1、 高等數學 一填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分）; 1.設，則的一個原函數是 . 2.曲線與軸、軸和直線所圍成的面積是 . 3.已知曲線上的任一點的切線斜率是，而且曲線經過定點，則 曲線方程 . 4.在上的零點有 個. 5.已知存在，且，則 . 二選擇題（本題共5小題，每小題4分，共20分） 1.已知具有二階連續導數，則下面正確的是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3.已知的一階導數在上連續，且， 則（ ） A. B. C. D. 4.設的導數在處連續，又，則 （ ） A.是的極小值點 B.是的極大值點 C.是曲線的拐點 D.不是的極值點，也不是曲

2、線的拐 點。 5. 設，那么在點處（ ） A.其連續性無法判定。B.是可導的。 C.是連續的，但不可導。D.是不連續的。三計算題（本題共6小題，共38分）1. 求。(6分)2. 求拋物線的曲率半徑。(6分)3. 求函數的極值和拐點。(6分)4.已知函數，求。(6分)5.求。(7分)6.設可導，若，求。(7分)四. 證明題（22分）1.證明：當時，。 （6分）2.設在上連續，在內可導，且，證明：至少存在一點，使得。 (8分)3.設在上連續且單調減少，試證明對任何，皆有：。 （8分）高等數學 一填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分）1. 2.3. 4. 25二選擇題（本題共5小題，每小題4分

3、，共20分）1-5. DBDBC三計算題（本題共8小題，共38分）1. 解一：解二：2. 解： ，則 ， 故。3. 解： 當時，令，得的駐點：，令，得的可疑拐點：， 當時，令，得的駐點：，令，沒有可疑拐點， 是的不可導點又當時，當時，當時，當時，是的極小點，極小值是 和 是的極大點，極大值是又當時，當時，當時， 點和點是的拐點。4. 解：所以 5. 解：6. 解：記，那么當時，兩邊求導，得： 所以 又，可導必連續，從而得所以 于是兩邊求定積分，得： 所以 四、證明題（22分）1. 證一：令則，在上連續，且，令，得駐點當時，單調增加，當時，又當時，單調減少，當時，綜上所述，當時，即。證二：令則，在上連續，且， 在上是向上凸的，當時，即得：當時，。2. 證：令，、在上連續，在內可導，在上連續，在內可導，根據拉格朗日中值定理，至少存在一點，使得： .(*)又， （或直接在上應用羅爾定理即可證得。） ，由(*)式可得 ：，即所以，至少存在一點，使得。3. 證：令 ，則在上連續，