1、拋物線訓(xùn)練題一、題點(diǎn)全面練1. (2019 張掖診斷)過(guò)拋物線y C. y = - 6xV2 ,根據(jù)拋物線的定義可知| AB = (Xi + X2)+ p =Xi+X28.又AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為2,2 =2,Xi+X2= 4,p= 4,所求拋物線 的方程為y2= 8x.故選B. 4. (2019 昆明調(diào)研)過(guò)拋物線C： y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與 C交于A, B兩點(diǎn)，過(guò)線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn) M若|MN=|AB|, 則l的斜率為() JB. 3D. 1解析：選B設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為 m分別過(guò)點(diǎn) A, N, B作AA' Xm,

2、NN Lm, BB ± m垂足分別為A' , N' , B'.因?yàn)橹本€l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以 | BB | = | BF , | AA | = | AF.=4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于 Rxi, yi), Q(x2, v2 兩點(diǎn)，如果 Xi + X2=6,則 | PQ| =()A. 9B. 8C. 7D. 6解析：選B拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x= 1.根據(jù)題意可得，|PQ| =1 PF +|QFI = xi+ 1 + x2+ 1 = xi + x2+ 2=8.故選 B.2.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)點(diǎn)P(-4, 2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)

3、方程是()A. y2= xB.x2= - 8yC. 丫2=8*或*2=一丫D. y2= _ x 或 x2= 8y解析：選D (待定系數(shù)法)設(shè)拋物線為y2=mx代入點(diǎn)P(-4, 2),解得m= 1,則 拋物線方程為y2=x；設(shè)拋物線為x2=ny,代入點(diǎn)P( -4, 2),解得n= 8,則拋物線 方程為x2= 8y.故拋物線方程為y2= x或x2= 8y.3. (2018 河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”模擬 )直線l過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，且 與該拋物線交于 A, B兩點(diǎn)，若線段 AB的長(zhǎng)是8, AB的中點(diǎn)至ij y軸的距離是2,則此拋物線的方程是()2B. y = - 8x2,D.

4、y = - 4x2解析：選 B 設(shè) A(xi, yi), B(x2,1A.3A. y = 12x又N是線段AB的中點(diǎn)，|MN=|AEf,.1111 所以 |NN| = 2(|BB |+ |AA|) = 2(|BFj + | AFJ) =| AB =| Mt|l,所以/ MNN =60° ,則直線MN的傾斜角是120° .又MN_ l ,所以直線l的傾斜角是30。，斜率是故選B.5. (2018 合肥模擬)已知直線y=k(x+2)( k>0)與拋物線C: y2= 8x相交于A, B兩點(diǎn),F為C的焦點(diǎn).若| FA = 2| FB ,則k=()B.A.-32C.32解析：選

5、 D設(shè)拋物線 C: y=8x的準(zhǔn)線為l,易知l： x=- 2,直線y=k(x+2)恒過(guò)定點(diǎn) R2,0), 如圖，過(guò)A, B分別作AML l于點(diǎn)M BNLl于點(diǎn)N,連接OB由 | FA =2| FB|,知 | AM = 2| BN ,點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn)，1 則 |OB = |AF| ,.|OB=| BF , 點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,k>0,.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,29),2 2- 02,2k= -一X q=故選 D.1 336. 一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，另外兩點(diǎn)在拋物線y2=2x上的正三角形的面積為 解析：如圖，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得/AOx= 30°3直線OA勺方程y = 23-x, 22代入

6、y =2x,得 x -6x= 0,解得x= 0或x= 6.即得A的坐標(biāo)為(6,2 V3) 1-. | AB =43,正三角形 OAB勺面積為 2*4#*6= 1273.答案：12 37.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作一條直線交拋物線于 A, B兩點(diǎn).若|AF| =3,則 | BH =.解析：由題意可知 F(1,0),設(shè)A(xa, yA) , Rxb, yB),點(diǎn)A在第一象限，則 | AF| = Xa+1 = 3,所以 xa= 2, yA= 2P所以直線AB的斜率為卜=若=2斕.則直線AB的方程為y=2也(x1),95與拋物線方程聯(lián)立整理得 2x5x+2=0, xa+xb=-,113所

7、以 xb=所以 | BF| =-+ = 2-答案：| o8. (2019 貴陽(yáng)模擬)過(guò)拋物線y =2px(p>0)的焦點(diǎn)F,且傾斜角為60°的直線交拋物 線于 A, B兩點(diǎn)，若 | AH > | BH ,且 | AH = 2,則 p=.解析：過(guò)點(diǎn)A, B向拋物線的準(zhǔn)線x=畀乍垂線，垂足分別為 C, D,過(guò)點(diǎn)B向AC作垂 線，垂足為E, '/ A, B兩點(diǎn)在拋物線上，. | AQ = | AH , | BQ = | BFJ.BE1AQ | A? = | AF| - | BF| ,直線AB的傾斜角為60° ,.在 RtABE中，21A日=|A日=| AF|

8、十|BH ,即 2(| AF| | BH) = | AF| + | BF| ,| AR =3| BR.28. |AF1=2,|Aq=|A+|BFf=-.oJ設(shè)直線AB的方程為y= 73-0代入y2 = 2px,3n2得 3x?5px+7=0,設(shè) A(xi, yi) , B(X2, y?), 8xi + x2 = -p,| A5 =xi + x2+p=-, p= 1.答案：19.已知過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2啦的直線交拋物線于 Nxi, y。，B(X2, y2)( X1VX2)兩點(diǎn)，且 | AR = 9.(1)求該拋物線的方程；> > >(2) O為坐

9、標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若 OC= OA+入OB,求人的值.解：(1)由題意得直線 AB的方程為y=20j-2 b與y2= 2px聯(lián)立，消去 y 有 4x25px+p2= 0,所以 xi + x2 = ?P.由拋物線定義得 | AB = xi+X2+p=+p=9,所以p=4,從而該拋物線的方程為y2=8x.(2)由(1)得 4x2-5px+p2=0,即 x25x+4=0,貝Uxi=1, x2= 4,于是 y= 2啦，y2= 4a/2,從而 A(1 , 2P , B(4,4 回設(shè) C(x3, y3),則 Too =(x3, y3)= (1 , 2必)+入(4 , 472)=(4 入 + 1,4

10、小 入-272) .又 y2= 8x3,所以2*(2 入-1) 2=8(4 入 +1),整理得(2入一1)2 = 4入+1,解得入=0或入=2.故入的值為0或2.10.設(shè)拋物線C:y2=2x,點(diǎn)A(2,0),B(-2,0),過(guò)點(diǎn)A的直線l與C交于MN兩點(diǎn).當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線 BM勺方程；(2)證明：/ AB睡 / ABN解：(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x=2,可得M的坐標(biāo)為(2,2)或(2 , 2).1八1所以直線BM的方程為y=2x+1或y = "2x 1.(2)證明：當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN勺垂直平分線，所以/ ABM= /ABN當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y

11、=k(x 2)( 20),M(x1, y1), N(x2, y2),則 x1>0, x2>0.y= k x 2 y2=2x得 ky -2y-4k= 0,-2.可知 ydy2=y1y2= 一4.，八一、一.V1直線BM BN的斜率之和為kB/kBN=n +y2x2y1 + x1yz+2yI + y2xd 2x2+2x1+ :x2+二 V1y2將x= , + 2, x2= + 2及y1+y2, yy2的表達(dá)式代入式分子，可得x2y1 + x1y2+ 2( y1kk2v1V2+ 4k y1 + y28+8 _ _ 一，一 、， ,+ y。=,=7=0.所以kB葉kBN= 0,可知 BM

12、BN的傾斜角互補(bǔ)，所kk以/AB睡/ABN綜上，/ AB睡/ABN、專項(xiàng)培優(yōu)練（一）易錯(cuò)專練一一不丟怨枉分1. （2019 大同模擬）點(diǎn)M（5,3）到拋物線y=ax2（aw。）的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的方程是（A. y=12xB.y= 12x2或 y=- 36x2_2C. y=- 36xD. 丫=分2或 y=一親x21斛析：選D拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為 x=£y（aw0）,當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，推線方程為 y1 11 1 O=一值則點(diǎn)MWWM 3+而=6,解得4記則拋物線萬(wàn)程為y,x；當(dāng)a<0時(shí),開口向下,準(zhǔn)線方程為y一行則點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為一4a-3 = 6,解得a=工，則

13、拋物線方程為 y=一工/2. 36362 .已知直線y=a交拋物線y=x2于A, B兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn) C,使彳導(dǎo)/ AC斯直角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 解析：如圖，設(shè)則 CA= ( - afa C B= (/a-x0,C xo, x0)(x0wa), A( - /a, a),一 x。,a 一 x。),a x0). CALCB 石A 石B =0, 即 一 (a一 x0) + (a x0) = 0, 整理得(ax2)( -1 + a-x0) = 0.一 2 .x0=a 1>0). a>1.答案：1 , +8）3.過(guò)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F作直線AR CD§拋物線交于 A

14、, B, C, D四點(diǎn)，目ABLCD一.則FA - FB+ FC FD的最大值為 .解析：設(shè) A(xa, yA), B(xb, yB),依題息可得，F(xiàn)A - FB = (| FA | - | FB|).又因?yàn)?| FA|=yA+ 1, | fB | = yEB+ 1,所以 FA , FB = ( yAyB+ yA+ yB+ 1).設(shè)直線AB的方程為y=kx+1(kw0),代入 x2=4y,可得 y2(2+4k2)y+1 = 0,所以 yA+ yB= 4k2+ 2, yAyB= 1 ,一 一 ,c所以 FA FB =- (4 k2+ 4).同理下C . "FD=- ?+4.一一 .i&

15、#39; . 24 i所以 FA FB+FC- FD= %k+y+8 ,< 16.當(dāng)且僅當(dāng)k=±l時(shí)等號(hào)成立.故FA-FB+ FC- FD的最大值為16.答案：164.已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn) P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線11, 12,設(shè)11與軌跡C相交于點(diǎn)A, B, 12與軌跡C相交于點(diǎn) D E,求AD EB的最小值.解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),由題意得，x 2+y2 |x|=1,化簡(jiǎn)得y2= 2x + 2| x|.當(dāng) x>0 時(shí)，y2=4x;當(dāng) x<0 時(shí)，y=

16、0.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x(x>0)和y=0(xv0).(2)由題意知，直線11的斜率存在且不為 0,設(shè)為k,則1 1的方程為y = k(x- 1).得 k2x2(2k2+4)x+k2=0.,y=k x1 ,由2,y =4x,設(shè)A(xb y1) , Rx2, y2),則xb x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是x1 + x2= 2+-4>, x%k=1.因?yàn)?1,12,所以12的斜率為一1.設(shè)D(x3, y3),日x4, y4), k則同理可得 x3+x4=2+4k2, x3x4=1.所以 7D - -Eb =(原+-FD) ("EF + -Fb)= 7<f

17、 - -ef + 店 "Fb + -Fd 言 + -Fd - "Fb=1 萬(wàn) | -Fb1+國(guó)| - l"EF|=(x1+ 1)( x2+ 1) + (x3+ 1)( x4+ 1)42=1+ 9 + (計(jì) 1 + 1+(2+4k2)+ 1k2 k2= 16.c - 2,1c .= 8+4% + 尸 8 + 4X2 k血言取最小值16.，一， 2 1r一,當(dāng)且僅當(dāng)k2=p,即k=±l時(shí),(二)交匯專練一一融會(huì)巧遷移225.與向量的交匯設(shè)拋物線C: y=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)(一2, 0)且斜率為馬的直線與3c交于m n兩點(diǎn)，則"FM - "

18、;Fn =()A. 5B. 6C. 7D. 82解析：選D由題意知直線 MN的萬(wàn)程為y=§(x+2),聯(lián)立 3 X+2y2= 4x,x=1, 解得y=2或，x-4, Ly=4.解析：選 A 因?yàn)?IABmxi + xz + Z),| AF| 十| BF =xi+X2+p=xi+X2+2,所以 | AF不妨設(shè) M(1,2) , N(4,4).又.拋物線焦點(diǎn)為F(1,0),"FM = (0,2) , "Fn = (3,4)FM , FN = 0X3+2X4= 8.6 .與解三角形交匯拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F, A(xi , y1) , B(x2, y2)是拋物線上兩

19、動(dòng)3點(diǎn)，若AB=，2( xi + X2+2),則/AFB的最大值為()兀D.7C 37t2 3十 | BF =-3-| AB.3在AFB中，由余弦定理得,JAF 2+|BF2|AB2 cos Z AFB=2|AF| BFAF +| BFl 22| AF| BF | AB2 2|AF| BF4I AB2-|AB2 32| AFI BF3I AB21=2|AF| BF T又 | AF + |BF=竽 I AB >2 "|AFI BF ? | AF| I BF< 3 | AB|2.所以 cos /1231ABAFB 一i2X3I AB2 31 = -1,所以/ AFB的最大值為

20、2J.故選A. 23227 .與雙曲線交匯已知雙曲線 Ci： X b2=1（a>°，b>0）的離心率為2,若拋物線C2：x2 = 2py（p>0）的焦點(diǎn)到雙曲線 C的漸近線的距離為 2,則拋物線C2的方程是（）22A. x = 16yB.x = 8yC.，=咯D. x2 = y33辦l 、兒- x2 y2“,、，cQtta2+ b2斛析：選a因?yàn)殡p曲線Ci：孑一=i（a>o, b>。）的離心率為2,所以a=2,即一a2-=4,所以3.因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為bx土 ay= 0,拋物線C2： x2= 2py（p>0）的焦點(diǎn)a,、|ap|p pJ雙曲線

21、的漸近線的距離為2,所以聲而=2,解得p=8,所以拋物線 G的方程是x2= 16y.8 .與不等式交匯已知拋物線 C： x2=2py（p>0）, P, Q是C上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M0 ,一 1）滿足丁啟 /Q >0,則p的取值范圍是解析：過(guò)M點(diǎn)作拋物線的兩條切線,設(shè)切線方程為y= kx - 1,切點(diǎn)坐標(biāo)為 A(xo, yo), B( -xo, yo),2, x , 由y=2p?彳導(dǎo)y2/xo = 2pyo, 則卜尸xo1=x, p，解得k=±2 MP MQ>0恒成立，/ AMB90,即/ AM© 45 ,| k| >tan 45=1,即 a/|>1 ,解得 p<2,一= k, p由 p>