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文檔簡介

1、 內容小結 1. y + p y + q y = P (x e x m 為特征方程的 k (0, 1, 2 重根, 則設特解為 y*= x Qm(x e k x + p y + q y =e xP (x cos x + P (xsin x 2. y l n ± i 為特征方程的 k (0, 1 重根, 則設特解為 y*= x e Rm(x cos x + Rm(xsin x k x 3. 上述結論也可推廣到高階方程的情形. 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習 1 . (填空 設 時可設特解為 y* = x (ax + b cos x + (cx + dsin x 時可設特解為

2、y* = (ax + b cos 2x + (cx + d sin 2x + k e2 x 提示: 提示 Rm(x cos x + Rm(xsin x 目錄 上頁 下頁 返回 結束 x 2. 求微分方程 y + 4y + 4y = e 的通解 (其中 為實數 . 解: 特征方程 r 2 + 4r + 4 = 0, 特征根: r = r2 = 2 1 對應齊次方程通解: 2時, 令 y = Ae x , 代入原方程得 A = 故原方程通解為 1 (+2 2 , = 2 時, 令 y = B x2 e x , 代入原方程得 B = 1 , 2 故原方程通解為 目錄 上頁 下頁 返回 結束 + ay + by = c ex 有特解 3. 已知二階常微分方程 y y = ex (1+ x e2x , 求微分方程的通解 . 解: 將特解代入方程得恒等式 (1 a + b ex + (2 + a ex + (1+ a + b x ex = c ex 比較系數得 故原方程為 對應齊次方程通解: Y = C1 e x + C2 ex 原方程通解為 1 a + b = 0 2+a = c 1+ a + b = 0 a =0 b = 1 c=2 y = ex + x e x

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