1、第二節 完全信息動態搏弈 -子博弈精煉納什均衡n一 博弈擴展式表述n二 子博弈精練納什均衡n三 應用舉例 戰略式主要用于描述和分析靜態博弈，給出的是參與人有什么戰略可供選擇，用博弈支付矩陣表示；擴展式主要用于描述和分析動態博弈，給出的是參與人的相機行動規則（依據條件選擇行動），用博弈樹表示。無圈的連通圖（每一對定點之間至少存在一條鏈）是樹圖。 博弈的擴展式表述所“擴展”的主要是參與人的戰略空間。一 博弈擴展式表述博弈的戰略表述案例- 房地產開發項目-假設有A、B兩家開發商市場需求：可能大，也可能小投入：1億v假定市場上有兩棟樓出售：需求大時，每棟售價1.4億，需求小時，售價7千萬；v如果市場上

2、只有一棟樓需求大時，可賣1.8億需求小時，可賣1.1億博弈戰略表述40004000，4000400080008000，0 00 0，800080000 0，0 0不開發開發商A開發不開發開發-3000-3000，-3000-300010001000，0 00 0，100010000 0，0 0不開發開發商B開發商A開發不開發開發開發商B需求小的情況需求小的情況需求大的情況需求大的情況博弈的戰略式表述一 博弈擴展式表述n博弈的擴展式表述包括三個要素:參與人集合每個參與人的戰略集合由戰略組合決定的每個參與人的支付進入者進入不進入（0，300）在位者市場進入阻撓博弈樹不可置信威脅合作（40，50）斗

3、爭（-10，0）A開發不開發NN大小1/21/2大小1/21/2BBBB開發不開發開發不開發開發不開發開發不開發(4,4)(8,0)(-3,-3)(1,0)(0,8)(0,0)(0,1)(0,0)參與人(A,B,N)戰略支付參與人集合參與人行動順序參與人的行動空間參與人的信息集參與人的支付函數外生事件的概率分布房地產開發博弈結,決策結結,終點結枝結,初始結 信息集一 博弈擴展式表述博弈樹的基本構造l結: 包括決策結和終點結兩類;決策結是參與人行動的始點,終點結是決策人行動的終點.l一般用X表所有結的集合， 表某個特定結。用“ ”定義X上的順序關系（半序）。結的傳遞性：結的反對稱性：xX1122

4、,.xxxxxx則,xxxx如 果則不 成 立 。博弈樹不允許的情況AB一 博弈擴展式表述lx之前的所有結的集合，稱為x的前列集P（x）；lx之后的所有結的集合稱為x的后續集 T（x）。l初始結： 用O表示（空心圓）；l終點結： 用Z表示終點結集合；l決策結：用X表示決策結集合（實心圓）。l博弈樹的結都是所有之前發生事件的一個完整描述（即初始結到任何其他結的路徑唯一）。l傳遞性和反對稱性排除了A的情況，但沒排除B的情況。進一步假定：( ),P x ( ),T x 121221,xxxxxxxxx那么或，也即 的所有前列結必須是全排序的。一 博弈擴展式表述nx(非初始結)的直接前列結p(x):n

5、 任何一個非初始結的直接前列結是唯一的（前列結是全排序的）。n如果 是x的直接前列結，x稱為 的直接后續結。n除終點結沒有后續結外，一個結一般有多個直接后續結（即行動的數量），該集合用t(x).( )( ),( )( ).p xP x stxx xp xxp x即xx一 博弈擴展式表述l在決策結旁標注參與人表示其在該結點行動，定義函數：l即i(x)定義為從決策結集合到參與人的函數，表在決策結參與人i行動。該函數給出了參與人行動的順序。l終點結下標注參與人的支付向量: , z表從初始結到終點結行為人i行動博弈樹路徑。l枝: 枝是從一個決策結到它的直接后續結的連線,每一個枝代表參與人的一個行動選擇

6、. 含行動空間和路徑。n給定決策結 存在一個有限集合A(x)和一個單映射函數 意味對于任意給定的非終結點，可選擇的行動集合A(x)與該節點后續結集合t(x)一 一對應：: ,1,2,i XNn( )iu z: ( )( ).a t xA xxX( ),( )( , )( ,).aA x aA xaat x at x a若且一 博弈擴展式表述l信息集: 每個信息集是決策結集合的一個子集,該子集包括所有滿足下列條件的決策結:1 每個決策結都是同一個參與人的決策結;2 該參與人知道博弈進入了該集合的某個決策結,但不知道自己究竟處于哪一個決策結.n一般用H代表信息集的集合， 代表一個特定的信息集。h(

7、x)表包含決策結x的信息集：在x點決策的參與人i不確定他/她是否處在x還是 即一個決策結僅且只屬于一個信息集： n此外假定 hH( );xh x( )().xh xxh x(1)()( ):(2) ( )()(3) ( )()xP xxP xi xi xA xA x且參與人記得之前的行動；：同一信息的結屬同一參與人；：同一信息結的行動空間相同。A開發不開發NN大小1/21/2大小1/21/2BBBB開發不開發開發不開發開發不開發開發不開發(4,4)(8,0)(-3,-3)(1,0)(0,8)(0,0)(0,1)(0,0)圖2.1房地產開發博弈A開發不開發NN大小1/21/2大小1/21/2BB

8、BB開發不開發開發不開發開發不開發開發不開發(4,4)(8,0)(-3,-3)(1,0)(0,8)(0,0)(0,1)(0,0) B在決策時不確切地知道自然的選擇; B的信息集由4個變為2個圖2.3房地產開發博弈A開發不開發NN大小1/21/2大小1/21/2BBBB開發不開發開發不開發開發不開發開發不開發(4,4)(8,0)(-3,-3)(1,0)(0,8)(0,0)(0,1)(0,0) B知道自然的選擇;但不知道A的選擇(或A、B同時決策) 圖2.4房地產開發博弈一 博弈擴展式表述n只包含一個決策結的信息集稱為單結信息集，如果博弈樹的所有信息都是單結的，該博弈稱為完美信息博弈。n完美信息博

9、弈意味著博弈中沒有任何兩個參與人同時行動，且后行動者知道所有前序行動（任何兩個決策結都無虛線相連）。n自然總是假定是單結的，因為自然在參與人決策之后行動等價于自然在參與人之前行動但參與人不能觀測到自然的行動。一 博弈擴展式表述n不同的博弈樹可能代表相同的博弈，但是有一個基本規則：一個參與人在決策之前知道的事情，必須出現在該參與人決策結之前。即如果B在決策時知道A 的選擇，則A的決策結必是B決策結的前列結。n同一參與人在代表同一博弈的不同博弈樹中的信息集的數量必須相同。檢驗圖2.6和圖2.7與圖2.4代表相同的博弈N大小AA開發不開發1/21/2開發不開發1/21/2BBBB開發不開發開發不開發

10、開發不開發開發不開發(4,4)(8,0)(0,8)(0,0)(-3,-3) (1,0)(0,1)(0,0)圖2.6房地產開發博弈:第二種表述N大小BB開發不開發1/21/2開發不開發1/21/2AAAA開發不開發開發不開發開發不開發開發不開發(4,4)(8,0)(0,8)(0,0)(-3,-3) (1,0)(0,1)(0,0)圖2.7房地產開發博弈：第三種表述AB坦白抵賴BBAA坦白抵賴坦白抵賴(-8,-8)(0，-10)(-10,0) (-1,-1)坦白抵賴坦白抵賴坦白抵賴(-8,-8)(0，-10) (-10,0)(-1,-1)囚徒困境博弈的擴展式表述一 博弈擴展式表述智豬博弈的擴展式表述

11、？5，14，49，-10，0等待小豬大豬按等待按案例2-智豬博弈1NLR2UD(a).UDRL1U2L1D圖2.9 參與人不具完美回憶的兩個例子一 博弈擴展式表述LR1R完美回憶：沒有參與人會忘記自己之前知道的事 情，所有參與人都知道自己以前的選擇。(b).一 博弈擴展式表述n為使博弈樹滿足完美回憶“參與人能記著之前知道的所有事情”特征特要求：21121111(1)()(,(2)()(),(3) ( )()(),xh xxxxP xxxi xi xxxix如果和屬同一信息集)是 的前列集中結和 都是的決策結那么，存在一個 ，滿足：212(1)( ),(2)(),(3)xh xxP xxxxx點到達 的行動與 點到達 的行動是一致的。因 和 同屬一個信息集， 是 的前列結，那一定存在 的一個前列結 與 同屬于一個信息集；參與者記住他選擇的行動，從屬于同一信