1、2022年年3月月22日日第第4章第章第1頁頁第第4章第章第2頁頁2022年年3月月22日日概述概述 能控性（能控性（controllability）和能觀測性（）和能觀測性（observability) 的概念的概念于 60年代初由卡爾曼提出。年代初由卡爾曼提出。 所謂所謂能控性能控性，指輸入，指輸入u能否控制狀態(tài)變化；以便使?fàn)顟B(tài)變量沿期能否控制狀態(tài)變化；以便使?fàn)顟B(tài)變量沿期望狀態(tài)軌跡運(yùn)動。望狀態(tài)軌跡運(yùn)動。 控制器需通過狀態(tài)反饋來給出合適的控制器需通過狀態(tài)反饋來給出合適的u，但并非所有的狀態(tài)變量，但并非所有的狀態(tài)變量都是能測量的。即需要研究由系統(tǒng)輸出的測量值估計(jì)狀態(tài)變量都是能測量的。即需要研究

2、由系統(tǒng)輸出的測量值估計(jì)狀態(tài)變量（初始狀態(tài)）的可能性，即所謂（初始狀態(tài)）的可能性，即所謂能觀性能觀性。 系統(tǒng)控制、綜合和設(shè)計(jì)問題，如系統(tǒng)控制、綜合和設(shè)計(jì)問題，如極點(diǎn)配置、觀測器設(shè)計(jì)極點(diǎn)配置、觀測器設(shè)計(jì)、解耦問、解耦問題、最優(yōu)控制、最優(yōu)估計(jì)等，都與能控性和能觀性密切相關(guān)。題、最優(yōu)控制、最優(yōu)估計(jì)等，都與能控性和能觀性密切相關(guān)。2022年年3月月22日日第第4章第章第3頁頁第第4章第章第4頁頁2022年年3月月22日日4.1.1能控性基本概念能控性基本概念實(shí)例實(shí)例1：如圖所示電氣網(wǎng)絡(luò)，輸入變量是電壓源：如圖所示電氣網(wǎng)絡(luò)，輸入變量是電壓源u(t)，輸出變量是端電壓，輸出變量是端電壓y(t)，取取C端電壓

3、端電壓x(t)作為狀態(tài)變量。作為狀態(tài)變量。在在u(t)作用下，由于作用下，由于4個電阻阻值相等，當(dāng)個電阻阻值相等，當(dāng)t t0時，有時，有顯然，輸入顯然，輸入u(t)不能影響電容不能影響電容C端電壓，狀態(tài)端電壓，狀態(tài)x(t)不能控，即此電路是不能不能控，即此電路是不能控的?？氐?。0( )( )x tx t 初始狀態(tài)初始狀態(tài)第第4章第章第5頁頁2022年年3月月22日日實(shí)例實(shí)例2：如圖所示電氣網(wǎng)絡(luò)，輸入變量是電壓源：如圖所示電氣網(wǎng)絡(luò)，輸入變量是電壓源u(t)，輸出變量是端電壓，輸出變量是端電壓y(t)，取取C端電壓端電壓x1(t) 、x2(t)作為狀態(tài)變量。作為狀態(tài)變量。 直觀可見：由于兩并聯(lián)支路

4、完全相同，若兩電容初始狀態(tài)相同直觀可見：由于兩并聯(lián)支路完全相同，若兩電容初始狀態(tài)相同x0=0，則有則有 顯然，對于任意的輸入顯然，對于任意的輸入u(t) ，不可能有，不可能有x1(t) x2(t) ，表明電路是部分能，表明電路是部分能控的。控的。1212ccuuxx不能控不能控子空間子空間第第4章第章第6頁頁2022年年3月月22日日實(shí)例實(shí)例3：某系統(tǒng)狀態(tài)結(jié)構(gòu)如下，：某系統(tǒng)狀態(tài)結(jié)構(gòu)如下， 可知，狀態(tài)可知，狀態(tài)x1與輸入隔斷，其運(yùn)動形式為初始狀態(tài)與輸入隔斷，其運(yùn)動形式為初始狀態(tài)x1(0)引起的自由響引起的自由響應(yīng)，故系統(tǒng)不能控。應(yīng)，故系統(tǒng)不能控。( )u t( )y t1x2x3 通過以上三例可

5、知，系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)與輸入之間，存在是否能控的問通過以上三例可知，系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)與輸入之間，存在是否能控的問題。不能控系統(tǒng)，其不能控狀態(tài)分量與輸入既無直接關(guān)系，又無間接關(guān)題。不能控系統(tǒng)，其不能控狀態(tài)分量與輸入既無直接關(guān)系，又無間接關(guān)系。為了揭示能控性的本質(zhì)，并用于分析更一般和更復(fù)雜的系統(tǒng)，需要系。為了揭示能控性的本質(zhì)，并用于分析更一般和更復(fù)雜的系統(tǒng)，需要對其進(jìn)行嚴(yán)格的定義，并導(dǎo)出相應(yīng)的判斷準(zhǔn)則。對其進(jìn)行嚴(yán)格的定義，并導(dǎo)出相應(yīng)的判斷準(zhǔn)則。 第第4章第章第7頁頁2022年年3月月22日日4.1.2 能控性定義能控性定義1、定義、定義對于動力學(xué)系統(tǒng)對于動力學(xué)系統(tǒng) xAxBu ,) （A B 如果對于任意給

6、定狀態(tài)如果對于任意給定狀態(tài)x(t0)、x(tf)，均存在一個分段連續(xù)，均存在一個分段連續(xù)（可導(dǎo)）的輸入（可導(dǎo)）的輸入u(t)，能在，能在t0，tf有限時間內(nèi)，使系統(tǒng)從有限時間內(nèi)，使系統(tǒng)從x(t0)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移到任意的移到任意的x(tf)，則稱，則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，簡稱系統(tǒng)是，簡稱系統(tǒng)是能控的能控的。 如果如果tf無論取多大，都不能將無論取多大，都不能將x(t0)轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到x(tf)，則系統(tǒng)不能控。，則系統(tǒng)不能控。 系統(tǒng)能控性與輸出無關(guān)，故只考慮系統(tǒng)狀態(tài)方程，即系統(tǒng)能控性與輸出無關(guān)，故只考慮系統(tǒng)狀態(tài)方程，即A、B陣，簡記為陣，簡記為第第4章第章第8頁頁2022年年3月月22日日2、

7、說明、說明1）若系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控，可能仍有一部分狀態(tài)能控，另一部分狀）若系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控，可能仍有一部分狀態(tài)能控，另一部分狀態(tài)不能控。此時，可把它們分解為完全能控子空間和完全不能控子態(tài)不能控。此時，可把它們分解為完全能控子空間和完全不能控子空間?？臻g。2）定義中對輸入）定義中對輸入u和狀態(tài)軌跡不加限制，只關(guān)心能控狀態(tài)的分布。和狀態(tài)軌跡不加限制，只關(guān)心能控狀態(tài)的分布。 u理論上無約束，取值是非唯一的。理論上無約束，取值是非唯一的。3）能控和能達(dá)）能控和能達(dá)能控：初態(tài)能控：初態(tài)x(t0)為任意非零點(diǎn)，終態(tài)為任意非零點(diǎn)，終態(tài)x(tf)為原點(diǎn)。為原點(diǎn)。能達(dá)：初態(tài)能達(dá)：初態(tài)x(t0)為原點(diǎn)，終態(tài)為原

8、點(diǎn)，終態(tài)x(tf)為任意非零點(diǎn)。為任意非零點(diǎn)。 對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，由狀態(tài)轉(zhuǎn)移的可逆性，能控與能達(dá)是對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，由狀態(tài)轉(zhuǎn)移的可逆性，能控與能達(dá)是等價的。今后分析均按照第一種定義。等價的。今后分析均按照第一種定義。第第4章第章第9頁頁2022年年3月月22日日4.1.3 能控性判據(jù)能控性判據(jù) 分析能控性，只需要考慮分析能控性，只需要考慮A陣和陣和B陣。陣。 A陣由系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)、內(nèi)部參數(shù)決定；而控制矩陣陣由系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)、內(nèi)部參數(shù)決定；而控制矩陣B與與控制作用的施加點(diǎn)有關(guān)?？刂谱饔玫氖┘狱c(diǎn)有關(guān)。 所以，系統(tǒng)的能控性完全決定于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)所以，系統(tǒng)的能控性完全決定于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、

9、參數(shù)與控制作用的施加點(diǎn)。與控制作用的施加點(diǎn)。一、一、對角線型、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù)對角線型、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù)二、二、秩判據(jù)秩判據(jù)PBH判據(jù)判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)第第4章第章第10頁頁2022年年3月月22日日非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性 已經(jīng)證明：線性變換不改變系統(tǒng)的特征值，若第已經(jīng)證明：線性變換不改變系統(tǒng)的特征值，若第i個狀個狀態(tài)不能控，即：態(tài)不能控，即：( )(0)itiix te xite自由分量不能控，即相應(yīng)特征根的自然模式：自由分量不能控，即相應(yīng)特征根的自然模式：不能控。不能控。 由于系統(tǒng)線性變換不改變系統(tǒng)的特征值，所以也不改由于系統(tǒng)線性變換不改變系統(tǒng)的

10、特征值，所以也不改變系統(tǒng)的能控性。變系統(tǒng)的能控性。第第4章第章第11頁頁2022年年3月月22日日1 對角線、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù)對角線、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù)1）具有約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的系統(tǒng)的能控性判據(jù)）具有約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的系統(tǒng)的能控性判據(jù)（1）系統(tǒng)特征根為單根）系統(tǒng)特征根為單根定理：線性定常系統(tǒng)具有互不相同的特征值時，其狀態(tài)完全能定理：線性定常系統(tǒng)具有互不相同的特征值時，其狀態(tài)完全能控的充要條件是：控的充要條件是： 系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角型狀態(tài)空間描述中，系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角型狀態(tài)空間描述中，B陣不包含陣不包含全為零的行。全為零的行。（每個狀態(tài)至少受一個外力控制）（每個狀態(tài)至少受一個外力控制）12300nrR

11、R，xxBuxu 第第4章第章第12頁頁2022年年3月月22日日（2）系統(tǒng)特征根有重根）系統(tǒng)特征根有重根 系統(tǒng)能控的充要條件為：系統(tǒng)能控的充要條件為：B陣中，對應(yīng)于每個約當(dāng)塊的陣中，對應(yīng)于每個約當(dāng)塊的最后一行元素不全為零；最后一行元素不全為零；B陣中對應(yīng)于單根部分不包含全為陣中對應(yīng)于單根部分不包含全為零的行。零的行。（重根部分第一個狀態(tài)（重根部分第一個狀態(tài)xq至少受一個外力控制）至少受一個外力控制）112200nrn rn nllRR，xJxBuxuJBJBJBJB第第4章第章第13頁頁2022年年3月月22日日注：注： 約當(dāng)塊具有串聯(lián)結(jié)構(gòu)，若狀態(tài)約當(dāng)塊具有串聯(lián)結(jié)構(gòu)，若狀態(tài)xq能夠通過輸入被

12、能夠通過輸入被控，則該狀態(tài)之后的狀態(tài)控，則該狀態(tài)之后的狀態(tài)xq-1 ， x1都能控；都能控； 若能夠直接被控的是后面某一個狀態(tài)，則該狀若能夠直接被控的是后面某一個狀態(tài)，則該狀態(tài)之前的狀態(tài)都與輸入隔斷而不能控，該狀態(tài)態(tài)之前的狀態(tài)都與輸入隔斷而不能控，該狀態(tài)之后的狀態(tài)則能控。之后的狀態(tài)則能控。第第4章第章第14頁頁2022年年3月月22日日2）具有一般形式的系統(tǒng)）具有一般形式的系統(tǒng)引入狀態(tài)變換引入狀態(tài)變換 xxBu -1，xTzzT x-1-1-1 zT ATzT BuzT BuyCTz+ Du+=+ 由于線性變換（非奇異變換）不改變系統(tǒng)的能控性由于線性變換（非奇異變換）不改變系統(tǒng)的能控性，所，所

13、以，一般系統(tǒng)其狀態(tài)完全能控的充要條件是：以，一般系統(tǒng)其狀態(tài)完全能控的充要條件是：1. 特征值互異，特征值互異，T-1B陣不包含全為零的行。陣不包含全為零的行。2.特征值有重根：特征值有重根： 每個約當(dāng)塊的最后一行元素對應(yīng)每個約當(dāng)塊的最后一行元素對應(yīng)T-1B的元素不全為零。的元素不全為零。 互異根部分對應(yīng)互異根部分對應(yīng)T-1B的各行元素不全為零。的各行元素不全為零。第第4章第章第15頁頁2022年年3月月22日日注注： 若在若在T-1AT中，出現(xiàn)兩個以上與同一特征根有關(guān)的約當(dāng)塊，中，出現(xiàn)兩個以上與同一特征根有關(guān)的約當(dāng)塊，則：則：1.單輸入系統(tǒng)：單輸入系統(tǒng)：系統(tǒng)不能控；系統(tǒng)不能控；2.多輸入系統(tǒng)：

14、多輸入系統(tǒng)：看看 T-1B中與相同特征根對應(yīng)的約當(dāng)塊的最后中與相同特征根對應(yīng)的約當(dāng)塊的最后一行元素所形成的向量是否一行元素所形成的向量是否行線性無關(guān)行線性無關(guān)，線性無關(guān)，系統(tǒng)才，線性無關(guān)，系統(tǒng)才能控。能控。 第第4章第章第16頁頁2022年年3月月22日日2.秩判據(jù)秩判據(jù)1）單輸入系統(tǒng)）單輸入系統(tǒng)定理：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是系統(tǒng)能定理：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是系統(tǒng)能控性判別矩陣滿秩，即控性判別矩陣滿秩，即n為狀態(tài)向量的維數(shù)。為狀態(tài)向量的維數(shù)。u xxb 當(dāng)當(dāng) ，系統(tǒng)不能控。，系統(tǒng)不能控。ranknMM為為n階方陣階方陣21nranknMbAbAbA bM1n1n1n第

15、第4章第章第17頁頁2022年年3月月22日日2）多輸入系統(tǒng)）多輸入系統(tǒng)定理：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是系統(tǒng)能定理：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是系統(tǒng)能控性判別矩陣滿秩，即控性判別矩陣滿秩，即21nranknMBABA BABM xxBu 當(dāng)當(dāng) ，系統(tǒng)不能控，系統(tǒng)不能控ranknMM是是nnr矩陣，而不是單輸入系統(tǒng)的矩陣，而不是單輸入系統(tǒng)的nn矩陣。矩陣。n nn rn rn rn個行向量線性無關(guān)個行向量線性無關(guān)第第4章第章第18頁頁2022年年3月月22日日行線性無關(guān)。行線性無關(guān)。TrankrankMMM 多輸入系統(tǒng)中，矩陣多輸入系統(tǒng)中，矩陣M為為nnr矩陣，如果階次矩陣，如

16、果階次n與輸入維數(shù)與輸入維數(shù)r較大，判較大，判別矩陣別矩陣M的秩較困難，考慮到的秩較困難，考慮到可通過判別可通過判別M M T這樣的這樣的nn矩陣來求秩。矩陣來求秩。26617632172213TTrankMMMM101201010010B AB另外，在多輸入系統(tǒng)中，有時并不需要求出全部另外，在多輸入系統(tǒng)中，有時并不需要求出全部M陣。陣。實(shí)際上，多輸入系統(tǒng)的能控性條件較易滿足。實(shí)際上，多輸入系統(tǒng)的能控性條件較易滿足。第第4章第章第19頁頁2022年年3月月22日日 在系統(tǒng)已經(jīng)為對角線、約當(dāng)型標(biāo)準(zhǔn)型時，可以直接判斷；在系統(tǒng)已經(jīng)為對角線、約當(dāng)型標(biāo)準(zhǔn)型時，可以直接判斷；反 之 ，則 秩 判 據(jù) 較為

17、適用，并可根據(jù)其算 法 直 接 用反 之 ，則 秩 判 據(jù) 較為適用，并可根據(jù)其算 法 直 接 用MATLAB編程求解。編程求解。第第4章第章第20頁頁2022年年3月月22日日4.1.4 輸出能控性及判據(jù)輸出能控性及判據(jù) 在實(shí)際的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，需要控制的是輸出，而不是系統(tǒng)的狀態(tài)。在實(shí)際的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，需要控制的是輸出，而不是系統(tǒng)的狀態(tài)?？刂葡到y(tǒng)的狀態(tài)能控性與輸出能控性之間沒有必然聯(lián)系。控制系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與輸出能控性之間沒有必然聯(lián)系。 如果存在一個無約束的控制量如果存在一個無約束的控制量u(t)，在有限時間，在有限時間t0，tf內(nèi)，使得任一初內(nèi)，使得任一初始輸出始輸出y(t0)，能夠轉(zhuǎn)移

18、到任意輸出，能夠轉(zhuǎn)移到任意輸出y(tf)，則稱這一系統(tǒng)為輸出完全能控，則稱這一系統(tǒng)為輸出完全能控，簡稱輸出能控。簡稱輸出能控。 可以證明，系統(tǒng)輸出完全能控的充分必要條件是下列可以證明，系統(tǒng)輸出完全能控的充分必要條件是下列 m(n+1)r矩陣滿矩陣滿秩，即秩，即21nrankmCBCABCA BCABDnrmRRR，xxBuxuyCxDuy 2022年年3月月22日日第第4章第章第21頁頁第第4章第章第22頁頁2022年年3月月22日日反饋控制：反饋控制：在現(xiàn)代控制理論中，反饋信息是通過系統(tǒng)的狀在現(xiàn)代控制理論中，反饋信息是通過系統(tǒng)的狀態(tài)變量組合而成。由于并非所有狀態(tài)變量在物理上都可測態(tài)變量組合而

19、成。由于并非所有狀態(tài)變量在物理上都可測量，于是提出能否通過對輸出的測量而獲得全部狀態(tài)變量量，于是提出能否通過對輸出的測量而獲得全部狀態(tài)變量的信息，即系統(tǒng)的能觀性問題。的信息，即系統(tǒng)的能觀性問題。能觀性：能觀性：研究狀態(tài)和輸出的關(guān)系，通過對輸出量在有限的研究狀態(tài)和輸出的關(guān)系，通過對輸出量在有限的時間內(nèi)的測量，識別系統(tǒng)的狀態(tài)。實(shí)質(zhì)上，是對系統(tǒng)初始時間內(nèi)的測量，識別系統(tǒng)的狀態(tài)。實(shí)質(zhì)上，是對系統(tǒng)初始狀態(tài)的識別。狀態(tài)的識別。000( )() ( )()( )tttttttdxxBuyCxDu 第第4章第章第23頁頁2022年年3月月22日日4.2.1能觀性基本概念能觀性基本概念1 例子例子 直觀可見：由

20、于兩并聯(lián)支路完全相同，電容端電壓為直觀可見：由于兩并聯(lián)支路完全相同，電容端電壓為顯然，顯然，u(t)=0時，時， y(t)=0，不可能由輸出判斷電容的初始狀態(tài)，表，不可能由輸出判斷電容的初始狀態(tài)，表明電路是不能觀的。明電路是不能觀的。1）輸入變量是電壓源）輸入變量是電壓源u(t) ，輸出變量是端電壓，輸出變量是端電壓y(t) ，取，取C端電壓端電壓x(t)作為狀態(tài)作為狀態(tài)變量。變量。0( )( )x tx t第第4章第章第24頁頁2022年年3月月22日日2）21112011uy xxx333312ttttttttteeeeeeeeeA設(shè)設(shè)u(t)0，則，則y(t)僅取決于初始狀態(tài)僅取決于初始

21、狀態(tài)x(0)=x0，為，為331003320103331020201( )112ttttttttttttxeeeey texeeeexeexxex Acx第第4章第章第25頁頁2022年年3月月22日日 故當(dāng)故當(dāng)x10=x20時，時，y(t)=0（t0），輸出無任何響應(yīng)，該系統(tǒng)），輸出無任何響應(yīng)，該系統(tǒng)部分不能觀測。部分不能觀測。31020( )()ty txxe不能觀不能觀子空間子空間第第4章第章第26頁頁2022年年3月月22日日3）某系統(tǒng)狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖所示，）某系統(tǒng)狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖所示，由于狀態(tài)由于狀態(tài)x1與輸出完全隔斷，故該系統(tǒng)是不能觀測的。與輸出完全隔斷，故該系統(tǒng)是不能觀測的。uy1x2x

22、3第第4章第章第27頁頁2022年年3月月22日日4.2.2 能觀性定義能觀性定義 對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)的對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)的任意初態(tài)任意初態(tài)x(t0)，如果對任意，如果對任意輸入向量輸入向量u(t)，均能根據(jù)輸出向量，均能根據(jù)輸出向量y(t)在有限時間區(qū)間在有限時間區(qū)間t0, t1內(nèi)的測量值，唯一確定內(nèi)的測量值，唯一確定x(t0)，則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測，則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測，簡稱能觀，否則稱為不能觀測（不完全能觀測）。簡稱能觀，否則稱為不能觀測（不完全能觀測）。 nrmRRR，xxBuxuyCxy 第第4章第章第28頁頁2022年年3月月22日日000( )() ( )()( )ttt

23、ttttdxxBu 說明說明1.只有狀態(tài)空間中所有有限點(diǎn)都是能觀測的，系統(tǒng)才是能只有狀態(tài)空間中所有有限點(diǎn)都是能觀測的，系統(tǒng)才是能觀的：觀的：3.能觀測性表示輸出反映狀態(tài)變量的能力，由輸入引起的能觀測性表示輸出反映狀態(tài)變量的能力，由輸入引起的輸出響應(yīng)是已知的（可算出），因此，能觀性與輸入無直輸出響應(yīng)是已知的（可算出），因此，能觀性與輸入無直接關(guān)系，在定義中可以不涉及輸入，令接關(guān)系，在定義中可以不涉及輸入，令u0，只需從齊次，只需從齊次狀態(tài)方程和輸出方程考慮，簡記為：狀態(tài)方程和輸出方程考慮，簡記為：( ,) A C2.一旦確定了初始狀態(tài)，便可根據(jù)給定的控制輸入一旦確定了初始狀態(tài)，便可根據(jù)給定的控制

24、輸入u(t)，利，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求出任意時刻的瞬時狀態(tài)：用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求出任意時刻的瞬時狀態(tài)：第第4章第章第29頁頁2022年年3月月22日日1( )( )( )( )ttttyCxxCy1n4. （1）若輸出）若輸出y的維數(shù)的維數(shù)=x的維數(shù)，且的維數(shù)，且C陣非奇異，有陣非奇異，有 可由一組可由一組y(t)確定系統(tǒng)狀態(tài)，無需觀測時間。確定系統(tǒng)狀態(tài)，無需觀測時間。 （2）一般情況下，輸出）一般情況下，輸出y的維數(shù)狀態(tài)的維數(shù)狀態(tài)x的維數(shù)，則需測的維數(shù)，則需測幾組輸出數(shù)據(jù)，構(gòu)成幾組輸出數(shù)據(jù)，構(gòu)成n個方程，并需要在時間上有一定間隔，個方程，并需要在時間上有一定間隔，即需要觀測時間即需要觀測時間tft

25、0。5.若系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀，可能仍有一部分狀態(tài)能觀，另一若系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀，可能仍有一部分狀態(tài)能觀，另一部分狀態(tài)完全不能觀。此時，可把它們分解成完全能觀子空部分狀態(tài)完全不能觀。此時，可把它們分解成完全能觀子空間和完全不能觀子空間。間和完全不能觀子空間。 第第4章第章第30頁頁2022年年3月月22日日4.2.3 能觀性判據(jù)能觀性判據(jù)例例4.11 判斷以下系統(tǒng)的能觀性。判斷以下系統(tǒng)的能觀性。通過測量通過測量y可以預(yù)估可以預(yù)估x2的初始狀態(tài)的初始狀態(tài)x2(0)，但無法估計(jì)，但無法估計(jì)x1(0)。12(0)21(0)01(0)02xyx，x=x=xx2101ttteeA221212222222(

26、0)1(0)(0)(0)(0)01(0)( )0ttttttxtextexeexexyexx Axx=解：解：第第4章第章第31頁頁2022年年3月月22日日基本方法：可先化為對角線型或約當(dāng)型?；痉椒ǎ嚎上然癁閷蔷€型或約當(dāng)型。1、對角型、約當(dāng)型判據(jù)、對角型、約當(dāng)型判據(jù)1）對角型判據(jù)（互異特征根）對角型判據(jù)（互異特征根）12300nR，xxxyCx定理：線性定常系統(tǒng)定理：線性定常系統(tǒng)A，B，C具有互不相同的特征值，則其狀態(tài)具有互不相同的特征值，則其狀態(tài)能觀的充要條件是：能觀的充要條件是： 系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后獲得的對角型中，矩陣系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后獲得的對角型中，矩陣C不包含有元素全為不包含有元

27、素全為零的列。零的列。 （對應(yīng)狀態(tài)至少可通過一個輸出觀測）（對應(yīng)狀態(tài)至少可通過一個輸出觀測）第第4章第章第32頁頁2022年年3月月22日日 2）約當(dāng)型判據(jù)）約當(dāng)型判據(jù)121200nmnn nm nlRR，xJxxyCxyJJJCCCCJ定理：若線性定常系統(tǒng)定理：若線性定常系統(tǒng)A，B，C具有相同的特征值，則其狀態(tài)能觀的充具有相同的特征值，則其狀態(tài)能觀的充要條件是：要條件是： 系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后獲得的約當(dāng)型中，系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后獲得的約當(dāng)型中，C陣中對應(yīng)每個約當(dāng)塊的第一陣中對應(yīng)每個約當(dāng)塊的第一列列元素不全為零，（對應(yīng)重根部分狀態(tài)列列元素不全為零，（對應(yīng)重根部分狀態(tài)x1至少與一個輸出有關(guān)），至少與

28、一個輸出有關(guān)）， C陣陣中對應(yīng)于單根部分不包含全為零的列。中對應(yīng)于單根部分不包含全為零的列。 如果系統(tǒng)具有特征值相同的特征塊，則除上述條件外，與重特如果系統(tǒng)具有特征值相同的特征塊，則除上述條件外，與重特征根對應(yīng)的征根對應(yīng)的C矩陣的首列元素必須列線性無關(guān)。若單輸出系統(tǒng)出現(xiàn)矩陣的首列元素必須列線性無關(guān)。若單輸出系統(tǒng)出現(xiàn)此現(xiàn)象，系統(tǒng)不能觀。此現(xiàn)象，系統(tǒng)不能觀。第第4章第章第33頁頁2022年年3月月22日日注：注： 約當(dāng)塊具有串聯(lián)結(jié)構(gòu)，若約當(dāng)塊具有串聯(lián)結(jié)構(gòu)，若x1能夠通過輸出觀測，則驅(qū)能夠通過輸出觀測，則驅(qū)動該狀態(tài)前面的狀態(tài)動該狀態(tài)前面的狀態(tài)x2 ， xq都能夠觀測；都能夠觀測； 若能夠直接觀測的是

29、前面某一個狀態(tài)，則該狀態(tài)后面若能夠直接觀測的是前面某一個狀態(tài)，則該狀態(tài)后面的狀態(tài)都與輸出隔斷而不能觀，該狀態(tài)之前的狀態(tài)則的狀態(tài)都與輸出隔斷而不能觀，該狀態(tài)之前的狀態(tài)則能觀。能觀。210021002010 xxyxx2、 x3能觀，能觀， x1不能觀不能觀第第4章第章第34頁頁2022年年3月月22日日2、秩判據(jù)、秩判據(jù)1nCCANCA定理：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是系統(tǒng)定理：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是系統(tǒng)能能觀性判別矩陣觀性判別矩陣滿秩，即滿秩，即n為狀態(tài)向量的維數(shù)。為狀態(tài)向量的維數(shù)。00( )t，xxxxyCx 系統(tǒng)不能觀系統(tǒng)不能觀ranknNranknNm nm n n

30、 n個列向量線性無關(guān)個列向量線性無關(guān)第第4章第章第35頁頁2022年年3月月22日日 與能控性判別類似，在系統(tǒng)已經(jīng)為對角線、約當(dāng)型標(biāo)準(zhǔn)與能控性判別類似，在系統(tǒng)已經(jīng)為對角線、約當(dāng)型標(biāo)準(zhǔn)型時，可以直接判斷；反之，則秩判據(jù)較為適用，并可根據(jù)型時，可以直接判斷；反之，則秩判據(jù)較為適用，并可根據(jù)其算法直接用其算法直接用MATLAB編程求解。編程求解。2022年年3月月22日日第第4章第章第36頁頁第第4章第章第37頁頁2022年年3月月22日日4.3.1線性時變系統(tǒng)的能控性判據(jù)線性時變系統(tǒng)的能控性判據(jù) 對任意給定的一個初始狀態(tài)對任意給定的一個初始狀態(tài)x(t0)，如果在有限時間區(qū)間，如果在有限時間區(qū)間t0

31、，tf內(nèi)，存在一個無約束的控制向量內(nèi)，存在一個無約束的控制向量u(t0, tf)，使，使 x(tf)=0，則稱系統(tǒng)在則稱系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)在時刻是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)在t0時刻是時刻是能控的。能控的。 時變系統(tǒng)與定常系統(tǒng)能控性定義基本上是一致的。由于時變系統(tǒng)與定常系統(tǒng)能控性定義基本上是一致的。由于A(t)、B(t)是時變矩陣，其狀態(tài)向量的轉(zhuǎn)移與初始時刻是時變矩陣，其狀態(tài)向量的轉(zhuǎn)移與初始時刻t0的選的選取有關(guān)，因此取有關(guān)，因此時變系統(tǒng)需要強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)在時變系統(tǒng)需要強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)在t0時刻是能控的時刻是能控的。1.定義定義000( )( ) ,( ),tttt tJ xAxBuxx

32、第第4章第章第38頁頁2022年年3月月22日日2. 判據(jù)判據(jù) 由于由于A(t)、B(t)是時變矩陣，線性連續(xù)時變系統(tǒng)無法直接用是時變矩陣，線性連續(xù)時變系統(tǒng)無法直接用A(t)、B(t)來來判斷能控性。線性時變系統(tǒng)的能控性判別準(zhǔn)則有好幾種，但它們在代數(shù)上判斷能控性。線性時變系統(tǒng)的能控性判別準(zhǔn)則有好幾種，但它們在代數(shù)上是等價的。是等價的。 定理定理 線性時變系統(tǒng)在線性時變系統(tǒng)在t0時刻狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格拉時刻狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格拉姆姆(Gram)矩陣為非奇異矩陣。矩陣為非奇異矩陣。00000( ,)( , ) ( )( )( , )ftTTcfftt tttdtt，W

33、BB 格拉姆矩陣由系統(tǒng)狀態(tài)矩陣格拉姆矩陣由系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A(t)和控制矩陣和控制矩陣B(t)決定。因此系統(tǒng)決定。因此系統(tǒng)的能控性是由系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)、參數(shù)決定的固有特性，與系統(tǒng)的具體的能控性是由系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)、參數(shù)決定的固有特性，與系統(tǒng)的具體瞬時特性無關(guān)。瞬時特性無關(guān)。 由于時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求解的困難，能控性格拉姆矩陣由于時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求解的困難，能控性格拉姆矩陣判據(jù)主要用于理論分析。判據(jù)主要用于理論分析。第第4章第章第39頁頁2022年年3月月22日日推論推論 假設(shè)矩陣假設(shè)矩陣A和和B是是n-1次連續(xù)可微的，在時間區(qū)間次連續(xù)可微的，在時間區(qū)間t0，tf上，若有上，若有 本推論對于時變系

34、統(tǒng)是充分條件，即不滿足此條件的時變系統(tǒng)本推論對于時變系統(tǒng)是充分條件，即不滿足此條件的時變系統(tǒng)不一定是不能控的；而對于線性定常系統(tǒng)則為充分必要條件。不一定是不能控的；而對于線性定常系統(tǒng)則為充分必要條件。011( )( )( )( )rank()nftttttnMMMMM01( )( )d( )( )( )( ),0,1,2,2dtkkktttttt kn MBMAMM則系統(tǒng)在則系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的，其中分塊矩陣為時刻是狀態(tài)完全能控的，其中分塊矩陣為第第4章第章第40頁頁2022年年3月月22日日4.3.2 線性時變系統(tǒng)的能觀性判據(jù)線性時變系統(tǒng)的能觀性判據(jù) 若對狀態(tài)空間中的任一時刻若對狀

35、態(tài)空間中的任一時刻t0的狀態(tài)的狀態(tài)x(t0)，存在一有限時間，存在一有限時間t0，tf，使得由控制輸入，使得由控制輸入u(t0，tf)和輸出和輸出y(t0，tf)的信息足以確定的信息足以確定x(t0)，則，則稱時變系統(tǒng)在稱時變系統(tǒng)在t0時刻是完全能觀測的。時間區(qū)間時刻是完全能觀測的。時間區(qū)間t0，tf是識別初始狀是識別初始狀態(tài)所需要的觀測時間，對于時變系統(tǒng)，此時間區(qū)間的大小與初始時態(tài)所需要的觀測時間，對于時變系統(tǒng)，此時間區(qū)間的大小與初始時刻刻t0的選擇有關(guān)。的選擇有關(guān)。 實(shí)際上，考慮實(shí)際上，考慮u=0，若，若t0時刻的初始狀態(tài)時刻的初始狀態(tài)x(t0)引起的系統(tǒng)輸出有引起的系統(tǒng)輸出有1.定義定義

36、000( )( ) ,( ),( )( )tttt tJtt xAxBuxxyCxDu000( )( ) ( , ) ( ),ttt tttt0yCx 則則x(t0)為為t0時刻不可觀測的狀態(tài)。時刻不可觀測的狀態(tài)。第第4章第章第41頁頁2022年年3月月22日日2. 判據(jù)判據(jù)定理定理 線性時變系統(tǒng)在線性時變系統(tǒng)在t0時刻能觀測的充要條件是下列格拉姆時刻能觀測的充要條件是下列格拉姆矩陣為非奇異矩陣矩陣為非奇異矩陣 0000( ,)( , )( ) ( ) ( , )ftTToftt ttt dWCC 能觀性格拉姆矩陣，它由系統(tǒng)狀態(tài)矩陣能觀性格拉姆矩陣，它由系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A(t)和輸出矩陣和輸出矩陣

37、C(t)決定。決定。因此系統(tǒng)的能觀性是由系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)、參數(shù)決定的固有特性，與系統(tǒng)因此系統(tǒng)的能觀性是由系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)、參數(shù)決定的固有特性，與系統(tǒng)的具體瞬時特性無關(guān)。的具體瞬時特性無關(guān)。 與時變系統(tǒng)能控性判別類似，采用本判據(jù)判斷系統(tǒng)能觀性必須先與時變系統(tǒng)能控性判別類似，采用本判據(jù)判斷系統(tǒng)能觀性必須先求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，計(jì)算量較大；若轉(zhuǎn)移矩陣無閉合解，此判據(jù)將失求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，計(jì)算量較大；若轉(zhuǎn)移矩陣無閉合解，此判據(jù)將失效。為尋求更為實(shí)用的方法，根據(jù)本判據(jù)推出下列推論。效。為尋求更為實(shí)用的方法，根據(jù)本判據(jù)推出下列推論。第第4章第章第42頁頁2022年年3月月22日日推論推論 如果線性時變系統(tǒng)的如果線性時

38、變系統(tǒng)的A(t)和和C(t)是是(n-1)階連續(xù)可微的，若存在一階連續(xù)可微的，若存在一個有限的個有限的tf t0，使得：，使得：則系統(tǒng)在則系統(tǒng)在t0時刻能觀測的，其中時刻能觀測的，其中011( )( )rank( )nttntNNN01( )( )d( )( ) ( )( ),0,1,2,2dtkkktttttt knNCNNAN 本推論對于時變系統(tǒng)是充分條件，即不滿足此條件的時變系統(tǒng)不本推論對于時變系統(tǒng)是充分條件，即不滿足此條件的時變系統(tǒng)不一定是不能觀的；而對于線性定常系統(tǒng)則為充分必要條件。一定是不能觀的；而對于線性定常系統(tǒng)則為充分必要條件。2022年年3月月22日日第第4章第章第43頁頁第

39、第4章第章第44頁頁2022年年3月月22日日定義定義n階線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為階線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為采樣周期采樣周期T為常數(shù)。為常數(shù)。(1)( )( ),( )( )( ),nrmkkkRRkkkRxGxHuxuyCxDuy第第4章第章第45頁頁2022年年3月月22日日4.4.1離散定常系統(tǒng)能控性定義及判據(jù)離散定常系統(tǒng)能控性定義及判據(jù)1. 能控性定義能控性定義 對于任意給定的一個初始狀態(tài)對于任意給定的一個初始狀態(tài)x(0)，如果在有限的采樣周，如果在有限的采樣周期內(nèi)，存在容許控制向量序列期內(nèi)，存在容許控制向量序列u(0)，u(1)，u(l-1)，ln，使系統(tǒng)在第，使系統(tǒng)在第

40、l步到達(dá)零狀態(tài)，即步到達(dá)零狀態(tài)，即x(l)=0，那么就稱此狀態(tài)是，那么就稱此狀態(tài)是能控的。如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)能控。完全能控的，簡稱系統(tǒng)能控。 第第4章第章第46頁頁2022年年3月月22日日 可以證明，對于單輸入可以證明，對于單輸入n階線性定常系統(tǒng)，若在第階線性定常系統(tǒng)，若在第n步步不能某任意非零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零，則在不能某任意非零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零，則在n+1以至以后任意步都以至以后任意步都無法轉(zhuǎn)移到零。而多輸入離散系統(tǒng)，無法轉(zhuǎn)移到零。而多輸入離散系統(tǒng)，l的取值可以小于的取值可以小于n。綜。綜合考慮上述兩

41、種情況，統(tǒng)一規(guī)定合考慮上述兩種情況，統(tǒng)一規(guī)定l=n。2. 能控性判據(jù)能控性判據(jù) 線性定常離散系統(tǒng)能控的充分必要條件是線性定常離散系統(tǒng)能控的充分必要條件是nnr型能控判型能控判別矩陣別矩陣M滿秩，即滿秩，即21nnranknMHGHGHGHM第第4章第章第47頁頁2022年年3月月22日日4.4.2 離散定常系統(tǒng)能觀測性定義及判據(jù)離散定常系統(tǒng)能觀測性定義及判據(jù)1. 能觀測性定義能觀測性定義n維離散定常系統(tǒng)，考慮輸入為零時，其解為維離散定常系統(tǒng)，考慮輸入為零時，其解為( )(0)( )(0)kkkkxG xyCG x 對于離散系統(tǒng)，若能依據(jù)在有限個采樣瞬間上測到的輸對于離散系統(tǒng)，若能依據(jù)在有限個采

42、樣瞬間上測到的輸出序列出序列y(0)，y(1)，y(l)，唯一地確定出任意初始狀態(tài)，唯一地確定出任意初始狀態(tài)x(0)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱能觀測。，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱能觀測。第第4章第章第48頁頁2022年年3月月22日日2. 能觀測性判據(jù)能觀測性判據(jù)n維線性定常離散系統(tǒng)，系統(tǒng)有維線性定常離散系統(tǒng)，系統(tǒng)有m個輸出，則系統(tǒng)能觀測的充要條件個輸出，則系統(tǒng)能觀測的充要條件為為mnn維能觀性判別矩陣滿秩，即維能觀性判別矩陣滿秩，即21nmn nranknCCGNCGCGN 注意，只有當(dāng)觀測時間注意，只有當(dāng)觀測時間l滿足滿足ln/m，系統(tǒng)才能觀，對于單輸入系統(tǒng)，則必，系統(tǒng)才能觀

43、，對于單輸入系統(tǒng)，則必須有須有l(wèi)n，即最小能觀測時間為，即最小能觀測時間為n個采樣周期。而對于多輸入離散系統(tǒng)，個采樣周期。而對于多輸入離散系統(tǒng)，l的的取值可以小于取值可以小于n。綜合考慮上述兩種情況，統(tǒng)一規(guī)定。綜合考慮上述兩種情況，統(tǒng)一規(guī)定l=n。第第4章第章第49頁頁2022年年3月月22日日4.4.3 連續(xù)系統(tǒng)的能控性、能觀性與離散系統(tǒng)的能控性、能觀連續(xù)系統(tǒng)的能控性、能觀性與離散系統(tǒng)的能控性、能觀性之間的關(guān)系性之間的關(guān)系 比較連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的能控性與能觀性判據(jù)可知，比較連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的能控性與能觀性判據(jù)可知，把連續(xù)系統(tǒng)中的矩陣把連續(xù)系統(tǒng)中的矩陣A，B分別替換為離散系統(tǒng)的分別替換為離

44、散系統(tǒng)的G，H即為即為離散系統(tǒng)的相應(yīng)判據(jù)。但是，連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性與能達(dá)離散系統(tǒng)的相應(yīng)判據(jù)。但是，連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性是一致的，而離散系統(tǒng)只有在性是一致的，而離散系統(tǒng)只有在G為非奇異時，其能達(dá)性與為非奇異時，其能達(dá)性與能控性才一致。能控性才一致。 根據(jù)經(jīng)典控制理論可知，如果采樣周期選擇不當(dāng)，穩(wěn)定根據(jù)經(jīng)典控制理論可知，如果采樣周期選擇不當(dāng)，穩(wěn)定的連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)過采樣離散化后，也可能不穩(wěn)定。與此類似，的連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)過采樣離散化后，也可能不穩(wěn)定。與此類似，將原來完全能控、能觀的連續(xù)系統(tǒng)離散化后，采樣周期的不將原來完全能控、能觀的連續(xù)系統(tǒng)離散化后，采樣周期的不當(dāng)選擇也可能造成離散系統(tǒng)變成不能控或者

45、不能觀。相關(guān)結(jié)當(dāng)選擇也可能造成離散系統(tǒng)變成不能控或者不能觀。相關(guān)結(jié)論如下：論如下：第第4章第章第50頁頁2022年年3月月22日日1.結(jié)論一結(jié)論一 如果連續(xù)系統(tǒng)如果連續(xù)系統(tǒng)(A，B，C )不能控（不能觀），則對任不能控（不能觀），則對任意采樣周期意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)離散化后的系統(tǒng)(G，H，C)也是不能控（不能也是不能控（不能觀）的?；蛘撸绻x散化后的系統(tǒng)是能控（能觀）的，則觀）的?；蛘撸绻x散化后的系統(tǒng)是能控（能觀）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀）的。離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀）的。第第4章第章第51頁頁2022年年3月月22日日2.結(jié)論二結(jié)論二設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)(A，B

46、，C )能控能觀，若采樣周期能控能觀，若采樣周期T滿足如下條件：滿足如下條件：對對A滿足滿足Re0,1,2,iji j的一切特征值，成立的一切特征值，成立2,1, 2,Im()ijkTk 則以則以T為采樣周期的離散化系統(tǒng)也是能控能觀的。本定為采樣周期的離散化系統(tǒng)也是能控能觀的。本定理為充分條件，但對于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分理為充分條件，但對于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。必要的。2022年年3月月22日日第第4章第章第52頁頁第第4章第章第53頁頁2022年年3月月22日日 一個系統(tǒng)的能控性等價于其對偶系統(tǒng)的能觀性一個系統(tǒng)的能控性等價于其對偶系統(tǒng)的能觀性，反之，反之亦然。亦然。

47、 可以把對一系統(tǒng)的能控性分析轉(zhuǎn)換為其對偶系統(tǒng)的可以把對一系統(tǒng)的能控性分析轉(zhuǎn)換為其對偶系統(tǒng)的能觀性分析。從而溝通最優(yōu)控制和最優(yōu)估計(jì)之間的關(guān)系。能觀性分析。從而溝通最優(yōu)控制和最優(yōu)估計(jì)之間的關(guān)系。第第4章第章第54頁頁2022年年3月月22日日4.5.1線性系統(tǒng)的對偶關(guān)系線性系統(tǒng)的對偶關(guān)系給定線性系統(tǒng)給定線性系統(tǒng)1（A1,B1,C1），），2（A2,B2,C2），若），若 TTT222111=，AABCCB則稱系統(tǒng)則稱系統(tǒng)1、2是互為對偶的。畫出其狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖，如下是互為對偶的。畫出其狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖，如下x1A1+B1u1C1y11 xnrmnnn+A2=A1TC2=B1TB2=C1Tu2y22 xx2r

48、nnmnn第第4章第章第55頁頁2022年年3月月22日日1、對偶關(guān)系的含義、對偶關(guān)系的含義輸入輸入-輸出互換，信號傳遞方向相反，信號引出點(diǎn)和相加點(diǎn)互輸出互換，信號傳遞方向相反，信號引出點(diǎn)和相加點(diǎn)互換，對應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置。換，對應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置。2、對偶系統(tǒng)特征方程與特征值相同、對偶系統(tǒng)特征方程與特征值相同3、對偶系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣互為轉(zhuǎn)置、對偶系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣互為轉(zhuǎn)置x1A1+B1u1C1y11 xnrmnnn+A2=A1TC2=B1TB2=C1Tu2y22 xx2rnnmnn第第4章第章第56頁頁2022年年3月月22日日4.5.2 對偶原理對偶原理定理：若線性系統(tǒng)定理：若線性系統(tǒng)1（A1,B1,C1），）

49、，2（A2,B2,C2）互為對偶系統(tǒng)，則）互為對偶系統(tǒng)，則 1能控性等價于能控性等價于2能觀性；能觀性；1能觀性等價于能觀性等價于2能控性。能控性。證明：由已知條件證明：由已知條件-1111111TTT-1 TT22222TT-1 T22222222-1222rank()rankrank()rank()()rankrank()nnnnMBABABCA CACCC AC ACC AC AN(AB)T=BTAT第第4章第章第57頁頁2022年年3月月22日日意義意義1）能夠由分析一種結(jié)構(gòu)體系（能控性）轉(zhuǎn)化為分析另一結(jié)構(gòu)）能夠由分析一種結(jié)構(gòu)體系（能控性）轉(zhuǎn)化為分析另一結(jié)構(gòu)體系（能觀性）；體系（能觀性

50、）；2）建立系統(tǒng)控制問題和估計(jì)問題的基本結(jié)構(gòu)間的對應(yīng)關(guān)系；）建立系統(tǒng)控制問題和估計(jì)問題的基本結(jié)構(gòu)間的對應(yīng)關(guān)系；3）既有理論上的重要意義，又有應(yīng)用上的實(shí)際意義，能控性）既有理論上的重要意義，又有應(yīng)用上的實(shí)際意義，能控性和能觀性的仿真程序可以通用。和能觀性的仿真程序可以通用。4）對偶原理對線性定常系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、離散系統(tǒng)均適用。）對偶原理對線性定常系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、離散系統(tǒng)均適用。5）利用對偶原理，某些復(fù)雜問題的研究可轉(zhuǎn)化為研究其對偶）利用對偶原理，某些復(fù)雜問題的研究可轉(zhuǎn)化為研究其對偶系統(tǒng)的對偶性質(zhì)，而后者可能是相對簡單或者已經(jīng)解決的問系統(tǒng)的對偶性質(zhì)，而后者可能是相對簡單或者已經(jīng)解決的問題。題。20

51、22年年3月月22日日第第4章第章第58頁頁4.6 能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型第第4章第章第59頁頁2022年年3月月22日日1、單輸入系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)型、單輸入系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)型 2、單輸出系統(tǒng)的能觀測標(biāo)準(zhǔn)型、單輸出系統(tǒng)的能觀測標(biāo)準(zhǔn)型 非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性與能觀性，只有狀態(tài)完非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性與能觀性，只有狀態(tài)完全能控（能觀）的系統(tǒng)才能化為能控標(biāo)準(zhǔn)型（能觀標(biāo)準(zhǔn)型）。全能控（能觀）的系統(tǒng)才能化為能控標(biāo)準(zhǔn)型（能觀標(biāo)準(zhǔn)型）。介紹如何由一般形式化為能控、能觀標(biāo)準(zhǔn)型的方法介紹如何由一般形式化為能控、能觀標(biāo)準(zhǔn)型的方法第第4章第章第60頁頁2022年年3月月22日日4.6.1單

52、輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型單輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型 若系統(tǒng)完全能控，若系統(tǒng)完全能控，M陣中至少有陣中至少有n個線性無關(guān)的列向量，從個線性無關(guān)的列向量，從nr個列向量中個列向量中選擇選擇n個線性無關(guān)的列向量，組成變換矩陣個線性無關(guān)的列向量，組成變換矩陣，可導(dǎo)，可導(dǎo)出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型。出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型。1.單輸入系統(tǒng)：單輸入系統(tǒng)：能控性判別矩陣只有唯一一組能控性判別矩陣只有唯一一組n個線性無關(guān)的列個線性無關(guān)的列向量，故當(dāng)組合規(guī)律確定后，其能控標(biāo)準(zhǔn)型的形式是唯一的；向量，故當(dāng)組合規(guī)律確定后，其能控標(biāo)準(zhǔn)型的形式是唯一的；2.多輸入系統(tǒng)：多輸入系統(tǒng)：能控性判別矩陣有多個能控性判別矩陣有多個n個線性無關(guān)的列向量

53、的個線性無關(guān)的列向量的組合，故其能控標(biāo)準(zhǔn)型的形式不是唯一的。組合，故其能控標(biāo)準(zhǔn)型的形式不是唯一的。 xAxBuyCx21nrankranknMBABA BABnnr第第4章第章第61頁頁2022年年3月月22日日為各項(xiàng)系數(shù)為各項(xiàng)系數(shù) uy xAxbcxuyxAxbcx01-1naaa、 、1110nnnaaaIA定理：線性系統(tǒng)定理：線性系統(tǒng)如果系統(tǒng)是完全能控的，那么存在線性非奇異變換如果系統(tǒng)是完全能控的，那么存在線性非奇異變換使原狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換為能使原狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間描述控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間描述-1，ccxT xxTx為系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為系統(tǒng)特征多項(xiàng)式1-1-223121100

54、0100101nnncnaaaaaaTA Ab bA Ab bA Ab bb bnnnn與與a0無關(guān)無關(guān)nn單輸入單輸出系統(tǒng)：單輸入單輸出系統(tǒng)：第第4章第章第62頁頁2022年年3月月22日日0-1-111011010000011nccccnaaaccc ，ATATbT bTATbT bccTccT能控標(biāo)準(zhǔn)型為能控標(biāo)準(zhǔn)型為可直接寫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)為可直接寫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)為分子系數(shù)分子系數(shù)1212101110( )( )( )nnnnnnncscsc scY sW sU ssasa sa第第4章第章第63頁頁2022年年3月月22日日4.6.2單輸出系統(tǒng)的能觀測標(biāo)準(zhǔn)型單輸出系統(tǒng)的能觀測標(biāo)準(zhǔn)型 若系

55、統(tǒng)完全能觀，若系統(tǒng)完全能觀，N陣中至少有陣中至少有n個線性無關(guān)的行個線性無關(guān)的行向量，從向量，從nm個行向量中個行向量中選擇選擇n 個線性無關(guān)的行向量個線性無關(guān)的行向量，組成變換矩陣，可導(dǎo)出系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)型。組成變換矩陣，可導(dǎo)出系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)型。nmn1.單輸出系統(tǒng)：單輸出系統(tǒng)：能觀性判別矩陣只有唯一一組能觀性判別矩陣只有唯一一組n個線性無個線性無關(guān)的行向量組，故當(dāng)組合規(guī)律確定后，其能觀標(biāo)準(zhǔn)型的形關(guān)的行向量組，故當(dāng)組合規(guī)律確定后，其能觀標(biāo)準(zhǔn)型的形式是唯一的；式是唯一的；2.多輸出系統(tǒng)：多輸出系統(tǒng)：能觀性判別矩陣有多個能觀性判別矩陣有多個n個線性無關(guān)的行個線性無關(guān)的行向量的組合，故其能觀標(biāo)準(zhǔn)型的

56、形式不是唯一的。向量的組合，故其能觀標(biāo)準(zhǔn)型的形式不是唯一的。第第4章第章第64頁頁2022年年3月月22日日單輸入單輸出系統(tǒng)單輸入單輸出系統(tǒng) 使原狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換為能觀測標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間描述。使原狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換為能觀測標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間描述。 定理：線性系統(tǒng)定理：線性系統(tǒng)如果是完全能觀測的，那么存在線性非奇異變換如果是完全能觀測的，那么存在線性非奇異變換uy xAxbcx-1oo，xT xxTxuyxAxbcx11111111nnonaaa 0cATcAcnnnnnn第第4章第章第65頁頁2022年年3月月22日日01110111001001001oonoonaaaccc，A TATbT bccT

57、1110nnnaaaIA為系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為系統(tǒng)特征多項(xiàng)式01-1naaa、 、為各項(xiàng)系數(shù)為各項(xiàng)系數(shù)可直接寫出傳遞函數(shù)為可直接寫出傳遞函數(shù)為1212101110( )( )( )nnnnnnncscsc scY sW sU ssasa sa2022年年3月月22日日第第4章第章第66頁頁第第4章第章第67頁頁2022年年3月月22日日n階系統(tǒng)：階系統(tǒng)： rankM=n1（n1n），狀態(tài)空間由一個），狀態(tài)空間由一個n1維能控子空維能控子空間和一個間和一個n - n1維不能控子空間構(gòu)成。維不能控子空間構(gòu)成。 rankN=n2（n2n），狀態(tài)空間由一個），狀態(tài)空間由一個n2維能觀子空維能觀子空間和一個

58、間和一個n - n2維不能觀子空間構(gòu)成。維不能觀子空間構(gòu)成。第第4章第章第68頁頁2022年年3月月22日日分解為四個子系統(tǒng)：分解為四個子系統(tǒng)：1）能控能觀子系統(tǒng)）能控能觀子系統(tǒng)2）能控不能觀子系統(tǒng)）能控不能觀子系統(tǒng)3）不能控能觀子系統(tǒng)）不能控能觀子系統(tǒng)4）不能控不能觀子系統(tǒng)）不能控不能觀子系統(tǒng)1:cox2:cox4:cox3:cox能控能控不能控不能控能觀能觀可以通過非奇異變換將系統(tǒng)按照能控性與能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。可以通過非奇異變換將系統(tǒng)按照能控性與能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。1122334410001020000030300040 xxxxuxxxx 12340210 xxyxx不能控不能控能控能

59、控4.7.1 基本概念基本概念第第4章第章第69頁頁2022年年3月月22日日 任何不完全能控又不完全能觀的系統(tǒng)都可以分解為以上四個子任何不完全能控又不完全能觀的系統(tǒng)都可以分解為以上四個子系統(tǒng)。將系統(tǒng)按照能控性與能觀性綜合分解，稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)。將系統(tǒng)按照能控性與能觀性綜合分解，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解結(jié)構(gòu)分解或標(biāo)準(zhǔn)分解或標(biāo)準(zhǔn)分解。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解是狀態(tài)空間分析中的一個重要內(nèi)容，。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解是狀態(tài)空間分析中的一個重要內(nèi)容，它揭示了狀態(tài)空間的本質(zhì)特性，為系統(tǒng)最小實(shí)現(xiàn)問題提供了詳實(shí)的它揭示了狀態(tài)空間的本質(zhì)特性，為系統(tǒng)最小實(shí)現(xiàn)問題提供了詳實(shí)的理論依據(jù)；同時，在工程實(shí)際中，與系統(tǒng)的狀態(tài)反饋、觀測器設(shè)計(jì)理論依

60、據(jù)；同時，在工程實(shí)際中，與系統(tǒng)的狀態(tài)反饋、觀測器設(shè)計(jì)等問題的解決也有密切的聯(lián)系。等問題的解決也有密切的聯(lián)系。 考慮到一般系統(tǒng)并不是對角線型，這些子系統(tǒng)（子空間）并沒考慮到一般系統(tǒng)并不是對角線型，這些子系統(tǒng)（子空間）并沒有明顯地被分解出來，并不能明確地判斷任意一個狀態(tài)能控與否或有明顯地被分解出來，并不能明確地判斷任意一個狀態(tài)能控與否或能觀與否，通過適當(dāng)?shù)姆瞧娈愖儞Q可將系統(tǒng)按照能控性與能觀性進(jìn)能觀與否，通過適當(dāng)?shù)姆瞧娈愖儞Q可將系統(tǒng)按照能控性與能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解?？梢宰C明，行結(jié)構(gòu)分解。可以證明，系統(tǒng)的非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性與系統(tǒng)的非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性與能觀性，也不改變系統(tǒng)不完全能控和不