1、題目：一階常微分方程的若干求解技巧 院 （系）： 理 學 院 專 業： 信息133班 組 長： 韓 靜 成 員： 李盛楠、劉艷玲、劉巧愛 2015年 5月 6日摘要一般的一階常微分方程沒有通用的初等解法，變量分離方程和全微分方程是一階常微分方程中最基本的“變換”類型。我們在理論學習常微分方程時，總是對變量可分離方程、可化為變量方程、齊次方程、可化為齊次方程、一階線性微分方程、伯努利方程、恰當方程、積分因子法、一階隱式方程求解法求解一階線性微分方程，不同類型的方程給出不同的解法。關鍵詞：一階常微分方程 變量分離方程 可化為變量方程 齊次方程 一階線性微分方程 伯努利方程 恰當方程 積分因子法 一

2、階隱式方程求解法目錄一、變量分離方程1二、可化為變量分離方程2三、齊次方程3四、線性齊次方程6五、一階線性非齊次微分方程8六、伯努利方程10七、恰當方程求解常用方程11八、積分因子法求解法13九、一階隱式微分方程及其參數表示19一、變量分離方程 形如 (1.1) （其中.是x.y的連續函數）求解過程如下：（1） 變量分離：（ ） (1.2)（2） 兩邊分別同時積分： (1.3)（3） 考慮，當不包括在方程通解中時，加上特解,例：求解方程的通解，其中是的連續函數解：變量分離，得到，兩邊同時積分得，令其中y=0也是方程的解，且包含在通解里，因此這里的c可以使任意常數。二、可化為變量分離方程形如對上

3、式做變量變換：，原方程： （2.1）（2.1）式是一個變量可分離方程，計算方法同一例：求方程：解：令帶入得分離變量：兩邊分別同時積分：若允許c=0,則方程組的通解為：(2) 形如 (2.2)分三種情況來討論：屬于變量可分離方程，再令同上屬于變量分離方程三、齊次方程1、定義 形如 (3.1)的微分方程稱為齊次方程解法：作變量代換即，代入原式,即 兩邊積分，得 積分后再用代替u，便得原方程的通解.當存在使，使則是新方程的解.例1：求解微分方程解： 令u=，即,所以得到代入得 微分方程的解為2、齊次方程的遺失解問題在求解一階齊次微分方程中, 我們的求解方法是運用變量變換，代入到一階齊次微分方程中,

4、就可以把方程化為變量可分離的方程了。這是一種既簡便又常用的方法, 是求解這類微分方程的模式, 但這種模式的解法往往不注意也會產生在求解的過程中遺失解的問題。1、假設(k 是常數)由 可以知道是微分方程(2)的解, 也就是說明 這個解正好是一階齊次微分方程在分離變量時所遺失的解, 下面通過例子來說明這點.例1 ：求解方程解：該方程可以改寫為化成了一階齊次微分方程, 令把代入方程中得到 經整理分離變量后得到 最后兩邊積分，整理得到通解若就是上面方程中的可以得到u的三個不同的值，由此得出可以看出也為原方程的解，它就是遺失的解。2、假設時形如 (3.2)的微分方程(其中, 是n 次齊次式)的這類微分方

5、程的遺失解問題。例2 ：求解方程, 其中, 都是一次齊次式。解：方程可以化為,令得到 經過代入到上面的化簡的方程后得到 通過分離變量、積分, 整理后就得到原方程的通解 而代入到原方程中也成立, 說明它也是原方程的解, 是一個遺失解。通過以上情形問題的討論, 我們發現在求解一階齊次微分方程中, 特別是經過變量變換后, 會產生微分方程解的遺失, 是這個變換式所帶來的, 從而使求解不完整.因此, 我們在求解一階齊次微分方程的解時, 要把遺失解補上。四、線性齊次方程 1、線性方程 對于一般的二元函數,我們無法求出一階微分方程 （4.1）的解，在處理任何問題時，我們總是從最簡單的一些情況入手。對于一個未

6、知的問題，我們總是設法把它轉化成為一個已經解決過的形式，方程（4.1）的最簡單的情況是與未知函數y無關，即 （4.2）（4.2）的求解問題實際上就是求的原函數，這就可以通過不定積分來實現，即 （4.3）表達式（4.3）為方程（4.2）的通解。一階微分方程（4.1）的另一種簡單形式為 （4.4）方程（4.4）關于未知函數y和其導數y是線性的，故稱為線性方程2、線性齊次方程當方程（4）中右端函數時，我們稱 （4.5） 為線性齊次方程，求解（5）的基本思路是對它進行恒等變形，將其左端整理成某一個函數的導函數，再進行積分得出它的解。例1：求線性齊次方程的通解。解 ：對方程兩端同乘以得由于且故原方程等價

7、于方程 由于的導數恒為零，故其中c為任意常數，即方程的通解為 由上述求解過程，我們看出，只要對（5）兩邊乘以適當的函數，就可以將其左端合并成某一函數的導數，根據我們的求導的經驗，對(4.5）兩邊同時乘以函數后得 （4.6）即對上式兩邊積分，再整理后得（5）的通解為 (4.7)（4.7）就是線性齊次方程（4.5）的通解表達式，以后對任一齊次方程（4.5）可以直接由（4.7）式給出它的解。5、 一階線性非齊次微分方程一階線性微分方程一般形式： （5.1）形如：當恒等于0時，方程稱為一階齊次線性方程。當不等于0時，稱為一階非齊次線性方程。(a)我們先討論一階線性方程，即：由，變量分離方程：，兩邊同時

8、積分， （5.2）得通解為：，c為任意常數。(b)常數變異法是作為求解一階線性方程的解法給出的。 我們先討論下一階線性非齊次微分方程的常數變異法，再使用常數變異法來求非齊次線性方程的通解。先設有形如齊次線性微分方程的解，將其中的常數c變異為c（x),即設：。則有： （5.3）得通解為：，c 為任意常數。則可得： 為非齊次線性方程的一個特解。即一階線性非齊次微分方程的通解等于對應齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。例1：求解方程解：化簡可得通解為： ，c為任意常數即：，c為任意常數總結:根據此法，我們知道，若能確定一個方程為一階線性微分方程，求解它時只需套用公式。6、 伯努利方程 （6.1

9、）當n=0或n=1時，即為一階線性非齊次微分方程的做法來求解；當n0且n1時，令整理可得伯努利微分方程 ，其中當n>0時，我們在求解過程中需要考慮是否有常數解，當n<0時，無需考慮常數解。例1:求解方程 解： （n=2,注意要考慮常數解） ,c為任意常數即：，c為任意常數及常數解例2：求解方程解： （n=2,注意要考慮常數解）通解為： （n=2,注意要考慮常數解）即：，c為任意常數及常數解7、 恰當方程求解常用方程定理 假設函數和在某矩形域內是x,y的連續函數且具有連續的一階偏導數，則方程是恰當微分方程的充分必要條件是在此區域恒有利用定理我們就可以判定出一個微分方程是否是恰當微分方

10、程。若不是恰當微分方程，則找出使得滿足定理的積分因子，再進行求解。積分因子法求解一階線性微分方程 （7.1）以下為恰當方程求解幾種常用方法偏積分法例1：求解方程解法1： 是恰當方程因為則又因為所以，通解為，c為任意常數公式法解法2：經驗證是恰當方程即通解為：為任意常數湊微分法解法3： 所以，通解為：為任意常數對比法解法4： 所以通解為：為任意常數八、積分因子法求解法積分因子法求解一階線性微分方程 （8.1）恰當微分方程可以通過積分求出它的通解。因此能否將一個非恰當微分方程化為恰當微分方程就有很大的意義。積分因子就是解決這個問題而引進的概念。如果存在連續可微的函數,使得 （8.2） 為一恰當微分

11、方程，即存在函數，使，則稱為方程的積分因子。這時是（2）的通解，因而也就是（1）的通解。同一方程可以有不同的積分因子由，函數為（1）的積分因子的充要條件是即 （8.3） 這是一個以為未知函數的一階線性偏微分方程。要想通過方程（8.3）來求積分因子，從而得到方程（8.1）的解，在一般情況下，將比求解方程本身更困難。但是，在若干特殊情形中，（8.3）的一個特解還是容易的，所以（8.3）就提供了尋求特殊形式的積分因子的途徑。（1）觀察法對于一些簡單的微分方程，用觀察法就可以得出積分因子。如:(a) 有積分因子(b) 有積分因子，例1 找出微分方程 的一個積分因子解： 將原方程各項重新組合可以寫成由于

12、是的積分因子，也是的積分因子，從而使原方程有積分因子觀察法只運用于求解簡單的微分方程的積分因子，有的可以直接看出，有的需要先將原方程重新組合，再運用觀察法得出。（2）公式法積分因子的形式各異，以致積分因子存在的充要條件各異。下面給出不同形式的積分因子存在的充要條件。結論1 方程有只與x有關的積分因子的充要條件是， （8.4） （8.5）結論2 方程有只與y有關的積分因子的充要條件是， （8.6） （8.7）結論3 方程有只與有關的積分因子的充要條件是， （8.8） （8.9）結論4 方程有只與xy有關的積分因子的充要條件是， （8.10） （8.11）結論5 方程有只與有關的積分因子的充要條件

13、是， （8.12）是僅與有關的函數。結論6 方程有只與有關的積分因子的充要條件是， （8.13）是僅與有關的函數。例2 求解方程 解： 由于，所以原方程不是恰當微分方程。因為只與y有關，故方程有只與y有關的積分因子以乘方程兩邊得到因而，原方程的通解為例3 求的積分因子.解： 可以由上面的結論得到方程的積分因子例 4 求的積分因子.解： 可以取從而使該方程能夠滿足定理所需條件則有所以方程的積分因子是例5 求解微分方程的積分因子.解： 由于， 觀察可得是關于xy的函數故原方程有積分因子（3）分組組合法若為方程（1）的一個積分因子，且，則也是方程（1）的積分因子，其中是的任一連續可微函數。也可以說微

14、分方程 （8.14）是第一部分的積分因子，即， （8.15） 是第二部分的積分因子，即 （8.16）從，中選擇滿足的和，其中，是分別關于，的連續可微函數，這樣是原方程的積分因子。例6 求解微分方程的積分因子.解：將原方程各項重新組合整理可得觀察可得 是第一部分的積分因子，是第二部分的積分因子，觀察可得 ，需滿足，則可得 ，所以可得積分因子為 例7 求解微分方程的積分因子.解： 將原方程各項重新組合， 是第一部分的積分因子，是第二部分的積分因子，即，分別是第一、二部分的積分因子需滿足，令，則 ，所以，得到，故原微分方程的積分因子為九、一階隱式微分方程及其參數表示1、y顯化 （9.1） 令 ， 則 （1） 通解（2） 通解（3） 有參數形式通解2、x顯化 （9.2）令，則 ， 整理可得（1） 若求得 ，通解（2） 若求得 ，則通解例1：求解方程解： 令則原式變為 （9.3）（1） 式兩端對x求導可得整理后可得 給方程兩邊同乘p通解為得（c為任意常數） （c為任意常數）例2：求解方程解：令，則原方程變為兩端同時對y求導當時，當 3. 不顯含y（或x的方程) （9.4） （9.5） 令 ， 令 則可得 例1：求解方程 ，這里解：令，整理可得 化簡后可得： 通解