1、第一講整數問題第1課數的整除一、知識要點1 .除一一因數、倍數必要條件：(1) a、b、c三個數是整數(2) bw0 a + b=c結論：整數a能被整數b整除，或b能整除a,則a叫做b的倍數，b叫 做a的因數。記作：b | a整數a除以整數b (bw0)等于c (c是整數且沒有余數)，那么說a能被b整除，或b能整 除a, a叫做b的倍數，b叫做a的因數。2 .相關基礎知識點回顧(1) 0是任何整數的倍數。(2) 1是任何整數的因數。3 .數整除的性質性質1:如果即：a、b都能被m如果 m | a, m整除，那么它們的和與差也能被m整除。I b,那么 m | ( a± b)。例如：如果

2、210, 2 |6,那么2 | (10+6),并且 2 | (106)。性質2:如果即：a能同時被m、 如果 m | a, nn整除，那么a也一定能被 m和n的最小公倍數整除。a,那么m, n | a。例如：如果636, 9 |36,刃B么6 , 9 | 36。性質3:如果即：m、n都能整除 如果 m | a, na,且m和n互質，那么m與n的積能整除a。a,且(m, n) =1,那么(m x n) | a。例如：如果272, 9 |72,且(2, 7) =1,那么 18 | 72。性質4:如果即：a能整解如果a(b, b fb, b 1能整除m,那么a能整除m。 m,那么a | m。例：如果

3、 7 | 14, 14 | 28,那么 7 | 28。4 . 數的整除特征（ 1）能被 2 整除的數的特征：如果一個整數的個位數是偶數（即個位數是2、 4、 6、 8、 0），那么它必能被 2 整除。（ 2）能被5 整除的數的特征：如果一個整數的個位數字是0 或 5，那么它必能被5 整除。（ 3）能被3（或9）整除的數的特征：如果一個整數的各位數字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除。（ 4）能被4（或25）整除的數的特征：如果一個整數的末兩位數能被4（或25）整除，那么它必能被 4（或25）整除。例：1864 能否被4 整除？解：1864=1800+64,因為4 | 64, 4

4、是1864的因數，1864是4的倍數，所以 4 | 1864。（ 5）能被8（或125）整除的數的特征：如果一個整數的末三位數能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除。例： 29375 能否被 125 整除？解：29375=29000+375,因為 125 | 375, 125 是 375 的因數，375 是 125 的倍數，所以 125 | 29375。（ 6）能被11 整除的數的特征：如果一個整數的奇數位數字之和與偶數位數字之和的差（大減小）能被11整除，那么它必能被11整除。（奇數位指：這個數的個位、百位、萬位；偶數位指：這個數的十位、千位、十萬位）例：判斷13574 是否

5、是 11 的倍數？解：這個數的奇數位上數字之和與偶數位上數字和的差是：（4+5+1） - （7+3） =0。因為0是任何整數的倍數，所以11 | 0。因此13574是11的倍數。例：判斷123456789 這九位數能否被11 整除？解：這個數奇數位上的數字之和是9 + 7+5+3+1=25,偶數位上的數字之和是8+6 + 4+2=20.因為25-20=5,又因為 11 5 ,所以 11 123456789。（ 7）能被7（ 11 或 13）整除的數的特征：一個整數的末三位數與末三位以前的數字所組成的數之差（以大減小）能被7（ 11 或 13）整除。例：判斷1059282 是否是 7 的倍數？解

6、：把1059282分為1059和282兩個數。因為 1059-282 =777,又因為7| 777,所以7 | 1059282。因 此 1059282 是 7 的倍數。例：判斷3546725 能否被 13 整除？解：把 3546725 分為 3546 和 725 兩個數 . 因為 3546-725=2821. 再把 2821 分為 2 和 821 兩個數，因為 821-2=819,又 13| 819,所以 13 | 2821 ,進而 13 | 3546725。、典型例題詳解猜猜會是什么數?【例1】：一個856 五位數，能被3、4、5整除，這樣的五位數中，最小的一個是多少？解：先將 856,看做

7、856ab。3 | 856ab,則 3 | 8+5+6+a+b, 3 | 19+a+b,a+b=2 或 a+b=5 或 a+b=8。.1 4 | 856ab,貝U 4 | ab,ab=偶數5 I 856ab,貝U b=0 或 b=5,又,: ab 為偶數，b=0a+b=2 或 a+b=5 或 a+b=8,且 b=0,a=2 或 a=5 或 a=8當a=2, b=0時，這個數為85620;當a=5, b=0時，這個數為85650;當a=8, b=0時，這個數為85680。答：五位數中最小的一個是85620。【例2】：一本老賬本上記著：72只桶，共 67.9元，其中口處是被蟲蛀掉的數字，請把這筆賬

8、補上。解：先將 67.9 ,看做整數a679b。72=8X 9,且（8, 9） =1,8 | a679b,且 9 | a679b。若 8 | a679b,則 8 | 79b,所以 b=2。若 9 | a679b, b=2,貝U 9 | a6792, 9 | a+6+7+9+2, 9 | a+24,所以 a 應是 3。所以這個數應是答：這筆賬應是 元。【例3】：173 是一個四位數，在其中的方框中先后填入三個數字，所得到的三個四位數，依次可以被9、方法二倍數特征解：2. 71450至少加上多少后就能被 4整除?11、6整除。先后填入的三個數字的和是多少?方法一試商法解：三、課后作業1 .在口中填

9、入適當的數字，使所組成的數能夠被4整除。78 口 47653 口 863 口口3 . 一個六位數2356 是22的倍數，那么這樣4 .如果兩個數的和是64,這兩個數的積可以整的六位數中，最大的一個是多少?除4875,那么這兩個數的差是多少5 . 一位采購員買了同樣的72只熱水杯，可是發票不慎弄濕，單價無法辨認，總價數字也不 全，只能看出： 口173. 口元。你能算出熱水 杯的單價嗎？第一講整數問題第2課倍數與因數（一）一、知識要點1 .質數與合數質數：一個數除了 1和它本身，不再有別的因數，這個數叫做質數。（素數）合數：一個數除了 1和它本身，還有別的因數，這個數叫做合數。1不是質數，也不是合

10、數。2 .質因數與分解質因數質因數：如果一個質數是某個數的因數，那么就說這個質數是這個數的質因數分解質因數：把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數例：30分解質因數。解：30=2X3X5 答：2、3、5是30的質因數。分解質因數的方法：可以用短除式來求質因數里152 I 183 |_2_3100以內的質數（嬖!鰭的3：2、3、5、7、11、 13、17 、 19、23、 29、31、 37、41、 43、 47 、53、 59、61、 67、71、 73、79、83、 89、97、3 .公因數與公倍數公因數：幾個自然數公有的因數，叫做這幾個自然數的公因數公倍數：幾個自然數公有的倍

11、數，叫做這幾個自然數的公倍數一個數的因數的個數是（）的，倍數的個數是（）的。幾個數的公因數的個數是（）的，公倍數的個數是（）的4 .最大公因數與最小公倍數最大公因數：在幾個自然數的公因數中，最大的一個稱為這幾個數的最大公因數。a 、b的最大公因數=（a , b）最小公倍數：在幾個自然數的公倍數中，除零外最小的一個稱為這幾個數的最小公倍數。a、b的最小公倍數=a、b2 1 83 0用公有的質因數2除3 915用公有的質因數3除35 除到兩個商是互質數為止（18, 30） =2X3=618, 30=2 X3X 3X5=90二、典型例題詳解【例1】五年級三個班分別有 30、24、42人參加課外科技活

12、動，現在要把參加的人分成人數相等的小級，并 且各班同學不能打亂，那么每組最多多少人？ 一共可以分成多少個小組？用短除法計算:解：30=2X3X524=2 X 3 X 2 X 242=2 X 3 X 7（30, 24, 42） =2X 3=6 （人）30+6=5 （個）24+6=4 （個）42+6=7 （個）5+4+7=16 （個）答：每組最多可以分 6人，一共可以分16個組。用短除法計算:【例2】有一種長16厘米，寬12厘米的塑料扣板，如果用這種扣板拼成一個正方形，最少需要多少塊？ 解：16=2X2X2X212=2 X2X316, 12=2 X2X2X2X 3=48 （厘米）48 +16=3（

13、塊）48 +12=4（塊）3 X 4=12（塊）答：最少需要12塊扣板。【例3】甲對乙說：“我現在的年齡是你的 7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年就分別是你的 5倍、4倍、3倍、2倍。”求出甲、乙現在的年齡。解：甲現在的年齡是乙的 當甲的年齡是乙的 當甲的年齡是乙的 當甲的年齡是乙的 當甲的年齡是乙的 當甲的年齡是乙的.甲、乙的年齡差是7倍，則甲的年齡比乙大 6倍時，則甲的年齡比乙大 5倍時，則甲的年齡比乙大 4倍時，則甲的年齡比乙大 3倍時，則甲的年齡比乙大 2倍時，則甲的年齡比乙大 6、5、4、3、2的公倍數。6倍;5倍;4倍;3倍;2倍;1倍;6,5, 4, 3, 2=6 X 5X4X

14、3X 2=60 （歲）60+ （7-1 ） =10 （歲）10+60=70（歲）答：甲的年齡是70 歲，乙的年齡是10 歲。4】寫出三個小于20 的自然數，它們的最大公因數為1，但兩兩均不互質，共有幾組解：假設這三個數分別是a、 b、 c.a、b、c 兩兩不互質，且 a<20, bv20, cv20,則兩兩間的質因數互不相同且乘積小于20（a，b）=2 或（a，b）=3或（a，b）=5；（a，c）=2 或（a，c）=3或（a，c）=5；（b，c）=2 或（b ，c）=3或（b ，c）=5；，a, b, c 三數有可能是 2X3=6, 2X 5=10, 3X5=15, 2X6=12, 3X

15、6=18。 又-.1 （a, b, c） =1;（ 6，10，15）=1； （ 10， 15，12） =11； （ 10， 15， 18）=答：共有三組，分別是（6、10、15） ， （ 10、 12、 15） ， （ 10、15、 18）。三、課后習題1. 求 56， 36， 284 的最小公倍數。2. 有 336 個蘋果、252 個梨子、210 個桔子，用這三種水果最多可以分成多少份相同的禮物？每份禮物中，三種水果各占多少？3. 三個人繞環行跑道練習騎自行車，他們騎一圈的時間分別為半分鐘、45 秒鐘、 1 分 15 秒。 三人同時從起點出發，最少需要多長時間才能再次在起點相會4. 有一個表

16、，每走 9 分鐘亮一次燈，每到整點時響一次鈴。 中午 12 點時既亮燈又響鈴。下次既亮燈又響鈴在幾點？5.把一弓長120cmi,寬80cm的長方形紙裁成同樣大小的正方形（ 紙不能有剩余） ，至少能裁成多少張這樣的正方形紙，每張裁成的紙是多大？6. 用一個數去除31， 61， 76 都余 1，這個數最大是多少？第 3 課 倍數與因數（二）一、知識要點1.最小公倍數與最大公因數之間的關系定理一：兩個自然數分別除以它們的最大公因數，所得的商互質。即：如果（a, b） =d ,那么（a+d, b+0 =1定理二：兩個數的最小公倍數與最大公因數之積等于這兩個數的乘積。即：a, b x （a, b） =a

17、x b定理三：兩個數的公因數一定是這兩個數的最大公因數的因數二、典型例題詳解【例1】甲數是36,甲、乙兩數的最大公因數是4,最【練一練】甲數和乙數的最大公因數是6,最小公小公倍數是288,求乙數。倍數是90,且小數不能整除大數，求這兩個數。解：設乙數是a36 x a=4X288a=4X 288 + 36a=32答：乙數是32。【例2】已知兩數的最大公因數是21,最小公倍數是126,求這兩個數的和是多少？a、【練一練】兩個自然數的和是 56,它們的最大公因 數是7,求這兩個數。解：設這兩個數分別為126 + 21=66=3 X 2a=3X 21=63b=2X 21=4263+21=84答：這兩個

18、數的和是b或 6=1 X 6a=1X21=21b=6X 21=12621+126=14784或 147。【例3】兩個自然數的和是 50,它們的最大公因數是 5, 求這兩個數的差。【練一練】已知兩個自然數的積是 5766,它們的最大公因數是31 ,求這兩個數。解：設這兩個自然數分別是5a、5b 5a+5b=50 .1. a+b=10.1 (a, b)=1 且 a+b=10 霓舄或之3當 a=1 時，5a=5, 5b=455b-5a=40b =9當 a =3 時，5a=15, 5b=35 5b-5a=20 b =7答：這兩個數的差是40或20.【例4】兩個自然數的和是54,它們的最小公倍數與最大公

19、因數的差是114,求這兩個自然數。解：設這兩個數是 A、B。且A=am； B=bm.1 A+B=54 ,貝U am+bm=54 . . m(a+b)=54(A、B)=m；a、b為A、B兩數的非有公因數，(a、b)=1A、B=mxaxb. A、B(A、B)=114,則 mxax b-m=114 m(ab 1)=114m(a+b)=54 且 m(ab 1)=114則m是54和114的公因數又( 54, 114) =6, 6=1 X 6=2X3m=1 或 m=6 或 m=2 或 m=3如果 m=1,貝U 1 x (a+b)=54, a+b=54;1 x (ab1)=114, ab=115 .,115

20、=1X115 或 115=5X23 . 115+1 w 54 且 5+23 w 54 . m w 1如果 m=6,則 6X(a+b)=54, a+b=9;6 x (ab1)=114, ab=20. , (a、b)=1,貝U 20=1 X 20 或 20=4 X 5 .-1+20W9, 4+5=9則 m=6, a=4, b=5;. A=4X6=24, B=5X 6=30如果 m=2,則 2X(a+b)=54, a+b=272 x (ab1)=114, ab=58 . , (a、b)=1,貝U 58=1 X 58 或 58=2 X 29 . , 1+58W27 且 2+29W27 . m w 2三

21、、課后作業(1)某數與24的最大公因數是 4,最小公倍數是168,(接【例4】)如果 m=3,貝U 3X(a+b)=54, a+b=183X(ab1)=114, ab=39 .1 (a> b)=1,貝U是 39=1 X39 或 58=3 X 13. 1+39W 18 且 3+13W16m w 3答：這兩個自然數是 24和30。【練一練】兩個數的差是4,最大公因數與最小公倍數的積是252,求這兩個數。(2)已知兩個自然數的最大公因數為4,最小公倍這個數是多少？數為120，求這兩個數。（ 3） 兩個數的和是70， 它們的最大公因數是7， 求這兩個數的差是多少？（ 4） 已知兩個自然數的差為4

22、8， 它們的最小公倍數為 60，求這兩個數。（ 5）兩個數的最大公因數是18，最小公倍數是180，兩個數的差是54，求兩個數的和。（ 6）已知兩個自然數的差為30，它們的最小公倍數與最大公約數的差為450，求這兩個自然數。（ 7）兩個數的最大公因數是12，最小公倍數是72，這兩個數的和是多少？（ 8）兩個自然數的差是3，它們的最大公因數與最小公倍數的積是180，求這兩個數。復習練習第 2 課（ 1）有一種地磚，長20 厘米，寬15 厘米，至少需要多少塊這樣的地磚才能拼成一個實心的正方形？（ 2）一箱雞蛋，四個四個數多3 個，五個五個數多4 個， 七個七個數多6 個， 這箱雞蛋至少有多少個？3）

23、有一個班的同學包車旅游，如果增加一輛車，正好每輛車坐10 人，如果減少一輛車，正好每輛車坐 15 人，這個班共有多少人？（10）已知a與b、a與c的最大公因數分別是 12和15， a、 b、 c 的最小公倍數是120，求a、 b、 c。（ 4）一條路長96 米，從一端起，每隔4 米栽一棵樹（路兩旁都栽）。現要再每隔6 米栽一棵，已栽上的地方不用重栽，這條路上共需新栽多少棵樹？第二講 圖形的面積第 1 課 巧求圖形面積、知識要點1.基本平面圖形特征及面積公式特征面積公式止方形四條邊都相等。四個角都是直角。后四條對稱軸。S=a2長方形對邊相等。四個角都是直角。有一條對稱軸。S=ab平行四邊形兩組對

24、邊平行且相等。對角相等，相鄰的兩個角之和為180°平行四邊形容易變形。S=ah三角形兩邊之和大于第三條邊。兩邊之差小于第三條邊。三個角的內角和是 180°。后二條邊和三個角，具有穩定性。S=ah+ 2形只有一組對邊平行。中位線等于上下底和的一半。S=(a+b)h+ 22.基本解題方法:由兩個或多個簡單的基本幾何圖形組合成的組合圖形，要計算這樣的組合圖形面積，先根據圖形 的基本關系，再運用分解、組合、平移、害U補、添輔助線等幾種方法將圖形變成基本圖形分別計算。、典型例題詳解【例1】已知平行四邊表的面積是 28平方厘米，求陰【練一練】如果用鐵絲圍成如下圖一樣的平行四邊 形，需要

25、用多少厘米鐵絲？（單位：厘米）影部分的面積。【例2】下圖中甲和乙都是正方形，求陰影部分的面積。（單位：厘米）【練一練】求圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）角邊EC長8厘米，已 知陰影部分的面積比 三角形EFG的面積大10平方厘米。求 CF的 長。【例3】如圖所示，甲三角形的面積比乙三角形的面積大6平方厘米，求 CE的長度。4I國平【練一練平行四邊形 ABCD的邊長BC=10厘米， 直角三角形 BCE的直【例4】兩條對角線把梯形 ABCD分割成四個三角形。【練一練】下面的梯形 ABCD中，下底是上底的 2已知兩個三角形的面積（如圖所示） 的面積各是多少？（單位：厘米）,求另兩個三角形倍，E是AB

26、的中點，求梯形ABCD的面積是三角形EDB面積的多少倍？【練一練】一個長方形的草 坪，中間有兩個人 行道。高是14 求草坪的面積。（單位：厘米）3228*-【練一練】計算下面圖形的面積。Z- 15A、課后作業下面的梯形中，陰影部分面積是 150 平方厘米，求梯形 的面積。3.求圖中陰影部分的面積。單位：厘米6.求圖形中梯形 ABCD的面積。(單位：厘米)角形AED的面積是 人4.梯形ABCD的面積是45平萬厘米，圖6厘米。三5平方厘米，BC=10 厘米，求陰影部分 的面積。2.正方形ABCD的 邊長是12厘米，已 知DE是EC長度的 2倍，求：(1) 三角形 DEF的面積。(2) CF的長。5

27、.正方形 ABCD的面積是 100平方厘米，AE=8厘米， CF=6厘米，求陰影部分的面 積。2倍，大三角形高是小三角形高的4倍，大三角形高是小三角形高的2倍，大平行四邊形高是3倍，大平行四邊形高是4倍，大平行四邊形高是 n倍，大平行四邊形高是第2課等積變形求面積、知識要點幕底等同的三角形面積相等平行四邊形如果兩個三角形底相等，大三角形面積是小三角形面積的如果兩個三角形底相等，大三角形面積是小三角形面積的 3倍，大三角形高是小三角形高的如果兩個三角形底相等，大三角形面積是小三角形面積的如果兩個三角形底相等，大三角形面積是小三角形面積的 n倍，大三角形高是小三角形高的如果兩個平行四邊形形底相等，

28、大平行四邊形面積是小平行四邊形形面積的 小平行四邊形高的。如果兩個平行四邊形形底相等，大平行四邊形面積是小平行四邊形形面積的 小平行四邊形高的。如果兩個平行四邊形形底相等，大平行四邊形面積是小平行四邊形形面積的 小平行四邊形高的。如果兩個平行四邊形形底相等，大平行四邊形面積是小平行四邊形形面積的小平行四邊形高的、典型例題分析o【例1】四邊形ABCD中，MAB的中點，N為CD的中點， 如果四邊形ABCD的面積是80平方厘米，求陰影部分BNDM的面積是多少？【練一練】如圖，六邊形ABCDEF勺面積是16平方厘米，M、N、P、Q 分別是 AB、a&CD、DE、AF的中點。求圖中陰影部分的面積

29、。【例2】如圖，平行四邊形 ABCD 中，AE=EF=FB, AG=2CG 三角形GEF的面積是6平方厘米，平行四邊形的面積是多少平方厘米?平方厘米，求圖中陰影 部分的面積。【練一練】如圖，在一個等邊三角 形中任意取一點巳連接PA PRPC,過P點作三角形的垂線，E、F、G分別為垂足。三角形ABC被分成6個三角形。已 知三角形ABC的面積為40【例3】下圖中正方形 ABCD的邊長是4厘米，長方形【練一練】兩個相同的直角三角形疊放在一起，求A B【例4】兩個正方形拼成一 個圖形，其中小正方形的邊 長是4厘米，求陰影部分的 面積。DEFG的長DG=5厘米，問長方形的寬DE為多少厘米？陰影部分的面積

30、。（單位：分米）D C【練一練】/ 如圖，AE=ED,AF=FC已知 ABC的面積為100平方厘米，求陰影部分的 面積。、課后作業1 .平行四邊形的面積為 50 平方厘米，P是其中任意 一點，求陰影部分的面積。2 .長方形ABCD,三角形 ABG的面積為20平方厘 米，三角形CDQ的面積為 35平方厘米，求陰影部分 的面積。4.如圖,AD=2AB, CF=3ACBE=4BC已知 ABC的面積為5平方厘米, 求 DEF的面積。3 .ABCD是直角梯形，其中 AD=12厘米，AB=8厘米， BC=15厘米，且三角形 ADE、 四邊形DEBF及三角形CDF 的面積相等，三角形EBF陰 影部分）的面積

31、是多少？5.如圖，AB=4厘米，AC=2CD, BE=BD 求 三角形ADE的面積。6.圖中 BD=2DC, AE=BE 已知三角形ABC的面積 是18平方厘米，求四邊 形AEDC的面積是多少？第三講分數的基本性質第1課分數的認識一、知識要點1 .分數的意義和性質分數的意義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數，叫做分數。(分母表示把一個物體平均分成幾份，分子是表示這樣幾份的數。把 1平均分成分母份, 表示這樣的分子份。)分數單位：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數，叫做分數單位。分數的性質:分子與分母同時乘或除以一個相同的數(0除外)，分數的大小不變。2 .分數的分

32、類L真分數：分子比分母小的分數，叫做真分數。真分數大于1。假分數：分子大于或者等于分母的分數叫假分數，假分數大于1或等于1。、帶分數：帶分數就是將一個分數寫成整數部分+一個真分數。帶分數與假分數的互換:帶分數假分數：分母不變，分子為整數部分乘以分母的積再加上原分子的和。例:假分數 A帶分數:26，分子則為原分子除以分母的余數。7分母不變，整數部分為原分子除以分母的商例:14314 -33帶分數真分數3 .計算方法:分數加減法(1)同分母分數相加減，分母不變，即分數單位不變，分子相加減，最后要化成最簡分數。5135 1-3 3例:一.一 .一=一7 7 777(2)異分母分數相加減， 先通分,即

33、運用分數的基本性質將異分母分數轉化為同分母分數,改變其分數單位而大小不變，再按同分母分數相加減法去計算，最后要化成最簡分數。54125241525 24 -1534 一 = 一=一6523030303030分數乘除法(1)分數乘整數，分母不變，分子乘整數，最后要化成最簡分數。,一 5 一例： 6 =95 6 10(2)分數乘分數，用分子乘分子，用分母乘分母，最后要化成最簡分數。(3)面 2 6 2 6 4例：=一9 7 9 7 21分數除以整數，分母不變，如果分子是整數的倍數， 則用分子除以整數， 最后要化成最簡分數。8例： 4 =98-4 2(4)分數除以整數，分母不變，如果分子不是整數的倍

34、數，則用這個分數乘這個整數的倒數，最后要化成最簡分數。加 2 c 211例： 6 = 一9 6 27(5)分數除以分數，等于被除數乘除數的倒數，最后不是最簡分數要化成最簡分數。例:二、典型例題分析【例1】分母是91的真分數有多少個？最簡真分數有 多少個？【練一練1】分子、分母的乘積是 420的最簡真分數 共有多少個？【例2】把一個最簡分數的分子加上 于1。(1)如果把這個分數的分母加上1 ,這個分數就等,一 ，一3.【練一練2】一個分數約分成最簡分數是 -,原分子、71,這個分數就等于分母的和是90,原分數是多少?8 ,原分數是多少？92,這個分數就等于(2)如果把這個分數的分母加上 8 ,原

35、分數是多少?9",”，73 , 一 八一，一一，【例3】分數，3的分子和分母都減去同一個整數,136 一 2_一，一，所得的分數約分后是 2,求那個整數是多少？9【練一練3】一個真分數的分子、分母是兩個連續的，12 一自然數，如果分母加上 4,這個分數約分后是-,原3來這個分數是多少？,55 ,【例4】分數55的分子減去某數，而分母同時加上這 64個數后，所得的新分數化簡后為-,求某數。13一， 1"【練一練4】一個分數，分子加上 1可約分為，分3一 1，、，子減去1可約分為-,求這個分數。5_ _._1 * 【練一練5】分數，的分子、分母同時加一個自然數,12一一，一 r

36、 .一，1、 “新分數化簡得一個分數 , ；求這個自然數。2【練一練6】all是最簡真分數，a可取的整數共有48多少個？三、課后作業【1】分母是51的真分數有多少個？最簡真分數有多 少個？【2】一個最簡分數的分子縮小 5倍，分母擴大9倍后2一，是,原分數是多少？273 【3】士的分子、分母同時加上多少后可以約分為13【4】一個分數，如果分子加上 16,分母減去166,那3么約分后是3 ;如果分子加上124,分母加上340,那4,1 一，一么約分后是，求原分數是多少？2【5】填空題：(列式、計算、填空)(1)一個最簡真分數的分子、分母之積是30,這個最簡真分數是。(3)一個最簡真分數，把它的分母

37、擴大5倍，而分子縮,、 ，一 1、 ，小4倍，化簡后是,求這個最簡真分數是52(2)分母是85的真分數共有 的最簡真分數共有 個。個，分母是85(4) 一個最簡真分數，分子、分母之和是15,這個最簡真分數是【6】一個真分數的分子、 分母是兩個相鄰的奇數， 如3果分母加上3后，這個分數約分為 士，求原分數是多4少？，一，1 ，一，一一，一 【7】分數的分子、分母同時加同一個自然數，新12分數化簡后得-,求這個自然數。2第2課比較分數大小1.知識要點分數的基本性質分數的性質：分子與分母同時乘或除以一個相同的數（0除外），分數的大小不變。2.比較分數大小的基本方法 分母相同：分母相同的分數，比較分子

38、，分子大的分數大 分子相同：分子相同的分數，比較分母，分母小的分數大假分數與真分數：假分數大于真分數。3.分子、分母都不同的兩個分數：I 先通分，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比較大小4.比較分數大小的巧算:通分子”當兩個已知分數的分母的最小公倍數比較大，而分子的最小公倍數比較小時，可 以把它們化成同分子的分數，再比較大小，這種方法比通分的方法簡便。1215例如，苗與工，分母的最小公倍數是三位數，分子的最小公倍數是相，把竺化為 3 3化為空 因為包 >3 所以空 >11.171<內酰'泣牝內.函'85翳切人1742化為小數。這種方法對任意的分數都適用，因

39、此也叫萬能方法。但在比較大小時是否簡便, 就要看具體情況了。例如三與V 一看就知道廠=京=。,61所以先約分，后比較。有時已知分數不是最簡分數，可以先約分。717171717171例如，黑與黑約分后網個分數都等于/ 所以它們是相等的.OOJo倒數比較大小。分數m和n,如果 < ,那么m> n。m nZ19:20 用氣21 , 11 _ 20 甑F20、19例如而與亓因為疝=1的<尾=力所以/加大分數比較大小則分母與分子相加得到的和較大的分數比則分母與分子相加得到的和較小的分數比若兩個真分數的分母與分子的差相等、較大；若兩個假分數的分子與分母的差相等， 較大。借助第三個數比較大

40、小對于分數 m和 n,若 m-k>n-k,則 m>n。例如，n =兩個分數都比:略大，于是可以借助0J4JZI4j0/B?S于白1將1 S4tn =, n =3 6X3213 4 咨9對于分數m和n,若m>k, k>n,則m>n。例如，（與乙因為<：,所段這里借助于J,I X J J£ J m 4 1JL J.£r<74H0匕2 2 可以 23、232322 肉的23、11乂叫 而"方囚囚而"五5T*5TL所以藥/式”對于分數 m和 n,若 k-m< k-n,則 m>n。例如,5與M因為1-.上.四1

41、9 191733、= .171 193>行，所以Q泉這里借助于1,5.典型8例題【例1把下面每組中的分數按從大到小的順序排列。571137、 、 、 8122060【練一練1把下面的分數按從小到大的順序排列:151065、 、 、 33 23 17 135 _5 15_757_ 7 10_ 7088 151201212 101201111 6663737 27420 = 20 6 =120757470 > > 1201201205>37>L>86012301520(2) 一、一、 一、27131760 =66 > 120112012-60 2 =120

42、8, 12, 20, 60=120八將 56103015+劣效、中，哪 I取大？171933974630, 15, 20, 12=6030_30 2 _601515 46027一 27 2 一5413一13 4 -522020 3601212 56017一一17 35111一一11 55560606060> > > 5152545520、15、30、121713271177771 力 88883,例2比較和的大小777758888744443 * 55557 砧人,【練一練2比較和的大小444455555977775777758888788887447777188883>

43、;<77775888877777588887例3已知a= n , b= -1(m,n都是非零自然1_ 7777141 _ 888834m m 1【練一練3】下列分數中最大的是（）數，且m>n）, a, b的大小關系是（）A.可能a=bB. a 一定大于b9989899988.999. 99. 9999. 9C.有時a> bD. a 一定小于b如果 a=1, b=121=2 1b>a 221332如果 a=7, b= 721=8, 8>Z, b>a881998一 ,2 , 1 .-例4比2大，比1小，分子是17的分數共有多少73個？【練一練4在下面的 中填入適

44、當的整數，使不等2, 1, 17=342_2 17 _ 347-7 17-1191 1 3434一=3 3 34 10217X2=34 119 + 2=591102 + 2=51答：分母可以是： 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59 共 8 個。,1116509848434 一【練一練5】在11、984、84這四個分？、 【練一練6】寫出三個大于士而小于-的最簡真分數。1416539878777數中，最大的是哪個？最小的是哪個？774【練一練7】分子是3,比二小，但與 二最接近的分【練一練8已知V V ,乙為連續自然數,656519519數是哪一個？求存口 *、

45、課后作業366024721248【1】將一、一、一、一、一、一從小到大排416729831359列，排在第三個位置上的數是多少？7 1741 99【2】把五個分數7、17、上、理512 29 70239239按從小到160設"987654321 b= 987654321 -2008123456789 ，123456789 -2008，試比【4】在下面的 匚|中填入適當的整數，使不等式成立。較a與b的大小。 17匚|里應填的整數有哪些？0.25 V -27. V 0.26【5】比較竺7和73的大小。490741 , 7 ,【6】比大，比上小, 410個？分母是40的最簡分數有多少大的順

46、序排列。111111110444444443 i,【7】比較與的大小。222222221888888887 4 311.26 一【8】有七個數，0.42, - , 21 , 0.424, 26是，72661,* *11,其中的五個，已知從小到大排的第三個是口，求從26大到小排的第三個數。第四講行程問題第1課行程中的追及問題一、知識要點1 .2 .行程中的基本數量關系：路程=速度X時間3 .4 .追及問題中的基本數量關系：路程差（追及路程）=速度差X追及時間路程差（追及路程）+速度差=追及時間路程差（追及路程）+追及時間=速度差5 .追及問題中的應注意的規律：追趕者所用的時間=被追趕都所用的時間

47、 =追及時間二、典型例題例1 一輛面包車的速度是每小時 60千米，在面包【練一練1 一個人騎自行車，一個人騎摩托車，兩車開出30分鐘后，一輛小轎車以每小時84千米的速度從同一地點出發沿著同一路線行駛去追趕面包車， 多長時間能追上？先行30分鐘追及時間.人X面包車一- 一七片1|J追及路程:.11:小轎車11二人同時從甲地出發去乙地。自行車每小時行18千米,摩托車每小時行 45千米。自行車先出發 1.5小時，摩 托車沿著同一條路線追趕自行車，追上自行車時，摩 托車行了多少千米？追及時間60 x （ 30+60） =30 （千米）30+ （ 84-60） =1.25 （小時）1.25小時=1小日中15分鐘答：小轎車需要1小時15分鐘追上面包車。解題過程中用到的公式路程差（追及路程）+速度差=追及時間【例2】甲、乙兩車同時、同地出發去同一目的地， 甲車每小時行 40千米，乙車每小時行 35千米。途中 甲車因故障修車用了 3小時，結果甲車比乙車遲 1小 時到達目的地。兩地間的路程是多少千米？35X （ 3-1） =35X 2=70 （千米）7