1、數(shù)學(xué)共線向量與共面向數(shù)學(xué)共線向量與共面向(min xin)量新量新人教人教B選修選修第一頁，共24頁。lAPa 第1頁/共24頁第二頁，共24頁。OABP特別地，若特別地，若P P為為A,BA,B中點(diǎn)中點(diǎn), ,則則12 OPOAOB我們已經(jīng)知道：我們已經(jīng)知道：平面中，平面中，如圖如圖 不共線，不共線，OA OB 、()APtAB tROA OBOP ，則可以用、 表示如下：()(1)OPOAAPOAtABOAt OBOAt OAtOB 結(jié)論結(jié)論(jiln)：設(shè)設(shè)O O為平面上任一點(diǎn)，則為平面上任一點(diǎn)，則A A、P P、B B三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線(1)OPt OAtOB 或：令或：令x=1-t，y=

2、t，則，則A A、P P、B B三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線(1)OPxOAyOBxy 其中那么(n me)空間又如何呢？第2頁/共24頁第三頁，共24頁。lAPa BO第3頁/共24頁第四頁，共24頁。NoImage例例1 1已知已知A A、B B、P P三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，OO為直線外為直線外 一點(diǎn)，且一點(diǎn)，且 ，求，求 的值的值. . OPOAOB第4頁/共24頁第五頁，共24頁。平面向量基本定理：平面向量基本定理：如果是如果是 同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) ，使，使12ee ，

3、a12，1 122aee abBPCA思考思考1：空間任意向空間任意向量量 與兩個(gè)不共線與兩個(gè)不共線的向量的向量 共面時(shí)，共面時(shí)，它們之間存在怎樣它們之間存在怎樣的關(guān)系呢？的關(guān)系呢？p a b ，ab第5頁/共24頁第六頁，共24頁。二二. .共面向共面向(min xin)(min xin)量量: :1.1.共面向量共面向量: :能平移到同一平面能平移到同一平面(pngmin)(pngmin)內(nèi)的向量?jī)?nèi)的向量, ,叫做共面向叫做共面向量量. .OAaa注意：空間注意：空間(kngjin)任意兩任意兩個(gè)向量是共面的，但個(gè)向量是共面的，但空間空間(kngjin)任任意三個(gè)向量就不一定意三個(gè)向量就不

4、一定共面的了。共面的了。AabBCPp 第6頁/共24頁第七頁，共24頁。abBCp PAO思考思考2：有平面：有平面ABC，若，若P點(diǎn)在此面內(nèi)，須滿足什么點(diǎn)在此面內(nèi)，須滿足什么(shn me)條件？條件？結(jié)論結(jié)論: :空間一點(diǎn)空間一點(diǎn)P位于平面位于平面ABC內(nèi)內(nèi) 存在有序?qū)崝?shù)對(duì)存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x, ,y使使 或?qū)臻g任一點(diǎn)或?qū)臻g任一點(diǎn)O, ,有有 APxAByAC OPOAxAByAC可證明(zhngmng)或判斷四點(diǎn)共面第7頁/共24頁第八頁，共24頁。OAM GEFCBDO 分析分析: 證三點(diǎn)共線證三點(diǎn)共線(n xin)可嘗試可嘗試用向量來分析用向量來分析.第8頁/共24頁第九頁，共24

5、頁。練習(xí)練習(xí)2：已知矩形：已知矩形ABCD和和ADEF所在所在(suzi)的平面互相的平面互相垂直，點(diǎn)垂直，點(diǎn)M、N分別在分別在BD，AE上，且分別是距上，且分別是距B點(diǎn)、點(diǎn)、A點(diǎn)點(diǎn)較近的三等分點(diǎn)，求證：較近的三等分點(diǎn)，求證：MN/平面平面CDEABCDEFMN第9頁/共24頁第十頁，共24頁。練習(xí)練習(xí)3 3：已知：已知A、B、M三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABM外外的任一點(diǎn)的任一點(diǎn)O，確定在下列各條件下，確定在下列各條件下，點(diǎn)點(diǎn)P是否與是否與A、B、M一定共面？一定共面？(1)3 OB OMOPOA(2)4 OPOAOBOM注意：注意：空間四點(diǎn)空間四點(diǎn)P、M、A、B共面共面 存存

6、在在唯唯一一實(shí)數(shù)對(duì)實(shí)數(shù)對(duì),xyMPxMAyMB （） 使得(1)OPxOMyOAzOBxyz 其其中中，第10頁/共24頁第十一頁，共24頁。類比類比(lib)(lib)平面向量的基本定理平面向量的基本定理, ,在空間中應(yīng)有一個(gè)什么在空間中應(yīng)有一個(gè)什么結(jié)論結(jié)論? ?NOCM1e 2e a OCOMON 1122t et e 2e 1e a 第11頁/共24頁第十二頁，共24頁。c a b pAO然后然后(rnhu)證唯一性證唯一性/ ,/ ,/ABb BDa BCc 作作pOBBAOCODOE DCBxaybzc證明思路證明思路(sl)：先證存在：先證存在性性E注：空間任意三個(gè)不共面向量都可以

7、注：空間任意三個(gè)不共面向量都可以(ky)構(gòu)成空構(gòu)成空間的一個(gè)基底間的一個(gè)基底.如：如： ,abc 看書看書P75第12頁/共24頁第十三頁，共24頁。推論：設(shè)點(diǎn)推論：設(shè)點(diǎn)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)空間任一點(diǎn)P，都存在，都存在(cnzi)唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì) x、y、z使使OPxOAyOBzOC OABCP第13頁/共24頁第十四頁，共24頁。例例1 1平行六面體中平行六面體中, ,點(diǎn)點(diǎn)MC=2=2AM, ,A1 1N=2=2ND, ,設(shè)設(shè)AB= =a, ,AD= =b, ,AA1 1= =c, ,試用試用a, ,b, ,c表示表示MN. .分析

8、分析: :要用要用a, ,b, ,c表示表示MN, ,只要結(jié)合圖形只要結(jié)合圖形, ,充充分運(yùn)用空間向量加法分運(yùn)用空間向量加法和數(shù)乘的運(yùn)算律即可和數(shù)乘的運(yùn)算律即可. .ABCDA1B1D1C1MN第14頁/共24頁第十五頁，共24頁。解解: :ABCDA1B1D1C1MN連連AN, ,則則MN=MA+ANMN=MA+ANMA=MA= AC =AC = ( (a+ +b) )1313AN=AD+DN=ADAN=AD+DN=ADNDND= = （2 2 b + + c ) )13= = （ a + + b + + c ) )13MN= MA+ANMN= MA+AN例例1 1平行六面體中平行六面體中,

9、 ,點(diǎn)點(diǎn)MC=2=2AM, ,A1 1N=2=2ND, ,設(shè)設(shè)AB= =a, ,AD= =b, ,AA1 1= =c, ,試用試用a, ,b, ,c表示表示MN. .第15頁/共24頁第十六頁，共24頁。練習(xí)練習(xí)(linx)(linx) . .空間四邊形空間四邊形OABCOABC中中,OA=,OA=a,OB=,OB=b,OC=,OC=c點(diǎn)點(diǎn)M M在在OAOA上上, ,且且OM=2MA,NOM=2MA,N為為BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,則則MN=( ).MN=( ).OABCMN(A) a b + c 122312(B) a + b + c 122312(C) a + b c 122312(D)

10、a + b c 122323第16頁/共24頁第十七頁，共24頁。1.對(duì)于空間任意一點(diǎn)對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，下列命題正確的是：，下列命題正確的是：(A)若若 ，則，則P、A、B共線共線(B)若若 ，則，則P是是AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)(C)若若 ，則，則P、A、B不共線不共線(D)若若 ，則，則P、A、B共線共線OPOAt AB 3OPOAAB OPOAt AB OPOAAB 2.已知點(diǎn)已知點(diǎn)M在平面在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O， , 則則x的值為的值為( )1( )1( )0( )3()3ABCDOMxOAOBOC11113333 第17頁/共24頁第十八頁，共24頁。1

11、.下列說明下列說明(shumng)正確的是：正確的是： (A)在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線(B)在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線(C)在平面內(nèi)共線的向量在空間一定不共線在平面內(nèi)共線的向量在空間一定不共線(D)在空間共線的向量在平面內(nèi)一定共線在空間共線的向量在平面內(nèi)一定共線2.下列下列(xili)說法正確的是：說法正確的是： (A)平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都共線平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都共線(B)空間的任意三個(gè)向量都不共面空間的任意三個(gè)向量都不共面(C)空間的任意兩個(gè)向量都共面空間的任意兩個(gè)向量都共面(D)空間的任意三個(gè)向量都共

12、面空間的任意三個(gè)向量都共面第18頁/共24頁第十九頁，共24頁。補(bǔ)充補(bǔ)充(bchng)練習(xí)練習(xí):已知空間四邊形已知空間四邊形OABC，對(duì)角，對(duì)角線線OB、AC，M和和N分別是分別是OA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)G在在MN上，且使上，且使MG=2GN，試用基底，試用基底 表示向量表示向量 ,OA OB OC OGCOABMNG解：在解：在OMG中，中，OGOMMG 1223OAMN 12()23OAONOM 111633OAOBOC 第19頁/共24頁第二十頁，共24頁。4.下列命題中正確的有：下列命題中正確的有：(1) pxaybpab與與、 共共面面 ; ;(2) pabpxayb與與、 共共面面；(3) MPxMAyMBPMAB、 、 共共面面；(4) PMA BMPxMAyMB、 、 、 共共面面；A.1個(gè)個(gè)B.2個(gè)個(gè)C.3個(gè)個(gè)D.4個(gè)個(gè)B第20頁/共24頁第二十一頁，共24頁。5.對(duì)于空間中的三個(gè)向量對(duì)于空間中的三個(gè)向量它們一定是：它們一定是：A.共面向量共面向量B.共線向量共線向量C.不共面向量不共面向量D.既不共線又不共面向量既不共線又不共面向量2 MAMBMAMB、第21頁/共24頁第二十二頁，共24頁。7.已知已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外一點(diǎn)三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外一點(diǎn)O，