1、控制工程基礎控制工程基礎第三章第三章 系統的系統的時間響應分析（時間響應分析（3）控制系統時域分析的控制系統時域分析的內容內容n3.1 時間響應及其組成n3.2 一階系統的時間響應n3.3 二階系統的時間響應n3.4 高階系統的時間響應n3.5 系統穩定性的初步概念n3.6 Routh(勞斯)穩定判據n3.7 系統誤差分析與計算 對控制系統的性能的基本要求是：穩定性、快速性、準確性。可見，穩定性是對系統性能的首要要求，因為不穩定的系統是不能正常工作的。分析系統的穩定性和使系統處于穩定的工作狀態是自動控制的基本問題之一，那么什么樣的系統是穩定的？如何判斷一個系統是否穩定？這就是我們第五節和第六節

2、所要討論的問題用時域分析法來研究系統穩定性問題。3.5 系統穩定性的初步概念一、穩定的定義一、穩定的定義二、穩定的充要條件二、穩定的充要條件一、穩定的定義一、穩定的定義舉例：炮瞄雷達系統是一個位置隨動系統，其輸出即炮筒位置能跟隨輸入即飛機位置在廣闊范圍內任意變化。假設其控制部分采用液壓控制，如圖所示：可以看出，系統的穩定與否由過渡過程隨著時間的推移是否逐漸衰減并趨于零來決定的，所以教材P164關于穩定的定義是這樣敘述的：)()()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(mntxbtxbtxbtxbtxatxatxatxaiimimmimoononnon01110111)()(

3、)(asasasabsbsbsbsXsXSGnnnnmmmmio 二、穩定的充要條件二、穩定的充要條件僅指線性系統（包括小偏差下線性化系統）假設系統的微分方程為：則其傳遞函數為：00111 asasasannnn特征方程為：系統有n個特征根，其中n1個實根si， n2對共軛復根si+1,i+2;si+1,i+2=j為復根的實部nkkknkkdktktsnjjoteAeAtBtxkj2111)sin()()(dnnnjj 21根據前面所學知識，系統響應為：穩態項瞬態項由穩定性定義， 瞬態項 ，則 ，系統回到原平衡狀態或新的平衡，該系統穩定。n下面通過討論si和k的取值研究穩定條件1. 對于實指數

4、項有：t0)()(tBtxo)(0, 0testsii)(0, 0 tetkk 對于復指數項有：曲線衰減為復根的實部nkkknkkdktktsnjjoteAeAtBtxkj2111)sin()()(2. 反之，若 對照定義，此時系統不穩定。3. 當k中至少一個為0時，響應存在等幅振蕩分量，此時臨界穩定，這樣的系統在實際工程中也是不穩定的。發散。發散，則ttskikiees, 0, 0n由以上討論可知：1、僅當系統的全部特征根具有負實部時， 收斂，系統穩定；2、當系統至少存在一個正實根或實部為正的復根時， 發散，系統不穩定；3、若存在純虛根（k 0）， 等幅振蕩，系統不穩定。)(txo)(txo

5、)(txo通過以上討論，我們可以得出這樣的結論：系統穩定的充分必要條件為：系統的全部特征根具有負實部；或者閉環傳遞函數的極點全部在s平面左半平面。（P165）n閉環傳函分母和外界輸入無關；n傳函分子與輸入作用于系統的位置有關；n穩定性和傳函分子即零點無關，僅與極點有關，說明穩定性系統本身固有的特性，由結構參數決定；n開環系統總是穩定的，僅對存在反饋的閉環系統才討論穩定性。1、系統穩定性的初步鑒別（必要條件）n對于特征方程 式中所有系數均為實數，且an0，要使全部特征根都具有負實部，必要條件是特征方程的所有系數均大于0，即ai0(i=1,2,n)。00111asasasannnn根根根根或或實實

6、部部有有正正有有負負的的復復出出現現出出現現正正根根000 iiaaRouth穩定判據避開對特征方程根的直接求解，討論特征根的分布。2、Routh判據A、方法：（1）列出系統閉環特征方程（2）列寫Routh計算表00111asasasannnn1121432143217531642FEDDBBBBAAAAaaaaaaaannnnnnnnsns2Sn-3Sn-2Sn-1s1s0表中514123121111 nnnnnnnnnnaaaaaAaaaaaA31511221311111AAaaABAAaaABnnnn 這種過程進行到n+1行，第n+1行只有一個元素:a0B、判據充要條件若Routh表中左

7、端第一列各元素均為正，則系統特征方程式所有的根都具有負實部（位于復平面左側），此時系統穩定。例1 設系統的特征方程為：試用Routh判據判斷系統的穩定性。0611126234ssssC、根據Routh判據確定系統為不穩定，有以下幾種情況：（1） Routh表第一列所有元素均不為0，但不全為正數，這時位于復平面右側的特征根個數等于Routh表第一列元素符號改變的次數。05432234 ssss例2 設系統的特征方程為試用Routh判據判斷系統的穩定性，若不穩定，指出不穩定的根的個數。（2）Routh表某一行第一列元素為0，其余不全為0。這樣計算下一行時會出現 ，無法繼續進行計算。 這時可用一個很

8、小的正數來代替0繼續計算。 0上下符號相同說明存在成對的純虛根，若第一列其它元素均為正，則系統臨界穩定；0上下符號不同，系統不穩定，右根的個數由變號次數決定。例3 設系統的特征方程為試用Routh判據判斷系統的穩定性，若不穩定，指出右根的個數。022)2(23sss0133) 1 (234ssss（3）Routh表中第k行的數據全為0，說明復平面內存在大小相等符號相反的根。可能是大小相等符號相反的實根、或成對的純虛根、或對稱于虛軸的兩對共軛復根。a.利用k-1行的元素構成輔助方程；b.求輔助方程對s的導數，將其系數組成新行代替第k行數據；c.繼續計算Routh表。01616201282) 1

9、(23456ssssss0502548242)2(2345sssss注：運用注：運用Routh判據時，為簡化計算，可用一個判據時，為簡化計算，可用一個整數乘或除一整行而不改變穩定性結論。整數乘或除一整行而不改變穩定性結論。例4 設系統的特征方程為試用Routh判據判斷系統的穩定性，若不穩定，指出不穩定的根的個數。001) 11001aaasan、穩定條件：002)22100122aaaasasan、穩定條件：0003) 330123210012233aaaaaaaaasasasan、穩定條件為：D，當n4時，Routh判據可做如下簡化例5，單位反饋系統的開環傳遞函數為試確定系統穩定的k值的范圍

10、。) 125. 0)(11 . 0()(sssksGk一、系統的誤差e(t)及偏差二、系統的穩態誤差與穩態偏差三、與輸入有關的穩態偏差四、系統結構對穩態偏差的影響五、與干擾有關的穩態偏差3.6系統穩態誤差分析與計算)(t一、系統的誤差及偏差n誤差e(t) （輸出端定義）)()()(txtxteoor)()()(1sXsXsEoor希望值實際輸出n偏差 （輸入端定義）)()()()()()()()()(sHsXsXsBsXsEtbtxtoiiiG(s)Xo(s)Xi(s)H(s)-E(S)+B(S)(tn誤差與偏差的關系 )()()()(sXsXtxtxorooor不起調節作用）（此時應該有)(

11、0)(sEsE0)()()()()()()(sHsXsXsHsXsXsEorioi)()()()()()(sHsXsXsHsXsXiorori從而有，G(s)Xo(s)Xi(s)H(s)-E(S)+B(S)輸出為希望值時，即輸出偏離希望值時（一般情況）)()()()(sHsXsXsEoi)()()()(1sHsEsXsXori)()()()()(1sHsEsHsXsXii)()(1sHsE由于上述確定關系，一般用偏差代替誤差進行分析。二、系統的穩態誤差與穩態偏差)(limteetss系統穩態誤差的定義為根據終值定理，系統的穩態誤差穩態誤差為：同理，系統的穩態偏差穩態偏差為：)(lim)(lim

12、10ssEteestss)(lim)(lim0ssEtstss三、與輸入有關的穩態偏差)(lim0ssEs)()(11)()(sHsGsXsEiG(s)Xo(s)Xi(s)H(s)-E(S)+B(S)(limttss)()()(11lim0sXsHsGsisn系統穩態偏差與兩個因素有關1.系統結構（反映在 ， G(s)H(s)開環傳函)2.輸入信號Xi(s)n因此，對于穩定的控制系統，穩態性能一般根據階躍、斜坡或拋物線輸入所引起的穩態偏差來判別。本節研究的就是不能跟蹤上述典型輸入而引起的穩態偏差。)()(11sHsG 1、階躍輸入下的穩態偏差及位置無偏系數)()(11)()(11lim0sHs

13、GsHsGssSss：位置無偏系數，則令ppssSpKKsHsGK11)()(lim0：速度無偏系數，則令vvssSvKKsHssGK1)()(lim02、斜坡輸入下的穩態偏差及速度無偏系數)()(1sHssG)()(11lim20sHsGssSss)()(11lim30sHsGssSss3、拋物線輸入時的穩態偏差和加速度無偏系數：加速度無偏系數，則令aassSaKKsHsGsK1)()(lim20)()(12sHsGs若開環傳函為：環節的個數：開環傳函中串聯積分：時間常數，系統開環增益iinmTKsTsTsTssssKsHsG:) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121四、

14、系統結構（開環傳函）對穩態偏差的影響）系統系統型、型、型、型型、型、型、型分別稱為分別稱為，03210 1、0型系統0) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121sTsTsTsssKsHsGnmKsHsGKSp)()(lim00)()(lim0sHssGKSv0)()(lim20sHsGsKSan相應階躍、斜坡、拋物線輸入的穩態偏差X(t)無偏系數穩態偏差1(t)kp=K1/(1+k)tkv=01/ kv=(1/2)t2ka=01/ ka =0型系統沒有積分環節存在，對階躍輸入的穩態偏差為一定值，與開環增益有關，K越大，穩態偏差越小，對階躍信號系統是有差系統。2、型系統1) 1

15、() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121sTsTsTssssKsHsGnm)()(lim0sHsGKSpKsHssGKSv)()(lim00)()(lim20sHsGsKSan相應階躍、斜坡、拋物線輸入的穩態偏差X(t)無偏系數穩態偏差1(t)Kp= 1/(1+ Kp)0tKv=K1/ Kv1/K(1/2)t2Ka=01/ Ka 型系統對階躍輸入是無差系統，斜坡輸入的穩態偏差與開環增益成反比。3、型系統2) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(21221sTsTsTssssKsHsGnm)()(lim0sHsGKSp)()(lim0sHssGKSvKsHsGsKSa)

16、()(lim20n相應階躍、斜坡、拋物線輸入的穩態偏差X(t)無偏系數穩態偏差1(t)Kp= 1/(1+ Kp)0tKv= 1/ Kv0(1/2)t2Ka= K1/ Ka 1/K型系統對階躍信號和斜坡信號為無差系統，對拋物線輸入是有差的，穩態偏差是有限值，與開環增益成反比。小結1）系統型別、輸入形式和系統穩態偏差及靜態無偏系數關系如下單位階躍輸入單位階躍輸入單位斜坡輸入單位斜坡輸入單位拋物線輸單位拋物線輸入入KpssKvssKass0k1/(1+k)000k1/k000k1/k2）由上表看出，當輸入信號確定后，減小系統穩態偏差的措施是：（A）提高系統型別，增加開環傳函中串聯積分環節數；（B）增

17、大開環增益。由系統穩定性可知，采取上述措施，穩定性下降，因此調整參數和校正系統必須兼顧上述兩方面性能指標。3）對于任意信號x(t)，可用泰勒級數展開為 2210221)0(! 21)0()0()(tataatxtxxtxavpsskakaka21014）對于單位負反饋系統，穩態誤差等于穩態偏差。 對于非單位負反饋系統，有：)0()0()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim00010HHtsHssEsHssESsEteesstsssstss作用在被控對象上的擾動是使輸出變化的主要擾動輸入，稱為主擾動。五、與干擾有關的穩態誤差G1(s)Xo(s)Xi(s)H(s)-+G2

18、(s)N(S)+E(s)n令xi(t)=0E(s)N(s)H(s)+G2(s)G1(s)-1)(1)(212sNHGGHGsEN)()1(lim)(lim)(lim21200sNHGGHGsssEtsNstssNn結論：結論：1、系統對擾動作用的穩態偏差決定于擾動作用、系統對擾動作用的穩態偏差決定于擾動作用的形式、的形式、G1(s)中積分環節數和放大系數中積分環節數和放大系數K1，與與G2(s)、H(s)中積分環節數無關。中積分環節數無關。對于階躍擾動，偏差為零的條件是擾動作用點對于階躍擾動，偏差為零的條件是擾動作用點之前的前向回路至少含有一個積分環節；之前的前向回路至少含有一個積分環節；對于斜坡擾動，偏差為零的條件是擾動作用點對于斜坡擾動，偏差為零的條件是擾動作用點之前的前向回路至少含有兩個積分環節；之前的前向回路至少含有兩個積分環節；2、擾動引起的輸出就是擾動引起的誤差。擾動引起的輸出就是擾動引起的誤差。2112( )( )( )( )1NNEsGEsN sH sGG H 212( )( )1ONGXsN sGG H而例1，單位反饋系統的開環傳遞函數為輸入信號為 ，其中A為常量， 弧/秒，試求系統的穩態誤差。)