1、基本知識點雙曲線標準方程（焦點在x軸）標準方程（焦點在y軸）雙曲線22xy221(a0,b0)ab22-0-2任1(a0,b0)第一定義：平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值是常數(shù)（小丁|F1F2|）的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。定義MMF1|MF2|2a2aF1F2第二定義:平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離的比是常數(shù)e，當e1時,動點的軌跡是雙曲線。定點F叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數(shù)e（e1）叫做雙曲線的離心率。范圍|x|a,yRya,xR對稱軸x軸，y軸；實軸長為2a,虛軸長為2b對稱中原點0（0,0）隹占坐Fi(c,0

2、)F2(c,0)Fi(0,c)F2(0,c)y八、I：標焦點在實軸上，cJa2b2;焦距:IF1F2I2c頂點坐(a,0)(a,0)(0,a,)(0,a)標離心率ea（e1）準線方程2axc2ay£一一-一2準線垂直丁實軸且在兩頂點的內(nèi)側(cè)；兩準線間的距離：色c頂點到準線的距離2頂點A.(A2)到準線li(12)的距離為aa_c2頂點A(A2)到準線12(li)的距離為'ac隹點至|八、八、J準線的距離r一、-2-焦點Fi(F2)到準線li(I2)的距離為c曾c2焦點Fi(F2)至"準線I2(li)的距離為曾cc漸近線方程by-xabx-ya共漸近線的雙曲線系方程22

3、Mk（k0）22k（k0）直線和雙曲線的位置22雙曲線yri寫宜線ykxb的位置關(guān)系：ab22二匕L一一利用a2b2轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。ykxb二次方程二次項系數(shù)為零直線與漸近線平行。相父弦AB的弦長|ABJik2或為x2)24xix2通徑：ABy2yj補充知識點:等軸雙曲線的主要性質(zhì)有：(1) 半實軸長北虛軸長(一般而言是a=b,但有些地區(qū)教材版本不同，不一定用的是a,b這兩個字母)；(2) 其標準方程為xA2-yA2=C，其中O0;(3) 離心率e=V2;(4) 漸近線：兩條漸近線y=±x互相垂直；等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項；等軸雙

4、曲線上任意一點P處的切線夾在兩條漸近線之間的線段，必被P所平分；(5) 等軸雙曲線上任意一點處的切線與兩條漸近線圍成三角形的面積包為常數(shù)aA2;等軸雙曲線xA2-yA2=C繞其中心以逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后，可以得到XY=aA2/2,其中C0所以反比例函數(shù)y=k/x的圖像一定是等軸雙曲線。例題分析：例1、動點P與點Fi(0,5)與點F2(0,5)滿足|PFi|PF26,則點P的軌跡方程為(22A.=匕191622c.壬斗1(y»3)16922B.2Lr116922d.三*1(y<3)169同步練習一：如果雙曲線的漸近線方程為y3x,則離心率為()4A.5B.5C.5或5

5、D.焰3434例2、已知雙曲線亶己1的離心率為e2,貝Uk的范圍為()4kA.12k1B.k0C.5k0D.12k022同步練習二：雙曲線冬土1的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為.ab22例3、設(shè)P是雙曲線W1上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x2y0,F1,F2分別是雙曲a9線的左、右焦點，若PF13,則IPF2I的值為.同步練習三：若雙曲線的兩個焦點分別為(0,2),(Q2)，且經(jīng)過點(2,屈)，則雙曲線的標準方程為。例4、下列各對曲線中，即有相同的離心率乂有相同漸近線的是x122y2x2,(A)3-y=1和參-=1(C)y2-=1和x2-丈=13322(B)：-y2=1和y2-三=

6、1x22x2(D)y=1和同步練習四：已知雙曲線的中心在原點，兩個焦點F,F2分別為(扼0)和(炳,0)，點P在雙曲線上2匕122匕14例5、與雙曲線2y161有共同的漸近線，且經(jīng)過點A(3,23的雙曲線的一個焦點到一條漸且PF1PF2，且PF2的面積為1,則雙曲線的方程為(2A.-22C.4近線的距離是(A)8(B)4(C)2(D)1同步練習五：以y柜x為漸近線，一個焦點是F(0,2)的雙曲線方程為(例6、下列方程中，以x±2y=0為漸近線的雙曲線方程是2222(B)1(C)yF1是雙曲線的左焦點，求FiAB的周長.1(D)x2141622同步練習六：雙曲線8kx2-ky2=8的一

7、個焦點是(0,3),那么k的值是例7、經(jīng)過雙曲線3的右焦點F2作傾斜角為30°的弦AB,己史=1同步練習七過點(0,3)的直線l與雙曲線；亍一只有一個公共點，求直線l的方程。高考真題分析【2012高考新課標文10】等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y216x的準線交丁A,B兩點，AB|4龍；則C的實軸長為()(A)J2(B)2、.2(C)(D)【答案】C【命題意圖】本題主要考查拋物線的準線、直線與雙曲線的位置關(guān)系，是簡單題【解析】由題設(shè)知拋物線的準線為：x4,設(shè)等軸雙曲線方程為：x2y2a2,將x4代入等軸雙曲線方程解得y=J16a2,:|AB|=43,2寸16a2=

8、W3，解得a=2,-C的實軸長為4,故選C.22【2012高考山東文11】已知雙曲線G：與與1(a0,b0)的離心率為2.若拋物線abC2:x22py(p0)的焦點到雙曲線0的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為(A)x2y(B)x2y(C)x?8y(D)x?16y33【答案】D考點：圓錐曲線的性質(zhì)解析：由雙曲線離心率為2且雙曲線中a,b,c的關(guān)系可知bJ3a,此題應(yīng)注意C2的焦點在y軸上，即(0,p/2)到直線yV3x的距離為2,可知p=8或數(shù)形結(jié)合，利用直角三角形求解。【2012高考全國文10】已知F1、F2為雙曲線C:x2y22的左、右焦點，點P在C上，|PF1|2|PF2|,則cos

9、F1PF21334(A)1(B)3(C)3(D)-4545【答案】C【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運用和性質(zhì)的運用，以及余弦定理的運用。首先運用定義得到兩個焦半徑的值，然后結(jié)合三角形中的余弦定理求解即可。【解析】解：由題意可知，a72b,c2，設(shè)|PFi|2x,|PF21x，則|PF|PF>|x2a2拒，故|PFi|4?2,|PF2|2厄,FiF24,利用余弦定理可得222PFiPF2FiF2cosFiPF22PFiPF2(4.2)2(2、2)222.2424、24. （20ii年局考湖南卷文科6）設(shè)雙曲線筆a0）的漸近線方程為3x2y0,則a的值為A.4B.3C.2D.1答

10、案：C解析：由雙曲線方程可知漸近線方程為3-x，故可知a2。a5.【2012高考遼寧文15】已知雙曲線y2=i,點Fi,F2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點,若PFi±PF2,則IPFiI+IPF2I的值為【命題意圖】本題主要考查雙曲線的定義、標準方程以及轉(zhuǎn)化思想和運算求解能力，難度適中。【解析】由雙曲線的方程可知ai,c.2,PFiPF22a2,PFi2PFi|PF2PF2QPFi(PFiPF2,PFiPF2)28PF224i2,(2c)28,2PFiPF24,PFiIPF22/32_一i的離心率為據(jù),m4【點評】解題時要充分利用雙曲線的定義和勾股定理，實現(xiàn)差一積一和的轉(zhuǎn)化。26.

11、【20i2高考江蘇8】（5分）在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線m則m的值為【考點】雙曲線的性質(zhì)。b='m4,c=.mm4。c/.e=-=amm2.m4m4=0，解得m=2。課后作業(yè)1.雙曲線§W1的實軸長和慮軸長分別是（）A.2焰,4B.4,2幅C.3,4D.2,招22.雙曲線亳aA.b.a2b22&1的焦點到它的漸近線的距離等丁（）b2B.bC.aD.a.a2b23.如果雙曲線的實半軸長為2,焦距為6,那么雙曲線的離心率為（）A.B.¥C.D.24.雙曲線的漸近方程是,焦點在坐標軸一，焦距為10,其方程為（2A.20B.2X202y20C.2七120D.

12、2y2025.雙曲線92y_161的右準線與漸近線在第一象限的交點和右焦點連線的斜率是B.C.D.26.雙曲線162y251的兩條漸近線所成的角是（4A.2arctan5B.2arctan5C.4c,42arctan5D.2arctan5427.雙曲線2a2yb21與其共軸雙曲線有A.相同的焦點B.相同的準線C.相同的漸近線D.相等的實軸長8.已知雙曲線的漸近線方程為y,則此雙曲線的A.焦距為10B.實軸長與虛軸長分別為8與611. C.離心率e只能是5或。D.離心率e不可能是點或543439.等軸雙曲線的一個焦點是Fi(4,0),則它的標準方程是,漸近線方程是10.若雙曲線的實軸長，虛軸長，

13、焦距依次成等差數(shù)列，則其離心率為22若雙曲線匕1上的一點P到它的右焦點的距離是8,則到它的右準線之間的距離為6436若雙曲線的一條漸近線方程為3x2y0,左焦點坐標為(V26,0),則它的兩條準線之間的距離為寫出滿足下列條件的雙曲線的標準方程：22雙曲線的兩個焦點是橢圓&土1的兩個頂點，雙曲線的兩條準線經(jīng)過這個橢圓的兩個隹頊八、八、(2)雙曲線的漸近線方程為yx,兩頂點之間的距離為2:雙曲線的其中一條漸近線的斜率為Z,求此雙曲線的離心率7已知雙曲線x2my21(m0)的右頂點為A,而BC是雙曲線右支上的兩點，如果ABC是正三角形，貝Um的取值范圍是22設(shè)圓過雙曲線1匕1的一個頂點和一個焦點，圓心在此雙曲線上，貝U圓心到雙曲線中心916的距離是22已知雙曲線匕1上一點M到左焦點F1的距離是它到右焦點距離的5倍，則M點的坐標169為已知直線l過定點(0,1),與雙曲線x2y21的左支交丁不同的兩點AB,過線段AB的中點M與定點P(2,0)