1、1.1函數(shù)一、主要內(nèi)容函數(shù)的概念1 .函數(shù)的定義：y=f(x),xCD定義域：D,值域：Z(f).2 .分段函數(shù)：f(x)xD1g(x)xD23 .隱函數(shù)：F(x,y尸04 .反函數(shù)：y=f(x)一x=()(y尸f-1(y)y=f-1(x)定理：如果函數(shù)：y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是嚴格單調(diào)增加(或減少)的；那么它必定存在反函數(shù)：y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是嚴格單調(diào)增加(或減少)的.函數(shù)的幾何特性1 .函數(shù)的單調(diào)性：y=f(x),xD,x1xzCD當x1x2時,假設f(x1)f(x2),那么稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少()；假設f(x1)f(x2),那么

2、稱f(x)在D內(nèi)嚴格單調(diào)減少().2 .函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點對稱偶函數(shù)：f(-x)=f(x)奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)3 .函數(shù)的周期性：周期函數(shù)：f(x+T)=f(x),xC(-8,+00)周期：T最小的正數(shù)4 .函數(shù)的有界性：|f(x)|0、aw1)4 .對數(shù)函數(shù)：y=logax,(a0、aw1)5 .三角函數(shù)：y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx6 .反三角函數(shù)：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx復合函數(shù)和初等函數(shù)1 .復合函數(shù)：y=f(u),u=()(x)y=f4(x),xeX第一章函數(shù)、

3、極限和連續(xù)2 .初等函數(shù)：由根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四那么運算(加、減、乘、除)和復合所構(gòu)成的,并且能用一個數(shù)學式子表示的函數(shù) 2.2限一、主要內(nèi)容極限的概念1 .數(shù)列的極限：HmynA稱數(shù)列%以常數(shù)A為極限；或稱數(shù)列Vn收斂于A.n定理：假設Vn的極限存在Vn必定有界.2 .函數(shù)的極限：limf(x)A當x時,f(x)的極限：x|imf(x)Alimf(x)Ax當xx.時,f(x)的極限：limf(x)Axx.左極限：limf(x)A右極pM：limf(x)Axx.xxo函數(shù)極限存的充要條件：1.無窮大量：limf(x)稱在該變化過程中f(x)為無窮大量.X再某個變化過程是指:x,x,x,x

4、xo,xxo,xxo2.無窮小量：limf(x)o稱在該變化過程中f(x)為無窮小量.3.無窮大量與無窮小量的關(guān)系：定理：limf(x)Olim|,(f(x)O)4.無窮小量的比擬：limO,limO假設limO,那么稱3是比a較高階的無窮小量；假設limc(c為常數(shù)),那么稱3與“同階的無窮小量;假設lim1,那么稱3與“是等價的無窮小量,記作：3“；假設lim-,那么稱3是比“較低階的無窮小量定理：limf(x)Ax為無窮大量和無窮小量limf(x)limf(x)AXX.X%定理：假設：1,22；那么：lim兩面夾定理lim數(shù)列極限存在的判定準那么:設:yn%4(n=1、2、3)且:2.l

5、imynlimzna那么:nn函數(shù)極限存在的判定準那么：limxnn設：對于點xo的某個鄰域內(nèi)的一切點(點X0除外)有：g(x)f(x)h(x)且：limg(x)XXOlimh(x)XXOA那么:limf(x)AxX0極限的運算規(guī)那么假設：limu(x)A,limv(x)B那么：limu(x)v(x)limu(x)limv(x)limu(x)v(x)limu(x)limv(x)lim幽limu(x)公(limv(x)v(x)limv(x)B0)推論：limui(x)(x)un(x)limui(x)limu2(x)limun(x)兩個重要極限1Tm0limcu(x)climsin0limu(x)

6、limu(x)nlimu(x)n(x)2limx(1X1.3連續(xù)主要內(nèi)容1lim(1x)xx0函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)在x0處連續(xù)：f(x)在x0 的鄰域內(nèi)有定義,1olimx0ylimf(xox)f(x.)0 x02olimf(x)xXOf(xo)左連續(xù):limf(x)f(XO)xX0右連續(xù):limf(x)xx0f(x0)2.函數(shù)在x0處連續(xù)的必要條件:定理：f(x)在x0 處連續(xù)f(x)在x0 處極限存在3 .函數(shù)在x0處連續(xù)的充要條件:4 .函數(shù)在a,b上連續(xù):f(x)在a,b上每一點都連續(xù).在端點a和b連續(xù)是指:a+0b-5 .函數(shù)的間斷點：間斷點有三種情況:3o)x(f在xo處有定義且x

7、imx0f(x)存在,兩類間斷點的判斷:1.第一類間斷點：limf(x)可去間斷點：xx存在,limf(x)f(xo)理：xx0limf(x)xxolimf(x)xxof(xo)lim特點：xx0f(x)lim和x0f(x)“都存在.limxaf(x)f(a)左端點右連續(xù);limxbf(x)f(b)右端點左連續(xù).假設f(x)在Xo處不連續(xù),那么Xo為f(x)的間斷點.io)x(f在xo處無定義;limf(x)2.xx/不存在;limf(x)但xx0f(X0)0f(x)f(xo)或)x(f在xo處無定義.2.第二類間斷點:limf(x)limf(x)xxo和xxo函數(shù)在xo處連續(xù)的性質(zhì)1.連續(xù)函

8、數(shù)的四那么運算:lim(x)(xo),limxxou(xo)那么：limf(x)flim(x)f(xo)xxoxxo3.反函數(shù)的連續(xù)性：特點:至少有一個為OO,lim或xxof(x)一lim無窮間斷點：xx0f(x)lim和xX0f(x)至?j至少有一個為ooJimf(x)設xxof(Xo)叫g(shù)(x)g(xo)1.limf(x)xx.g(x)f(xo)g(xo)2olimf(x)xxog(x)f(xo)g(xo)3.2.f(x)lim-xxog(x)復合函數(shù)的連續(xù)性：f(x0)g(xo)limg(x)oxxoyf(u),u(x),yf(x)f(u)f(xo)1yf(x),xf(x),yf(Xo

9、)3.介值定理:,使得f()c,limf(x)f(xo)Xxolimfyyo1(y)f1(yo)f(x)在a,b上連續(xù)f(x)f(x)在a,b上連續(xù)在(a,b)內(nèi)至少存在一點函數(shù)在a,b上連續(xù)的性質(zhì)i.最大值與最小值定理：7推論:f(x)在a,b上迄賣,且f(a)與f(b)異號4.初等函數(shù)的連續(xù)性：初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.第二章一元函數(shù)微分學2.1導數(shù)與微分一、主要內(nèi)容導數(shù)的概念1 .導數(shù)：1Hmf(xox)f(x0)Hmf(x)f(Xo)x0 xx0 xxx0 xx0定理：f(x)在x0的左(或右)鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導,且極限存在；那么：f(x0)limf(x)xx.(或：f(x0

10、)limf(x)Xx03.函數(shù)可導的必要條件：定理：f(x)在x0處可導f(x)在x0處連續(xù)4 .函數(shù)可導的充要條件：定理：yxx0f(x0)存在f(x)f(x),在(a,b)內(nèi)至少存在一點f()0.f(x)在Xo的某個鄰域內(nèi)有定義,2,左導數(shù):yxxof(x0)dydxxx0f(x)f(x.)f(x0)lim-xx0 xx0右導數(shù)：f(x)ximx.f(x)f(x0)xx08且存在.5.導函數(shù)：yf(x),x(a,b)f(x)在(a,b)內(nèi)處處可導.yf(Xo)6.導數(shù)的幾何性質(zhì)：yf(X0)是曲線yf(x)上點XMx0,y0處切線的余率.oxo求導法那么1.根本求導公式：2.導數(shù)的四那么運

11、算：10(uv)uv20(UV)UVUV(V0)3.復合函數(shù)的導數(shù):yf(U),U(x),yf(x)注意f(x)與f(x)的區(qū)別:f(x)表示復合函數(shù)對自變量x求導；f(x)表示復合函數(shù)對中間變量(x)求導.4.高階導數(shù)：f(x),f(x),或f(3)(x)f(n)(x)f(n1)(x),(n2,3,4)函數(shù)的n階導數(shù)等于其n-1導數(shù)的導數(shù).微分的概念1.微分：f(x)在x的某個鄰域內(nèi)有定義,yA(x)xo(x)dydxdydududx,或f(x)f(x)(x)309那么稱yf(x)在x處可微,記作:dyA(x)x2.導數(shù)與微分的等價關(guān)系:H：f(x)A(x)3.微分形式不變性：dyf(u)d

12、u不管u是自變量,還是中間變量,函數(shù)的微分dy都具有相同的形式.4 2.2中值定理及導數(shù)的應用一、主要內(nèi)容中值定理1.羅爾定理：f(x)滿足條件：10在a,b上連續(xù)；20在(a,b)內(nèi)可導30f(a)f(b).yf()在(a,b)內(nèi)至少存在一點使得f()0.其中：A(x)與x無關(guān),o(x)是比x較高lim階的無窮小量,即：x00(x)dyA(x)dx(x0)定理：f(x)在x處可微f(x)在x處可導,10IIa.2.拉格朗日定理：f(x)滿足條件：limf(x)0 xailimg(x)0 xa注意：1法那么的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導數(shù)之比的極限.2.假設不滿足法那么的條件,不能使用法

13、那么.0_即不是o型或型時,不可求導.f(x)2o在點a的某個鄰域內(nèi)可導,且g(x)0；3oxf(x)g(x)A,(或)lim那么：xa()f(x)g(x)limxa(f(x)g(x)A,10在a,b上連續(xù),20在(a,b)內(nèi)可導;在(a,b)內(nèi)至少存在一點,使得:f(b)f(a)o羅必塔法那么：(0,型未定式)定理f(x)和g(x)滿足條件:ii3.應用法那么時,要分別對分子、分母求導,而不是對整個分式求導.4.假設f(x)和g(x)還滿足法那么的條件,可以繼續(xù)使用法那么,即:limxa(f(x)g(x)limxa(f(x)假設函數(shù)是oo形,化成o或型；假設是1采用對數(shù)或指數(shù)變形,化成導數(shù)的

14、應用i.切線方程和法線方程:設：yf(x),切線方程:yo法線方程:yo2.曲線的單調(diào)性:f(x)g(x)型可采用代數(shù)變,oO,ooo或一型.M(xo,y)f(Xo)(Xf(xo)(a,b)f(x)Ox(a,b)(xlimxa(型可xo)f(x)g(x)(f(xo)0)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加;f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少;12f(x)0 x(a,b)在(a,b)內(nèi)嚴格單調(diào)增加;f(x)0 x(a,b)在(a,b)內(nèi)嚴格單調(diào)減少3 .函數(shù)的極值：極值的定義：f(x)(a,b)x0(a,b)設在內(nèi)有定義,是內(nèi)的一點；假設對于x0的某個鄰域內(nèi)的任意點xx0,都有：13f(x0)f(x)或f

15、(x0)f(x)那么稱f(x0)是f(x)的一個極大值(或極小值)極值存在的必要條件：x0f(x)稱為的極大值點(或極小值點)定理：10.f(x)存在極值f(x0)20.f(x0)存在.f(x0)0 x0稱為f(x)的駐點極值存在的充分條件：定理一：10.f(x)在x0處連續(xù)；20.f(x0)0或f(x0)不存在;30.f(x)過x0時變號.f(x0)是極值；x0是極值點.1410.f(x0)0,x0,f(x0)稱20f(x)過x0時變號.為f(x)的拐點.5.曲線的漸近線：水平漸近線：假設xlimf(x)AyA是f(x)或limf(x)A的水平漸近線.x鉛直漸近線：定理二：注意：假設假設x漸

16、增通過x漸增通過x0時,x0時,f(x0)f(x)由(+)變(-)；為極大值；f(x)-)變(+)；那么f(x0)為極小值.10.f(x0)0；20.f(%)存在.f(x0)是極值；X0是極值點O假設f(x0)0,那么f(x0)為極大值；假設f(x0)0,那么f(x0)為極小值.f(x)f(x)0,xa,bf(x)在(a,b)內(nèi)是上凹的(或凹的),(U)0,xa,bf(x)在(a,b)I內(nèi)是下凹的(或凸的)15假設Jmf(x)xC是f(x)xC或limf(x)的鉛直漸近線.xC第三章一元函數(shù)積分學 1.1不定積分一、主要內(nèi)容重要的概念及性質(zhì)：f(x)dx稱為被積表達式；x稱為積分變量.3 .不

17、定積分的性質(zhì)：1原函數(shù)：設：f(x),F(x),xDF(x)f(x)那么稱F(x)是f(x)的一個原函數(shù),并稱F(x)C是f(x)的所有原函數(shù)其中C是任意常數(shù).2不定積分：函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)的全體,稱為函數(shù)f(x)的不定積分；記作:f(x)dxF(x)C其中：f(x)稱為被積函數(shù)；16f(x)dxf(x)或df(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)C或：df(x)f(x)Cfi(x)f2(x)fn(x)dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx一分項積分法kf(x)dxkf(x)dx4.根本積分公式：換元積分法：L第一換元法：(又稱“湊微元法)f(t)dtF(t)C令t(x)F回

18、代t(x)常用的湊微元函數(shù)有：,1一、dx-d(ax)1oa(x)C1d(axab)(a,b 為常數(shù))a0)(k為非零常數(shù))f(x)(x)dx湊微元f(x)d(x)172o1/1mm1xdxdxm1a(m1)d(axm1b)exdx3od(ex)-d(aexb)aaxdx高d(ax),(a0,a1)d(lnx)5osindxd(cosx)cosxdxd(sinx)6o22secxdxd(tanx)cscxdxd(cotx)x2xd(arcsinx)d(arccosx)1dx1x22.第二換元法：f(x)dxd(arctanx)d(arccotx)f(t)d(t)f(t)dxF(t)C1819F

19、1(x)C反代t1(x)第二換元法主要是針對含有根式的被積函數(shù),其作用是將根式有理化.一般有以下幾種代換：10 xtn,n為偶數(shù)時(當被積函數(shù)中有Jx時)20 xasint,或xacosx,0t萬r22當被積函數(shù)中有aax時3oxatant,或 xacott,0t5,0t 萬22當被積函數(shù)中有aax時4oxasect,或xacsct,0t萬,0t萬:22(當被積函數(shù)中有xxa時)分部積分法：1 .分部積分公式：udvuvvduuvdxuvuvdx2.分部積分法主要針對的類型：,t20Pxsinxdx,Pxcosxdx21P(x)exdxP(x)lnxdxP(x)arcsinxdx,P(x)ar

20、ccosxdxP(x)arctanxdx,P(x)arccotxdxeaxsinbxdx,eaxcosbxdx其中：P(x)naoxn1a1xan(多項式)3.選u規(guī)律:在三角函數(shù)乘多項式中,令P(x)其余記作dv;簡稱“三多項選擇多在指數(shù)函數(shù)乘多項式中,令P(x)其余記作dv;簡稱“指多項選擇多在多項式乘對數(shù)函數(shù)中,令lnx其余記作dv;簡稱“多對選對.在多項式乘反三角函數(shù)中,選反三角函數(shù)為u,其余記作dv;簡稱“多反選反在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中,可任選一函數(shù)為u,其余記作dv;簡稱“指三任選簡單有理函數(shù)積分:f(x)1.有理函數(shù)：P(x)Q(x)其中P(x)和Q(x)是多項式.2.簡單有理函

21、數(shù):22定積分含四步：分割、近似、求和、取極限.定積分的幾何意義：是介于x軸,曲線直線x=a,x=b之間各局部面積的代數(shù)和.2 .f(x)在a,b上有有限個第一類間斷點;3 .f(x)在a,b上單調(diào)有界;那么：f(x)在a,b上可積假設積分存在,那么積分值與以下因素無關(guān)：f(x)P(x)f(x)P(x)Ix2f(x)P(x)(xa)(xb)f(x)(xP(x)a)2b3.2定積分一.主要內(nèi)容(一).重要概念與性質(zhì)f(x)1.定積分的定義:baf(x)dxMi1y=f(x),x軸上方的面積取正號,x軸下方的面積取負號.2.定積分存在定理:設：yf(x)a,b假設:f(x)滿足以下條件之一：1.f

22、(x)連續(xù),a,bOax1x2xi-1Eixi23bb1與積分變量形式無關(guān),即f(x)dxf(t)dt;aa2與在a,b上的劃分無關(guān),即a,b可以任意劃分；3與點i的選取無關(guān),即i可以在Xii,Xi上任意選取.積分值僅與被積函數(shù)f(x)與區(qū)間a,b有關(guān).3.牛頓萊布尼茲公式：假設F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在a,b上的任意一個原函數(shù):bh那么：J(x)dxF(x)aF(b)F(a)*牛頓一一萊布尼茲公式是積分學中的核心定理,其作用是將一個求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計算差量的問題.4.原函數(shù)存在定理：假設f(x)連續(xù),xa,b,x那么：(x)f(t)dt,xa,ba(x)是f(x)在a,

23、b上的一個原函數(shù),x且：(x)(af(t)dt)f(x)5.定積分的性質(zhì)：設f(x),g(x)在a,b上可積,那么：bb1akf(x)dxkaf(x)dx242f(x)dxf(x)dxabm(ba)f(x)dxM(ba)a其中m,M分別為f(x)在a,b上的最小值和最大值b3f(x)g(x)dxaa4af(x)dx0bbaf(x)dxag(x)dxb5af(x)acf(x)dxabcf(x)dx(acb)b估值定理:bytMmf(x)0abx0abx*259積分中值定理：假設f(x)連續(xù)xa,b,那么：必存在一點a,b,使bf(x)dxf()(ba)a二定積分的計算：1.換元積分設fx連續(xù)xa

24、,b,xt假設t連續(xù),t且當t從變到時,t單調(diào)地從a變到b,()a,()b,b一一貝hf(x)dxf(t)a2.分部積分bbudvuvaa3.廣義積分4.定積分的導數(shù)公式川/x-1-(af(t)dt)xf(x)a(t)dtbvdua0f(x)dxf(x)dxf(x)dx26-n(x)2f(t)dtxf(x)(x)a2(x)31(x)f(t)d.f2(x)i(x)(三)定積分的應用i.平面圖形的面積：2(x)fi(x)i(x)1由yf(x)0,xa,xb,(ab)與x軸所圍成的圖形的面積yf(x)bsaf(x)dx2由yif(x),y2g(x),(f與xa,xb所圍成的圖形的面積bsf(x)g(

25、x)dxa3由xi(y),x2(y),(與yc,yd所圍成的圖形的面積dsc(y)(y)dy4.求平面圖形面積的步驟：1.求出曲線的交點,畫出草圖；2.確定積分變量,由交點確定積分上下限；3.應用公式寫出積分式,并進行計算.2.旋轉(zhuǎn)體的體積27得旋轉(zhuǎn)體的體積:1曲線yf(x)0,與xa,x及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所28b.2VxJ2(x)dxa0ab2.由曲線x(y)0,與y得旋轉(zhuǎn)體的體積：d2Vy2(y)dyc第四章多元函數(shù)微積分初步 4.1導數(shù)與全微分一.主要內(nèi)容：.多元函數(shù)的概念3 .二元函數(shù)的定義：zf(x,y)(x,y)D定義域：Df4 .二元函數(shù)的幾何意義：二元函數(shù)是一個空間曲面.

26、而一元函數(shù)是平面上的曲線.二元函數(shù)的極限和連續(xù)：1.極限定義：設z=fx,y滿足條件：1 在點x0,y0的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義點x,y可除外2limf(x,y)AxXOyyo那么稱 zf(x,y)在(x0,y0)極限存在)且等于 A292.連續(xù)定義：設z=f(x,y)滿足條件:1 在點(xo,y0)的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義.2limf(x,y)f(Xo,y0)XX0yyo那么稱 zf(x,y)在(x0,y0)處連續(xù).偏導數(shù)：定義：f(x,y),在(x0,y0)點f(x0 x,y)f(x,y)fx(x0,y0)lxm0 xf,y.)limof(x0,y0y)f(x0,y0)y0yfx(x0,y0),fy(

27、x0,y0)分別為函數(shù)f(x,y)在(x,y)處對x,y的偏導數(shù).zf(x,y)在D內(nèi)任意點(x,y)處的偏導數(shù)記為：f(x,y)zfx(x,y)Zxxxf(x,y)zfy(x,y)-zyyy.全微分：1.定義：z=f(x,y)30右zf(xx,yy)f(x,y)AxByo()其中,A、B與x、y無關(guān),o()是比n1y2較高階的無窮小量.那么：dzdf(x,y)AxByf(x,y)在點(x,y)處的全微分.313.全微分與偏導數(shù)的關(guān)系定理：假設fx(x,y),fy(x,y)連續(xù),(x,y)D.那么：zf(x,y)在點(x,y)處可微且dzfx(x,y)dxfy(x,y)dy.復全函數(shù)的偏導數(shù)：1.設：zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)zfu(x,y),v(x,y)那么：二二上二xuxvxzzuzvyuyvy32那么或所dxFy(七).二階偏導數(shù)：2zzfxx(x,y)()xxx2fyy(x,y)21)yyy2zzfxy(x,y)()xyyx2