1、數學共線向量與共面向數學共線向量與共面向(min xin)量新量新人教人教B選修選修第一頁，共24頁。lAPa 第1頁/共24頁第二頁，共24頁。OABP特別地，若特別地，若P P為為A,BA,B中點中點, ,則則12 OPOAOB我們已經知道：我們已經知道：平面中，平面中，如圖如圖 不共線，不共線，OA OB 、()APtAB tROA OBOP ，則可以用、 表示如下：()(1)OPOAAPOAtABOAt OBOAt OAtOB 結論結論(jiln)：設設O O為平面上任一點，則為平面上任一點，則A A、P P、B B三點共線三點共線(1)OPt OAtOB 或：令或：令x=1-t，y=

2、t，則，則A A、P P、B B三點共線三點共線(1)OPxOAyOBxy 其中那么(n me)空間又如何呢？第2頁/共24頁第三頁，共24頁。lAPa BO第3頁/共24頁第四頁，共24頁。NoImage例例1 1已知已知A A、B B、P P三點共線，三點共線，OO為直線外為直線外 一點，且一點，且 ，求，求 的值的值. . OPOAOB第4頁/共24頁第五頁，共24頁。平面向量基本定理：平面向量基本定理：如果是如果是 同一平面內兩個不共線的同一平面內兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向向量，那么對于這一平面內的任一向量量 ，有且只有一對實數，有且只有一對實數 ，使，使12ee ，

3、a12，1 122aee abBPCA思考思考1：空間任意向空間任意向量量 與兩個不共線與兩個不共線的向量的向量 共面時，共面時，它們之間存在怎樣它們之間存在怎樣的關系呢？的關系呢？p a b ，ab第5頁/共24頁第六頁，共24頁。二二. .共面向共面向(min xin)(min xin)量量: :1.1.共面向量共面向量: :能平移到同一平面能平移到同一平面(pngmin)(pngmin)內的向量內的向量, ,叫做共面向叫做共面向量量. .OAaa注意：空間注意：空間(kngjin)任意兩任意兩個向量是共面的，但個向量是共面的，但空間空間(kngjin)任任意三個向量就不一定意三個向量就不

4、一定共面的了。共面的了。AabBCPp 第6頁/共24頁第七頁，共24頁。abBCp PAO思考思考2：有平面：有平面ABC，若，若P點在此面內，須滿足什么點在此面內，須滿足什么(shn me)條件？條件？結論結論: :空間一點空間一點P位于平面位于平面ABC內內 存在有序實數對存在有序實數對x, ,y使使 或對空間任一點或對空間任一點O, ,有有 APxAByAC OPOAxAByAC可證明(zhngmng)或判斷四點共面第7頁/共24頁第八頁，共24頁。OAM GEFCBDO 分析分析: 證三點共線證三點共線(n xin)可嘗試可嘗試用向量來分析用向量來分析.第8頁/共24頁第九頁，共24

5、頁。練習練習2：已知矩形：已知矩形ABCD和和ADEF所在所在(suzi)的平面互相的平面互相垂直，點垂直，點M、N分別在分別在BD，AE上，且分別是距上，且分別是距B點、點、A點點較近的三等分點，求證：較近的三等分點，求證：MN/平面平面CDEABCDEFMN第9頁/共24頁第十頁，共24頁。練習練習3 3：已知：已知A、B、M三點不共線，對于平面三點不共線，對于平面ABM外外的任一點的任一點O，確定在下列各條件下，確定在下列各條件下，點點P是否與是否與A、B、M一定共面？一定共面？(1)3 OB OMOPOA(2)4 OPOAOBOM注意：注意：空間四點空間四點P、M、A、B共面共面 存存

6、在在唯唯一一實數對實數對,xyMPxMAyMB （） 使得(1)OPxOMyOAzOBxyz 其其中中，第10頁/共24頁第十一頁，共24頁。類比類比(lib)(lib)平面向量的基本定理平面向量的基本定理, ,在空間中應有一個什么在空間中應有一個什么結論結論? ?NOCM1e 2e a OCOMON 1122t et e 2e 1e a 第11頁/共24頁第十二頁，共24頁。c a b pAO然后然后(rnhu)證唯一性證唯一性/ ,/ ,/ABb BDa BCc 作作pOBBAOCODOE DCBxaybzc證明思路證明思路(sl)：先證存在：先證存在性性E注：空間任意三個不共面向量都可以

7、注：空間任意三個不共面向量都可以(ky)構成空構成空間的一個基底間的一個基底.如：如： ,abc 看書看書P75第12頁/共24頁第十三頁，共24頁。推論：設點推論：設點O、A、B、C是不共面的四點，則對是不共面的四點，則對空間任一點空間任一點P，都存在，都存在(cnzi)唯一的有序實數對唯一的有序實數對 x、y、z使使OPxOAyOBzOC OABCP第13頁/共24頁第十四頁，共24頁。例例1 1平行六面體中平行六面體中, ,點點MC=2=2AM, ,A1 1N=2=2ND, ,設設AB= =a, ,AD= =b, ,AA1 1= =c, ,試用試用a, ,b, ,c表示表示MN. .分析

8、分析: :要用要用a, ,b, ,c表示表示MN, ,只要結合圖形只要結合圖形, ,充充分運用空間向量加法分運用空間向量加法和數乘的運算律即可和數乘的運算律即可. .ABCDA1B1D1C1MN第14頁/共24頁第十五頁，共24頁。解解: :ABCDA1B1D1C1MN連連AN, ,則則MN=MA+ANMN=MA+ANMA=MA= AC =AC = ( (a+ +b) )1313AN=AD+DN=ADAN=AD+DN=ADNDND= = （2 2 b + + c ) )13= = （ a + + b + + c ) )13MN= MA+ANMN= MA+AN例例1 1平行六面體中平行六面體中,

9、 ,點點MC=2=2AM, ,A1 1N=2=2ND, ,設設AB= =a, ,AD= =b, ,AA1 1= =c, ,試用試用a, ,b, ,c表示表示MN. .第15頁/共24頁第十六頁，共24頁。練習練習(linx)(linx) . .空間四邊形空間四邊形OABCOABC中中,OA=,OA=a,OB=,OB=b,OC=,OC=c點點M M在在OAOA上上, ,且且OM=2MA,NOM=2MA,N為為BCBC的中點的中點, ,則則MN=( ).MN=( ).OABCMN(A) a b + c 122312(B) a + b + c 122312(C) a + b c 122312(D)

10、a + b c 122323第16頁/共24頁第十七頁，共24頁。1.對于空間任意一點對于空間任意一點O，下列命題正確的是：，下列命題正確的是：(A)若若 ，則，則P、A、B共線共線(B)若若 ，則，則P是是AB的中點的中點(C)若若 ，則，則P、A、B不共線不共線(D)若若 ，則，則P、A、B共線共線OPOAt AB 3OPOAAB OPOAt AB OPOAAB 2.已知點已知點M在平面在平面ABC內，并且對空間任意一點內，并且對空間任意一點O， , 則則x的值為的值為( )1( )1( )0( )3()3ABCDOMxOAOBOC11113333 第17頁/共24頁第十八頁，共24頁。1

11、.下列說明下列說明(shumng)正確的是：正確的是： (A)在平面內共線的向量在空間不一定共線在平面內共線的向量在空間不一定共線(B)在空間共線的向量在平面內不一定共線在空間共線的向量在平面內不一定共線(C)在平面內共線的向量在空間一定不共線在平面內共線的向量在空間一定不共線(D)在空間共線的向量在平面內一定共線在空間共線的向量在平面內一定共線2.下列下列(xili)說法正確的是：說法正確的是： (A)平面內的任意兩個向量都共線平面內的任意兩個向量都共線(B)空間的任意三個向量都不共面空間的任意三個向量都不共面(C)空間的任意兩個向量都共面空間的任意兩個向量都共面(D)空間的任意三個向量都共

12、面空間的任意三個向量都共面第18頁/共24頁第十九頁，共24頁。補充補充(bchng)練習練習:已知空間四邊形已知空間四邊形OABC，對角，對角線線OB、AC，M和和N分別是分別是OA、BC的中點，點的中點，點G在在MN上，且使上，且使MG=2GN，試用基底，試用基底 表示向量表示向量 ,OA OB OC OGCOABMNG解：在解：在OMG中，中，OGOMMG 1223OAMN 12()23OAONOM 111633OAOBOC 第19頁/共24頁第二十頁，共24頁。4.下列命題中正確的有：下列命題中正確的有：(1) pxaybpab與與、 共共面面 ; ;(2) pabpxayb與與、 共共面面；(3) MPxMAyMBPMAB、 、 共共面面；(4) PMA BMPxMAyMB、 、 、 共共面面；A.1個個B.2個個C.3個個D.4個個B第20頁/共24頁第二十一頁，共24頁。5.對于空間中的三個向量對于空間中的三個向量它們一定是：它們一定是：A.共面向量共面向量B.共線向量共線向量C.不共面向量不共面向量D.既不共線又不共面向量既不共線又不共面向量2 MAMBMAMB、第21頁/共24頁第二十二頁，共24頁。7.已知已知A、B、C三點不共線，對平面外一點三點不共線，對平面外一點O，