1、專題九解析幾何第二十六講橢圓2019 年1. (2019全國I理10）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（1,0）, F2（1,0）,過F2的直線與| AF2 |=2曰|,|AB|=|BFJ,則C的方程為2_ xD. 十52x 2/A.+y =1222x y /B. +工=13222x y /c.+ =1432. (2019全國II理21 (1)已知點(diǎn) A(-2,0),B（2,0）,動點(diǎn)M（x,y）滿足直線AM與BM的斜率之積為-1 .2記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線;3. （2019北京理4）已知橢圓1 加= 1（a >b>0 ）的離心率為-,則22(A) a2=2

2、b(B)223a2 = 4b(C) a=2b(D)3a =4b22x y4.（ 2019全國III理15）設(shè)F F2為橢圓© +乙=1的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限 若MF1F236 20為等腰三角形，則 M的坐標(biāo)為2010-2018 年、選擇題2b2= 1（ab>0）的左，右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)Px1. (2018全國卷n )已知F1, F2是橢圓C: a在過A且斜率為 Y3的直線上，PF1F2為等腰三角形，NF1F2P = 120 = ,則C的離心率為 6A. 2322_ x y_2. （2018上海）設(shè)P是橢圓 +<=1上的動點(diǎn)，則 P到該橢圓的兩個焦點(diǎn)的

3、距離之和為（533.4.5.6.7.8.9.A. 2.2B. 2.3C. 2.5 D. 4.222一 ，一 x y 一、 一 一（2017浙江）橢圓 =1的離心率是A. 小3（2017新課標(biāo)出）直徑的圓與直線aY3已知橢圓C.D.- x y .C : -2 + 2 = 1(a > b > 0)的左、a bbx ay+2ab = 0相切，則C的離心率為C.3（2016年全國III）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓C:2x+2a右頂點(diǎn)分別為Ai, A2,且以線段AA2為D.2Y2=1（aAbA0）的左焦點(diǎn)，a, b分別為C b2的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PFx軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF

4、交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為（2016年浙江）已知橢圓C1:2 x -2 m=1 （m > 1）與雙曲線C2:2 x 2.-2-y2 =1(n >0)的焦點(diǎn)重合, ne2分別為C1, C2的離心率，則A . m >n 且 a1C. m <n 且 e% >1（2014福建）設(shè)P,Q分別為x2 +（y6fA. 5 2B. mn 且 已e < 1x22=2和橢圓 + y =1上的點(diǎn)，則 P,Q兩點(diǎn)間的取大距離是10 ,B. . 462 C. 7-2 D.（2013新課標(biāo)1）AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為A 2+金=145 36x已知橢圓-2

5、 + a(1, T),2y2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為則E的方程為2C.22Ayr1F（3,0）,過點(diǎn)F的直線交橢圓于 A、B兩點(diǎn).若22D t8+y9=1（2012新課標(biāo)）設(shè)F1、F2是橢圓E ：2- + “2 1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)， P為直線 a bx = 3a上一點(diǎn),2F2PF1是底角為30o的等腰三角形，則 E的離心率為A、B、C、D、二、填空題10.2x 2（2018浙江）已知點(diǎn)P（0,1）,橢圓 一+ y =m（m>1）上兩點(diǎn)A,4B滿足AP =2PB ,則當(dāng)m=一時,12.13.14.點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對值最大.222xyx（2018北京）已知

6、橢圓M :=+=1但Ab >0）,雙曲線N： abm2y彳=1 .若雙曲線N的兩條漸近線n與橢圓M的四個交點(diǎn)及橢圓 M的兩個焦點(diǎn)恰為一個正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓;雙曲線N的離心率為M的離心率為22b（2016江蘇省）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓 與+=1ebA0 ）的右焦點(diǎn)，直線y =a b2與橢圓交于B,C兩點(diǎn)，且NBFC=90）則該橢圓的離心率是 .x y（2015新課標(biāo)1） 一個圓經(jīng)過橢圓 一十一=1的二個頂點(diǎn), 164且圓心在X的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2014江西）過點(diǎn) M （1,1）作斜率為一1的直線與橢圓C ：222土 .Ea2 b2= 1（ab>0）

7、相交于A,B兩點(diǎn),15.若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓 C的離心率等于22x y（2014遼寧）已知橢圓 C : 一 + =1 ,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合,若 M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分16.別為A, B,線段MN的中點(diǎn)在C 上,則 | AN | +| BN 尸22 x y（2014江西）設(shè)橢圓c： a b= 1（a>b>0 ）的左右焦點(diǎn)為F1, F2,作F2作x軸的垂線與C交于A, B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D ,若AD _L FB ,則橢圓C的離心率等于17.22 y（2014安徽）設(shè)F3F2分別是橢圓E:x +與=1（0 <b <1）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn) F1的直線交橢圓

8、E于bA,B兩點(diǎn)，若 AFi| =3BFi , AF2 _Lx軸，則橢圓E的方程為22x y（2013福建）橢圓 F: -y +=1（a >b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1, F2 ,焦距為2c .若直線a by = 3 x c與橢圓廠的一個交點(diǎn)M滿足/MF1F2 =2/MFzFi ,則該橢圓的離心率等于19.2 x （2012江西）橢圓 a2y+q=1（a > b > 0）的左、右頂點(diǎn)分別是 A,B ,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2 .b| AF1 |,| F1F21,| F1B |成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為20.2，、 一一，一一，一 x 2，（2011浙江）設(shè)F1,

9、F2分別為橢圓 一 + y =1的左、3f右焦點(diǎn)，點(diǎn) A,B在橢圓上，若F1A=5F2B；點(diǎn)A的坐標(biāo)是解答題（2018全國卷I）設(shè)橢圓2C: +y2 =1的右焦點(diǎn)為2F ,過F的直線l與C交于A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,0）.22.（1）當(dāng)l與x軸垂直時，求直線（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明:（2018全國卷出）已知斜率為AM的方程;OMA "OMB .k的直線l與橢圓C ：22x y一 +工=1交于A, B兩點(diǎn)，線段 AB的中點(diǎn)為43M (1,m) (m 0).1證明：k < 一一；2（2）設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且FP+FA+FB =0 .證明：|FA|, |FP|,

10、 |FB |成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.23.（2018天津）設(shè)橢圓xr+x7=1（a>b >0）的左焦點(diǎn)為F ,上頂點(diǎn)為B .已知橢圓的離心率為,a b3點(diǎn)A的坐標(biāo)為（b,0）,且FBAB -62.（1）求橢圓的方程;AQPQ(2)設(shè)直線l ： y = kx(k > 0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P ,且l與直線AB交于點(diǎn)Q .5.2 . 一一 =sin/AOQ(O為原點(diǎn))，求k的值.24.(2017新課標(biāo)I)22x y 已知橢圓C : -2 + -2 =1(a a b a 0),a b四點(diǎn) R(1,1), P2(0,1),25.26.、3求C的方程;"3已=(1

11、,二一)中恰有三點(diǎn)在橢圓 c上.2(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A, B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:2(2017新課標(biāo)n)設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn) M在橢圓C：人十y2=1上，過M做x軸的垂線，垂足為2N，點(diǎn) P 滿足 NP = J2NM ' .(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x = -3上，且OP PQ =1 .證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F .22x y(2017江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E ：=十三 = 1(a >b >0)的左、右焦點(diǎn)分別a b1為F1, F2,離心率為1,兩準(zhǔn)線之間的距離為

12、8.點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過點(diǎn) F1作直 2線PF1的垂線l1 ,過點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2 .(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l1，L的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).427.22彳xy1(2017天津)設(shè)橢圓=1(a >b >0)的左焦點(diǎn)為F ,右頂點(diǎn)為 A,離心率為一.已知A是拋ab221物線y =2 px( p >0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為一.2(I)求橢圓的方程和拋物線的方程;(n )設(shè)l上兩點(diǎn)P , Q關(guān)于x軸對稱,相交于點(diǎn)D .若4APD的面積為求直線AP的方程.直線AP與橢圓相交于點(diǎn) B ( B異于點(diǎn)A),直線BQ與x軸x2y2

13、 228.(2017山東)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓E: -2+當(dāng)=1 (a Ab>0)的離心率為,焦距為2 .a b2(I)求橢圓E的方程;3(n)如圖，動直線l： y=kixX3交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，C是橢圓E上一點(diǎn)，直線OC的斜率為k2 ,2一 . 2 且k1k2=J , M是線段OC延長線上一點(diǎn)， 且MC : AB =2:3 , L M的半徑為 MC, OSQT 4是M的兩條切線，切點(diǎn)分別為 S,T .求/SOT的最大值，并求取得最大值時直線 l的斜率.29.(2016年北京)已知橢圓C:22xy+ =1(a > b > 0)的離心率為ab,A(a,0) , B

14、(0,b), O(0,0), 2AOAB的面積為1.(I)求橢圓C的方程;PB與x軸交于點(diǎn)N.(n)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線 PA與y軸交于點(diǎn)M ,直線求證：| AN | 1 BM |為定值.22230. (2015新課標(biāo)2)已知橢圓 C： 9x +y =m(m>0),直線l不過原點(diǎn) O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點(diǎn)A, B,線段AB的中點(diǎn)為M .(I )證明：直線 OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(n)若l過點(diǎn)(m,m),延長線段 OM與C交于點(diǎn)P,四邊形OAPB能否為平行四邊行？若能，求 3此時l的斜率；若不能，說明理由.2231. (2015北京)已知橢圓C:與+jy2=1(

15、a >b >0 )的離心率為 半，點(diǎn)P(0, 1)和點(diǎn)A(m, n)(m w 0)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M .(I )求橢圓C的方程，并求點(diǎn) M的坐標(biāo)(用m , n表示)；(n)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，直線 PB交x軸于點(diǎn)N.問：y軸上是否存在點(diǎn) Q,使得ZOQM =NONQ ?若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.22x y32. (2015安徽)設(shè)橢圓E的萬程為 "+22 = 1(a >b >0),點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A的坐標(biāo)為(a,0),a b點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0, b ),點(diǎn)M在線段AB上，滿足 BM=2 MA ,直線OM的斜率為

16、45(I)求E的離心率e ；(n)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-b), N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 %,求E的方程.x2y2 一. 3 一 ，33.(2015山東)平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓C ：=十七=1(a a b > 0)的離心率為 ，左、右 a b2焦點(diǎn)分別是FF2.以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上.(I)求橢圓C的方程;22P的直線y = kx + m交橢圓E于(n)設(shè)橢圓E：8萬+上萬=1, P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn) 4a2 4b2A, B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.求但的值;|OP|(ii)求 AB

17、Q面積的最大值.34.(2014新課標(biāo)1)已知點(diǎn)A(0, 2),橢圓E：0+與=1但>b>0)的離心率為 叵,F是橢圓E的 a2b22右焦點(diǎn)，直線 AF的斜率為 拽，O為坐標(biāo)原點(diǎn).3(I )求£的方程;(n )設(shè)過點(diǎn) A的動直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)AOPQ的面積最大時，求l的方程.22-一 ,一 一 x y 35.(2014浙江)如圖，設(shè)橢圓C :-2+J=1(ab >0 )動直線l與橢圓C只有一個公共點(diǎn) a b第一象限.(I)已知直線l的斜率為k,用a,b,k表示點(diǎn)P的坐標(biāo);(n)若過原點(diǎn)O的直線l1與l垂直，證明：點(diǎn)P到直線li的距離的最大值為 a-b .

18、36. (2014新課標(biāo)2)設(shè)F1 , F2分別是橢圓C：岑+ 'y2=1(abA0)的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且a bMF2與x軸垂直，直線 MF1與C的另一個交點(diǎn)為 N.(I)若直線 MN的斜率為4 ,求C的離心率；(n)若直線 MN在y軸上的截距為2,且MN =5 F1N ,求a,b . 2237. (2014安徽)設(shè)Fi,F2分別是橢圓E:與+a =1(aAb>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn) Fi的直線交橢圓 a bE 于 A, B 兩點(diǎn)，|AFi|=3| BFi |(I)若 |AB|=4, MBF2的周長為 16,求 |AF2;3 .(n )若cos/AF2B =一,求橢圓E的

19、離心率.38.(2014山東)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C :與+丫2 =1(a >b >0)的離心率為 正，直線y = x a2 b22被橢圓C截得的線段長為4 .105(I)求橢圓C的方程;(n)過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是橢圓C的頂點(diǎn)).點(diǎn)D在橢圓C上，且AD_LAB,直線BD與X軸、y軸分別交于M, N兩點(diǎn).(i )設(shè)直線BD, AM的斜率分別為ki,k2,證明存在常數(shù) 九使得匕=九卜2,并求出入的值;(ii)求AOMN面積的最大值.2與= 1(a1A 0,b1A 0)和橢圓 62(2014湖南)X如圖5, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C1 :a1一 _ 2

20、 3 .= 1(a2Ab2 > 0)均過點(diǎn)P(二一，1),且以Ci的兩個頂點(diǎn)和C2的兩個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的 3四邊形是面積為2的正方形.(I)求Ci,C2的方程;(n)是否存在直線l ,使得l與C1交于A,B兩點(diǎn)，與C2只有一個公共點(diǎn)，且|OA +高溫|?證明你的結(jié)論.圖540.2 X(2014四川)已知橢圓 C: a2+ 4=1(ab0)的焦距為4,其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端 b點(diǎn)構(gòu)成正三角形.(I )求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(n)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x = -3上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓 C于點(diǎn)P, Q.(i)證明：OT平分線段PQ (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))；(ii)當(dāng)|TF

21、 1最小時,求點(diǎn)T的坐標(biāo).|PQ|2241. (2013安徽)已知橢圓C: + 4=1(a >b>0)的焦距為4,且過點(diǎn)P(J2J3). a b(I )求橢圓C的方程；(n )設(shè)Q(Xo, yo)(Xoy0 *0)為橢圓C上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作x軸的垂線，垂足為E .取點(diǎn)A(0, 272),連接AE ,過點(diǎn)A作AE的垂線交x軸于點(diǎn)D .點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，作直線 QG ,問這樣作出的直線 QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)？并說明理由.42. (2013湖北)如圖，已知橢圓 Ci與C2的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O,長軸均為MN且在x軸上，短軸長分別為2m, 2n (m >n),過原

22、點(diǎn)且不與 x軸重合的直線l與C1，C2的四個交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,8, C, D,記m=, BDM和 ABN的面積分別為 S和S2 . n第20題圖(I )當(dāng)直線l與y軸重合時，若S1 =?§ ,求九的值；(n)當(dāng)K變化時，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線I,使得S1=ZS2 ?并說明理由.43. (2013天津)設(shè)橢圓 0+q=1(aAbA0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為,過點(diǎn)F且與x軸垂直的直 a b3線被橢圓截得白線段長為 4江. 3(I )求橢圓的方程；(n )設(shè)A, B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于 C, D兩點(diǎn). 若A? DB +ADCb =8 ,

23、求 k 的值.F1,F2,離心率為 Y3 ,過F1且垂直222.一 _ x y44. (2013山東)橢圓C :二十% =1(a Ab A0)的左、右焦點(diǎn)分別是 a2 b2于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為I .(I)求橢圓C的方程；(n)點(diǎn)P是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1, PF2.設(shè)/F1PF2的角平分線PM交C的46.長軸于點(diǎn)M (m,0 ),求m的取值范圍;(出)在(n)的條件下，過點(diǎn)P作斜率為k的直線l,使得l與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn).設(shè)直線PFi, PF2的斜率分別為一 八 .11ki*2,若k=0,試證明十為定值，并求出這個定值.kk1 kk222x y(2012北東)已知橢圓 C : a b= 1(a >b>0)的一個頂點(diǎn)為 A(2, 0), 離心率為 -2 .直線y =k(x -1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn) M,N.(I)求橢圓C的方程；(n)當(dāng) AMN得面積為叵時，求k的值.22x y(2013安徽)如圖，F(xiàn)i,F2分別是橢圓C ： +=1 ( a>b>0)的左、右焦點(diǎn)， A是橢圓C的頂 a b點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點(diǎn)，ZFi A F2=60 .(I)求橢圓C的離心率;(n)已知