1、)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 二階線性微分方程二階線性微分方程時，時，當當0)( xf二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程時，時，當當0)( xf二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程n階線性微分方程階線性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 特點特點未知函數及其各階導數都是一次冪未知函數及其各階導數都是一次冪高階線性微分方程高階線性微分方程本節只討論二階線性微分方程本節只討論二階線性微分方程)()()(xfyxQyxPy 所得概念和結論很容易推廣到高階方程的情形所得概念和結論很容易推廣到高階方程的情形一、線性微分方程的解的結構一

2、、線性微分方程的解的結構1.1.二階齊次方程解的結構二階齊次方程解的結構: :) 1 (0)()( yxQyxPy定定理理1 1 如如果果函函數數)(1xy與與)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的兩兩個個解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21, CC是是常常數數） 問題問題: :一一定定是是通通解解嗎嗎？2211yCyCy 定義：設定義：設nyyy,21為定義在區間為定義在區間I內的內的n個個函數如果存在函數如果存在n個不全為零的常數，使得當個不全為零的常數，使得當x在該區間內有恒等式成立在該區間內有恒等式成立 02211 nnykykyk

3、， 那么稱這那么稱這n個函數在區間個函數在區間I內內線性相關線性相關 否則稱否則稱線線性無關性無關 例如例如時，時，當當),( xxxxeee2, ，線性無關線性無關xx22sin,cos1，線性相關線性相關 若若在在 I 上上有有常常數數， )()(21xyxy則則函函數數)(1xy與與)(2xy在在 I 上上線線性性無無關關.定理定理 2 2： 如果： 如果)(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個線性的兩個線性無關的特解無關的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的的通解通解. . 例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常

4、數常數且且 xyy.sincos21xCxCy 特別地特別地:2.2.二階非齊次線性方程的解的結構二階非齊次線性方程的解的結構: :定定理理 3 3 設設*y是是二二階階非非齊齊次次線線性性方方程程)2()()()(xfyxQyxPy 的的一一個個特特解解, , Y是是與與( (2 2) )對對應應的的齊齊次次方方程程( (1 1) )的的通通解解, , 那那么么*yYy 是是二二階階非非齊齊次次線線性性微微分分方方程程( (2 2) )的的通通解解. .非齊線性方程的任何兩個解之差是相應齊方程的解非齊線性方程的任何兩個解之差是相應齊方程的解定理定理 4 4 設非齊次方程設非齊次方程(2)(2

5、)的右端的右端)(xf是幾個函是幾個函數之和數之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y與與*2y分別是方程分別是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .解的疊加原理解的疊加原理是是若若*2*1*jyyy )()()()(21xjfxfyxQyxPy 的特解的特解那么那么的的特特解解是是)()()(1*1xfyxQyxPyy 的的特特解解是是)()()(2*2xfyxQyxPyy 即即特解的實部是實部方程的特解特解的實部是實部方程的特解特解的虛部是

6、虛部方程的特解特解的虛部是虛部方程的特解定理定理5二、降階法與常數變易法二、降階法與常數變易法1.1.齊次線性方程求線性無關特解齊次線性方程求線性無關特解-降階法降階法的的一一個個非非零零特特解解，是是方方程程設設)1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy, 0)(2(111 uyxPyuy即即,uv 令令則有則有, 0)(2(111 vyxPyvy0)(2(111 vyxPyvy的一階方程的一階方程 v降階法降階法解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydx

7、xP Liouville公式公式齊次方程通解為齊次方程通解為.1)(211211dxeyyCyCydxxP 2.2.非齊次線性方程通解求法非齊次線性方程通解求法-常數變易法常數變易法設對應齊次方程通解為設對應齊次方程通解為2211yCyCy (3)設非齊次方程通解為設非齊次方程通解為2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 設設0)()(2211 yxcyxc(4)22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 得得代入方程代入方程將將),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyx

8、cyxQyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)聯立方程組聯立方程組 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系系數數行行列列式式,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 積分可得積分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齊次方程通解為非齊次方程通解為.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy例例.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx對應齊方程

9、一特解為對應齊方程一特解為,1xey 由劉維爾公式由劉維爾公式 dxeeeydxxxxx1221,x 對應齊方通解為對應齊方通解為.21xeCxCY 設原方程的通解為設原方程的通解為,)()(21xexcxxcy 應應滿滿足足方方程程組組，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(21，11)(Cxxc 22)(Cexexcxx 原方程的通解為原方程的通解為. 1221 xxeCxCyx補充內容補充內容0)()( yxQyxPy可觀察出可觀察出一個特解一個特解, 0)()()1( xxQxP若若;xy 特解特解, 0)()(

10、1)2( xQxP若若;xey 特特解解, 0)()(1)3( xQxP若若.xey 特特解解0)()4( xQ若若特解特解 y = 1 0)()() 1() 5(2 xQxxmxPmm若若特解特解 y = xm 0)()()6(2 xQxP 若若xey 特特解解三、小結三、小結主要內容主要內容線性方程解的結構；線性方程解的結構；線性相關與線性無關；線性相關與線性無關；降階法與常數變易法；降階法與常數變易法；練練 習習 題題 一、一、 驗證驗證21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并寫出該方程的通并寫出該方程的通解解 . .二、二、 證明下列函數是相應的微分方程的通解證明下列函數是相應的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常數是任意常數ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是是任任意意常常數數cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通解 . .三三、已已知知xexy )(1是是齊齊次次線線性性方方程程02)12()12( yyxyx的的一一個個解解, ,求求此此方方程程的的通通