1、VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS2.4簡諧激勵下的無阻尼強迫振動一、運動微分方程及其解動力平衡方程為:11( )0myk yF t若干擾力為簡諧荷載：( )sinF tFt2sinFyytm則動力方程為：化為標準形式:本節討論簡諧激勵作用下無阻尼系統的強迫振動。外界的激勵有兩類，一是持續的激勵力；一類是持續的支座運動。激勵可能是周期的也可能是非周期的。VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS該方程為二階常系數線性非齊次方程，其通解為齊次方程的通解加上非齊次方程的任意一個特解?，F在尋找非齊次方程的特解，設其一個特解為齊次方程的通解在前面討論過，即為12( )cos

2、()siny tCtCt*( )siny tAt代入微分方程，有22sinsinsinFAtAttm解得st222222111FFAymm其中st211FFymk激勵力幅值引起的靜位移激勵力頻率與固有頻率之比，也稱為無量綱化的激勵力頻率VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS則非齊次方程的通解為*12st21( )( )cos()sinsin1y ty tyCtCtyt假設初始條件為00(0),(0)yyyy令解滿足初始條件，可以確定積分常數0102st2=,=1yCyCy故運動微分方程的通解為00st21( )cos()sin(sinsin)1yy tyttytt第三項：純強迫振

3、動，穩態受迫振動前兩項：初始條件決定的自由振動，初始自由振動第四項：伴隨激勵力而產生的自由振動，伴隨自由振動可以看到，即使初始條件為零，仍然有伴隨自由振動發生VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMStAtysin)(實際上，由于阻尼的存在，自由振動部分很快會衰減掉，過渡階段很短，很快就只剩下了穩態的強迫振動部分，因而這一部分應引起格外關注穩態解為22()FAm22211stFym-穩態振幅112stFyFm靜位移2221111/位移動力系數動力系數的性質：無量綱；只與激勵力頻率和固有頻率的比值有關，與其它因素無關；其值可大于或小于1、可正可負，正號表示位移與激勵的相位差為零（同步）

4、，負號表示位移落后激勵力的相位差為180度（反拍）。VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS二、幅頻響應曲線和振動特征重要的特性：當/0時, 1，荷載變化得很慢，可當作靜荷載處理。當0 / 1，并且隨/的增大而增大。1023123當/ 1時, 。即當荷載頻率接近于自振頻率時，振幅會無限增大。稱為“共振”。通常把0.75 / 1時, 的絕對值隨/的增大而減小。當很大時，荷載變化很快，結構來不及反應, 0 。VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS必須指出，上述的幅頻響應曲線只是振動系統穩態運動的情形，亦即激勵力頻率固定在某一值相當時間使振動達到穩定以后的情況。上述共振時振

5、幅在理論上將趨向無窮大，實際上是不可能的，因為：實際系統不可能完全沒有阻尼，而只要有極微小的阻尼就足以限制振幅的無限擴大；sinyAtsinyBtt,BVIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS22cossinyBtBttyy 和2sinFyytm整理后得2coscossinsinsinFBtttm22FBmsincos222FtFtyttmm( )y t2F tm2F tmVIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS三、“拍”的現象現在，我們來關注一下強迫振動的過渡階段，為簡單起見，假設初始條件均為零，此時，系統在過渡階段響應總和為stst2221( )(sinsin)(s

6、insin)1()Fy tyttyttm當激勵力的頻率與系統的固有頻率接近時，設2為小量 則222222( )(sinsin)()sinsinsinsin()22cossin2 sincos()22sincos2Fy tttmFttttmFttttmFttm VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS上式可以看作是振幅按sin2Ftm逐漸變化，頻率為的簡諧振動，其振動的曲線如圖所示( )y t2sinFttm2sinFttm2Ftm2這種特殊的振動現象稱作是“拍”/ 拍的周期為拍的周期很長，因此實際振動的振幅變化較慢。在實驗過程中，很慢地調頻到接近共振時，系統的振幅會出現周期性忽大忽

7、小的變化，就是因為產生拍的現象。0sinlim1tt由于 故 ( )sincoscos22FFty ttttmm也得到了振幅隨時間線性增大的結論，并說明了共振的建立過程。VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMSEIPlllPlEIyst34856522211解:5 .0例:求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖.已知tPsinEIl/2l/2)(tyAm2A34/1122EIPlyAst3365sty=1112/Pll四、結構最大位移和內力計算因為tAtysin)(tAtysin)(2 2( )sinIF tmAt( )sinF tFt可以看到:干擾力與慣性力同頻同步變化,故只需要將干擾力幅

8、值和慣性力幅值同時加在結構上,此時產生的內力即最大內力.VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS22Imax11144AFmAmAP485PP485Pl965Pl4829解: :例:求圖示體系右端的質點振幅tPsinlkEIll109emm49ekk若選右端質點豎向位移為廣義坐標，其等效質量和剛度為410eekkmm固有頻率為VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS動力系數222121/25kkm 34stPyk靜力位移振幅22233254410stkPPAykmkkm 0oMkmPA41032也可以直接根據平衡方程來求AP2mA231mAAk32o因為此時，慣性力和外

9、荷載同步，只需要把最大慣性力、最大彈性力和最大荷載幅值同時加在結構上，如圖VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS解: :例:求圖示體系彈簧支座的最大動反力。sinqtkEIll/23mABCD系統一定和干擾力作同步簡諧振動。設A點振幅為A，則當振幅最大時，將系統中的最大干擾力、最大慣性力以及最大彈性力同時加在結構中，然后由0BM 223 3332022 432ll lmlmAqAk Al2916()qlAkm得于是，彈簧的最大反力為max2928(1/ )RqlFk AmkVIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS例:求圖示體系質點處的振幅、 B點動力位移幅值，并繪制最

10、大動力彎矩圖。已知sinFtEIl/2l/236EIml3111 112 2 2 324llllEIEI解:34/11223max12536CFlyFEI1F l/21M圖1F l2M 圖3121 1552 2 2 648lllFEIEI311124EImml32Imaxmax3655366CEIFlFmymFmlEIFmaxM圖56F/2Fl17 /12Fl3max2max121288BMMFlyEIEIVIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS可見，二者的合力相當于將激勵力乘了一個位移動力系數，此時，可直接將干擾力幅值乘以動力系數按靜力方法來計算即可。 若動荷載作用于質點運動方向

11、時(激勵力與慣性力方向一致)，二者的合力222222222111111( )( )sinsinsinsinsinsinsinsinIF tF tmAtFtmAFtFmFtFtmFtFtFtVIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS計算步驟: 1.計算荷載幅值作為靜荷載所引起的位移、內力； 2.計算動力系數； 3.將得到的位移、內力乘以動力系數即得動位移幅值、動內力幅值。 例 求圖示體系振幅和動彎矩幅值圖，已知5 . 0sinFt1EIEIEIFPl/4解. 31124lEIk31124stFFlykEI34/11223118stFlAyEIPl/3動彎矩幅值圖VIBRATIONS O

12、F SDOF SYSTEMS例：已知m=300kg，I=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1求梁中點的位移幅值及最大動力彎矩。2mEImkPsint2m解：1)求3333121 15482 248192192llllEIkEIEIEI1316.13451921smlEIm2)求動力放大系數2211.55213333max551.552 20 105 45.75 10 m192192 90 10lyPPEI 3)求ymax， Mmaxmax11()1.552 20 431.04kN.m44MP lVIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS2m2m例題4

13、10=205.8GPa, =245cm , =100 kg, =40kg , =500/=0.4 mmEImmNe簡支梁由號工字鋼做成，動力機械質量旋轉部分質量轉速轉 分，質心偏心距。不計梁自重，不計阻尼，求梁中點的振幅。1p 1圖圖1M解： m/N6112124(1 2)2.64 10233EIEI 6111161.5 1/s100 264 10md22340 (52.3)0.4 1043.76NPme64113.613 2.64 1043.764.17 10sAyPm 2500252.3 1/s6060N2222113.6131/1 52.3 /61.5VIBRATIONS OF SDOF

14、 SYSTEMS2.5簡諧激勵下的有阻尼強迫振動一、動力方程及其解設11sinmycykyFt或22sinFyyytm通解)()()(*tytyty12( )(sincos)tddy tectcttDtDtysincos)(21*12222222()4FDm 222222222()4FDm )sin()(*tAty222221(1)4FAm /22tan1代入動力方程得于是得到非齊次方程的一個特解VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS1d2d( )(sincos)sin()ty tectctAt00)0()0(yyyy若初始條件為代入一般解,可確定待定系數.方程的通解即可寫為00

15、1dsincosyyAAc20sincyA故微分方程的解可寫為00d0ddddd( )sincossincossinsincossin()ttyyy tetytAettAtVIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS1122( )sin()sin() sin()ttddy tAetA etAt0100tandyyy220010()dyyAy222222tan2(-)d 其中22222222222(2)2()(-)(2)ddFAm 也可寫為初始條件自由振動伴隨自由振動純受迫振動1122( )sin()sin() sin()ttddy tAetA etAtVIBRATIONS OF SDO

16、F SYSTEMS平穩階段：后來只按荷載頻率振動的階段。很明顯，振動開始三種振動同時存在，但無論是初始自由振動還是伴隨自由振動，都含有一個負指數冪因子，隨著時間的延伸，必定會衰減掉，最后只剩下穩態的強迫振動，從而，在而達到平穩階段。( )sin()y tAtstAy/22tan122221(1)4 2stFymVIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS線性系統對簡諧激勵的穩態響應是:頻率等同于激勵力頻率而相位滯后于激勵力的簡諧振動.穩態響應的振幅和相位只取決于系統本身的參數和激勵力的頻率與力幅,而與系統的初始條件無關.如果以動力系數為縱坐標、以無量綱頻率為橫坐標畫出的曲線稱為幅頻特性

17、曲線二、穩態響應的特征( ) VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS當1,/0即時222211(1)4 1,即時222210(1)4 當此時系統的振幅很小，質點在平衡位置作微幅顫動1,即時2222112(1)4 當此時系統的振幅急劇增大，若不考慮阻尼，其振幅將會是無窮大，即出現共振現象響應的振幅與靜移相當，接近靜荷載情況。11和在以上兩個區域VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS此時動力系數受阻尼影響非常顯著，在0.75 / T/2最大動位移發生在階段ysty(t)t023T最大動反應)cos1 ()(tytyststyy2max2）當tT/2最大動位移發生在階段2

18、11( )2sinsin()22sttty tyt1max2sin2sttyy12sin2t1tT1/611/22動力系數反應譜(與T和u之間的關系曲線)VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS例例011sin(0)( )0() FtttF ttt 求系統的響應。1(0, )t半正弦脈沖激勵力作用設無阻尼質量彈簧系統在時間內受到0F()Ftt1t1/ t 解代入杜哈梅積分0000221( )( )sin()d1sinsin()d(sinsin)() ttx tFtmFtmFttk 10tt 時VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS在1tt時100001111221( )( )s