1、第五章 圖像變換圖像變換快速傅立葉變換及其應用K-L變換K-T變換小波變換10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf,.)2,1 ,0(cos)(120nnxdxxfan)3,2,1(sin)(120nnxdxxfbn快速傅立葉變換及其應用Fourier Fourier 級數級數dxexfFxi)(21)(deFxfxi)(21)(ier變換50t)和其Fourcos(2函數yx(t)=cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*50*t)+cos(2*pi*100*t) 和它的和它的Fourier變換變換換和其Fourier變10t);sin(2時，

2、x(t)800,1000當t25t);sin(2，x(t)600,800時當t50t);sin(2，x(t)300,600時當t100t);sin(2(t)0,300時，x當t函數離散傅立葉變換離散傅立葉變換NniNnkkenfF210)()(102)(1)(NNnikkkeFNnf二維離散傅立葉變換二維離散傅立葉變換NvyuxiNxNyeyxfvuF)(21010),(),( 10)(2102),(1),(NuNvyuxiNvevuFNyxf到的。x)進行等間隔采樣得是長度為N對函數f(其中，feFN1f逆DFT為,efN1FiiNnj2n1N0iiiNnj2i1N0inNNNlog24二維

3、二維Fourier變換變換dudvevuFyxfdxdyeyxfvuFvyuxjvyuxj)(2)(2),(),(),(),(基函數是波基函數是波Nmlnkje/2kloriginalamplitudephaseoriginalamplitudephasevuFF,1 xFxFF/ )(1零點漂移零點漂移原始圖像原始圖像零點零點漂移漂移圖像圖像的功的功率譜率譜u=0 u=N/2 u=Nv=N v=N/2 v=0傅立葉變換的幾個性質傅立葉變換的幾個性質傅立葉變換域原點的頻譜分量傅立葉變換域原點的頻譜分量F(0,0)F(0,0)是平均值的是平均值的N N倍倍變換是周期性的，周期為變換是周期性的，周

4、期為N N共軛對稱性共軛對稱性加法定理加法定理相似性定理相似性定理位移定理位移定理RayleighRayleigh定理定理卷積定理卷積定理微分、旋轉、微分、旋轉、LplaceLplace算子的相關定理算子的相關定理Fourier變換小結變換小結Fourier TransformFrequencyTime FG=H低通高通帶通Fourier分析用于圖像濾波的例子分析用于圖像濾波的例子離散化的問題離散化的問題采樣模型采樣模型ii)nTt ()iT( l)nTt () t ( l) t ( s周期噪聲去除周期噪聲去除同態濾波增強目的 利用同態系統進行圖像增強處理是把頻利用同態系統進行圖像增強處理是把

5、頻率過濾和灰度變換結合起來的一種處理方法。率過濾和灰度變換結合起來的一種處理方法。以圖像的照明反射模型作為頻率域處理的基以圖像的照明反射模型作為頻率域處理的基礎，利用壓縮亮度范圍和增強對比度來改善礎，利用壓縮亮度范圍和增強對比度來改善圖像的一種處理方法。圖像的一種處理方法。 一幅圖像一幅圖像f(x,y)f(x,y)可以用它的照明分量可以用它的照明分量i(x,y)i(x,y)和反射分量和反射分量r(x,y)r(x,y)來表示，即：來表示，即： f(x,y) = i(x,y). r(x,y)f(x,y) = i(x,y). r(x,y)薄云去除處理流程濾波階次濾波階次濾波器截至頻率選定濾波器截至頻

6、率選定與輸入圖像等分與輸入圖像等分辨率的濾波器辨率的濾波器乘性噪聲變為加性噪聲乘性噪聲變為加性噪聲輸入控制輸入控制濾波器設計濾波器設計灰度對數變換灰度對數變換頻域變換頻域變換 頻域濾波頻域濾波頻域逆變換頻域逆變換灰度指數變換灰度指數變換灰度調整灰度調整2.K-L變換變換(Hotelling變換變換) 主分量分析主分量分析(PCA） 由于遙感圖像的不同波段之間往往存在著很高的相關性，從直觀上看，就是不同波段的圖像很相似。因此從提取有用信息的角度考慮，有相當大的一部分數據是多余和重復的。K-L變換的目的就是把原來多波段圖像中的有用信息集中到數據盡可能少的新主成分圖像中，并使這些主成分圖像之間互不相

7、關，也就是說各個主成分包含的信息內容是不重疊的，從而大大減少總的數據量并使圖像信息得到增強。 K-L變換是統計特征基礎上的多維（如多波段）正交線性變換。2.K-L變換變換(Hotelling變換變換) 主分量分析主分量分析(PCA）目的目的一般而言，一般而言， K-LK-L變換的目的是尋找任意統計變換的目的是尋找任意統計分布的數據集合之主要分量的子集分布的數據集合之主要分量的子集相應的基向量組滿足正交性且由它定義的子相應的基向量組滿足正交性且由它定義的子空間最優地考慮了數據的相關性空間最優地考慮了數據的相關性將原始數據集合變換到主分量空間使單一數將原始數據集合變換到主分量空間使單一數據樣本的互

8、相關性據樣本的互相關性(cross-correlation)(cross-correlation)降低降低到最低點到最低點K KL L變換就是選取一個合適的正交變換變換就是選取一個合適的正交變換T T，使得變，使得變換后的圖像換后的圖像Y=TXY=TX 由由Y Y經反變換而恢復的經反變換而恢復的 （向量（向量x x的估的估 值）和原圖像具有最小的均方誤差，即值）和原圖像具有最小的均方誤差，即xmin)()(MXXMXXEXT實現實現K-LK-L變換的過程變換的過程設設 j=1,s是是N維向量的數據集合，維向量的數據集合，m是其是其均值向量：均值向量： jxmxdjj協方差矩陣是：協方差矩陣是：

9、s1jjxs1m求出協方差矩陣的從大到小排列的特征值求出協方差矩陣的從大到小排列的特征值k及滿足下列條件的特征向量及滿足下列條件的特征向量ku有了特征向量集合，任何數據有了特征向量集合，任何數據x可以投影到特征可以投影到特征空間（以特征向量為基向量）中的表示：空間（以特征向量為基向量）中的表示： 相反地，任何數據相反地，任何數據x x可以表示成如下的線性組合可以表示成如下的線性組合形式：形式： 如果用如果用A A代表以特征向量為列向量構成的矩陣，則代表以特征向量為列向量構成的矩陣，則A A的轉置定義了一個線性變換：的轉置定義了一個線性變換： 變換后的協方差矩陣為：變換后的協方差矩陣為：上述去相

10、關的主分量分析方法可以用于降低數據上述去相關的主分量分析方法可以用于降低數據的維數。通過略去對應于若干較小特征值的特征的維數。通過略去對應于若干較小特征值的特征向量來給向量來給y y降維降維 K-LK-L變換在圖像處理中的作用變換在圖像處理中的作用K-LK-L變換是圖象分析與模式識別中的重要工具，用變換是圖象分析與模式識別中的重要工具，用于特征抽取，降低特征數據的維數于特征抽取，降低特征數據的維數K-LK-L變換用于圖像壓縮時可以實現有損壓縮和無損變換用于圖像壓縮時可以實現有損壓縮和無損壓縮壓縮K-LK-L變換后的變換后的N N幅圖象統計上互不相關，因此幅圖象統計上互不相關，因此K-LK-L變

11、變換可以去除圖象數據的相關性，提取主要信息換可以去除圖象數據的相關性，提取主要信息 利用K-L變換提取AVIRIS高光譜影像的主成分分量原圖第一波段（共224個波段）KL變換取前10個分量的第一分量KL逆變換后圖像的的第一分量K-L變換的性質和特點：變換的性質和特點： （1 1）K-LK-L變換是正交線性變換，所以變換前后的方差總和變換是正交線性變換，所以變換前后的方差總和不變，變換只是把原來的方差不等量的再分配到新的主成分不變，變換只是把原來的方差不等量的再分配到新的主成分圖像中；圖像中； （2 2）第一主成分包含了總方差的絕大部分（一般在）第一主成分包含了總方差的絕大部分（一般在80%80

12、%以以上），也就是說上），也就是說K-LK-L變換的結果使得第一主成分幾乎包含了原變換的結果使得第一主成分幾乎包含了原來多波段圖像信息的絕大部分，即信息量最大，其余各主成來多波段圖像信息的絕大部分，即信息量最大，其余各主成分的方差依次減少，因此后面的主成分所包含的信息量也劇分的方差依次減少，因此后面的主成分所包含的信息量也劇減；減； （3 3）第一主成分相當于原來各波段的加權和，而且每個波）第一主成分相當于原來各波段的加權和，而且每個波段的加權值與該波段的方差大小成正比（方差大說明該波段段的加權值與該波段的方差大小成正比（方差大說明該波段圖像所包含的信息量大，在第一主成分中占的比重大），反圖像

13、所包含的信息量大，在第一主成分中占的比重大），反映了地物總的反射強度。映了地物總的反射強度。3. K-T變換（纓帽變換）變換（纓帽變換） 纓帽變換是纓帽變換是Kauth和和Thomas通過分析陸地衛星通過分析陸地衛星MSS圖像圖像反映農作物和植被生長過程的數據結構后提出的一種經驗性反映農作物和植被生長過程的數據結構后提出的一種經驗性的多波段圖像多波段圖像的正交線性變換，又稱的多波段圖像多波段圖像的正交線性變換，又稱K-T變換。變換。 3. K-T變換（纓帽變換）變換（纓帽變換） Kauth和和Thomas通過對陸地衛星通過對陸地衛星MSS圖像反映農作圖像反映農作物和植被的生長過程的研究發現，物

14、和植被的生長過程的研究發現，MSS圖像信息隨時間圖像信息隨時間變化的空間分布形態是呈規律性變化，它象一個頂部有變化的空間分布形態是呈規律性變化，它象一個頂部有纓子的氈帽，即植被信息的波譜數據點隨時間變換的軌纓子的氈帽，即植被信息的波譜數據點隨時間變換的軌跡是一個纓帽，且具有較明顯的三維結構，而纓帽的底跡是一個纓帽，且具有較明顯的三維結構，而纓帽的底面恰好反應了土壤信息的數據特征，稱為土壤面，其與面恰好反應了土壤信息的數據特征，稱為土壤面，其與植被的波譜特征互不相關。植被的波譜特征互不相關。MSSMSS圖像的纓帽變換圖像的纓帽變換 一種固定的經驗線性變換，使波譜空間旋轉到幾一種固定的經驗線性變換

15、，使波譜空間旋轉到幾個有意義的方向上，即個有意義的方向上，即: :rXRYT式中：式中：X為由為由MSS圖像四個波段數據組成的矩陣，每一行為一圖像四個波段數據組成的矩陣，每一行為一 個波段的像元組成的向量；個波段的像元組成的向量； Y為纓帽變換后的數據矩陣；為纓帽變換后的數據矩陣； R為纓帽變換的正交變換矩陣；為纓帽變換的正交變換矩陣；R=R1，R2，R3，R4； 變換后對應于變換后對應于R1的特征量稱為的特征量稱為“亮度亮度”，它在數值上是，它在數值上是MSS四個波四個波段的加權和，反映了地物總的電磁波段的加權和，反映了地物總的電磁波輻射水平，對應于輻射水平，對應于R2的特征稱為的特征稱為“

16、綠綠色物色物”，它等于，它等于MSS6與與MSS7的加權的加權和再減去和再減去MSS4與與MSS5的加權和，反的加權和，反映了植物的生長狀況；對應于映了植物的生長狀況；對應于R3的特的特征叫做征叫做“黃色物黃色物”，它是，它是MSS5與與MSS7的加權和減去的加權和減去MSS4與與MSS6的的加權和。加權和。 R1，R2，R3，R4是相互正交的單位列向量，是相互正交的單位列向量，Kauth 和和Thomas根據根據MSS圖像實例得出的各個單位列向量為：圖像實例得出的各個單位列向量為：194. 0039. 0522. 00.829-R3810. 0543. 0012. 0223. 0R4264.

17、 0586. 0632. 0433. 0R1491. 0600. 0562. 00.290-R2 式中，式中，r 為補償向量，意在避免為補償向量，意在避免Y有負值出現。有負值出現。3.小波變換小波變換 傳統的信號分析是建立在傅立葉（傳統的信號分析是建立在傅立葉（FourierFourier）變換的基）變換的基礎之上的，由于傅立葉變換是一種全局的變換，要么完全時礎之上的，由于傅立葉變換是一種全局的變換，要么完全時域，要么完全頻域，因此無法表達信號的時頻局域性質。域，要么完全頻域，因此無法表達信號的時頻局域性質。 在實際的信號處理過程中，尤其是對非平穩信號的處理在實際的信號處理過程中，尤其是對非平

18、穩信號的處理中，信號在任一時刻附近的頻域特征都很重要。如柴油機缸中，信號在任一時刻附近的頻域特征都很重要。如柴油機缸蓋表面的振動信號就是由撞擊或沖擊產生的，是一瞬變信號，蓋表面的振動信號就是由撞擊或沖擊產生的，是一瞬變信號，僅從時域或頻域上來分析是不夠的。這就促使去尋找一種新僅從時域或頻域上來分析是不夠的。這就促使去尋找一種新方法，能將時域和頻域結合起來描述觀察信號的時頻聯合特方法，能將時域和頻域結合起來描述觀察信號的時頻聯合特征，構成信號的時頻譜。這就是所謂的征，構成信號的時頻譜。這就是所謂的“時頻分析法時頻分析法”，亦，亦稱稱“時頻局部化方法時頻局部化方法”。3.小波變換小波變換 小波變換

19、是一種信號的時間小波變換是一種信號的時間尺度（時間尺度（時間頻域）分析頻域）分析方法，它具有多分辨率分析（方法，它具有多分辨率分析（Multisolution Analysis)Multisolution Analysis)的的特點，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是特點，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都一種窗口大小固定不變但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的可以改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時頻率分辨

20、率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率。間分辨率和較低的頻率分辨率。小波的理論發展小波的理論發展 小波時代開始：小波時代開始：1986年，年，S. Mallat和和Y.Meyer提出了提出了小波理論奠基性的框架：多尺度分析小波理論奠基性的框架：多尺度分析（Multiresolution Analysis);1988年，年，I. Daubechies構構造了正交、緊支具有最大光滑度的小波基及其濾波器；造了正交、緊支具有最大光滑度的小波基及其濾波器； 研究路線研究路線 濾波器構造濾波器構造 諧波分析諧波分析3.3.小波變換n真正意義上的小波是一個數學概念，從傳真正意義