1、一、隱函數(shù)概念二、隱函數(shù)存在性條件分析 三、隱函數(shù)定理 隱函數(shù)是函數(shù)關(guān)系的另一種表現(xiàn)形式.討論隱函 數(shù)的存在性、連續(xù)性與可微性,不僅是出于深刻了解這類函數(shù)本身的需要,同時又為后面研究隱函數(shù)組的存在性問題打好了基礎(chǔ).1 隱函數(shù)數(shù)學(xué)分析 第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用*點擊以上標(biāo)題可直接前往對應(yīng)內(nèi)容四、隱函數(shù)求導(dǎo)舉例 隱函數(shù)概念3221sinyx, zxy .顯函數(shù)：因變量可由自變量的某一分析式來表示的函數(shù)稱為顯函數(shù)例如： 2/32/32/333330 xya, xyzxy.方程式所確定的函數(shù),通常稱為隱函數(shù)例如： 隱函數(shù)：自變量與因變量之間的關(guān)系是由某一個1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例

2、隱函數(shù)存在性條件分析后退 前進(jìn) 目錄 退出則成立恒等式.,0) )(,(IxxfxF R,IJxI若存在 、使得對任一若存在 、使得對任一有惟一確定的yJ 使得 ( , ),x yE 且滿足方程 (1) ,(1)確定了一個定義在 I, 值域含于J的隱函數(shù). , )(JyIxxfy 把此隱函數(shù)記為 ( , )0.(1)F x y 2R ,:R.EFE設(shè)設(shè)1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析如果對對于于方方程程則稱由方程注2 不是任一方程 都能確定隱函數(shù), 0),( yxF例如 顯然不能確定任何隱函數(shù) 0122 yx注1 隱函數(shù)一般不易化為顯函數(shù)，也不一定需要 )(xf

3、y 化為顯函數(shù)上面把隱函數(shù)仍記為 ，這 與它能否用顯函數(shù)表示無關(guān) 例如由方程 可確定如下兩 122 yx取值范圍個函數(shù)： 注3 隱函數(shù)一般需要同時指出自變量與因變量的 . 0, 1, 1, 1, )1( )(; 1,0, 1, 1, )1()(2221 yxxxfyyxxxfy1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析在2 還要討論由多個方程確定隱函數(shù)組的問題. 注4 類似地可定義多元隱函數(shù)例如: 由方程 0),( zyxF, ),(yxfz 確定的隱函數(shù) 0),( uzyxF,),(zyxfu 確定的隱函數(shù) 等等. 1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在

4、性條件分析由方程 隱函數(shù)存在性條件分析 條件時, 由方程 (1) 能確定隱函數(shù) , 并使 )(xfy ),(yxF要討論的問題是：當(dāng)函數(shù) 滿足怎樣一些 該隱函數(shù)具有連續(xù)、可微等良好性質(zhì)? )(xfy ),(yxFz (a) 把上述看作曲面 與坐標(biāo) 0 z平面的交線，),(000yxP . )(,0),(0000 xfyyxF ，滿足 連續(xù)是合理的0P)(xfy 0 x),(yxF(b) 為使 在 連續(xù)，故要求 在點 1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析故至少要求該交集非空，即點 存在切線，而此切線是曲面 在點 ),(yxFz 0P的切平面與 的交線，0P0 z)(x

5、fy 0 x)(xfy (c) 為使 在 可導(dǎo)，即曲線在 0P. )0,0(),(, ),(0000 yxFyxFyx點 可微，且 0),(00 yxFy由此可見，是一個重要條件000000d( ,( )(,)(,)()0,dx xxyF x f xFxyFxyfxx(d) 在以上條件下，通過復(fù)合求導(dǎo)數(shù), 由 (1) 得到 00000(,)()(,)xyFxyfx.Fxy 1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析),(yxF故應(yīng)要求 在 定理18.1（隱函數(shù)存在的唯一性定理）隱函數(shù)定理設(shè)方程 (1) 中的函數(shù) 滿足以下四個條件： ),(yxF ),(000yxP2R D

6、(i) 在以 為內(nèi)點的某區(qū)域 上連續(xù)； (ii) ( 初始條件 )；0),(00 yxFD),(yxFy(iii) 在 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ； 00(,)0.yFxy (iv) 則有如下結(jié)論成立： 1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析 定理18.1（隱函數(shù)存在的唯一性定理）在 上連續(xù))(2xf),(00 xx證 首先證明隱函數(shù)的存在與唯一性證明過程歸結(jié)起來有以下四個步驟 ( 見圖181 )： 00( ),(,),yf xxxx;0)(,(, )()(,(0 xfxFPUxfx唯一地確定了一個隱函數(shù) 它滿足： 00()f xy),(00 xxx, 且當(dāng) 時, 使得 D

7、PU )(0)(0PU存在某鄰域 ，在 上 1 ( , )0F x y 1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析 (c) 同號兩邊伸 x0 xy0yO0 x0 x0 y0y(d) 利用介值性 x0 xy0yO0 x0 x0()U P0y0y( )yf x (b) 正、負(fù)上下分_+_0 xyO0 x0 x0 x0y0y0y (a) 一點正,一片正+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x0 x0 x0 x0y0y0yyO圖 1811 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函

8、數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析(a) “一點正, 一片正 ”00(,)0.yFxy 由條件 (iv), 不妨設(shè) 0000, ,SxxyyD.其中其中,),(,0),(SyxyxFy ),(yxFy因為 連續(xù)，所以根據(jù) 保號性， 使得 0, (a) 一點正,一片正+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x0 x0 x0 x0y0y0yySO1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析 (b) 正、負(fù)上下分_+_0 xyO0 x0 x0 x0y0y0

9、y(b) “正、負(fù)上下分 ” ,),(,0),(SyxyxFy , ,00 xxx因 故 格增，且連續(xù) ( 據(jù)條件 (i) ) 00(,)0,F xy 0(, ),F xy特別對于函數(shù) 由條 00(,)0F xy 件可知件可知00(,)0.F xy 1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析把 看作 的函數(shù)時, 它在 上嚴(yán)y),(yxF,00 yy (c) 同號兩邊伸 x0 xy0yO0 x0 x0 y0y(c) “同號兩邊伸” 因為 關(guān)于 連續(xù)，),(, ),(00 yxFyxFx (b) 的結(jié)論，根據(jù)保號性， 使得 , )0( 0( ,)0,F x y 0( ,)0,

10、F x y 00(,).xxx1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析故由.0), ( yxF,)(0JIPU 1若記 則定理結(jié)論 得證 (d) 利用介值性 x0 xy0yO0 x0 x0()U P0y0y( )yf x就證得存在惟一的隱函數(shù): 由的任意性, 這 x0000(,),(,).xIxxyJyy ( ),yf x 1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析(d) “利用介值性” , ),(00 xxx), (yxFy因 關(guān)于 連續(xù), 且嚴(yán) 格增，故由 (c) 的結(jié)論，依據(jù)介值性定理 , 存在惟 滿足00(,),yyy一的 ( ,)0 ,(

11、 ,)0 .F x yF x y( , )0,F x y 由 對 嚴(yán)格增，而 ),(yxFy推知 .xxOyxxyyy0y0y0P.圖 18200,yyyy( ).yf x 其中其中 足夠小，使得 ,0 如圖 182 所示, 取1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析下面再來證明上述隱函數(shù)的連續(xù)性: 00(,) ,xxx即即欲證上述 在 連續(xù). )(xfx.0),(,0),( yxFyxF),( xxx且當(dāng) 時，有 , ),(,)( xxxyxfy在 上處處連續(xù)),(00 xx因此 在連續(xù). x)(xf類似于前面 (d) ，由于隱函數(shù)惟一，故有 1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函

12、數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析)(xf由的任意性, 便證得 x類似于前面 (c) ， 使得 , ),(),(00 xxxx注1 定理 18.1 的條件 (i) (iv) 僅是充分條件, 如： 在點 雖 ,0)0 , 0(,0),(33 yFxyyxF)0,0(.xy 不滿足條件 (iv)，但仍能確定唯一的隱函數(shù) xyO11 圖 183 (雙紐線), 在 0)(),(22222 yxyxyxF點 同樣不滿足)0,0(條件 (iv); 所示, 么小的鄰域內(nèi), 確實 不能確定唯一的隱函數(shù). 1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析如圖183在該點無論多用這兩個較強(qiáng)的

13、條件，一則是使用時便于檢驗， 的作用二則是在后面的定理 18.2 中它們還將起到實質(zhì)性 注 2 條件 (iii) 、 (iv) 在證明中只是用來保證在鄰 )(0PU域 內(nèi) 關(guān)于 為嚴(yán)格單調(diào)),(yxFy注3 讀者必須注意, 定理 18.1 是一個局部性的隱 函數(shù)存在定理)0, 1( , )0, 1( , )0, 0( 三點以外, 曲線上其余各點處都 存在局部隱函數(shù))(xfy 以檢驗，見后面第四段的例)1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析之所以采 例如從以上雙紐線圖形看出: 除了 (這不難用定理 18.1 加 注4 在方程 中, 0),( yxFxy與 的地位是平等

14、的. . )( ygx 時，將存在局部的連續(xù)隱函數(shù) ),(yxFx0),(00 yxFx 連續(xù), 且 “”1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析當(dāng)條件 (iii) 、 (iv) 改為 定理18.2（隱函數(shù)可微性定理）),(yxF設(shè)函數(shù) 滿足定理 18.1 中的條件 (i) (iv), D在 內(nèi)還存在連續(xù) . ),(yxFx且所確定的隱函數(shù) 在 I 內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)， )(xfy ( , )( )( , ).(2)( , )xyFx yfx,x yIJFx y ( 注: 其中00(,)Jyy與與),(00 xxI示于定理18.1 的證明 (d) ).1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念

15、隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析則由方程 0),( yxF( )()yf x , yyf xxJ. ,Ixxx 證 設(shè)則 .0),(, 0),( yyxxFyxF由條件易知 F 可微，并有 使用微分中值定理, 使得 , )10( 0(,)( , )F xx yyF x y (,)yFxx yyy, (,)xFxx yyx1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析.),(),(yyxxFyyxxFxyyx 顯然 也是連續(xù)函數(shù))(xf 0 x,0 yyxFFf,因 都是連續(xù)函數(shù), 故 時并有 00(,)( )limlim(,)xxxyFxx yyyfxxFxx y

16、y ( , ),( , ).( , )xyFx yx yIJFx y 1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析,0),(),( yyxFyxFyx.0)( yFyyFFyFFyyyxyyxxx),(yxF注1 當(dāng) 存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時，所得隱函 數(shù)也二階可導(dǎo). 將 (2) 式代入上式，經(jīng)整理后得到 21(2)xxxyyyyyFF yF yF1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析應(yīng)用兩次復(fù)合求導(dǎo)法，得 ( , )( )( , ).(2)( , )xyFx yfx,x yIJFx y (3)2232.xyxyyxxxyyyF F FF FF FF注

17、2 利用公式 (2) , (3) 求隱函數(shù)的極值:0 y 00 xFF( , )A x y% % %(a) 求使 的點 , 即 的解 0 xFA(b) 在點 處因，而使 (3) 式化簡為 .AyxxAFFy (4)0 (0)Ay 或或(c) 由極值判別法, 當(dāng) 時, 隱函數(shù) 在 取得極大值(或極小值).y( )yf x x1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析注3 由方程 0),( zyxF(5),(yxfz 確定隱函數(shù)的相關(guān)定理簡述如下： 設(shè)在以點 為內(nèi)點的某區(qū)域 上, ),(0000zyxP3R D,0),(000 zyxF.0),(000 zyxFzF 的所有一

18、階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，并滿足 則存在某鄰域 在其內(nèi)存在唯一的、連 ,)(0DPU 續(xù)可微的隱函數(shù)( , ),zf x y,.yxxyzzFFzzffxFyF (6)1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析且有0),(21 yxxxFn更一般地，由方程 ),(21nxxxfy 確定隱函數(shù) 的相關(guān)定理, 材下冊 p.159 上的定理18.3 , 這里不再詳述. 1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析見教 解 令 它有連續(xù)的 ,)(),(22222yxyxyxF .2)(4,2)(42222yyxyFxyxxFyx 求解 分別得到 ,0),(0),(0),

19、(0),( yxFyxFyxFyxFyx與與隱函數(shù)求導(dǎo)舉例 0)(22222 yxyx例1 試討論雙紐線方程 ( )( ).yf xxg y或或所能確定的隱函數(shù) 1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析再考慮隱函數(shù)的極值由于 )(xfy )0, 1( , )0, 0( 所以，除 這三點外，曲線上在其他 . )(xfy 所有點處都存在局部的可微隱函數(shù) 在其他所有點處都存在局部的可微隱函數(shù)( ).xg y )42,46(, )0, 0( 同理，除 這五點外，曲線上 26(0,0)(,)0,44xxFF(0,0)1,00.yyFF1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱

20、函數(shù)存在性條件分析, )126(2),(22 yxyxFxx62,( );44f xx 因因此此在在處處取取得得極極大大值值622623(,),(,),442442yxxFF 62(,)443 2320222y性又知, 62( ).44f xx 在處還取得極小值在處還取得極小值1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析由對稱例2 討論笛卡兒葉形線(圖184) )0(333 aaxyyx(7)(xfy 所確定的隱函數(shù) 的存在 性，并求其一階、二階導(dǎo)數(shù) 各點處都能確定局部的隱函數(shù))(xfy .3),(33axyyxyxF 解 令 0)(32 xayFy先求出在曲線 (7) 上

21、使 的點為 圖 184由隱函數(shù)求導(dǎo)公式 (2) 求得 1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析除此兩點外, 方程 (7) 在其他 33(0,0),( 4 ,2 ).OBaa.)(3)(32222xayxyaxayyaxFFyyx 22254 () ,yxxF Fx yax為了求出二階導(dǎo)數(shù)，要使用公式 (3) , 先算出: 22254 ()(),xyxyF F Fa yaxxay 22254 () .xyyF Fy xay所以2232xyxyyxxxyyyF F FF FF FyF 2222222354 ()()()() 27()a yaxxayx yaxy xayyax

22、1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析3232.()a xyyax 22333232 3()()ax yxy xyayax223232 3(3)()ax yxyaxyayax0 y類似于例1 的方法, 求出曲線上使 的點為 . )4,2(33aaA在幾何上，它是兩條曲線 0),( yxF0),( yxFx和的交點 (見圖).1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析圖 184,024|3 ayA容易驗證 )(xfy A34 .a隱函數(shù)在點 取得極大值 分別有水平切線和垂直切線AB以上討論同時說明, 該曲線在點 和 1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱

23、函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析圖 184所以 2(31)d0,xyzz332(2 )d(3)dyzxxxzyyd3dd0,xyz解法 1 (形式計算法 ) 對方程兩邊微分，整理得( , , )(0,1,1)x y z 將 代入，又得 例3 試求由方程 所確定的隱 3230 xyzxyz函數(shù) 在點 處的全微分 (0,1,1)P( , )zf x y 1 隱函數(shù)隱函數(shù)概念隱函數(shù)定理隱函數(shù)求導(dǎo)舉例隱函數(shù)存在性條件分析dd3d .Pzxy解法 2 ( 隱函數(shù)法 ) 設(shè) 323( , , ).F x y zxyzxyz.313,31222323zyxyzxFFyzzyxxzyFFxzzyzx 因此在點 P 附近能唯一地確定連續(xù)可微的隱函數(shù) ( , );zz x y 且可求得它的偏導(dǎo)數(shù)如下： 以 代入, 便得到 ( , , )(0,1,1)x y z 1,3,x Py Pzzdd3d .Pzxy由于 上處處連續(xù), 而 3(0,1,1)0,RxyzFFFF 在在2(0,1,1)(31)10,zPFxyz