1、4、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法(1)二元函數(shù)情況 將中的看作常量而對(duì)求導(dǎo)可得. 將中的看作常量而對(duì)求導(dǎo)可得.例1(1) 求 在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)解:, , (2 )求 在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)解: , 例2求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) （注意理解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù):層層求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)相乘的含義）(1)求 解: , （2）解：（3）解：（4）設(shè)，其中可微，求解：（5）（考慮兩層復(fù)合的函數(shù)）解：（6）（考慮三層復(fù)合的函數(shù)）解6、偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)連續(xù)，但是多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù).例如:設(shè) 由于,.即在點(diǎn)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在,但在點(diǎn)顯然間斷 因?yàn)?又如，在點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均存在且為0，但是在點(diǎn)不連續(xù)，因?yàn)闃O限不存在.例 是

2、否存在一個(gè)函數(shù)，使得，？（分析：，所以這樣的不存在.）二、高階偏導(dǎo)數(shù) 1、高階偏導(dǎo)數(shù):設(shè)偏導(dǎo)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)存在有偏導(dǎo)數(shù),則稱此偏導(dǎo)數(shù)為的二階偏導(dǎo)數(shù),并記作 ,同理: ，, ,等等.例9求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).解： ，；.2.【定理】:如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)，在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)必.二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)情況下與求導(dǎo)數(shù)的順序無關(guān).此性質(zhì)可以推廣到高階混合偏導(dǎo)數(shù).例13 設(shè),于是, ,.,.例14設(shè)，證明：.證明: , ；同理 , .三、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用交叉彈性在一元函數(shù)微積分中我們學(xué)習(xí)了邊際與彈性概念，它們分別表示經(jīng)濟(jì)函數(shù)在一點(diǎn)的變化率與相對(duì)變化率.將邊際與彈性概念推廣到多元函數(shù)微積分

3、學(xué)中并被賦予經(jīng)濟(jì)含義,如某商品銷售是它的價(jià)格及其它商品價(jià)格的函數(shù),稱為對(duì)的交叉彈性.交叉彈性反映了兩種商品間的相關(guān)性當(dāng)交叉彈性大于零時(shí),兩商品為互為替代品； 當(dāng)交叉彈性小于零時(shí),兩商品為為互補(bǔ)品；當(dāng)交叉彈性等于零時(shí),兩商品為相互獨(dú)立商品.交叉彈性定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)對(duì)的相對(duì)改變量與自變量的相對(duì)改變量之比稱為函數(shù)對(duì)從到兩點(diǎn)間的彈性當(dāng)時(shí)，的極限值稱為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的彈性，記作，即.類似可以定義函數(shù)在處對(duì)的彈性為.特別地，如果中表示需求量，表示價(jià)格，表示消費(fèi)者收入，則表示需求對(duì)價(jià)格的彈性，表示需求對(duì)收入的彈性.例15 隨著養(yǎng)雞工業(yè)化程度的提高，肉雞價(jià)格（用表示）會(huì)不斷下降。現(xiàn)估計(jì)明年肉雞價(jià)格將下降5%，且豬肉需求量（用表示）對(duì)肉雞價(jià)格的交叉彈性為0.85，問明年豬肉需求量將如何變化？（求兩點(diǎn)間的彈性）解：由于雞肉與豬肉互為替代品，故肉雞價(jià)格下降將導(dǎo)致豬肉需求量的下降。依題意豬肉需求量對(duì)肉雞價(jià)格的交叉彈性為，而肉雞價(jià)格將下降，于是豬肉需求量將下降.例16 某種數(shù)碼相機(jī)的銷售量，除與它自身的價(jià)格有關(guān)外，還與彩色噴墨打印機(jī)的價(jià)格有關(guān)，具體是求 =50，