1、第八章第八章 面板數據分析面板數據分析 面板數據模型的根本分類面板數據模型的根本分類 固定效應模型固定效應模型 隨機效應模型隨機效應模型 實證分析實證分析 v面板數據面板數據(Panel Data)又稱縱列數據又稱縱列數據(Longitudinal Data)，是指不同的橫截面個體在不同的時間上的，是指不同的橫截面個體在不同的時間上的觀測值的集合。從程度看，它包括了某一時間上觀測值的集合。從程度看，它包括了某一時間上的不同的橫截面個體的數據；從縱向看，它包括的不同的橫截面個體的數據；從縱向看，它包括了每一橫截面的時間序列數據。因此，面板數據了每一橫截面的時間序列數據。因此，面板數據模型可以添加

2、模型的自在度，降低解釋變量之間模型可以添加模型的自在度，降低解釋變量之間的多重共線性程度，從而能夠獲得更準確的參數的多重共線性程度，從而能夠獲得更準確的參數估計值。此外，面板數據可以進展更復雜的行為估計值。此外，面板數據可以進展更復雜的行為假設，并能在一定程度上控制缺失或不可觀測變假設，并能在一定程度上控制缺失或不可觀測變量的影響。但是，面板數據模型也不是萬能的，量的影響。但是，面板數據模型也不是萬能的，它的設定和估計都存在一定的假定條件，假設運它的設定和估計都存在一定的假定條件，假設運用不當的話同樣會產生偏誤。用不當的話同樣會產生偏誤。第一節第一節 面板數據模型的根本分類面板數據模型的根本分

3、類v從方式上看，面板數據模型與普通的橫截面數據從方式上看，面板數據模型與普通的橫截面數據模型或時間序列模型的區別在于模型中的變量有模型或時間序列模型的區別在于模型中的變量有兩個下角標，例如：兩個下角標，例如：v 8.1v其中的其中的i代表了橫截面個體，如個人、家庭、代表了橫截面個體，如個人、家庭、企業或國家等，企業或國家等，t代表時間。因此，代表時間。因此，N代表橫截面代表橫截面的寬度，的寬度，T代表時間的長度。代表時間的長度。是是K1的向量，的向量，Xit是是K個解釋變量這里暫不包括常數項的第個解釋變量這里暫不包括常數項的第it個觀測值。個觀測值。 是隨機擾動項或隨機誤差項。是隨機擾動項或隨

4、機誤差項。v面板數據模型的根本分類與面板數據模型的根本分類與(8.1)式中的隨機誤差式中的隨機誤差項的分解和假設有關。項的分解和假設有關。,1,2,.,;1,2,.,itititYiN tTXit一、雙向誤差構成模型一、雙向誤差構成模型(Two-way Error Component Model)v假設假設(8.1)式中的隨機誤差項式中的隨機誤差項 可以分解為：可以分解為：v(8.2)v其中，其中， 表示橫截面效應，它不隨表示橫截面效應，它不隨時間的變動而變動，但卻隨著橫截面個體的不同時間的變動而變動，但卻隨著橫截面個體的不同而不同；而不同； 表示時間效應，它對同一時表示時間效應，它對同一時間

5、的橫截面個體是一樣的，但卻隨著時間的變動間的橫截面個體是一樣的，但卻隨著時間的變動而變動。而變動。ititititu(1,2,.,)iiN(1,2,., )ttTv當當(8.2)式成立并且假定：式成立并且假定：vA1： (8.3)vA2： (8.4)v 那么那么(8.1)式的面板數據模型稱為雙向誤差構成式的面板數據模型稱為雙向誤差構成模型。由于它將模型。由于它將(8.1)式中的誤差項從橫截面和時式中的誤差項從橫截面和時間兩個維度上進展了分解。間兩個維度上進展了分解。(/)0ititE Xu2 . . (0,)ituuii d二、單向誤差構成模型二、單向誤差構成模型(One-way Error

6、Component Model)v當把當把(8.1)式中的隨機誤差項式中的隨機誤差項 只分解為：只分解為：v (8.5)v或或v (8.6)v時，并且同樣假設時，并且同樣假設(8.3) 式和式和(8.4)式成立，那式成立，那么么(8.1)式的面板數據模型稱為單向誤差構成模型式的面板數據模型稱為單向誤差構成模型，由于它僅將，由于它僅將(8.1)式中的誤差項從橫截面或時間式中的誤差項從橫截面或時間的維度上進展了分解。的維度上進展了分解。ititiituittitu三、固定效應三、固定效應Fixed Effects模型模型v無論是雙向誤差構成模型還是單向誤差構成模型無論是雙向誤差構成模型還是單向誤差

7、構成模型,當假設當假設(8.2)式、式、(8.5)式或式或(8.6)式中的式中的 或或 是固定的未知常數時，那么相是固定的未知常數時，那么相應的面板數據模型稱為固定效應模型。詳細的，應的面板數據模型稱為固定效應模型。詳細的，當假設當假設(8.5)式中的式中的 為固定的常數時，為固定的常數時，相應的面板數據模型稱為橫截面固定效應模型；相應的面板數據模型稱為橫截面固定效應模型；當假設當假設(8.6)式中的式中的 為固定的常數時為固定的常數時，相應的面板數據模型稱為時間固定效應模型；，相應的面板數據模型稱為時間固定效應模型；當假設當假設(8.2)式中的式中的 和和 都都為固定的常數時，相應的面板數據

8、模型稱為同時為固定的常數時，相應的面板數據模型稱為同時橫截面和時間固定效應模型或雙向固定效應模型橫截面和時間固定效應模型或雙向固定效應模型。(1,2,.,)iiN(1,2,., )ttT(1,2,.,)iiN(1,2,., )ttT(1,2,.,)iiN(1,2,., )ttT四、隨機效應四、隨機效應(Random Effects)模型模型v同樣，無論是雙向誤差構成模型還是單向誤差構同樣，無論是雙向誤差構成模型還是單向誤差構成模型，當假設成模型，當假設(8.2)式、式、(8.5) 式或式或(8.6) 式中的式中的 v 和和/或或 是一個隨機變量是一個隨機變量而非固定的常數時而非固定的常數時,那

9、么相應的面板數據模型稱為那么相應的面板數據模型稱為隨機效應模型。詳細的隨機效應模型。詳細的,當假設當假設(8.5) 式中的式中的 為隨機變量時，相應的面板數據模型稱為橫截面為隨機變量時，相應的面板數據模型稱為橫截面隨機效應模型；當假設隨機效應模型；當假設(8.6) 式中的式中的 為隨機變量時，相應的面板數據模型稱為時間隨為隨機變量時，相應的面板數據模型稱為時間隨機效應模型；當假設機效應模型；當假設(8.2) 式中的式中的 和和v 都為隨機變量時，相應的面板數據都為隨機變量時，相應的面板數據模型稱為同時橫截面和時間隨機效應模型或雙向模型稱為同時橫截面和時間隨機效應模型或雙向隨機效應模型。隨機效應

10、模型。(1,2,.,)iiN(1,2,., )ttT(1,2,.,)iiN(1,2,., )ttT(1,2,.,)iiN(1,2,., )ttTv以上關于面板數據模型的根本分類的歸納可參見以上關于面板數據模型的根本分類的歸納可參見圖圖8.1。面板數據模型雙向誤差構成模型單向誤差構成模型雙向固定效應雙向隨機效應單向隨機效應單向固定效應橫截面隨機效應時間隨機效應橫截面固定效應時間固定效應隨機效應模型固定效應模型圖8.1 面板數據模型的根本分類第二節第二節 固定效應模型固定效應模型 最小二乘虛擬變量估計最小二乘虛擬變量估計 協方差估計協方差估計(內部估計內部估計) 廣義最小二乘估計廣義最小二乘估計

11、平均效應的估計平均效應的估計 雙向固定效應模型雙向固定效應模型 固定效應的檢驗固定效應的檢驗 8.2.1 最小二乘虛擬變量估計最小二乘虛擬變量估計v這里我們先以橫截面固定效應模型為例來闡明固這里我們先以橫截面固定效應模型為例來闡明固定效應模型的估計方法。對于時間固定效應模型定效應模型的估計方法。對于時間固定效應模型的估計，其方法與橫截面固定效應模型的估計方的估計，其方法與橫截面固定效應模型的估計方法類似，只需將其中對橫截面的處置改換為對時法類似，只需將其中對橫截面的處置改換為對時間的處置就可以了。間的處置就可以了。v將將(8.5)式代入式代入(8.1)式中，并且假定式中，并且假定 為固定的常數

12、，即可得以下的橫截面固定效應模為固定的常數，即可得以下的橫截面固定效應模型：型：v 8.7(1,2,.,)iiN,ititiitYuX v假設假設112211111,11,1NNNKKNTNT KNNTNT YXYXYXYXuuueu1 11 12 22 21 12 2v那么，那么，(8.7)式的矩陣方式為：式的矩陣方式為：v v (8.8)1212NNNN YXue00YXu0e0YYXu00e11112222v (8.8)式中式中 對應的向量實踐上是一個虛對應的向量實踐上是一個虛擬變量，設：擬變量，設：v這樣這樣(8.8)式可以進一步簡化為：式可以進一步簡化為：v (8.9)(1,2,.,

13、)iiN1211112,NNTNTNTNNT N00e00e00eDddddddT 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T1T1T1T1T1T1T1T1YXDu= =+ + +v設設v對對(8.9)式進展式進展OLS估計，實踐上是經過對固定估計，實踐上是經過對固定效應模型效應模型(8.7)式設定了式設定了N個虛擬變量后的最小二個虛擬變量后的最小二乘估計，因此，對乘估計，因此，對(8.9)式的式的OLS估計又被稱為最估計又被稱為最小二乘虛擬變量估計小二乘虛擬變量估計(Least Squares Dummy Estimate,LSDE)，模型，模型(8.8)式或式或(8.9)式

14、被稱為最式被稱為最小二乘虛擬變量小二乘虛擬變量(LSDV)模型。模型。() 1(),KN XX D,=,=v(8.9)式的式的OLS估計結果或估計結果或8.7式的式的LSDE估計估計結果為：結果為：v (8.10)v v當假定條件當假定條件(8.3)式和式和(8.4)式滿足時，式滿足時， LSDE估估計量是最優線性無偏估計量計量是最優線性無偏估計量(BLUE)。 1112() 1KNKNX XX Y 8.2.2 協方差估計協方差估計(內部估計內部估計)v對于對于(8.10)式的式的LSDE的結果，需求涉及到的結果，需求涉及到(K+N)(K+N)矩陣的逆運算，過程較為復雜。實矩陣的逆運算，過程較

15、為復雜。實踐的計算機計算普通是采用以下的較為簡便的二踐的計算機計算普通是采用以下的較為簡便的二步法進展的。步法進展的。v1步驟一：步驟一：v設，設，vv對對(8.7)式的每一個橫截面個體在時間上求平均式的每一個橫截面個體在時間上求平均，得以下模型：，得以下模型：v (8.11)111/ ,/ ,/ ,1,2,.,TTTiitiitiittttYYTT uuT iNXX,iiiiYuXv將將(8.7)式減去式減去(8.11)式得：式得：v (8.12)v(8.12)式與式與(8.7)式相比，沒有了反響橫截面固式相比，沒有了反響橫截面固定效應的常數項定效應的常數項 。(),itiitiitiYYu

16、uXX-iv對對(8.12)式進展式進展OLS估計，得到的參數估計量具有估計，得到的參數估計量具有如如(8.13)式的協方差的方式，因此這一估計過程被式的協方差的方式，因此這一估計過程被稱為協方差估計稱為協方差估計(Covariance Estimate)，得到的估，得到的估計量稱為協方差估計量。計量稱為協方差估計量。v (8.13)v與與(8.10)式的式的LSDE相比，協方差估計只需求相比，協方差估計只需求計算計算KK矩陣的逆，因此簡化了計算的過程。矩陣的逆，因此簡化了計算的過程。111111()()()()NTNTCVitiitiitiitiititK KKYY XXXXXXv2步驟二：

17、步驟二：v利用利用(8.13)式的估計結果，得到式的估計結果，得到v (8.14)v由于在二步法的估計過程中，只用到了每一由于在二步法的估計過程中，只用到了每一橫截面個體內部不同時間的差別的信息橫截面個體內部不同時間的差別的信息 ，并，并未用到不同橫截面個體之間差別的信息未用到不同橫截面個體之間差別的信息 ，所以二步法的估計過程又稱為內部估計所以二步法的估計過程又稱為內部估計(Within Estimate)，其估計結果稱為內部估計量。，其估計結果稱為內部估計量。1,2,.,iiiCVYiNX ( ,)iiY X(,)Y Xv但是，當解釋變量但是，當解釋變量X中包括有那些只隨橫截面個中包括有那

18、些只隨橫截面個體的變化而變化但不隨時間變動的變量時，由于體的變化而變化但不隨時間變動的變量時，由于在獲得在獲得(8.12)式時會象式時會象 那樣被消除，因此在那樣被消除，因此在(8.13)的估計結果中并不包含這些解釋變量的系數的估計結果中并不包含這些解釋變量的系數的估計值。的估計值。iv需求留意的是，由于協方差估計或內部估計只估需求留意的是，由于協方差估計或內部估計只估計了計了K個參數，因此其回歸的方差個參數，因此其回歸的方差 的估計值的估計值 是經過殘差平方和除以是經過殘差平方和除以(NTK)得到的。而得到的。而LSDM中的方差的估計值中的方差的估計值 是經過用殘差平方和是經過用殘差平方和除

19、以除以(NTKN)得到的。因此，二者的關系為：得到的。因此，二者的關系為：v (8.15)22*22*2()()NTKNTKN8.2.3 廣義最小二乘估計廣義最小二乘估計v在在(8.8)式中，第式中，第i個方程可以寫成：個方程可以寫成：v (8.16)v令一個冪等轉換矩陣令一個冪等轉換矩陣Q為：為：v (8.17),1,2,.,iiiiiN YX eu1011110111111111111T TTTTTTTTTTTTTTTTIeeQ=vQ的秩的秩Rank(Q)=T-1，且，且 。將。將Q左乘左乘(8.16)式得：式得：v (8.18)v這樣，這樣，(8.18)式等價于式等價于(8.12)式，也

20、消除了橫截式，也消除了橫截面效應項面效應項 ，且，且v因此，因此，(8.18)式的式的OLS估計量，即估計量，即(8.16)式的廣式的廣義最小二乘義最小二乘GLS估計量會等價于前面引見的估計量會等價于前面引見的協方差估計量，即協方差估計量，即v (8.19)e0Q,1,2,.,iiiiiiiNYX euX uQQQQQQi;iitiiitiiitiYYuuYXXXuQQ-Q1NNGLSiiiiCVi=1i=1 XXXYQQv(8.19)式或式或(8.13)式的協方差估計量是無偏的，它式的協方差估計量是無偏的，它的方差的方差協方差矩陣為：協方差矩陣為：v (8.20)v當當N或或T或二者都趨近于

21、無窮時，協方差估計量或二者都趨近于無窮時，協方差估計量v是一致估計量。但是一致估計量。但(8.14)式中的式中的 雖然是無偏雖然是無偏的的,v但它僅當但它僅當T趨近于無窮時是一致估計量。趨近于無窮時是一致估計量。1N2CViii=1Var()uXXQCVi8.2.4 平均效應的估計平均效應的估計 v當模型當模型(8.1)式中添加一個截距項式中添加一個截距項 時，那么固定時，那么固定效應模型效應模型(8.7)式相應的轉變為：式相應的轉變為：v (8.21)v為了防止在為了防止在LSDM的設定中出現虛擬變量圈套或的設定中出現虛擬變量圈套或完全的多重共線性，需求對完全的多重共線性，需求對(8.21)

22、式中的式中的 施加約施加約束條件。普通假設束條件。普通假設 。,ititiitYuX i10Niiv根據前面的引見，我們只能單獨估計出根據前面的引見，我們只能單獨估計出 和和( )，而無法單獨的估計出，而無法單獨的估計出 和和 。在。在 的約束條的約束條件下，件下， 可以看成是橫截面個體的平均截距項，可以看成是橫截面個體的平均截距項， 那么是第那么是第i個橫截面個體與平均截距的差別。此時個橫截面個體與平均截距的差別。此時， 依然可由協方差估計的結果依然可由協方差估計的結果(8.13)式獲得，而式獲得，而 的估計量為：的估計量為：v (8.22)v其中，其中，vv有了有了 和和 ，即可進一步得到

23、：，即可進一步得到：v (8.23)ii10Niii,CVYX1111/NTNTititititYYNTNT,XXCViiCVYiX 8.2.5 雙向固定效應模型雙向固定效應模型v將將(8.2)式代入式代入(8.1)式中，得到如下既反映橫截面式中，得到如下既反映橫截面固定效應又反映時間固定效應的雙向固定效應模固定效應又反映時間固定效應的雙向固定效應模型：型：v (8.24)v(8.24)式的矩陣方式為式的矩陣方式為v v (8.25),ititititYuX ()()NTNTNNN YXuYXuYIeeIYXu111111222222 v其中，其中，121111111,111010,0101T

24、TNTTNT TN N eeII。 TN,v對對(8.25)式進展式進展OLS估計即可得參數估計即可得參數 、 和和 的的估計值。但由于這一估計過程中需求估計估計值。但由于這一估計過程中需求估計K+N+T個參數，會損失較多的自在度，且有關的矩陣運個參數，會損失較多的自在度，且有關的矩陣運算也較為繁雜，因此在實踐運用中采用的是協方算也較為繁雜，因此在實踐運用中采用的是協方差估計法。差估計法。v對對(8.24)式的每一個橫截面在時間上求平均，得：式的每一個橫截面在時間上求平均，得：v (8.26)v其中，其中， 。對。對(8.24)式的每一時間求橫截式的每一時間求橫截面的平均，得：面的平均，得：v

25、 (8.27) ,iiiiYuX1/TttT,ttttYuXv其中其中 ， ， ， ，v 。另外，定義：。另外，定義：v將將(8.26)式再對橫截面平均或將式再對橫截面平均或將(8.27)式再對時間式再對時間平均，得：平均，得：v (8.28)1/NiiN1/TtitiYYN1/NtitiNXX1/NtitiuuN1111111111/11/NTNTititititNTNTititititYYYYNTNTNTNT,XXXXYuX v由由(8.24)式式 -(8.26)式式 -(8.27)式式+ (8.28)式，得：式，得：v (8.29)v對對(8.29)進展進展OLS估計，可以得到估計，可以

26、得到 的協方差估計的協方差估計量量 。 和和 的估計量為：的估計量為：v (8.30)v由于由于(8.29)式中消除了隨時間不變或隨橫截面不變式中消除了隨時間不變或隨橫截面不變的解釋變量，因此這些解釋變量的系數的估計值的解釋變量，因此這些解釋變量的系數的估計值不在不在 當中。當中。()ititititititYYYYuuuuXXXX-it()(),()()iiitttYYYY XX XX8.2.6 固定效應的檢驗固定效應的檢驗v前面引見的橫截面固定效應模型為前面引見的橫截面固定效應模型為v (8.31)v實踐上，實踐上，(8.31)式是假設存在橫截面個體效應。但式是假設存在橫截面個體效應。但是

27、，假設這種效應不存在的話，那么固定效應模是，假設這種效應不存在的話，那么固定效應模型實踐上就等于以下合并回歸模型：型實踐上就等于以下合并回歸模型：v 8.32v因此，檢驗橫截面效應能否存在，實踐上是把因此，檢驗橫截面效應能否存在，實踐上是把(8.31)式看成是無約束模型，式看成是無約束模型，(8.32)式看成是約束式看成是約束模型，構造以下模型，構造以下F統計量進展檢驗：統計量進展檢驗：v 8.33ititiitYuX itititYuX 2111SSN-1S / NT-K-NF =（）/v其中，其中，S1是是(8.31)式的殘差平方和，式的殘差平方和，S2是是(8.32)式式的殘差平方和。其

28、中的約束條件為：的殘差平方和。其中的約束條件為：v v同樣，對于固定時間效應模型：同樣，對于固定時間效應模型：v (8.34)v檢驗固定時間效應能否存在的檢驗統計量為檢驗固定時間效應能否存在的檢驗統計量為v 8.35v其中其中S3為為(8.34)式的殘差平方和，其約束條件為：式的殘差平方和，其約束條件為：v 。12NitittitYuX 2323SST-1S / NT-K-TF =（）/12Tv對于同時反映橫截面固定效應和時間固定效應的對于同時反映橫截面固定效應和時間固定效應的雙效應模型：雙效應模型：v (8.36)v檢驗雙效應橫截面效應和時間效應能否存在檢驗雙效應橫截面效應和時間效應能否存在

29、的檢驗統計量為的檢驗統計量為v 8.37v其中其中S4為為(8.36)式的殘差平方和，其約束條件為：式的殘差平方和，其約束條件為：v ，,ititititYuX 2434SST+N-2S / NT-K-T-NF =（）/12N12Tv此外，還可以把此外，還可以把(8.36)式作為無約束模型，以式作為無約束模型，以(8.31) 式或式或(8.34)式為約束模型，構造式為約束模型，構造F統計量檢統計量檢驗在給定橫截面固定效應下時間效應能否存在，驗在給定橫截面固定效應下時間效應能否存在，或者檢驗在給定時間效應下橫截面效應能否存在或者檢驗在給定時間效應下橫截面效應能否存在。第三節第三節隨機效應模型隨機

30、效應模型 廣義最小二乘廣義最小二乘GLS估計估計 FGLS估計估計 雙向隨機效應模型雙向隨機效應模型 隨機效應和固定效應的檢驗隨機效應和固定效應的檢驗 v當我們所獲得的面板數據包括了總體的全部橫截當我們所獲得的面板數據包括了總體的全部橫截面個體時，固定效應模型也許是一個較為合理的面個體時，固定效應模型也許是一個較為合理的模型，由于我們有理由置信橫截面的個體之間存模型，由于我們有理由置信橫截面的個體之間存在著固定的差別。但是，當我們的橫截面個體是在著固定的差別。但是，當我們的橫截面個體是從總體中抽樣而來時，那么可以以為橫截面的差從總體中抽樣而來時，那么可以以為橫截面的差別是隨機的，這時，隨機效應

31、模型也許更為合理別是隨機的，這時，隨機效應模型也許更為合理。實踐運用中，那么還需求經過有關檢驗將在。實踐運用中，那么還需求經過有關檢驗將在本節的最后引見進一步確認。本節的最后引見進一步確認。8.3.1 廣義最小二乘廣義最小二乘GLS估計估計v對于面板數據模型對于面板數據模型v (8.38)v當假設其隨機誤差項的構成聯單當假設其隨機誤差項的構成聯單 中中,v 和和 都是隨機變量時，稱都是隨機變量時，稱(8.38)式為雙向隨機式為雙向隨機效應模型。對于隨機效應模型，除了要滿足效應模型。對于隨機效應模型，除了要滿足(8.3)式和式和(8.4)式的式的A1和和A2兩個根本假定之外，還需求兩個根本假定之

32、外，還需求對隨機項對隨機項 和和 進展假定：進展假定：vA3：,1,2,.,;1,2,.,itititYiN tTXititituitit(/)(/)0iittitEEXX A4： 服從獨立同分布，且服從獨立同分布，且 服從獨立同分布，且服從獨立同分布，且 A5：在在A1A5假定之下，隨機效應模型假定之下，隨機效應模型(8.38)式的擾式的擾動項動項 的方差為的方差為i2,()0,ijijEijt2,()0,tstsEts()()0iittitEuEuit222()()ititituVarVaruv為簡化起見，我們暫時假定為簡化起見，我們暫時假定 中的中的 ，即假定只存在橫截面隨機效應而不存在

33、時間隨，即假定只存在橫截面隨機效應而不存在時間隨機效應，此時，機效應，此時，(8.38)式的擾動項式的擾動項 的方差為：的方差為：v對對 的協方差的分析如下：的協方差的分析如下：v當當ts時，時，itititu0tit22()()ititituVarVaruit22cov(,)()()()()()itisiitiisiitisiisiitEuuEE u uEuEuv當當ij時，時，v因此，因此， 的方差的方差協方差矩陣協方差矩陣V為為 v (8.39)cov(,)()()()()()0itjtiitjjtijitjtijtjitEuuEE u uEuEu12iiiiT22()iiuTTTEV

34、Ie ev由于由于V的非對角線上的元素不全為的非對角線上的元素不全為0，因此可以對，因此可以對隨機效應模型隨機效應模型(8.38)式進展式進展GLS估計，得到估計，得到 的的BLUE估計量：估計量：v (8.40)v其中，其中，v (8.41)11111NNGLSiiiiii X V XX V Y2221(),T1,()TTTTTuuTTVe eIe e -1Q+Q2u1v此時，此時，(8.40)式等價于：式等價于：v (8.42)v從從(8.42)式可以看出，隨機效應的式可以看出，隨機效應的GLS估計實踐上估計實踐上是對是對v (8.43)v進展進展OLS估計的結果。估計的結果。11/21/

35、2GLS111/21/211(1-)(1-)(1-)(1-)NTitiitiitNTitiitiitYYXXXXXX（）（）（）（）1/21/21/21-(1-)1-itiitiitiYY XX（）（）（）-v當當 時，時， ，因此，因此 。這里。這里 是對是對v (8.44)v進展進展OLS估計的結果，估計的結果， 表達式與表達式與(8.13)式一式一樣。樣。v此外，可以證明此外，可以證明01/21-itiitiXXXX（）-GLSCVCV(),itiitiitiYYuu XX-CV1211cov()NNiuGLSiiiiiX QXX X121cov()NuCViiiX QXv因此，對因此，

36、對(8.38)式的式的GLS估計量比協方差估計量有估計量比協方差估計量有效。實踐上，效。實踐上，GLS估計量是估計量是BLUE。v當當 時，時， ，這里，這里 是對是對(8.38)式的合并式的合并最小二乘估計的結果；當最小二乘估計的結果；當 時，時， 。1GLSLSLS0GLSCV8.3.2 FGLS估計估計v以上以上GLS的估計首先要求的估計首先要求 是知的，根據是知的，根據(8.41)式式，也就是需求知道，也就是需求知道 和和 的值，但這是不能夠的的值，但這是不能夠的。實踐估計中，普通是用。實踐估計中，普通是用 和和 的一致估計量的一致估計量v 和和 代入到代入到(8.41)式中，然后再得

37、到式中，然后再得到 的的GLS估計。這種用二步法所進展的估計。這種用二步法所進展的GLS估計被稱估計被稱為可行的為可行的GLS(Feasible GLS, FGLS)估計，估計結估計，估計結果記為果記為 。二步法的詳細步驟如下：。二步法的詳細步驟如下：2u2u222u2FGLSv1步驟一：對步驟一：對 和和 的估計的估計v首先對首先對(8.44)式進展式進展OLS估計，得到估計，得到 的協方的協方差估計量差估計量 ，然后得到，然后得到 的一致估計量的一致估計量 為：為：v (8.45)v然后進展組間估計，也就是以橫截面個體的然后進展組間估計，也就是以橫截面個體的均值序列為對象，對模型均值序列為

38、對象，對模型2u2CV2u2u2CV211()NTitiitiituYYNTNKXX-iiiYX 進展進展OLS估計，得到估計，得到 的估計量稱為組間估計量的估計量稱為組間估計量，記為：，記為：由此得到由此得到 的一致估計量的一致估計量 (8.46)1NNbi=1i=1iiii X XX Y22211NiibiuYNKTX v2步驟二：步驟二：v將將(8.45)式和式和 (8.46)式代入到式代入到(8.41)式中，得到：式中，得到：v最后得到最后得到FGLS的估計結果：的估計結果：222()uuT11/21/2FGLS111/21/211(1-)(1-)(1-)(1-)NTitiitiitN

39、TitiitiitYYXXXXXX（）（）（）（）v當當N和和T都趨近于無窮時，都趨近于無窮時， 是漸近有效的。即是漸近有效的。即使對于適度的樣本規模使對于適度的樣本規模(T3,N-K9;T=2,N-K)10)， 依然比依然比 有效。有效。v但是，當但是，當T很小時，由很小時，由(8.46)式得到的式得到的 能夠是負能夠是負數，此時它違反了數，此時它違反了 的假設，的假設，FGLS方法就無方法就無法進展了。法進展了。FGLSFGLSCV2208.3.3 雙向隨機效應模型雙向隨機效應模型v在前面的分析中，我們假定在前面的分析中，我們假定 。當。當 時，時，存在雙向隨機效應。我們曾經知道，在存在雙

40、向隨機效應。我們曾經知道，在A1A5假假定之下，隨機效應模型定之下，隨機效應模型(8.38)的擾動項的擾動項 的方差的方差為為v此時對此時對 的協方差的分析如下：的協方差的分析如下：v當當ts時，時，0t0tit222()()ititituVarVaruit22cov(,)()()itisititisisiEuuEv當當ij時，時，v這時這時 的方差的方差-協方差矩陣協方差矩陣v，v它的逆矩陣為它的逆矩陣為v，22cov(,)()()itjtititjtjttEuuE222()uNTNTTNNTEVIIe ee eI12321NTNTTNNTNTNTuVIIe ee eIe-1vv其中，其中，

41、v 的的GLS估計結果為估計結果為221222222222232222222;2uuuuuuTNTNTNTN。 111GLSX V XX V Y8.3.4 隨機效應和固定效應的檢驗隨機效應和固定效應的檢驗v一、一、Breusch和和Pagan的的LM檢驗檢驗v對于隨機效應模型對于隨機效應模型v假設假設 ，那么闡明存在隨機效應。因此，可，那么闡明存在隨機效應。因此，可以建立以下隨機效應能否存在的假設檢驗。以建立以下隨機效應能否存在的假設檢驗。v ；或；或 ；,ititiitYuX 2020H0：2()0iE21H0：v檢驗統計量為拉格朗日乘數檢驗統計量為拉格朗日乘數v v(8.47)vv其中其中

42、 為合并回歸的殘差，為合并回歸的殘差，e為殘差向量。為殘差向量。22112112222121112(1)112(1)2(1)NTititNTititNiiNTititeNTLMTeT eNTNTTe eTTe ee itev當當H0成立時，成立時，LM服從服從 的分布。的分布。(8.47)還可以還可以寫成以下矩陣的方式：寫成以下矩陣的方式：v其中其中D的定義同的定義同(8.9)式中的式中的D。vLM檢驗的結果假設無法回絕檢驗的結果假設無法回絕H0，那么闡明隨機，那么闡明隨機效應存在的能夠性不大。但是，假設當檢驗結果效應存在的能夠性不大。但是，假設當檢驗結果回絕了回絕了H0的話，也不能保證隨機效

43、應一定存在，的話，也不能保證隨機效應一定存在，只能闡明是能夠存在隨機效應，由于假設存在固只能闡明是能夠存在隨機效應，由于假設存在固定效應的話，同樣能夠會有回絕定效應的話，同樣能夠會有回絕H0的結果。的結果。2(1)212(1)NTe DD eLMTe e二、二、Hausman設定檢驗設定檢驗v對于隨機效應模型來說，它假定對于隨機效應模型來說，它假定 ，即隨機的橫截面效應即隨機的橫截面效應 與解釋變量之間是不相關與解釋變量之間是不相關的。但是在固定效應模型中，那么允許這種相關的。但是在固定效應模型中，那么允許這種相關性的存在。當隨機效應模型存在解釋變量的設定性的存在。當隨機效應模型存在解釋變量的

44、設定偏向，即脫漏重要解釋變量時，偏向，即脫漏重要解釋變量時， 會與解釋變量會與解釋變量之間產生相關，從而導致對隨機效應模型的之間產生相關，從而導致對隨機效應模型的GLS估計的結果不再是一致估計量。估計的結果不再是一致估計量。(/)0iitEXiivHausman設定檢驗的思緒是，當設定檢驗的思緒是，當 成立成立時，對面板數據的時，對面板數據的GLS估計估計 和協方差估計和協方差估計 都是一致估計量，二者的差別不顯著，此時采用都是一致估計量，二者的差別不顯著，此時采用隨機效應模型可以提高估計的有效性。但是，當隨機效應模型可以提高估計的有效性。但是，當v 時，兩種估計的結果差別顯著，時，兩種估計的

45、結果差別顯著，那么應采用固定效應模型。檢驗的思緒如下：那么應采用固定效應模型。檢驗的思緒如下：v 隨機效應隨機效應 v固定效應固定效應(/)0iitEXGLSCV(/)0iitEX0H(/)0iitE：X1H(/)0iitE：Xv令令v可以證明，統計量可以證明，統計量 漸近分布漸近分布于自在度為于自在度為K的的 分布。分布。GLSGLS;cov( )cov()cov(),CVCVqq cov( )Mqq q2第四節第四節實證分析實證分析 美國航空公司本錢函數的固定效應模型美國航空公司本錢函數的固定效應模型 美國航空公司本錢函數的隨機效應模型美國航空公司本錢函數的隨機效應模型 8.4.1 美國航

46、空公司本錢函數的固定效應模美國航空公司本錢函數的固定效應模型型v 美國6家航空公司19701984年共90個觀測值的本錢數據見表8.1。表表8.1 美國美國6家航空公司本錢數據，家航空公司本錢數據，1970-1984obsCOSTQPFLF1-19701140640.0.952757106650.00.5344871-19711215690.0.986757110307.00.5323281-19721309570.1.091980110574.00.5477361-19731511530.1.175780121974.00.5408461-19741676730.1.160170196606

47、.00.5911671-19751823740.1.173760265609.00.5754171-19762022890.1.290510263451.00.594495obsCOSTQPFLF1-19772314760.1.390670316411.00.5974091-19782639160.1.612730384110.00.6385221-19793247620.1.825440569251.00.6762871-19803787750.1.546040871636.00.6057351-19813867750.1.527900997239.00.6143601-1982399602

48、0.1.660200938002.00.6333661-19834282880.1.822310859572.00.6501171-19844748320.1.936460823411.00.625603obsCOSTQPFLF2-1970569292.0.520635103795.00.4908512-1971640614.0.534627111477.00.4734492-1972777655.0.655192118664.00.5030132-1973999294.0.791575114797.00.5125012-19741203970.0.842945215322.00.566782

49、2-19751358100.0.852892281704.00.5581332-19761501350.0.922843304818.00.5587992-19771709270.1.000000348609.00.5720702-19782025400.1.198450374579.00.6247632-19792548370.1.340670544109.00.6287062-19803137740.1.326240853356.00.5891502-19813557700.1.2485201003200.0.5326122-19823717740.1.254320941977.00.52

50、66522-19833962370.1.371770856533.00.540163obsCOSTQPFLF3-1970286298.0.262424118788.00.5243343-1971309290.0.266433123798.00.5371853-1972342056.0.306043122882.00.5821193-1973374595.0.325586131274.00.5794893-1974450037.0.345706222037.00.6065923-1975510412.0.367517278721.00.6072703-1976575347.0.409937306

51、564.00.5824253-1977669331.0.448023356073.00.5739723-1978783799.0.539595378311.00.6542563-1979913883.0.539382555267.00.6310553-19801041520.0.467967850322.00.5692403-19811125800.0.4505441015610.0.5896823-19821096070.0.468793954508.00.5879533-19831198930.0.494397886999.00.5653883-19841170470.0.49331784

52、4079.00.577078obsCOSTQPFLF4-1970145167.00.086393114987.00.4320664-1971170192.00.096740120501.00.4396694-1972247506.00.141500121908.00.4889324-1973309391.00.169715127220.00.4841814-1974354338.00.173805209405.00.5299254-1975373941.00.164272263148.00.5327234-1976420915.00.170906316724.00.5490674-197747

53、4017.00.177840363598.00.5571404-1978532590.00.192248389436.00.6113774-1979676771.00.242469547376.00.6453194-1980880438.00.256505850418.00.6117344-19811052020.0.2496571011170.0.5808844-19821193680.0.273923951934.00.5720474-19831303390.0.371131881323.00.5945704-19841436970.0.421411831374.00.585525obsC

54、OSTQPFLF5-197091361.000.051028118222.00.4428755-197195428.000.052646116223.00.4624735-197298187.000.056348115853.00.5191185-1973115967.00.066953129372.00.5293315-1974138382.00.070308243266.00.5577975-1975156228.00.073961277930.00.5561815-1976183169.00.084946317273.00.5693275-1977210212.00.0954743587

55、94.00.5834655-1978274024.00.119814397667.00.6318185-1979356915.00.150046566672.00.6047235-1980432344.00.144014848393.00.5879215-1981524294.00.1693001005740.0.6161595-1982530924.00.172761958231.00.6058685-1983581447.00.186670872924.00.5946885-1984610257.00.213279844622.00.635545obsCOSTQPFLF6-19706897

56、8.000.037682117112.00.4485396-197174904.000.039784119420.00.4758896-197283829.000.044331116087.00.5005626-197398148.000.050245122997.00.5003446-1974118449.00.055046194309.00.5288976-1975133161.00.052462307923.00.4953616-1976145062.00.056977323595.00.5103426-1977170711.00.061490363081.00.5182966-1978

57、201975.00.069027386422.00.5467236-1979276797.00.092749564867.00.5542766-1980381478.00.112640874818.00.5177666-1981506969.00.1541541013170.0.5800496-1982633388.00.186461930477.00.5560246-1983804388.00.246847851676.00.5377916-19841009500.0.304013819476.00.525775v 我們調查以下簡單的合并數據的本錢函數：我們調查以下簡單的合并數據的本錢函數：

58、v其中，其中，Cost表示總本錢單位：千美圓；表示總本錢單位：千美圓；Q表示產表示產出，用營收乘客里程出，用營收乘客里程Revenue Passenger Miles表示；表示； PF表示燃料價錢表示燃料價錢Fuel Price；LF表示座位利用率表示座位利用率Load factor。該模型實踐上是假定。該模型實踐上是假定6家航空公司的本錢家航空公司的本錢函數不存在個體的差別，并且在函數不存在個體的差別，并且在1970至至1984年期間上不存年期間上不存在著時間上的變動。我們可以預期，在著時間上的變動。我們可以預期， 和和 的符號是正的符號是正號，號， 的符號是負號。的符號是負號。v 用用OL

59、S法回歸的法回歸的EViews結果如表結果如表8.2所示。從表中的結果所示。從表中的結果看，模型整體是顯著的，單個變量的系數也都是顯著的，看，模型整體是顯著的，單個變量的系數也都是顯著的，并且符號與預期都是一致的。并且符號與預期都是一致的。123loglogloglogititititQPFLFi tC os t123表表8.2 合并數據回歸結果合并數據回歸結果Dependent Variable: LOG(COST)Method: Pooled Least SquaresSample: 1970 1984Included observations: 15Cross-sections incl

60、uded: 6Total pool (balanced) observations: 90VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C8.0756490.33420324.163920.0000LOG(Q)0.8828540.01330266.369370.0000LOG(PF)0.4546870.02046022.222930.0000LOG(LF)-0.8914640.190655-4.6758030.0000R-squared0.988252 Mean dependent var13.36561Adjusted R-squared0.98