1、1 本章主要研究力在持續地本章主要研究力在持續地對物體作用的過程中，在空間對物體作用的過程中，在空間和時間上所產生的累積效應。和時間上所產生的累積效應。第第3 3章章 守恒定律及其在守恒定律及其在力學中的應用力學中的應用守恒守恒定律是包括近代物理學在內的定律是包括近代物理學在內的整個物理學中的重要概念和基本規律整個物理學中的重要概念和基本規律動量、角動量、能量的不守恒動量、角動量、能量的不守恒 都必然會導致新的發現都必然會導致新的發現 23.1功功 動能定理動能定理1、恒力做功、恒力做功Frcos|AFr2、變力做功、變力做功元功：元功：dcos|d |AFrddAFr總功：總功：( )dBA

2、LAA( )dBALFrcosFs|d | drs( )cosdBALAFs( )cos|d |BALFrABFdr3.1.1 功功 功率功率 質點在力質點在力 的作用下的作用下, 沿沿某一路徑某一路徑從一處移到另一處從一處移到另一處 , 力與位力與位移的標積移的標積 沿運動軌跡的線積分沿運動軌跡的線積分, 定義為力對該質點所作的定義為力對該質點所作的功功 。 直角坐標系下的功直角坐標系下的功:xyzFF iF jF kkzj yi xrddAFrdddxyzF xFyF zddddrxiyjzk() (ddd)xyzF iF jF kxiyjzkdddBBBAAAxyzxyzxyzAF xF

3、 yF zABFdroyxz討論討論: :1)1) 功是功是標量標量，但有正負，但有正負2)2) 功是功是過程量過程量，某一時刻的功沒有意義，某一時刻的功沒有意義3)3) 功是功是相對量相對量. . 與參考點的選擇有關與參考點的選擇有關( )( )dcosdBBAALLAFrFs412()nFFFFdBAAFr12() dBnAFFFr12dddBBBnAAAFrFrFr12ABABnABAAA3、合力的功、合力的功1niiA功的單位：功的單位：J（焦耳）（焦耳） 合外力對合外力對質點質點所做的功等于各分力沿同一路徑所做功的代數和所做的功等于各分力沿同一路徑所做功的代數和AB1Fdr2FnF3

4、FFvddAtddFst4、功率、功率 功率的單位：功率的單位：W（瓦）（瓦） 1 W = 1 Js- -1 APt平均功率平均功率瞬時功率瞬時功率0limtAPt dBAAFr221122BAmmvv質點質點動能動能212kEmv或或22kpEmdBAmvvv v3.1.2 質點的動能定理質點的動能定理ABFdrcos|d |BAFrddkFrE質點的動能定理質點的動能定理21kkAEE微分式微分式合外力對物體所做的功等于物體動能的增量合外力對物體所做的功等于物體動能的增量|d |BtAFrd|d |dBAmrtv注意：注意：動能是反應物體運動狀態的物理量，是動能是反應物體運動狀態的物理量，

5、是狀態量狀態量3.1.3 質點系動能質點系動能對對n個質點組成的質點系：個質點組成的質點系：m1:對每個質點分別使用動能定理對每個質點分別使用動能定理1111kBkAAAAEE外1合內m2:22kBkAAAAEE2外2合2內mn:nkBnkAAAAEEn外n合n內11=nniiiiAA外內注意：注意：內力內力能能改變系統的改變系統的總動能總動能。質點系的動能定理質點系的動能定理11nnikBikAiiEE1niiAAkAAE 外內 一切外力對系統所作的功與系統內各物體間相互作用的一一切外力對系統所作的功與系統內各物體間相互作用的一切內力所作的切內力所作的功之代數和功之代數和， 在數值上等于該系

6、統在數值上等于該系統動能的增量動能的增量。3.2 保守力保守力 系統的勢能系統的勢能 3.2.1 保守力做功的特點保守力做功的特點1. 重力做功重力做功dbaAmgr 重力做功與路徑無關重力做功與路徑無關21dyymg y21mgymgy rdxyoabgm().(dd)bamgjxiyjy1y2re為單位矢量為單位矢量122rGm mfer dLAfr123()dBArrLGm mrrrd|d |cosrrrrdr r122( )dBArrLGm mrr1212()()BAGm mGm mrr 1m2mdrrdrdrBrArrreBALL2.2. 萬有引力做功萬有引力做功123Gm mfrr

7、 rrre或或其中其中 萬有引力做功也與路徑無關萬有引力做功也與路徑無關1. 任意兩點間做功與路徑無關任意兩點間做功與路徑無關, 即即1dBALfrL1ABL22. 沿任意閉合回路做功為沿任意閉合回路做功為 0. 即即 12()dddBALABLLfrfrfr2dBALfr沿任意回路做功為零的沿任意回路做功為零的力力或做功與具體路徑無或做功與具體路徑無 關的關的力力都稱為都稱為保守力保守力03. 彈簧的彈性力做功彈簧的彈性力做功222111()22kxkx O x1x2xk21dxxAfr21() dxxkxixi保守力保守力f 與路徑無關與路徑無關10保守力作功等于保守力作功等于勢能增量勢能

8、增量的負值的負值. A B 點點PApBEEdBABAAfrpE (沿任意路徑）沿任意路徑）勢能定義勢能定義3.2.2 勢能勢能保守力做功的特點：保守力做功的特點：21Amgymgy 重力1212()()BAGm mGm mArr 萬有引力222111()22Akxkx 彈性力 把相互作用物把相互作用物體間相對位置決定體間相對位置決定的函數定義為該物的函數定義為該物體系的體系的勢能函數勢能函數，簡稱簡稱勢能勢能。若選若選 B 為計算勢能參考點為計算勢能參考點, 取取EpB = 0pAABEA0dBAfr（勢能 點）(沿任意路徑）沿任意路徑）則則A 點的勢能定義：點的勢能定義：11勢能勢能相對量

9、相對量: :相對于勢能零點的相對于勢能零點的系統量系統量: :是屬于相互作用的質點共有的是屬于相互作用的質點共有的pAABEA0dBAfr（勢能 點）(沿任意路徑）沿任意路徑） 系統在任一位形時的勢能等于它從此位形系統在任一位形時的勢能等于它從此位形沿任意沿任意路徑路徑改變至勢能零點時保守力所做的功。改變至勢能零點時保守力所做的功。勢能與參考系無關勢能與參考系無關(相對位移相對位移)勢能定義：勢能定義： 引力勢能引力勢能: rmmGrEp21選選 處為零勢點處為零勢點彈性勢能彈性勢能: 221xkxEp重力勢能重力勢能: pEymgy選選 彈簧自然伸長位置為零彈簧自然伸長位置為零勢點勢點選選

10、y=0處處為零勢點為零勢點12 引力勢能引力勢能: rmmGrEp21彈性勢能彈性勢能: 221xkxEp重力勢能重力勢能: pEymgy122dd pEm mfGrrdd pEfkxxddpEfmgy 引力引力彈性力彈性力重力重力保守力與勢能的關系保守力與勢能的關系dddpABEAFl勢能定義勢能定義cos d FldlF ldd plEFllmlFFld13在直角作標系中在直角作標系中dd plEFlpFE ijkxyz ()ppEEx y zpxEFx pyEFy pzEFz xyzFF iF jF k()pijk Exyz 保守力等于保守力等于勢能的負梯度勢能的負梯度3.3 系統的功能

11、定理系統的功能定理 機械能守恒定律機械能守恒定律 能量守恒定律能量守恒定律kAAE 外內由質點系動能定理由質點系動能定理因為因為pEA保內所以所以)(pkEEAA非保內外機械能機械能pkEEE 質點系的功能原理質點系的功能原理EAA非保內外kAAAE 外非保內保內3.3.1 系統的功能定理系統的功能定理質點系機械能的增量等于外力和非保守內力作功之質點系機械能的增量等于外力和非保守內力作功之和和 .14150AA外非保內時BAEE恒量機械能守恒定律機械能守恒定律EAA非保內外一個質點系在運動中，當只有保守內力做功一個質點系在運動中，當只有保守內力做功 時，系統的機械能保持不變時，系統的機械能保持

12、不變00AA外非保內（而且） 一個保守系一個保守系, 總的機械能的增加總的機械能的增加, 等于外力對它所作的功等于外力對它所作的功; 從某一慣性參考系看從某一慣性參考系看, 外力作功為零外力作功為零, 則該系統的機械能不變則該系統的機械能不變.3.3.2 機械能守恒定律機械能守恒定律守恒定律的意義守恒定律的意義 不究過程細節而能對系統的狀態下結論，這是不究過程細節而能對系統的狀態下結論，這是各個守恒定律的特點和優點各個守恒定律的特點和優點 .16內力的功的作用：內力的功的作用：保守內力作功：相應勢能和保守內力作功：相應勢能和間轉換；間轉換；機械能守恒定律是機械能守恒定律是 普遍能量守恒定律在機

13、械運動中的體現。普遍能量守恒定律在機械運動中的體現。pk0AEE保內即pk0AEE保內0E 當時，所以所以A保內保內是是Ep與與Ek之間轉化的手段和量度。之間轉化的手段和量度。kpEEA 保內17非保守內力作功：系統機械能與非保守內力作功：系統機械能與 能量間轉換。能量間轉換。 若若A內非內非 0, 它的機械能就不守恒。它的機械能就不守恒。 A內非內非 0 ， E2 E1-其他形式能量轉化為機械能其他形式能量轉化為機械能 (地雷）地雷） A內非內非 0 ，E2 E1-機械能轉化為其他形式能量機械能轉化為其他形式能量 （摩擦）（摩擦）0A外21AEE內非外力的功：系統機械能與外力的功：系統機械能

14、與能量的交換或轉換能量的交換或轉換從普遍能量守恒觀點：從普遍能量守恒觀點： 即：能量只能傳遞或轉換，而不能創生。即：能量只能傳遞或轉換，而不能創生。18機械能守恒機械能守恒3.3.3 能量守恒定律能量守恒定律一個孤立系統經歷任何變化時，該系統所有一個孤立系統經歷任何變化時，該系統所有能量的總和保持不變能量的總和保持不變普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律功功和和能量的變化能量的變化相聯系相聯系，能量的變化能量的變化反映了系統反映了系統作功的本領。作功的本領。能量是運動狀態的單值函數：和狀態的一一對應性。能量是運動狀態的單值函數：和狀態的一一對應性。203.4 沖量與動量沖量與動量 質點的動量定

15、理質點的動量定理dd()Ftm外v2121dttFtpp外沖量沖量質點的動量定理質點的動量定理動量定理只適動量定理只適用于慣性系。用于慣性系。 矢量矢量過程量過程量由由21dttIFt外2121dttFtmm外vv21Ipp質點受合外力的質點受合外力的沖量沖量等于同一時間內該質點等于同一時間內該質點動量動量的增量的增量若在若在F外的作用下，的作用下，在在21tt 時間內，時間內， 質點速度從質點速度從12vv則則pmv動量動量或或ddmtvFma外d()dmtvddFtp外21沖擊力下沖擊力下21dttIF tF tF0tt1t2Ft稱為稱為時間內的平均力時間內的平均力Ft2121ppIFtt

16、t2121dtxxxxtIF tpp2121dtyyyytIFtpp2121dtzzzztIF tpp分量式分量式大小大小:2121dttIFtpp外221v2vV1p2ppf/fff21ftppp 船對風ff 風對船船對風f/f與水的阻力相平衡與水的阻力相平衡為船的動力為船的動力“好船家會使八面風好船家會使八面風”請分析請分析逆風行船逆風行船的道理！的道理！龍骨龍骨23質點系質點系1m2m12F21F1F2F或或00111()dnnntiiiiitiiiFtmm外vv0121 1221 10220()d()()ttFFtmmmmvvvv022122220()dttFFtmmvv0112111

17、10()dttFFtmmvv因為內力因為內力 ，故，故02112FF0ppI3.5.1 質點系的動量定理質點系的動量定理3.5 系統的動量定理系統的動量定理 動量守恒定律動量守恒定律2:m1:m22()mm系統：系統：m1、m2系統，系統，t0 時刻速度：時刻速度：1020、vvt 時刻速度：時刻速度：12、vv質點系動量定理質點系動量定理 24當系統所受的合外力為當系統所受的合外力為 0, 即即d0dPt或或iipP恒矢量恒矢量系統系統 動量守恒動量守恒分量式分量式:當當0 xF 則則xp恒量恒量則則zp恒量恒量則則yp恒量恒量討論討論 1. 當某一方向外力為零時該方向動量守恒當某一方向外力

18、為零時該方向動量守恒2. 當內力當內力 外力時，動量守恒外力時，動量守恒0yF 當當0zF 當當3.5.2 系統的動量守恒定律系統的動量守恒定律10niiFF外外1 122xxiixmmmvvv恒量恒量1 122yyiiymmmvvv恒量恒量1 1223zzizmmmvvv恒量恒量3.3.定理中各速度必須是相對于同一參考系。定理中各速度必須是相對于同一參考系。 4.4.動量守恒定律更普遍、更基本動量守恒定律更普遍、更基本, ,宏觀、微觀均適用。宏觀、微觀均適用。25求：求： 當小物體當小物體 m 滑到底時，滑到底時， 大物體大物體 M 在水平面上在水平面上 移動的距離。移動的距離。例例 如圖，

19、一個有四分子一圓弧滑槽的大物體質量為如圖，一個有四分子一圓弧滑槽的大物體質量為M，置于光，置于光滑的水平面上。另一質量為滑的水平面上。另一質量為m的小物體自圓弧頂點由靜止下滑。的小物體自圓弧頂點由靜止下滑。RmxvvVyxSs0()xmMVv解解:xmMVv00ddttxmtMV tvsSMSms SRsRMmmSM26mdm火箭原理火箭原理 (選地面作參照系選地面作參照系)dddmmmumvvvt 時刻時刻: 火箭火箭 + 燃料燃料 = m它們對地的速度為它們對地的速度為v(1)經經 dt 時間后時間后 , 質量為質量為 dm 的燃料噴出的燃料噴出d ,mm 剩下質量為剩下質量為dvv對地速

20、度為對地速度為(2)d dm v略去二階小量略去二階小量u對地速度為ddd ddmmmmmumvvvvv動量守恒動量守恒ddd0mmmuvv選選正正向向27ddmum v0v火箭初始質量為火箭初始質量為 m0, 初速度初速度v末速度末速度末質量為末質量為 m ，00ddmmmum vvv則有則有 00lnmumvvdd0mu mv式中式中uuv稱為稱為噴氣速度噴氣速度ddd0mmmuvvdd()ddpmuttvvddmut dm:ddmFut火箭推力火箭推力對對282. 0ln,mmv這對燃料的攜帶來說不合適這對燃料的攜帶來說不合適, 用多級火箭避免可這一困難用多級火箭避免可這一困難0mm大，

21、 大，v15000 m suv1. 化學燃料最大化學燃料最大 u 值為值為實際上只是這個理論值的實際上只是這個理論值的50% . 這個這個 u 值比帶電粒子在電場作用下獲得的速度值比帶電粒子在電場作用下獲得的速度 3 108 m s-1 小得多小得多 , 由此引起人們對離子火箭由此引起人們對離子火箭 , 光子火箭的遐想光子火箭的遐想. 可惜它們噴出的物質太少可惜它們噴出的物質太少, 從而推動力太小從而推動力太小 即所需加速過程即所需加速過程太長太長 .初速為初速為v0=0時時0lnmumv00lnmumvv293.6 質心質心 質心運動定理質心運動定理 質心定義質心定義1i iicm rrm(

22、)iimm質質心心的的坐坐標標iiicm xxmiiicm yymiiicm zzm12cxab()2cmam abxm0 xyzm1m2micrc2r1riroabmmcxx質量連續分布的質量連續分布的物體物體dcr mrmdcx mxmdcy mymdcz mzm3.6.1 質心質心分量式分量式例：例：30質心質心質心速度質心速度ddiiccmrtmvv22ddiicicmaratm質心加速度質心加速度ddcmmvvddca mam 說明說明: : 1 1）不太大物體不太大物體, ,質心與重心重合質心與重心重合 2 2）均勻分布的物體均勻分布的物體, ,質心在幾何中心質心在幾何中心 3 3

23、）質心是位置的加權平均值質心是位置的加權平均值, ,質心處不一定有質量質心處不一定有質量 4 4）具有可加性具有可加性, ,計算時可分解計算時可分解1i iicmrrmdcr mrm31質點系的動量是質點系內各質點的動量的矢量和質點系的動量是質點系內各質點的動量的矢量和iiipmv質心運動定理質心運動定理: : ddddccpFmmatt外vcFma 外外當物體只作平動時，當物體只作平動時， 質心運動可以代表整個物體的運動。質心運動可以代表整個物體的運動。動量守恒定律的另一表述：動量守恒定律的另一表述：當系統所受當系統所受合外力為零時合外力為零時，質心速度質心速度保持不變保持不變iiicmmm

24、mvv3.6.2 質心運動定理質心運動定理320外Fcv討論討論1）質點系動量定理微分形式）質點系動量定理微分形式積分形式積分形式3）若）若不變不變質心速度不變就是動量守恒質心速度不變就是動量守恒cFma外PFt外dd210ttFtPP外d2）只要外力確定，不管作用點怎樣，質心的加速度就確只要外力確定，不管作用點怎樣，質心的加速度就確定，質心的運動軌跡就確定，即質點系的平動就確定。定，質心的運動軌跡就確定，即質點系的平動就確定。（如拋擲的物體、跳水的運動員、爆炸的焰火等，（如拋擲的物體、跳水的運動員、爆炸的焰火等，其質心的運動都是拋物線）。其質心的運動都是拋物線）。 系統系統內力內力不會影響質

25、心的運動不會影響質心的運動33完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞 兩物體碰撞后兩物體碰撞后,以同一速度運動以同一速度運動 .碰撞碰撞 兩物體互相接觸時間極短而互作用力較大的相互兩物體互相接觸時間極短而互作用力較大的相互作用作用 .CEEE2k1kk完全彈性碰撞完全彈性碰撞 兩物體碰撞之后，兩物體碰撞之后， 它們的動能之和不變它們的動能之和不變 非彈性碰撞非彈性碰撞 由于非保守力的作用由于非保守力的作用 ，兩物體碰撞后，使，兩物體碰撞后，使機械能轉換為熱能、聲能，化學能等其他形式的能量機械能轉換為熱能、聲能，化學能等其他形式的能量 .3.7 碰撞碰撞 iiFFpC外內343.7.1 彈性碰撞彈性碰撞1

26、 1021202122mmmmmvvv12102201122mmmmmvvv1 102201 122mmmmvvvv22221 102201 12211112222mmmmvvvv（1）若）若21mm 則則120210 , vvvv（2）若）若且且20 0v12mm 則則1102 , 0 vvv20 0v12mm （3）若）若且且110210 , 2vvvv則則動能：動能：動量：動量：35完全非彈性碰撞：完全非彈性碰撞：12vvv11022012()mmmmvvv1 1022012mmmmvvv=碰撞后速度：碰撞后速度：碰撞中機械能的損失：碰撞中機械能的損失：2221 1022012111()

27、()222Emmmmvvv212102012)2()m mmm(vv=3.7.2 完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞動量守恒：動量守恒：36例題：例題： 質量相等粒子的非對心彈性碰撞質量相等粒子的非對心彈性碰撞mmmmyxxy20imv1fmv2 fmv1imv1fmv2 fmv1imv碰撞前碰撞前碰撞后碰撞后解解:222111112222iffmmmvvv112iffmmmvvv(*)222112iffvvv112iffvvv(*)式兩邊平方得式兩邊平方得222112122iffffvvvvv120ffvv 證明碰撞后兩個質子證明碰撞后兩個質子將互成直角地離開將互成直角地離開 在液氫泡沫室中在液氫

28、泡沫室中, 入入射質子自左方進入射質子自左方進入, 并與并與室內的靜止質子相互作室內的靜止質子相互作用用.37對心碰撞對心碰撞38非對心碰撞非對心碰撞393.8 角動量角動量 力矩力矩 質點的角動量守恒定律質點的角動量守恒定律3.8.1 質點的角動量質點的角動量定義定義:Lrmrpv - 質點對質點對參考點參考點O的的質點角動量質點角動量 或或 質點動量矩質點動量矩LrOsinsinLrpmrv大?。捍笮。簃p方向：垂直方向：垂直 組成的平面組成的平面, r p 質點以角速度質點以角速度 作半徑作半徑為為 的圓運動，相對圓心的的圓運動，相對圓心的角動量角動量r2Lmr4041例：自由下落質點的

29、角動量例：自由下落質點的角動量mvroRrA任意時刻任意時刻 t， 有有 212rgt pmmgtv（1） 對對 A 點的角動量點的角動量3102ALrpmt gg rrR（2） 對對 O 點的角動量點的角動量prRprLO)(t gmRpRgRRmgtLOm42Mf r : 力臂力臂r 設力設力 的作用點的作用點 P相對于慣相對于慣性系中給定參考點性系中給定參考點O的位矢為的位矢為 , 則定義這個力相對于參考點則定義這個力相對于參考點O 的的力矩力矩frMrf Msinf rfrrMO/FFFFMP3.8.2 力矩力矩對空間力對空間力 對對O點的力矩點的力矩FrMFFrFr/F/MMM/M0

30、 ,0iiFM0 ,0iiFMFFFF定義：定義：大小：大?。?3dddd()ddddLrprpprttttmrFvv質點的質點的角動量定理角動量定理ddLMtrF質點對某固定點所受的合外力矩質點對某固定點所受的合外力矩等于它對該點角動量的時間變化率等于它對該點角動量的時間變化率FrrMOA3.8.3 質點的角動量定理質點的角動量定理ddpFtprLd?dLtddM tL或或dM t沖量矩沖量矩2121dttM tLL對同一參考點對同一參考點O, ,質點所受的沖量質點所受的沖量矩等于質點角動量的增量。矩等于質點角動量的增量。441 1）角動量和力矩均與）角動量和力矩均與參考點有關，參考點有關，

31、 角動量也稱角動量也稱動量矩動量矩，力矩也叫，力矩也叫角力角力；2 2） 對軸的角動量和對軸的力矩對軸的角動量和對軸的力矩 在具體的坐標系中，在具體的坐標系中，角動量（或力矩）在各坐標角動量（或力矩）在各坐標軸的分量軸的分量，就叫對軸的角動量（或力矩）。，就叫對軸的角動量（或力矩）。討論討論xyzLrPLiL jLk xyzMr FM iM jM k xL：質點對：質點對x 軸的角動量軸的角動量xM：質點對：質點對x 軸的力矩軸的力矩453.8.4 質點角動量守恒定律質點角動量守恒定律0M 則則d0dLt或或L 常矢量若對某一固定點，質點所受合外力矩為零，若對某一固定點，質點所受合外力矩為零，

32、 則質點對該固定點的角動量矢量保持不變。則質點對該固定點的角動量矢量保持不變。若若pmvrOALoLrmvsinr m vrmv質點做勻速直線運動中，對質點做勻速直線運動中，對O點角動量是否守恒？點角動量是否守恒？r例：例：質點的角動量定理質點的角動量定理ddLMt463.9 質點系的角動量守恒定律質點系的角動量守恒定律ddiiLMt力矩的迭加原理力矩的迭加原理jjiijijj ijMM系統系統ddiiiiLMt0M外ijj iM第第 i 個質點個質點ijijij iijMMjiijMMjririjijFjiFrOijMjiMddiiLMLLt外質點系的質點系的角動量定理角動量定理 ddMtL外或221121ddtLtLMtLLL外一對內力的一對內力的力矩力矩互相抵消互相抵消d0dLt時外0MiLL常量討論討論; 1) 不要求系統孤立不要求系統孤立, 只要求只要求2) 矢量式有矢量式有3個分量式個分量式, 即即 的某個分量的某個分量=0, 則相應角動量的分量守恒則相應角動量的分量守恒3) 系統守恒條件系統守恒條件;0外M外M0M外10,20FrF或或ddiiLMLLt外質點系角動質點系角動量守恒定律量守恒定律48角動量守恒說明天體系統的旋轉盤狀結構角