1、第三章第三章 受迫振動受迫振動 在外部持續激勵作用下所產生的振動 從外界不斷獲得能量補償阻尼消耗的能量，使系統得以維持振動。 研究的次序從簡到繁： 簡諧激勵、周期激勵、非周期激勵本章內容：3.1 對簡諧激勵的響應3.2 復頻率響應3.3 隔振3.4 振動測量儀器3.5 簡諧力與阻尼力的功3.6 等效粘性阻尼3.7 系統對周期激勵的響應 傅里葉級數3.8 系統對任意激勵的響應 卷積積分3.9 系統對任意激勵的響應 傅里葉積分3.10 用拉普拉斯變換法求系統響應 傳遞函數3.11 復頻率響應與脈沖響應之間的關系3.1 對簡諧激勵的響應tFtFkxxcxmsin)(0 xkcF(t)mkxxcF(t

2、)（3.1.1）0F外力幅值外力幅值外力的激勵頻率外力的激勵頻率立動力學方程：非齊次微分方程非齊次微分方程通解通解齊次微分方程齊次微分方程通解通解非齊次微分方程非齊次微分方程特解特解阻尼自由振動阻尼自由振動逐漸衰減逐漸衰減瞬態振動瞬態振動持續等幅振動持續等幅振動穩態振動穩態振動本節內容本節內容先求穩態響應穩態響應即方程的特解。它也是簡諧振動)sin(2tXx（3.1.2）其中X為穩態響應的振幅振幅，代入方程，得到：tFtXctmkXsin)cos()sin()(02)sin(0tF由方程非齊次項的形式判斷，特解也是簡諧函數，設為：為相位差相位差，是待定常數。sin)cos(cos)sin(00

3、tFtF比較方程等號兩邊同類項系數，得到：),(cos20mkXFXcFsin02220)()(cmkFX2tanmkc分子分母同除以k，并利用2220)()(cmkFX2tanmkc)sin(2tXxmknkmc22220)2()1 (/kFXn頻率比頻率比212tan（3.1.2）從特解看出（3.1.7）（3.1.10）得到：2220)2()1 (1)(XXkFX00常值力常值力F0作用下的作用下的靜變形靜變形0XX放大因子放大因子（幅頻特性）幅頻特性）幅頻特性曲線幅頻特性曲線 0123012345)(01 . 025. 0375. 05 . 01隨隨 的增大，的增大， 先由小變大，先由小

4、變大，后從大變小后從大變小. . )(11n）當（11)(lim0響應的振幅與靜變形相當響應的振幅與靜變形相當. 引入： 穩態響應特性穩態響應特性激振頻率遠大于系統固有頻率激振頻率遠大于系統固有頻率 結論：響應的振幅可能很小結論：響應的振幅可能很小.0)(lim0123012345)(01 . 025. 0375. 05 . 012220)2()1 (1)(XX結論：在結論：在遠離遠離1時，系統即使按無阻尼情況考慮也是可以的時，系統即使按無阻尼情況考慮也是可以的 對應于不同對應于不同 值值,曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著 在在 遠離遠離1時，時，)(12n

5、）當（ 穩態響應特性穩態響應特性結論：共振，結論：共振， 振幅無窮大振幅無窮大.（3）當）當1n對應于較小對應于較小 值，值， 迅速增大迅速增大 )(s當當0)(但共振對于來自阻尼的影響很敏感，在但共振對于來自阻尼的影響很敏感，在 =1 附近的區域內，附近的區域內，增加阻尼使振幅明顯下降增加阻尼使振幅明顯下降, 阻尼較強時振幅變化平緩。 0123012345)(01 . 025. 0375. 05 . 012220)2()1 (1)(XX1若,21.200ncFXX1振幅無極值振幅無極值 當當2/1 穩態響應特性穩態響應特性（4）對于有阻尼系統，）對于有阻尼系統， 并并不出現在不出現在 =1處

6、，而且稍偏左處，而且稍偏左 max0dd2max12122102108)1 (4)2()1(2122222/3222共振峰共振峰0123012345)(01 . 025. 0375. 05 . 012220)2()1 (1)(XXdcFXX020max12 相頻特性相頻特性相頻特性曲線相頻特性曲線 2112)(tg以以為橫坐標畫出為橫坐標畫出 曲線曲線 )(相位差相位差 0響應與激振力近乎同相響應與激振力近乎同相響應與激振力反相響應與激振力反相 （3）當）當1n共振時的相位差為共振時的相位差為 ，與阻尼無關，與阻尼無關 2)(0123090180)(11n）當（)(12n）當（有阻尼單自由度系

7、統幾個圖形比較有阻尼單自由度系統幾個圖形比較外部作用力規律：外部作用力規律：tFtFcos)(0假設系統固有頻率：假設系統固有頻率：1n從左到右：從左到右：6 . 1,01. 1, 4 . 0nnn無阻尼時，若無阻尼時，若 =1 ，強迫振動動力學方程為：，強迫振動動力學方程為：tFkxxmsin0 tmtFtxcos2)(02特解為：特解為：無阻尼系統共振時，振幅隨時間無限增大；無阻尼系統共振時，振幅隨時間無限增大；共振現象是工程中需要研究的共振現象是工程中需要研究的)2sin(20tmtF（3.1.18）響應初相位滯后于激勵響應初相位滯后于激勵 /2./2.mtF20重要課題，工程中通常取重

8、要課題，工程中通常取25. 175. 0的區間為共振區，的區間為共振區，在共振區內振動會很強烈，會導致機械變形過大，甚至破壞。在共振區內振動會很強烈，會導致機械變形過大，甚至破壞。 共振時振幅增大過程OtxT無阻尼質量-彈簧系統，方程和初始條件為：000)0(,)0(:0sinxxxxttFkxxm 求系統響應。tmkFtCCxnnsinsincos2012t將初始條件代上式：020201)0(,)0(xmkFCxxCxn200201)/(,mkFxCxCnn例3.1-1解：方程的通解為得：方程的解（系統的響應）為)sin(sinsincos2000ttmkFtxtxxnnnnn方程的全解：初

9、始條件響應初始條件響應自由伴隨振動自由伴隨振動強迫響應強迫響應特點：以系統固有特點：以系統固有頻率為振動頻率頻率為振動頻率如果是零初始條件如果是零初始條件自由伴隨振動自由伴隨振動強迫響應強迫響應)sin(sinsincos2000ttmkFtxtxxnnnnn)sin(sin20ttmkFxnn0)0(, 0)0(:0 xxt討論有阻尼系統對簡諧激勵的響應討論有阻尼系統對簡諧激勵的響應(過渡階段過渡階段)000)0(,)0(sinxxxxtFkxxcxm )sin(sin)cossin(cossin)sincos()(00000tXtteXtxxtxetxddndtddndtnn mknkmc

10、221ndnkFX00222)2()1 (1212arctan初始條件響應初始條件響應自由伴隨振動，也是衰減的自由伴隨振動，也是衰減的強迫振動強迫振動利用前述相同的方法，有：利用前述相同的方法，有：初始條件響應和自由伴隨振動x2tx1t兩種振動疊加的結果如圖。隨著時間的推移，暫態響應逐漸消失，而轉化為穩態響應。xt瞬態過程瞬態過程穩態過程穩態過程穩態振動兩部分都是衰減的自由振動暫態振動包括兩部分：圖示振動系統，剛性桿不計重量，在水平位置平衡，端部受激勵例3.1-2解：設鋼桿擺角為，由動力學得：系統的穩態響應為tlFklclmlsin3940222 kcFmlll試列出振動微分方程，tFFsin

11、0并求當=n時質點的振幅。)sin(0tXxtFkxxcxmsin3940 令mcn42mkn9kFkFX393000，得由lx 21質點的振幅為20XX nmckF/43/0ncF430kmcF403.2 復頻率響應)sin(cos)(00titFeFtFtixkcF(t)mkxxcF(t)動力學方程（非齊次微分方程）：tieFkxxcxm0 （2.1.2） 激勵為復變量，其實部和虛部分別表示對系統作用的是余弦激勵和正弦激勵。kxxceFxmti 00F外力幅值外力幅值外力的激勵頻率外力的激勵頻率F為復數形式復數形式的求解有時更方便 響應 x 也為復變量，其實部和虛部分別表示系統對余弦激勵和

12、正弦激勵的響應。穩態響應穩態響應也是簡諧振動（復數形式）：)sin()cos()(titXXexti（3.2-3）其中X為穩態響應的復振幅，復振幅，為相位差相位差。代入方程，得到：titieFekicmX0)(2)(keFXeHtiti/)(0)(（3.2-5）H()為激勵頻率的復函數，稱為復頻率響應（函數）復頻率響應（函數）。icmkFXei20顯見x(t)與F(t)/k成正比，比例系數為：icmkk22112i（3.2-6）H()的絕對值是振幅與靜變形之比，即放大因子。iH211)(2（3.2-7）為求出相位差相位差，由（3.2-6）式得：212arctan)(222211）（）（對比等號

13、兩邊同類項系數得：211)sin(cos20ikFiXXei22220)2()1 (21ikF也稱相頻特性H()又稱為幅頻特性幅頻特性。不平衡質量激發的強迫振動。P41圖3.2-2兩個偏心質量m/2以角速度按相反方向轉動，偏心距e，例3.2-1解：設機器的鉛直方向位移為x，動力學方程：0)sin()(2222kxdtdxctexdtdmdtxdmM求系統強迫振動.機器總質量M。tmekxxcxMsin2 )Im(2tieme的答案。的解，其虛部就是本題求tiemekxxcxM2 ，則：設方程的解為)(tiXex2222)2()1 (1kmeX0F212arctanMknn,其中機器的振幅可改為

14、：機械的振動為2222)2()1 ()sin()sin(tkmetXx212arctan初相角為)(2HkmeX 2222)2()1 (1)(nMme2222)2()1 (Mme)(2HmeMX0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 meMX1 0 0190180支承激勵引起的強迫振動。例3.2-2解：設質量只能作鉛直方向運動，位移為x，0)()(yxkyxcxm 有，則：設方程的解為)(tiXexYiXeii)21 ()212（mknn,其中)(tx)(tyc2km2k支承的運動為y:tYysinyckykxxcxm yyxxxnnnn 2222)Im(tiYe21212iiYX

15、)()2(12H2222)2()1 ()2(1，解為)(tiXexYiXeii)21 ()212（)(tx)(tyc2km2k)sincosiYXeYXi（223)2(12tan2222)2()1 ()21)(21 (ii21212ii222322)2()1 (2)2(1i2121Im2tiYeiix實際振動為)2()1 ()2(1Im)(2222tiYe)sin()2()1 ()2(12222tY幅頻曲線幅頻曲線0110 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 YX2可看出：可看出：當當 時，時，21YX振幅恒為支承運動振幅振幅恒為支承運動振幅Y當當 時，時，21YX振幅恒小于振幅恒小于

16、Y這時，增加阻尼反而使振幅增大這時，增加阻尼反而使振幅增大2222)2()1 ()2(1YX3.3 隔振隔振 機器設備運行會產生振動，為減少對環境的影響，通常在機器機器設備運行會產生振動，為減少對環境的影響，通常在機器底部加裝彈簧、橡膠等，相當于彈簧和阻尼。底部加裝彈簧、橡膠等，相當于彈簧和阻尼。隔振前機器傳到地基的力：隔振前機器傳到地基的力：tieF0隔振材料：隔振材料：k，c隔振后系統響應隔振后系統響應x：222)2()1 (1)(0tiekFx212arctanmtieF0隔振前隔振前kcm隔振后隔振后tieF0tieFkxxcxm0 隔振后通過彈簧和阻尼傳到地基的力：隔振后通過彈簧和阻

17、尼傳到地基的力：kxxcFT )(0)(tiekFick222)(0)2()1 ()21 (tieFi通過通過k、c傳到地基上的力：傳到地基上的力：kcm隔振后隔振后tieF0)(0222)2()1 ()21 (tiTeFiF22220)2()1 ()2(1FFT這是實際傳遞力的力幅與激這是實際傳遞力的力幅與激勵力幅之比，稱為勵力幅之比，稱為傳遞率傳遞率.也稱也稱隔振系數隔振系數0110 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 0FFT2(1) 不論阻尼大小，只有當阻尼比不論阻尼大小，只有當阻尼比 時，才有時，才有隔振效果隔振效果. .2(2)后傳遞但在趨于增加，傳遞率降低，并后，隨著5. 02.率變化很小.52 . 2了之間隔振效果已經足夠值在實際上取(3)隔振。即此時最大阻尼不利于傳遞率提高增大若時.,2 3.4 振動測量儀器振動測量儀器 tiYety)(基礎位移基礎位移動力方程動力方程 ：0)(kxxcyxm tiemYkxxcxm2 YX2222)2()1 (振幅振幅 ：kcm)(ty設x 為為 m 相對于外殼的相對位移相對于外殼的相對位移解為解為 ：)(2)(tieHYxmknn,其中0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 YX1 0