1、精選優質文檔-傾情為你奉上九年級數學一元二次方程總復習資料一、知識掃描1.只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程.因此，由一元二次方程的定義可知，即一元二次方程必須滿足滿足以下三個條件：方程的兩邊都是關于未知數的整式；只含有一個未知數；未知數的最高次數是2。這樣的方程才是一元二次方程，不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程。例如：都是一元二次方程。而不是一元二次方程，原因是是分式。2.任何關于x的一元二次方程的都可整理成的形式.這種形式叫做一元二次方程的一般形式，它的特征是方程左邊是一個關于未知數的二次三項式，方程右邊是零，其中叫二次項，a叫做二次項系數；

2、bx叫做一次項，b叫做一次項系數；c叫做常數項。注意b、c可以是任何實數，但a絕對不能為零，否則，就不是一元二次方程了。化一元二次方程為一般形式的手段是去分母、去括號、移項、合并同類項，整理后的方程最好按降冪排列，二次項系數化為正數。注意任何一個一元二次方程不可缺少二次項，擔可缺少一次項和常數項，即b、c均可以為零。如方程都是一元二次方程。3一元二次方程的解. 使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數的值，叫一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根。如x=1時，成立，故x=1叫的解。4.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是通過降次轉化為一元一次方程，本節共介紹了四種解法。（1）直接開平方法：

3、方程的解為，這種解一元二次方程的方法叫直接開平方法。它是利用了平方根的定義直接開平方，只要形式能化成的一元二次方程都可以采用直接開平方法來解。如，可化成，所以（2）因式分解法：首先把方程右邊化為為零，左邊通過因式分解化為兩個一次因式乘積，由于兩個一次因式相乘為零，第一個因式為零或第二個因式為零。這樣通過降次將一元二次方程轉化為一元一次方程。使用因式分解法解一元二次方程時千萬別約去兩邊含未知數的等式，如解時，兩邊不能約去x-1,解得，這樣就丟掉了x=1這個解，正確的做法是先移項，右邊化為為零，正確解法如下，移項得： ，即，那么x-1=0或3x-1=0,從而得到x-1或（3）配方法：我們先解方程，

4、在方程兩邊同除以2得，移項得，方程左邊配方得，即，利用直接開平方法得。通過這個例子我們發現配方法是通過配方將一元二次方程化成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法。配方法是一種重要的數學思想，它以為依據。其基本步驟是：首先在方程兩邊同除以二次項系數a,b把二次項系數化為1把常數項移到等式的右邊；方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；方程左邊寫成完全平方式，右邊化簡為常數；利用直接開平方法解此方程用配方法解一元二次方程要注意，當二次項系數不為一時，一定要化為一，然后才能方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；（4）公式法：利用公式可以解所有的一元二次方程，用求根公式解一元

5、二次方程的關鍵是先把方程化為的形式，當時，方程的解為，當<0時，一元二次方程無解。用公式法解一元二次方程時一定要把一元二次方程化為的形式，準確確定a、b、c的值。叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即=，“”讀作“delta”.一元二次方程的根的情況與判別式的關系： 當時，方程有兩個不相等的實數根 ，當時，方程有兩個相等的實數根 ，當時，方程沒有實數根。 5關于一元二次方程的應用列方程解應用題的實質是把實際問題利用已知量與未知量之間的等量關系抽象成數學問題（方程問題），然后通過數學問題的解決，獲得實際問題的答案。列一元二次方程解應用題的一般步驟可概括為審、設、列、解、答。審：

6、弄清題目中涉及到的已知量與未知量，找出反映已知量與未知量等量關系的句子設：用x表示未知數，把其他量也用數學利用已知量與未知量之間的等量關系式子表示出來列：利用已知量與未知量之間的等量關系列一元二次方程解：解一元二次方程，注意要檢驗所得的解是否滿足題意答：寫出答案。7.一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）： 如果的兩個根是 則 二、典型例題講解例1、 若方程是關于x的一元二次方程，求m的值例2、關于x的一元二次方程的一個根是0，求a的值關于x的方程例3、求一元二次方程（1-2x）(x+4)=2x2+3的二次項系數、一次項系數、常數項的和。解下列方程（1） （2）（3） （4） 用配方法說明，

7、不論x取何值，代數式的值總不小于8，并求出x取何值時這個代數式的值最小例4、已知例5、關于x的方程（m1）x22（m3）xm20有實數根，求m的取值范圍。例6、商店里某件商品在兩個月里連續降價兩次，現在該商品每件的價格比兩個月前下降了，問平均每月降價百分之幾？例7、如圖，在寬為20m，長為32m的矩形田地中央，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，把矩形田地分成四個相同面積的小田塊，作為良種試驗田，要使每小塊試驗田的面積為135m2，道路的寬應為多少？例8、如圖22.2.1，一塊長和寬分別為60厘米和40厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體水槽，使它的底面積為8

8、00平方米.求截去正方形的邊長.例9、已知關于x的一元二次方程（a21）x22（a1）x10的兩實數根互為倒數，求a的值。例10、已知：關于x的方程 （1） 求證：次方程總有實數根（2） 當方程有兩個實數根且兩實數根的平方和等于4時，求k的值。一元二次方程及其解法1.若關于x的方程（1）x1是一元二次方程，則的值是（B）A、0B、1C、 ±1D、12.下列方程: x2=0, -2=0,2+3x=(1+2x)(2+x), 3-=0,-8x+ 1=0中,一元二次方程的個數是( ) A.1個 B2個 C.3個 D.4個3.把方程（x-）(x+）+(2x-1)2=0化為一元二次方程的一般形式

9、是( ) A.5x2-4x-4=0 B.x2-5=0 C.5x2-2x+1=0 D.5x2-4x+6=04. 把關于x的方程化成ax2+bx+c=0形式,則、的值分別是A B C D .5.方程x2=6x的根是( ) A.x1=0,x2=-6 B.x1=0,x2=6 C.x=6 D.x=06.方2x2-3x+1=0經為(x+a)2=b的形式,正確的是( ) A. ; B.; C. ; D.以上都不對7.若兩個連續整數的積是56,則它們的和是( ) A.11 B.15 C.-15 D.±158.不解方程判斷下列方程中無實數根的是( ) A.-x2=2x-1 B.4x2+4x+=0; C

10、. D.(x+2)(x-3)=-59.某超市一月份的營業額為200萬元,已知第一季度的總營業額共1000萬元, 如果平均每月增長率為x,則由題意列方程應為( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.2001+(1+x)+(1+x)2=100010關于的2、一元二次方程的一個根是0，則的值為（ ）（A）1 （B） （C）1或 （D）0.5二、填空題：11. 如圖，用一塊長80，寬60的薄鋼片，在四個角上截去四個相同的小正方形，然后做成如圖所示的底面積為15002的沒有蓋的長方體盒子，如果設截去的小正方形

11、的邊長為xcm那么長方體盒子底面的長為 ，底面的寬為 ，為了求出x的值，可列出方程 12關于x的方程(a2 4)x2+(a+2)x=8, 當a 時，是一元二次方程，當a 時，是一元一次方程。 13.用_法解方程3(x-2)2=2x-4比較簡便.14.如果2x2+1與4x2-2x-5互為相反數,則x的值為_.15.如果關于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0沒有實數根,那么k 的最小整數值是_.16.如果關于x的方程4mx2-mx+1=0有兩個相等實數根,那么它的根是_.17.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有兩個不相等實數根, 則k 的取值范圍是_.18.某種型號的微機,

12、原售價7200元/臺,經連續兩次降價后,現售價為3528元/臺,則平均每次降價的百分率為_.三、解答題19.試說明關于的方程無論取何值，該方程都是一元二次方程；20.已知方程的一個根為2，求k的值及方程的另外一個根？21.用適當的方法解下列一元二次方程. (1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常數)22.已知關于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一個解是2,另一個解是正數, 而且也是方程(x+4)2-52=3x的解,你能求出m和n的值嗎?四、列方程解應用題23.某電視機廠計劃用兩年的時間把某種型號的電視機的成本降低36%, 若每年下降

13、的百分數相同,求這個百分數.24.某校初三（2）班的師生到距離10千米的山區植樹，出發1個半小時后，張錦同學騎自行車從學校按原路追趕隊伍，結果他們同時到達植樹地點如果張錦同學騎車的速度比隊伍步行的速度的2倍還多2千米 ( 1 )求騎車與步行的速度各是多少？ (2)如果張錦同學要提前10分鐘到達植樹地點，那么他騎車的速度應比原速度快多少？一元二次方程及其解法（B卷）1若一個三角形的三邊長均滿足方程x2-6x+8=0，則此三角形的周長為 .2.已知是方程的一個根，求的值和方程其余的根。3.你能用所學知識解下面的方程嗎?試一試：2x2+5x-12=04.已知一直角三角形的三邊為a,b,c,B=90&

14、#176;,請你判斷關于x的方程a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0的根的情況.5.已知關于的方程有實數根，求的取值范圍。 6.有一面積為150m2的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18 m），另三邊用竹籬笆圍成，如果竹籬笆的長為35 m，求雞場的長與寬各為多少；7.某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用作購物，剩下的1000元及應得利息又全部按一年定期存入銀行。若存款的利率不變，到期后得本金和利息共1320元。求這種存款方式的年利率。 8.要在長32m，寬20m的長方形綠地上修建寬度相同的道路，六塊綠地面積共570m2,問道路寬應為多寬？ 9.如圖所示：某工廠

15、擬建一座平面圖形為矩形且面積為200m2的三級污水處理池。由于地形限制，三級污水處理池的長、寬都不能超過16m。如果池的外圍墻建造單價為每米400元，中間兩條隔墻建造單價為每米300元，池底建造為每平方米80元。（池墻的厚度忽略不計）當三級污水處理池的總造價為47200元時，求池長x。如果規定總造價越低越合算，那么根據題目提供的信息，以47200元為總造價來修建三級污水池是否合算？請舉例說明。BADCx隔墻隔墻10.如圖,某農戶為了發展養殖業,準備利用一段墻( 墻長18米)和55米長的竹籬笆圍成三個相連且面積相等的長方形雞、鴨、鵝各一個.問:( 1)如果雞、鴨、鵝場總面積為150米2,那么有幾

16、種圍法?(2)如果需要圍成的養殖場的面積盡可能大,那么又應怎樣圍,最大面積是多少?實踐與探索測試卷一、選擇題1.已知方程x2+2x-1=0的兩根分別是x1,x2,則= ( ) A.2 B.-2 C.-6 D.62.若一元二次方程（ ） A.3 B.6 C.18 D.243. 某化肥廠生產的化肥經過兩年增長了21%，則每年比上一年平均增長的百分數是（        ）A、12%     B、10%       C、9%  

17、60;     D、7.9% 4. 黨的十六大提出全面建設小康社會，加快推進社會主義現代化，力爭國民生產總值到2020年比2000年翻兩番。在本世紀的頭二十年（2001年2020年），要實現這一目標，以十年為單位計算，設每個十年的國民生產總值的增長率都是x，那么x滿足的方程為（ ）A：(1+x)2=2 B：(1+x)2=4 C：1+2x=2 D：(1+x)+2(1+x)=45. 方程的一個根是，那么另一個根是（      ）A、+4    B、-4  &#

18、160;  C、4-    D、-4- 6.已知三角形兩邊長分別為2和9,第三邊的長為二次方程x2-14x+48=0的一根, 則這個三角形的周長為( ) A.11 B.17 C.17或19 D.197已知實數滿足 ,那么的值為 （ ） A、1或-2 B、-1或2 C、1 D、-28.已知一元二次方程2x23x6=0有兩個實數根x1、x2，直線l經點A（x1x2，0）、B（0，x1·x2），則直線l的解析式為A、y= 2x3 B、y= 2x3 C、y= 2x3 D、y= 2x39已知方程x2-3x+1=0，求作一個一元二次方程使它的根分別是原方程

19、各根的倒數，則這個一無二次方程是（ ） Ax2+3x+1=0 Bx2+3x-1=0 Cx2-3x+1=0 Dx2-3x-1=010.有實數根，則下列結論正確的是（ ）A當時方程兩根互為相反數 B當k0時方程的根是x1C當k±1時方程兩根互為倒數 D當時方程有實數根二、填空題11.若方程x2+3x+m=0的一根是另一根的一半,則m=_,兩個根是_.12.某制藥廠生產的某種針劑,每支成本3元,由于連續兩次降低成本,現在的成本是2.43元,則平均每次降低的百分數是_.13. 10、以1，-3為根的一元二次方程是_。 14.已知方程的一根為，則另一根為_，k=_。 15.某市計劃在兩年內將工

20、農業生產總值翻兩番,則平均每年工農業生產總值的增長率是_.16.關于x的方程x2-kx+6=0有一根-2,那么這個方程兩根倒數的和是_.17.在RtABC中,斜邊AB=5,BC、AC是一元二次方程x2-(2m-1)x+4(m-1)=0 的兩個實數根,則m等于_.18已知、是關于的方程的兩個實數根，且，則 ；19請寫出一個根為，另一根滿足的一元二次方程 三、解答題(每題7分,共28分)20.已知x1=q+p,x2=q-p是關于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩個根,求p、q 的值.21.已知: , 求以 的值為根的一元二次方程.22.已知關于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0. (1

21、)求證:不論k為何值,方程總有兩不相等實數根. (2)設x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.23.已知x和x2為一元二次方程2x2-2x+3m-1=0的兩個實數根,并且x1和x2滿足不等式 ,試求m的取值范圍.四、列方程解應用題(每題9分,共18分)24.一個長方形水池,長88米,寬48米,沿池邊四周有一條寬度相同的路, 已知這條路的面積是1776平方米,求路的寬度.25.一容器裝滿了含鹽量為20%的鹽水50升,第一次倒出若干升,用水加滿; 第二次又倒出同樣多,再用水加滿,此時容器中鹽水的含鹽量為12.8%,求每次倒出的鹽水是多少升?實踐與探索測試卷答案一、

22、1.A;2.A;3.B;4.B;5.C;6.D;7.A;8.A;9.C;10.D二、112；-1，-2;1210%;13;14;15.1;16;174;18.0.5;19三、20;21x2+2x-=0;22.(1)=2k2+8>0, 不論k為何值,方程總有兩不相等實數根. (2) 23.24 提示：,.長6米，寬4米四、18K=3;19. 寬6米;20.10升一元二次方程全章檢測卷一、選擇題：(每小題2分,共20分)1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )A.(a-3)x2=8 (a3) B.ax2+bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 D.2.用配方法將二次三項式變形的結

23、果是( )A. B. C. D. 3.若關于x的方程ax2+2(a-b)x+(b-a)=0有兩個相等的實數根,則a:b等于( )A.-1或2 B.1或 C.- 或1 D.-2或14.若關于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有實根,則k的取值范圍是( )A.k>- B.k- 且k0 C.k- D.k> 且k05. 方程的解是 A、 2，2 B、 0，2 C、 0，2 D、 0，2，2 6.關于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0的兩個實數根之和大于-4,則k的取值范圍是( )A.k>-1 B.k<0 C.-1<k<0 D.-1k<07.若方程的

24、左邊是一個完全平方式，則m的值是（ ）A.-6或-2 B.-2 C.6或-2 D.2或-68.使分式的值為0,則x的取值為( ).A.-3 B.1 C.-1 D.-3或19. 關于x的方程的根為 （ ）（A） （B） （C） （D）10.三角形兩邊長分別為3和6，第三邊是方程的解，則這個三角形的周長是 （A）11 （B）13 （C）11或13 （D）11和131211.某型號的手機連續兩次降價，每個售價由原來的1185元降到了580元設平均每次降價的百分率為x，則列出方程正確的是（ ）12.方程3x2-4x+k+10無實根，化簡得( )A.3k- B.-3k C.k D.-3k二、填空題:(每

25、小題3分,共30分)13一元二次方程的兩根之和為，則兩根之積為_；14.已知3-是方程x2+mx+7=0的一個根,則m= ,另一根為 .15.已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1, 則a= , b= .16.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有一個根為1,則a+b+c= ;若有一個根為-1,則b 與a、c之間的關系為 ;若有一個根為零,則c= .17.若方程2x2-8x+7=0的兩根恰好是一個直角三角形兩條直角邊的長,則這個直角三角形的斜邊長是_.18.某食品連續兩次漲價10%后價格是a元,那么原價是_ _.17.已知兩數的積是12,這兩數的平方和是2

26、5, 以這兩數為根的一元二次方程是_.18.如果關于x的方程x2-2(1-k)+k2=0有實數根,那么+的取值范圍是_.20已知關于的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的兩個實數根的平方和為23，Z則m的值 。21如果那么的值為_；22三角形兩邊的長分別是8和6，第3邊的長是一元二次方程的一個實數根，則該三角形的面積是 三、計算題: 1、 2、 3、 4、 四、解答題:1如果方程與方程都有一個根是x=3，試求a、b的值及各自的另一根。 2.設x1,x2是關于x的方程x2-(k+2)x+2k+1=0的兩個實數根,且x12+x22=11. (1)求k的值;(2)利用根與系數的關系求一個一元二次方

27、程,使它的一個根是原方程兩個根的和,另一根是原方程兩根差的平方.3.設a、b、c是ABC的三條邊,關于x的方程x2+2x+2c-a=0有兩個相等的實數根,方程3cx+2b=2a的根為0. (1)求證:ABC為等邊三角形;(2)若a,b為方程x2+mx-3m=0的兩根,求m的值.4已知ABC的三邊a，b，c，其中a，b是關于x的方程的兩個根。（1）試判斷ABC的形狀；（2）若,求ABC的三邊長。 5.已知關于x的二次方程的兩個不相等的實數根的倒數和為S，（1）求S與m的函數關系式；（2）求S的取值范圍。 6.如圖，有一直立標桿，它的上部被風從B處吹折，桿頂C著地，離桿腳2米，修好后又被風吹折，因

28、新折斷處比前一次低0.5米，故桿頂E著地處比前次遠1米，求原標桿的高。 五、應用題（每題4分，共20分）1、有三個連續偶數，前兩個數的平方和等于第三個數的平方，求這三個偶數。 2、某商店進一批運動服用了10000元，每套按100元賣出，假如全部賣出，這批運動服所得的款與買進這批運動服所用的款的差就是利潤，按這樣計算，這次買賣所得的利潤剛好是買進11件運動服所用的款，求這批運動服有多少套？ 3.國家為了加強對香煙產銷的宏觀管理,對銷售香煙實行征收附加稅政策. 現在知道某種品牌的香煙每條的市場價格為70元,不加收附加稅時, 每年產銷100萬條,若國家征收附加稅,每銷售100元征稅x元(叫做稅率x%

29、), 則每年的產銷量將減少10x萬條.要使每年對此項經營所收取附加稅金為168萬元,并使香煙的產銷量得到宏觀控制,年產銷量不超過50萬條,問稅率應確定為多少?全章檢測卷答案一、1.B ;2.A;3.B ;4.B 5.D ;6.D. 點撥:方程有兩個實數根,所以0,即2(k+2)2-4k20,解得k-1, 兩實數根之和大于-4,即-2(k+2)>-4,k<0,-1k<0.本題易忽略有兩實根, 需滿足0這個重要條件.7.c8.A 9. D;10.B;11.D;12.A二、13-3；14.m=-6,另一根為3+. 點撥:根據一元二次方程根與系數的關系, 設方程另一個根為x1 ,則(

30、3-)x1=7,x1=3+,(3+)+(3-)=-m,則m=-6；15.a=1,b=-2. 點撥:-1是兩方程的根,則3a+b-1=0,a-2b-5=0,解得a=1,b=-2；16.a+b+c=0,b=a+c,c=0；17.3 點撥:設兩根為x1,x2,根據根與系數的關系x1+x2=4, x1·x2=，由勾股定理斜邊長的平方=(x1+x2)2-2x1x2=16-2×=9,斜邊長為3；18.元 點撥:設原價x元,則x(1+10%)2=a,解得x=；19.x2+7x+12=0或x2-7x+12=0 點撥:設兩數為a,b,則ab=12,a2+b2=25,( a+b)2-2ab=25,(a+b)2=49,(a+b)=±7,所以以a,b為根的方程為x2+7x+12= 0 或x2-7x+12=0；20.a+1 點撥:方程有實根,則0,則k, 即-k-,1-k1- ,2(1-k)1,a+=2(1-k),a+1；21.7或-3;22. _;23. 24或三、1、 2、 3、 4、