1、第十四章極限與導數（高中數學競賽標準教材）第十四章極限與導數一、基礎知識.極限定義：若數列un滿足，對任意給定的正數£,總存在正數，當n>且nN時，恒有|un-A|f且f=，貝Uc,且f為最大值，故，綜上得證。.Lagrange中值定理：若f在a,b上連續，在上可導，則存在E,使證明令F=f-,則F在a,b上連續，在上可導，且F=F,所以由13知存在E使=0,即.曲線凸性的充分條件：設函數f在開區間I內具有二階導數，如果對任意xI,貝y曲線y=f在I內是下凸的；如果對任意xI,則y=f在I內是上凸的。通常稱上凸函數為凸函數，下凸函數為凹函數。.琴生不等式：設a1,a2,anR+

2、,a1+a2+an=1。若f是a,b上的凸函數，貝»x1,x2，,xna,b有f<a1f+a2f+anf.二、方法與例題.極限的求法。例1求下列極限：；解=;當a>1時，當00,求函數f=-ln）的單調區間。解，因為x>0,a>0，所以x2+x+a2>0;x2+x+a+1時，對所有x>0,有x2+x+a2>0,即>0,f在上單調遞增；當a=1時，對x工1,有x2+x+a2>0,即，所以f在內單調遞增，在內遞增，又f在x=1處連續，因此f在內遞增；當00,解得x2-a+，因此，f在內單調遞增，在內也單調遞增，而當2-a-2x.證明設

3、f=sinx+tanx-2x，則=cosx+sec2x-2，當時，所以=cosx+sec2x-2=cosx+.又f在上連續，所以f在上單調遞增，所以當x時，f>f=0，即sinx+tanx>2x.利用導數討論極值。例8設f=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時f在x1與x2處是取得極大值還是極小值。解因為f在上連續，可導，又f在x1=1,x2=2處取得極值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以當x時，所以f在時，所以f在1,2上遞增；當x時，所以f在2,+8）上遞減。綜上可知f在x1=1處取得極小值，在x2=2處取得極大例9設x0,n

4、,y0,1,試求函數f=sinx+sinx的最小值。解首先，當x0,n,y0,1時，f=sinx+sinx=2x=2x，令g=,當時，因為cosx>0,tanx>x，所以；當時，因為cosxO，所以；又因為g在上連續，所以g在上單調遞減。又因為0g，即，又因為，所以當x,y時，f>0.其次，當x=0時，f=0;當x=n時，f=sinn0.當y=1時，f=-sinx+sinx=0；當y=1時，f=sinx>0.綜上，當且僅當x=0或y=0或x=n且y=1時，f取最小值0。三、基礎訓練題.已知，貝Ua-b=.計算.若f是定義在上的偶函數，且存在，則.函數f在上可導，且，則.

5、若曲線f=x4-x在點P處的切線平行于直線3x-y=0,則點P坐標為.函數f=x-2sinx的單調遞增區間是.0.函數的導數為.1.若曲線在點處的切線的斜率為，求實數a.求sin290的近似值。3.設00時，比較大小：Inx.函數f=x5-5x4+5x3+1,x卜1,2的最大值為，最小值為.0.曲線y=e-x在點處的切線I與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S,則S的最大值為.1.若x>0,求證：Inx>2.函數y=f在區間內可導。導函數是減函數，且>0,x0.y=x+是曲線y=f在點）處的切線方程，另設g=x+,用x0,f,表示；證明：當x時，g>f;若關于x的不等式x2+1>ax+b在上恒成立，其中a,b為實數，求b的取值范圍及a,b所滿足的關系。3.設各項為正的無窮數列xn滿足lnxn+,證明：xn<1.五、聯賽一試水平訓練題.設n=n