1、章末檢測范圍1.11.2時間:45分鐘分值:100分題號1234567891011得分答案一、選擇題(本大題共7小題,每題5分,共35分)1.在ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,假設A=60°,a=23,那么sinCc=()A.1B.33C.312D.142.ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.a=5,c=2,cos A=23,那么b=()A.2B.3C.2 D.33.在ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,假設A=60°,b=1,SABC=3,那么a+b+csinA+sinB+sinC的值為()A.2633B.2393C.393D.133

2、34.根據以下情況,判斷三角形解的情況,其中正確的選項是()A.a=8,b=16,A=30°,有兩解B.b=18,c=20,B=60°,有一解C.a=5,c=2,A=90°,無解D.a=30,b=25,A=150°,有一解5.鈍角三角形ABC的面積是12,AB=1,BC=2,那么AC等于 ()A.5B.5C.2D.16.在ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.假設asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且a>b,那么B等于()A.6B.3C.23D.567.一船自西向東勻速航行,上午7時到達燈塔A的南偏西75°方

3、向且距燈塔80 n mile的M處,假設這只船的航行速度為106 n mile/h,那么到達這座燈塔東南方向的N處時是上午()A.8時B.9時C.10時D.11時二、填空題(本大題共4小題,每題5分,共20分)8.ABC的內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,假設A=34,a=2,c=2,那么sin C=. 9.在ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且C=34,sin A=55,c-a=5-10,那么b=. 10.a,b,c分別是ABC的三個內角A,B,C所對的邊,假設D為BC的中點,AD·BC=a2-3ac2,那么角B=. 11.在ABC

4、中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,假設a=4,b=5,c=6,那么sin2A2sinC=. 三、解答題(本大題共3小題,共45分)12.(15分)在ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且cosAa+cosBb=sinCc.(1)證明:sin Asin B=sin C;(2)假設b2+c2-a2=65bc,求tan B.13.(15分)A,B,C為ABC的三個內角,且其對邊分別為a,b,c,cos Bcos C-sin Bsin C=12.(1)求A;(2)假設a=23,b+c=4,求ABC的面積. 14.(15分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的

5、輪船上.在小艇出發時,輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線以v海里/時的航行速度勻速行駛,經過t時后與輪船在B處相遇.(1)假設相遇時小艇的航行距離最小,問小艇的航行速度應為多少?(2)假設小艇的最高航行速度只能到達30海里/時,試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使小艇能在最短時間內與輪船相遇,并說明理由.圖G1-1章末檢測答案1.D解析 由正弦定理得asinA=csinC,sinCc=sinAa=3223=14,應選D.2.D解析 由余弦定理得5=b2+4-2×b×

6、;2×23,解得b=3b=-13舍去,選D.3.B解析 因為SABC=3,即12bcsin A=3,所以c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cos A=13,所以a=13,所以a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=2133=2393.4.D解析 選項A中,由asinA=bsinB,得sin B=16×sin30°8=1,即B=90°,只有一解;選項B中,sin C=20sin60°18=539,且c>b,C>B,故有兩解;選項C中,A=90°,a=5,c=2,b=a2-c2=25-4=21

7、,有解.因此A,B,C都不正確,應選D.5.B解析 ABC的面積S=12AB·BCsin B=12×1×2sin B=12,sin B=22,又0<B<,B=4或34.當B=34時,根據余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2+2=5,AC=5,此時ABC為鈍角三角形,符合題意;當B=4時,根據余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2-2=1,AC=1,此時AB2+AC2=BC2,ABC為直角三角形,不符合題意.綜上可知,AC=5.6.A解析 由條件得absin Bcos C+cbsi

8、n Bcos A=12,由正弦定理,得sin Acos C+sin Ccos A=12,sin(A+C)=12,從而sin B=12,又a>b,且B(0,),B=6.7.D解析 由題意畫出示意圖如下圖,那么MAN=75°+45°=120°,MA=80,AMN=90°-75°=15°,ANM=45°.由正弦定理,得MNsinMAN=MAsinANM,那么MN=MA·sin120°sin45°=406,船從M處到N處需要的時間是406106=4(h),即到達這座燈塔東南方向的N處時是上午11時

9、,應選D. 8.12解析 由正弦定理可得asinA=csinC,sin C=csinAa=2×222=12.9.5解析 在ABC中,由正弦定理,得asinA=csinC,即ca=sinCsinA=102.又c-a=5-10,得c=5,a=10.由sin A=55,c=34>2,得cos A=1-sin2A=255,cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C=31010,那么b2=a2+c2-2accos B=10+25-2×5×10×31010=5,那么b=5.10.30°解析 D為BC的中點,AD=12

10、(AC+AB).又BC=AC-AB,AD·BC=12(AC+AB)·(AC-AB)=12(AC2-AB2)=12(b2-c2),12(b2-c2)=a2-3ac2,b2=a2+c2-3ac.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B知,cos B=32,B=30°.11.12解析 asinA=bsinB=csinC,sin2A2sinC=2sinAcosA2sinC=4cosA6=2cosA3.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=25+36-1660=34,sin2A2sinC=23×34=12,12.解:(1)證明:根據正弦定理,可設as

11、inA=bsinB=csinC=k(k>0),那么a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,代入cosAa+cosBb=sinCc中,有cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,變形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由,b2+c2-a2=65bc,根據余弦定理,有cos A=b2+c2-a22bc=35,所以sin A=1-cos2A=45.由(1)知,sin Asin B=sin Ac

12、os B+cos Asin B,所以45sin B=45cos B+35sin B,故tan B=sinBcosB=4.13.解:(1) cos Bcos C-sin Bsin C=12,cos(B+C)=cos(180°-A)=-cos A=12,A=120°.(2)由(1)知A=120°,a=23,b+c=4,b2+c2-2bccos A=a2,即(b+c)2-2bc-2bccos A=a2,42-2bc+2bc×12=232,bc=4,ABC的面積S=12bcsin A=12×4×32=3.14.解:(1)由題意知AO=20,AB=30t,設相遇時小艇航行的距離為S,那么S=900t2+400-2×30t×20×cos(90°-30°)=900t2-600t+400=900t-132+300. 故當t=13時,Smin=103,v=10313=303,即小艇以303海里/時的速度勻速行駛,相遇時小艇的航行距離最小.(2)由余弦定理得v2t2=400+900t2-2×20×30t&