粘性不可壓縮流動基本方程組和邊界條件典型的精確解及流動規律：Stokes和Ossen近似，繞球流動。Eg1、柱坐標系下求解是定常的單一方向的流動 粘性系為的流體沿水平圓管作定常流動，速度，壓強梯度不為零；1）試證：2）給出通過管子的體積流量

16、證明：1）連續性方程 故 N-S方程 (1)式表明(2)式兩端均為常數，令 則得證。 2)積分上式并考慮到邊界條件得： 體積流量為eg2：自由表面界面問題 一皮帶通過一液體池沿直線向上以勻速運動，由于粘性帶走一層流體（厚度，密度，粘性系數）而重力使其下流，試給出流體運動速度所滿足的邊界條件、帶走的流體層的厚度內的速度分布和流量。假定流動定常，鉛直方向無壓差，略大氣摩擦。解：速度只有分量，從而連續性方程自然滿足 邊界條件： N-S方程已知 故可解得 eg3、兩流體界面邊界條件 如圖，兩層不同密度，不同粘性的流體成層放置，設水平方向無壓差，上板以向右勻速移動，求速度分布。解： N-S方程：上層： 下層： 解得 ，銜接條件：， 邊界條件： 故得： eg4：橢圓邊界?？紤]橢圓邊界的管子內不可壓縮粘性流體的定常流動。管子截面周線方程為1）證明：滿足該情形下的粘性流動方程；2）已知、和 ，決定、；3）討論你所得到的解當時的極限情況。證明：1）基本定解問題： 滿足N-S方程，亦滿足連續性方程。 為滿足邊界條件要求，ie ， 2）由（1）得 則， ，則 3）當時化成兩板間的流