1、1.3 1.3 簡單幾何體的表面積和體積簡單幾何體的表面積和體積回憶復(fù)習(xí)有關(guān)概念回憶復(fù)習(xí)有關(guān)概念1、直棱柱：、直棱柱：2、正棱柱：、正棱柱：3、正棱錐：、正棱錐：4、正棱臺：、正棱臺：側(cè)棱和底面?zhèn)壤夂偷酌娲怪贝怪钡睦庵兄崩庵睦庵兄崩庵酌媸钦噙呅蔚牡酌媸钦噙呅蔚闹敝崩庵姓庵庵姓庵酌媸钦噙呅危酌媸钦噙呅危旤c在底面的射影是底面中心頂點在底面的射影是底面中心的棱錐的棱錐正棱錐正棱錐被平行于底面的平面所截，被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫正棱臺截面和底面之間的部分叫正棱臺作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺各一個，找作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺各一個，找出出斜高

2、斜高CBAA1B1C1COBAPDC1D1A1ODBACB1斜高的概念2、分別作出一個圓柱、圓錐、圓臺，并找出旋轉(zhuǎn)軸、分別作出一個圓柱、圓錐、圓臺，并找出旋轉(zhuǎn)軸分別經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸作一個平面，觀察得到的軸截面是分別經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸作一個平面，觀察得到的軸截面是 什么形狀的圖形什么形狀的圖形.ABCDABCABCD直棱柱：設(shè)棱柱的高為直棱柱：設(shè)棱柱的高為h，底面多邊形的周長為，底面多邊形的周長為c，則則S直棱柱側(cè)直棱柱側(cè) .圓柱：如果圓柱的底面半徑為圓柱：如果圓柱的底面半徑為r，母線長為，母線長為l，那么，那么S圓柱側(cè)圓柱側(cè) .ch2rl知識點一：柱、錐、臺、球的表面積與側(cè)面積知識點一：柱、錐、臺、球的表面

3、積與側(cè)面積(1)柱體的側(cè)面積把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？chhcbaS )（直棱拄側(cè)直棱拄側(cè)habcabchh思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖展開的圖形與原圖 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？rlr2 長長寬寬llSSr2 長長方方形形圓圓柱柱側(cè)側(cè) 正棱錐：設(shè)正棱錐底面正多邊形的周長為正棱錐：設(shè)正棱錐底面正多邊形的周長為c，斜，斜高為高為h，則，則S正棱錐側(cè)正棱錐側(cè) .圓錐：如果圓錐的底面半徑為圓錐：如果圓錐的底面半徑為r，母線長為，母線長為l，那，

4、那么么S圓錐側(cè)圓錐側(cè) .12chrl(2)錐體的側(cè)面積錐體的側(cè)面積把正三棱錐側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？hh21chS正棱錐側(cè)正棱錐側(cè)思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖展開的圖形與原圖 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？rl180lnl 扇扇lR 扇扇rllllnSS 扇扇扇扇圓圓錐錐側(cè)側(cè)213602 正棱臺：設(shè)正正棱臺：設(shè)正n棱臺的上底面、下底面周棱臺的上底面、下底面周長分別為長分別為c、c，斜高為，斜高為h，則正，則正n棱臺的側(cè)面積公棱臺的側(cè)面積公式：式：S正

5、棱臺側(cè)正棱臺側(cè) . 圓臺：如果圓臺的上、下底面半徑分別為圓臺：如果圓臺的上、下底面半徑分別為r、r，母線長為，母線長為l，則，則S圓臺側(cè)圓臺側(cè) 12(cc)hl(rr)(3)臺體的側(cè)面積臺體的側(cè)面積注注：表面積側(cè)面積底面積：表面積側(cè)面積底面積把正三棱臺側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？hh) 21hccS （正棱臺側(cè)正棱臺側(cè)思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖展開的圖形與原圖 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？1r2rllrrSS)21 （扇環(huán)扇環(huán)圓臺側(cè)圓臺側(cè) 例1：一個

6、正三棱臺的上、下底面邊長分別是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱臺的側(cè)面積. 分析：關(guān)鍵是求出斜高，注意圖中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E例3：圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，高為 ，求其側(cè)面展開圖扇環(huán)所對的圓心角32分析：抓住相似三角形中的相似比是解題的關(guān)鍵小結(jié)：1、抓住側(cè)面展開圖的形狀，用好相應(yīng)的計算公式，注意逆向用公式； 2、圓臺問題恢復(fù)成圓錐圖形在圓錐中解決圓臺問題，注意相似比.答：1800例：圓臺的上、下底半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是1800，那么圓臺的側(cè)面積是多少？（結(jié)果中保留）小結(jié)：1、弄清楚柱、錐、臺的側(cè)面展開圖的形狀是關(guān)鍵；

7、2、對應(yīng)的面積公式)cc21hS（正正棱棱臺臺C=021chS三三棱棱錐錐C=CchchS 直直棱棱柱柱S圓柱側(cè)= 2rlS圓錐側(cè)= rlS圓臺側(cè)=（r1+r2)lr1=0r1=r2例1：一個正三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側(cè)棱長為4，則其側(cè)面積為 _;答：60例2：正四棱錐底面邊長為6 ,高是4，中截面把棱錐截成一個小棱錐和一個棱臺，求棱臺的側(cè)面積79答： 例例3 已知棱長為已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面，各面均為等邊三角形的四面體體S-ABC，求它的表面積，求它的表面積 DBCAS 分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形組成組成因為

8、因為BC=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面體因此，四面體S-ABC 的表面積的表面積交交BC于點于點D解：先求解：先求 的面積，過點的面積，過點S作作 ，ABCBCSD 例例4(2010年廣東省惠州市高三調(diào)研年廣東省惠州市高三調(diào)研)如圖，已如圖，已知正三棱柱知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長是的底面邊長是2，D，E是是CC1，BC的中點，的中點，AEDE.(1)求此正三棱柱的側(cè)棱長；求此正三棱柱的側(cè)棱長；(2)正三棱柱正三棱柱ABCA1B1C1的表面積的表面積【思路點撥思路點撥】(1)證明證明AED為直為直角三角形，然后求側(cè)棱長；

9、角三角形，然后求側(cè)棱長；(2)分別求出分別求出側(cè)面積與底面積側(cè)面積與底面積【點評點評】求表面積應(yīng)分別求各部分面的面積，所求表面積應(yīng)分別求各部分面的面積，所以應(yīng)弄清圖形的形狀，利用相應(yīng)的公式求面積，規(guī)則的圖以應(yīng)弄清圖形的形狀，利用相應(yīng)的公式求面積，規(guī)則的圖形可直接求，不規(guī)則的圖形往往要再進行轉(zhuǎn)化，常分割成形可直接求，不規(guī)則的圖形往往要再進行轉(zhuǎn)化，常分割成幾部分來求幾部分來求思考：怎樣求斜棱柱的側(cè)面積？ 1）側(cè)面展開圖是 平行四邊形 2）S斜棱柱側(cè)=直截面周長側(cè)棱長 3） S側(cè)側(cè)=所有側(cè)面面積之和所有側(cè)面面積之和1高考中對幾何體的表面積的考查一般在客觀題中，高考中對幾何體的表面積的考查一般在客觀題

10、中，借以考查空間想象能力和運算能力，只要正確把握幾何體借以考查空間想象能力和運算能力，只要正確把握幾何體的結(jié)構(gòu)，準確應(yīng)用面積公式，就可以順利解決的結(jié)構(gòu)，準確應(yīng)用面積公式，就可以順利解決幾何體的表面積問題小結(jié)幾何體的表面積問題小結(jié)2多面體的表面積是各個面的面積之和圓柱、多面體的表面積是各個面的面積之和圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和的面積之和3幾何體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理幾何體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理(1)長方體的體積長

11、方體的體積V長方體長方體abc .(其中其中a、b、c為長、寬、高，為長、寬、高，S為底面為底面積，積，h為高為高)(2)柱體柱體(圓柱和棱柱圓柱和棱柱)的體積的體積V柱體柱體Sh.其中，其中，V圓柱圓柱r2h(其中其中r為底面半徑為底面半徑)Sh知識點二柱、錐、臺、球的體積知識點二柱、錐、臺、球的體積(3)錐體錐體(圓錐和棱錐圓錐和棱錐)的體積的體積V錐體錐體 Sh.其中其中V圓錐圓錐 ， r為底面半徑為底面半徑13r2h(4)臺體的體積公式臺體的體積公式V臺臺h(SS)注：注：h為臺體的高，為臺體的高，S和和S分別為上下分別為上下兩個底面的面積兩個底面的面積其中其中V圓臺圓臺 注：注：h為

12、臺體的高，為臺體的高，r、r分別為上、分別為上、下兩底的半徑下兩底的半徑(5)球的體積球的體積V球球 .13h(r2rrr2)13R3例從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱錐ABCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？1求空間幾何體的體積除利用公式法外，還求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一常用分割法、補體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算問題的常用方法些不規(guī)則幾何體體積計算問題的常用方法幾何體的體積小結(jié)幾何體的體積小結(jié)2計算柱體、錐體、臺體的體積關(guān)鍵是根據(jù)計算柱體、錐體、臺體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高

13、，要充分利用多面體條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題問題第一步：分割第一步：分割O O球面被分割成球面被分割成n n個網(wǎng)格，個網(wǎng)格， 表面積分別為：表面積分別為：nSSSS.321，則球的表面積則球的表面積：nSSSSS.321則球的體積為：則球的體積為：設(shè)設(shè)“小錐體小錐體”的體積的體積為：為：iViVnVVVVV.321iSO O知識點三、球的表面積和體積知識點三、球的表面積和體積（O O第二步：求近似和第二步：求近似和O Oih由第一步得由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShS

14、V31313131332211.iiihSV31iSiV第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積RSVii31 如果網(wǎng)格分的越細如果網(wǎng)格分的越細, ,則則: :RSRSRSRSVni3131313132.RSSSSSRni313132).( 由由 得得: :334RV 球的體積球的體積: :2 24 4R RS S iSiVih的值就趨向于球的半徑的值就趨向于球的半徑R RRihiSO OiV“小錐體小錐體”就越接近小棱錐。就越接近小棱錐。設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R，則球的體積公式為，則球的體積公式為V球球 .43R3例例1(2009年高考上海卷年高考上海卷)若球若球O1、O2表表面積

15、之比面積之比4，則它們的半徑之比，則它們的半徑之比_.(1)(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼娜羟虻谋砻娣e變?yōu)樵瓉淼? 2倍倍, ,則半徑變?yōu)樵瓉淼膭t半徑變?yōu)樵瓉淼谋丁１丁?2)(2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼娜羟虬霃阶優(yōu)樵瓉淼? 2倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t表面積變?yōu)樵瓉淼谋丁１丁?3)(3)若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比是，則其體積之比是。(4)(4)若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是。例例2 2：2422:134: 1例例3.3.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱

16、長為的棱長為a,a,它的各個它的各個頂點都在球頂點都在球O O的球面上，問球的球面上，問球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中變題變題1.1.如果球

17、如果球O O和這個正方體的六個面都相切，則有和這個正方體的六個面都相切，則有S=S=。變題變題2.2.如果球如果球O O和這個正方體的各條棱都相切，則有和這個正方體的各條棱都相切，則有S=S=。2a2 2 a 關(guān)鍵關(guān)鍵：找正方體的棱長找正方體的棱長a a與球半徑與球半徑R R之間的關(guān)系之間的關(guān)系OABCO 例例4已知過球面上三點已知過球面上三點A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距離的距離等于球半徑的一半，且等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體，求球的體積，表面積積，表面積解：如圖，設(shè)球解：如圖，設(shè)球O半徑為半徑為R，截面截面 O的半徑為的半徑為r，r332AB2332AO

18、是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例例5、有三個球、有三個球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一一球切于正方體的各側(cè)棱球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的一球過正方體的各頂點各頂點,求這三個球的體積之比求這三個球的體積之比.作軸截面作軸截面規(guī)律方法總結(jié)1直棱柱的側(cè)面展開圖是一些矩形，正棱錐的側(cè)面展開圖直棱柱的側(cè)面展開圖是一些矩形，正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，正棱臺的側(cè)面展開圖是一些全等的是一些全等的等腰三角形，正棱臺的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰梯形等腰梯形2斜棱柱的側(cè)面積等于它的直截面斜棱柱的側(cè)面積等于它的直截面(垂直于側(cè)棱并與每條垂直于側(cè)棱并與每條側(cè)棱都相交的截面?zhèn)壤舛枷嘟坏慕孛?的周長與側(cè)棱長的乘積的周長與側(cè)棱長的乘積3如果直棱柱的底面周長是如