1、3.2 簡單的三角恒等變換整體設計一、教學分析本節主要包括利用已有的十一個公式進行簡單的恒等變換,以及三角恒等變換在數學中白應用.本節的內容都是用例題來展現的,通過例題的解答,引導學生對變換對象和變換目標進行比照、分析,促使學生形成對解題過程中如何選擇公式,如何根據問題的條件進行公式變形,以及變換過程中表達的換元、逆向使用公式等數學思想方法的熟悉,從而加深理解變換思想,提升學生的推理水平.本節把三角恒等變換的應用放在三角變換與三角函數間的內在聯系上,從而使三角函數性質的研究得到延伸.三角恒等變換不同于代數變換,后者往往著眼于式子結構形式的變換,變換內容比擬單一.而對于三角變換,不僅要考慮三角函

2、數是結構方面的差異,還要考慮三角函數式所包含的角,以及這些角的三角函數種類方面的差異,它是一種立體的綜合性變換.從函數式結構、函數種類、角與角之間的聯系等方面找一個切入點,并以此為依據選擇可以聯系它們的適當公式進行轉化變形,是三角恒等變換的重要特點.二、三維目標1 .知識與技能：通過經歷二倍角的變形公式推導出半角的正弦、余弦和正切公式,能利用和與差的正弦、余弦公式推導出積化和差與和差化積公式,體會化歸、換元、方程、逆向使用公式等數學思想,提升學生的推理水平.2 .過程與方法：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并會利用公式進行簡單的恒等變形,體會三角恒等變換在數學中的應用.3.情感態度與價

3、值觀：通過例題的解答,引導學生對變換對象目標進行比照、分析,促使學生形成對解題過程中如何選擇公式,如何根據問題的條件進行公式變形,以及變換過程中表達的換元、逆向使用公式等數學思想方法的熟悉,從而加深理解變換思想,提升學生的推理水平.三、重點難點教學重點：1.半角公式、積化和差、和差化積公式的推導練習2.三角變換的內容、思路和方法,在與代數變換相比擬中,體會三角變換的牛!點.教學難點：熟悉三角變換的特點,并能運用數學思想方法指導變換過程的設計,不斷提升從整體上把握變換過程的水平.四、課時安排2課時五、教學設想第1課時一導入新課思路1.我們知道變換是數學的重要工具,也是數學學習的主要對象之一,三角

4、函數主要有以下三個根本的恒等變換：代數變換、公式的逆向變換和多向變換以及引入輔助角的變換.前面已經利用誘導公式進行了簡單的恒等變換,本節將綜合運用和差角公式、倍角公式進行更加豐富的三角恒等變換思路2.三角函數的化簡、求值、證實,都離不開三角恒等變換.學習了和角公式,差角公式,倍角公式以后,我們就有了進行三角變換的新工具,從而使三角變換的內容、思路和方法更加豐富和靈活,同時也為培養和提升我們的推理、運算、實踐水平提供了廣闊的空間和開展的平臺.對于三角變換,由于不同的三角函數式不僅會有結構形式方面的差異,而且還會有所包含的角,以及這些角的三角函數種類方面的差異因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含

5、的各個角之間的聯系,并以此為依據選擇可以聯系它們的適當公式,這是三角式恒等變換的重要特點.二推進新課、新知探究、提出問題“與a有什么關系2cos=2cos2a-1,21cosa將兩個等式的左右兩邊分別相除2a1cosatan-=如何建立cosa與asin22=1cosasin2?之間的關系?22a1cosa,tan2a=1cosa這三個式子有什么共21cosa同特點?通過上面的三個問題,你能感覺到代數變換與三角變換有哪些不同嗎證實(1)sinacos3=sin(a+3)+sin(a-3);2(2)sin0+sin()=2sincos22并觀察這兩個式子的左右兩邊在結構形式上有何不同?活動：教師

6、引導學生聯想關于余弦的二倍角公式cos=1-2sin2a,將公式中的2一aa用一代替,解出sin22亙即可.教師對學生的討論進行提問,學生可以發現:2a是與2的二倍角.在倍角公式cos2=1-2sinaa中,以a代替2a,以,代替22acos=1-2sin2一.2sin1cosa在倍角公式cos2=2cos2a-1中,以“代替2a,以亙代替a,即得22cos21cosa教師引導學生觀察上面的式,可讓學生總結出以下特點：(1)用單角的三角函數表示它們的一半即是半角的三角函數；(2)由左式的“二次式轉化為右式的“一次式(即用此式可到達“降次的目的).教師與學生一起總結出這樣的特點,并告訴學生這些特

7、點在三角恒等變形中將經常用到.提醒學生在以后的學習中引起注意.同時還要強調,本例的結果還可表示a,1cosaa,1cosa,a,1cosa切丹4業為:sin-=J,cos-=J,tan-=J,并稱之為半222.22.1cosa角公式(不要求記憶),符號由-所在象PM決定.2教師引導學生通過這兩種變換共同討論歸納得出：對于三角變換,由于不同的三角函數式不僅會有結構形式方面的差異,而且還有所包含的角,以及這些角的三角函數種類方面的差異.因此,三角恒等變換常常先尋找式子所包含的各個角間的聯系,并以此為依據,選擇可以聯系它們的適當公式,這是三角恒等變換的重要特點.代數式變換往往著眼于式子結構形式的變換

8、.對于問題：(1)如果從右邊出發,僅利用和(差)的正弦公式作展開合并,就會得出左式.但為了更好地發揮本例的練習功能,把兩個三角式結構形式上的不同點作為思考的出發點,引導學生思考,哪些公式包含sin“cos3呢？想到sin(a+3)=sinacos3+cosasin3.從方程角度看這個等式,sinacos3,cosasin3分別看成兩個未知數.二元方程要求得確定解,必須有2個方程,這就促使學生考慮還有沒有其他包含sinacos3的公式,列出sin(a-3)=sinacos3-cosasin3后,解相應的以sinacos3,cosasin3為未知數的二元一次方程組,就容易得到所需要的結果2由1得到

9、以和的形式表示的積的形式后,解決它的反問題,即用積的形式表示和的形式,在思路和方法上都與1沒有什么區別.只需做個變換,令a+3=0,-3=(j),貝Ua=,3=,代入(1)式即得(2)式.22證實：(1)由于sin(a+3)=sinacos3+cosasin3,sin(-3)=sinccos3-cosssin3,將以上兩式的左右兩邊分別相加,得sin(a+3)+sin(a-3)=2sinacos3,即sinccos3=1sin(a+3)+sin(a-3).2(2)由(1),可彳#sin(a+3)+sin(a-3)=2sinacos3.設a+3=0,a-3=j,那么a=,3=.把a,3的值代入,

10、即得sin0+sin=2sincos.教師給學生適時引導,指出這兩個方程所用到的數學思想,可以總結出在本例的證實過程中用到了換元的思想,如把a+3看作9,a-3看作4,從而把包含“,3的三角函數式變換成0,的三角函數式.另外,把sinacos3看作x,cosasin3看作y,把等式看作x,y的方程,通過解方程求得x,這就是方程思想的表達.討論結果：“是a的二倍角.22ad1cosasin=1-cos.略見活動.三應用例如思路11sinxcosx例1化簡：.1sinxcosx活動：此題考查公式的應用,利用倍角公式進行化簡解題.教師提醒學生注意半角公式和倍角公式的區別,它們的功能各異,本質相同,具

11、有對立統一的關系2x2sin2sinxcos-解:原式:二2_222x2cos一2sinxcos-2222sinx(sin-22x、cos)2+xx/x2cos-(cos.x.2sin-)222變式練習化簡:sin50(1+,3tan10).解：原式=$所501,3sin10cos101.32(cos10sin10)sin50?-cos10=2sin50sin30 cos10cos30sin10cos10sin40sin80=2cos40cos10cos10cos10=1.cos10例2sinx-cosx=1,求sin3x-cos3x2的值.活動：教師引導學生利用立方差公式進行對公式變換化簡,

12、然后再求解.由于(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a-b),a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此題后,教師引導學生深挖本例的思想方法,由于sinx-cosx與sinxcosx之間的轉化.提升學生的運算.化簡水平及整體代換思想.此題也可直接應用上述公式求之,即sin3x-cos3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=.止匕方法往往適用于16sin3xcos3x的化簡問題之中.解：由sinx-cosx=1,得(sinx-cosx)2即1-2sinxcosx=1,1-sinxcosx=3.48點評：此題是對根本知識的考查

13、,重在讓學生理解倍角公式與半角公式的內在聯-sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)法.變式練習(2007年高考浙江卷,12)sin0+cos0=1,且一 wow,那么cos20的值524是.答案：254444cosAsinAcosBsinB例1221求證:221.cosBsinBcosAsinA活動：此題可從多個角度進行探究,由于所給的條件等式與所要證實的等式形式一致,只是將A,B的位置互換了,因此應從所給的條件等式入手,而條件等式中含有A,B角的正、余弦,可利用平方關系來減少函數的種類.從結構上看,條件是a2+b2=1的形式,可利用三角代換

14、.44AcosAsinA.證實一：:1,cosBsinBcos4A-sin2B+sin4A-cos2B=sin2B-cos+B.cos4A(1-cos2B)+sin4A-cos2B=(1-cos2B)cos2B,即cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B.cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0.(cos2A-cos2B)2=0.1.cos2A=cos2B.sin2A=sin2B.44、cosBsinB2c.2-、cosB+sinB=1.22/=1(1+3)=281116點評：此題考查的是公式的變形、化簡、求值,注意公式的靈活運用和化簡的方cosAsi

15、nA2A2cosAsinA證實一:令cosa,=sina,cosBsinB貝Ucos2A=cosBcosa,sin2A=sinBsina.兩式相加,得1=cosBcosa+sinBsina,即cos(B-a)=1.B-a=2k兀(kCZ),即B=2kTt+a(keZ).cos=cosB,sin=sinB.cos2A=cosBcosa=cos2B,sin2A=sinBsin=sin2B.cos4Bsin4Bcos4Bsin4B222222=cosB+sinB=1.cosAsinAcosBsinB點評：要善于從不同的角度來觀察問題,本例從角與函數的種類兩方面觀察,利用平方關系進行了合理消元.變式練

16、習11在銳角二角形ABC中,ABC是它的二個內角,記S=,求證：S90,.1.90A90-B0. .tanAtan(90-B)=cotB0, .tanAtanB1.,S0.,.tan(-23)0.又3e(0,-),-230,得0-23.由tana=tan(1-23),得a=1-23,即a+23=.2sin(a)sin()/tan例2求證：一22-12sincostan活動：證實三角恒等式,一般要遵循“由繁到簡的原那么,另外“化弦為切與“化切為弦也是在三角式的變換中經常使用的方法=3sinacosa,_(sinacoscosasin)(sinacoscosasin)_22sincos=sin(a

17、2)sin(a)=左邊.,原式成立.sincos點評：此題進一步練習學生三角恒等式的變形,靈活運用三角函數公式的水平以及邏輯推理水平變式練習分析：運用比例的根本性質,可以發現原式等價于而上式左邊2.sin4(1cos4)2sin2cos22sin2-二-T二二二2csin4(1cos4)2sin2cos22cos22s1n2(cos2sinA!=tan2右邊.,上式成立,即原等式得證.2cos2(sin2cos2)1m.2.sin3=m-sin(2a+3),求證:tan(a+3)=tana.1m分析：仔細觀察式與所證式中的角,不要盲目展開,要有的放矢,看到式中的2a+3可化為結論式中的a+3與

18、a的和,不妨將a+3作為一整體來處理._222_2sinacoscosasm；22sincos2一一2cosasin22sincos1tan2=右邊.,原tana22cossin證法一：右邊=1-22sincos2sin2cos2_2cosasin22sinacos1.求證:1sin4cos42sin1sin4cos41tan21sin4cos41sin4cos4證實：原等式等價于2tan1tan21sin41sin4,此式右邊就是cos4cos4tan2tan20.證實：由sin3=msin(2a+3)sin(a+3)-a=msin(a+3)+asin(a+3)cosa-cos(a+3)si

19、na=0sin(a+3)cosa+cos(1-m)sin(a+3)cosa=(1+m)-cos(a+3)sina.1m,一tan(a+3)=tana.1m四知能練習1.假設sina=,a在第二象限,那么tana的值為1323一,35解答:1.A2.D3.-3五課堂小結1 .先讓學生自己回憶本節學習的數學知識：和、差、倍角的正弦、余弦公式的應用,半角公式、代數式變換與三角變換的區別與聯系.積化和差與和差化積公式及其推導,三角恒等式與條件等式的證實.2 .教師畫龍點睛總結：本節學習了公式的使用,換元法,方程思想,等價轉化,三角恒等變形的根本手段.六作業第2課時一導入新課思路1.問題導入三角化簡、求

20、值與證實中,往往會出現較多相異的角,我們可根據角與角之間的和差、倍半、互補、互余等關系,運用角的變換,溝通條件與結論中角的差異,使問題獲得解決,如：a=(a+3)-3,a+3)sinaA.5B.-5C.D.2.設5兀.6兀,cos那么sin一等于1aA.2B.C.D.3.sin0=2a=(a+3)+(a-3)=(+a)-(-a),+a=-(-a)等,你能總結出三角變換的哪些策略？由此探討展開.思路2.(復習導入)前面已經學過如何把形如y=asinx+bcosx的函數轉化為形如y=Asin(cox+(j)的函數,本節主要研究函數y=asinx+bcosx的周期、最值等性質.三角函數和代數、幾何知

21、識聯系密切,它是研究其他各類知識的重要工具.高考題中與三角函數有關的問題,大都以恒等變形為研究手段.三角變換是運算、化簡、求值、證實過程中不可缺少的解題技巧,要學會創設條件靈活運用三角公式,掌握運算,化簡的方法和技能.(二)推進新課、新知探究、提出問題三角函數y=sinx,y=cosx的周期,最大值和最小值是多少？函數y=asinx+bcosx的變形與應用是怎樣的？三角變換在幾何問題中有什么應用？活動：教師引導學生對前面已學習過的三角函數的圖象與性質進行復習與回憶,我們知道正弦函數,余弦函數的圖象都具有周期性、對稱性、單調性等性質.而且正弦函數,余弦函數的周期都是2k兀(kCZ且kw0),最小

22、正周期都是2兀.三角函數的定義與變化時,會對其周期性產生一定的影響,例如,函數y=sinx的周期是2k兀(kCZ且kw0),且最小正周期是2兀,函數y=sin2x的周期是k%(kCZ且kw0),且最小正周期是兀.正弦函數,余弦函數的最大值是1,最小值是-1,所以這兩個函數的值域都是-1,1.22a.b、函數y=asinx+bcosx=aab(,一sinx,.cosx),2,22,2ab.ab(-p=T)2(-p=T)21從而可令了cos一ab.ab.ab貝U有asinx+bcosx=；a2b2(sinxcosj+cosxsinj)22=Uabsin(x+4).因此,我們有如下結論：asinx+

23、bcosx=a2b2sin(x+(j),其中tan(j)=b.a在以后的學習中可以用此結論進行求幾何中的最值問題或者角度問題我們知道角的概念起源于幾何圖形,從而使得三角函數與平面幾何有著密切的內在聯系.幾何中的角度、長度、面積等幾何問題,常需借助三角函數的變換來解決,通過三角變換來解決幾何中的有關問題,是一種重要的數學方法討論結果：y=sinx,y=cosx的周期是2kukCZ且kw0,最小正周期都是2兀；最大值都是1,最小值都是-1.一略見活動.三應用例如思路1例1如圖1,OPQ半彳空為1,圓心角為的扇形,C是扇形弧上的動點,ABCD是扇形的內接矩形.記/COP=a,求當角“取何值時,矩形A

24、BCD勺面積最大？并求出這個最大面積.活動：要求當角a取何值時,矩形ABCD勺面積S最大,先找出S與a之間的函數關系,再求函數的最值.找S與a之間的函數關系可以讓學生自己解決,得到：S=ABBC=cosasinasina=sinacos優sin2a.33求這種y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x函數的最值,應先降哥,再利用公式化成Asin3x+4型的三角函數求最值b2,2absin(),教師引導學生思考：要求當角a取何值時,矩形ABCD勺面積S最大,可分兩步進圖1(1)找出S與a之間的函數關系；(2)由得出的函數關系,求S的最大值.解：在RtAOB計,BC=cosa,BC=sin

25、a,在RtOA計,DA=tan60=73,OA所以OA=DA=BC=sina.所以AB=OB-OAcosssina3設矩形ABCD勺面積為S,那么a=sinccoss-sin2a3=1sin2a+cos2a-=-(sin2a+1cos2a)-266.3226=-sin(2由于0a0).(1)求函數f(x)的值域；(2)假設函數y=f(x)的圖象與直線y=-1的兩個相鄰交點間的距離為一,求函數2y=f(x)的單調增區間.解:(1)f(x)=sinwx+cos9x+sincox-coscox-(cos3x+1)2=2(三sincx-1cosax)-1=2sin(cx22-1)-1.由-1Wsin(

26、cox)w1,得-3w2sin(cox-)-1w1,可知函數f(x)的值域為-3,1.(2)由題設條件及三角函數圖象和性質,可知y=f(x)的周期為兀,又由a0,得于是有f(x)=2sin(2x-)-1,再由2k兀-w2xw2k兀+(kCZ),解得ku-_WxWkTt+(kCZ).所以y=f(x)的單調增區間為ku-,k兀+(kCZ).點評：此題主要考查三角函數公式,三角函數圖象和性質等根底知識,考查綜合運用三角函數有關知識的水平.例1求函數y=sin4x+23sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值；并寫出該函數在0,兀上的單調遞增區間.活動：教師引導學生利用公式解題,此題主要考查二

27、倍角公式以及三角函數的單調性和周期性等根底知識.先用二倍角公式把函數化成最簡形式,然后再解決與此相關的問題.=3sin2x-cos2x=2sin(2x-).故該函數的最小正周期是兀；最小值是-2;在0,兀上單調增區間是0,一,兀.36點評：此題主要考查二倍角公式以及三角函數的單調性和周期性等根底知識.變式練習函數f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x,(1)求f(x)的最小正周期；(2)假設xC0,求f(x)的最大、最小值.f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x

28、+一),解:y=sin4x+2.3sinxcosx-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+.3sin2x一,一,一2所以,f(x)的取小正周期T=7t.25(2)由于xC0,5,所以2x+_C_,一.當2x+1=7時,cos(2x+)取得最大值當2x+=兀時,cos(2x+)取得最小值-1.所以,在0,金上的最大值為1,最小值為-J2.思路2例1函數f(x)=sin(cox+(j)(30,0w()w兀)是R上的偶函數,其圖象關于點M(3,0)對稱,且在區間0,上是單調函數,求4和 3 的值.42活動：提醒學生在解此題時,對f(x)是偶函數這一條件的運用不在問題上,而

29、在對“f(x)的圖象關于M(,0)對稱這一條彳的使用上,多數考生都存在一定問題.4一般地：定義在R上的函數y=f(x)對定義域內任意x滿足條件：f(x+a)=2b-f(a-x),那么y=f(x)的圖象關于點(a,b)對稱,反之亦然.教師在這類問題的教學時要給予充分的提示與總結,多做些這種類型的變式練習.解：由f(x)是偶函數,得f(-x)=f(x),即sin(-wx+()=sin(cox+(j),所以-cos()sinwx=cos()sincox對任意x者B成又w0,所以,得cos()=0.依題設0w(|)0,得=一+k7t,k=0,1,2,.423=2(2k+1),k=0,1,2,3當k=0

30、時,w=2,f(x)=sin(2x+一)在0,一上是減函數；22)在0,上是減函數；22wx+一)在0,一上不是單調函數點評：此題是利用函數思想進行解題,結合三角函數的圖象與性質,變換然后進而解決此題變式練習分別為m、n,且a2=2mn.問：是否能在區間(兀,2兀中找到角.,恰使等式cos0-sin0=4(cosB一C-cosC)成立？假設能,找出這樣的角.；假設不能,請說明22理由.解：在RtBAD中,膽=cos_B,在RtBAC中,-AB=sinC,m2amcos=asinC.2同理,ncos=asinB.mncos旦cos=a2sinBsinC.22而a2=2mn,33當k=1時,=2,f(x)=sin(2x+當k2時,310,f(x)=sin