1、空間向量與二面角空間向量與二面角益陽市一中：高三數學備課組益陽市一中：高三數學備課組主講人：劉建麗主講人：劉建麗利用空間向量求解二面角問題的原理：,m n ,m n 課前檢測課前檢測0P-ABCDABCDAB,PA=PD=AB= 2APD=901PADABCD2A-PB-C.AP(改編自2017年高考題）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，且，（）證明：平面平面；（ ）求二面角的余弦值0P-ABCDABCDAB,PA=PD=AB= 2APD=901PADABCD2A-PB-C.AP如圖，在四棱錐中，底面為矩形，且，（）證明：平面平面；（ ）求二面角的余弦值FxyzABAPABAD ABPADABAB

2、CD PADABCD解、(1)，平面，而平面平面平面 (2)PADPFADFPFABCDFFAx 在平面內作，垂足為由(1)知平面，以 為原點，以為 軸正方向，建立空間直角坐標系F-xyz(1,0,0), (1,2,0), (0,0,1),C( 1,2,0)AP( 1,0,1),AB(0,2,0),BC( 2,0,0),BP( 1,2,1),ABP Fxyz111111( ,y ,)PAB0AP=020AB=0(10,1nxzxznynn 設為平面的一個法向量則即可取， ）2222222(,y ,)PBC20BC=0220BP=0(01,2)mxzxmxyzmm 設為平面的一個法向量則即可取，

3、3cos,3| |m nm nmn A-PB-C3A-PB-C-3由圖知，二面角為鈍二面角二面角的余弦值為利用空間向量求解二面角的步驟：建系，并寫相關點、向量坐標求法向量求法向量的夾角的余弦求二面角的余弦00EF-ABCDABCDAB=4,BAD=60ACBDOEF ACEABCDAOH1BDACF2AEABCDDEFABCD.如圖，在多面體中，四邊形為菱形，相交于點 ，點 在平面上的射影恰好為的中點 ，（）證明：平面；（ ）若直線與平面所成的角為45 ，求平面與平面所成銳二面角的余弦值ABCDEFOHxyz4例題分析例題分析00P-ABCDPCDABCDPDCDAB CDADC=90AB=A

4、D=PD=1CD=21BCPBD2PCPQ= PCQ-BD-P45 .Q 在四棱錐中，側面底面，底面為直角梯形，（）求證：平面（ ）設 為側棱上一點，試確定 的值，使二面角的大小為PABCDQxyz變式練習變式練習PABCDQxyzDD-D(0,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0),C(0,2,0)BC=( 1,1,0)PDBxyz 解析：以 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系則由(1)知n為平面的一個法向量(0,2, 1),(1,1,0)DQ=DP+PQ=DPPC=(0,2 ,1- )PCDB 則( , , )BDQDB=002(1)0DQ=0= 12x y xxyyz 設m為

5、平面的一個法向量m則即m取m （， -1， ）22|222cos,|2| |22(1)(2 )nnn m依題意：|m|m121- 2 或 （舍）1、利用空間向量求解二面角問題小結小結空間幾何問題空間向量代數運算2、思想方法：3、優缺點轉化合理建系求相關點和向量坐標求法向量求法向量夾角的余弦值求二面角的余弦轉化與化歸的思想方程的思想思考題思考題2ABCDAB CDBCD=3ACFECFABCDAD=CD=BC=CF(1)EFBCF(2)MEFMMABFCB如圖，在四邊形中，四邊形為矩形，且平面，求證：平面；點在線段上運動，當點在什么位置時，平面與平面所成的銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值.x

6、zy求二面角的平面角的向量方法原理：lmnlmnABCABC利用法向量求二面角的平面角的步驟利用法向量求二面角的平面角的步驟：建立坐標系建立坐標系找點與向量坐標找點與向量坐標求法向量坐標求法向量坐標求兩法向量夾角求兩法向量夾角定值定值1111111111ABC-A B CA BABCABAC.(1)ACBB2AB=AC=A B=2MB CM-AB-A.例 、如圖，三棱柱中，平面，且求證：；（ ）若，為的中點，求二面角的余弦值ABCA1B1C1Mxyz0A,B,C,D,EABEFAF= FDD-AF-EC-BE-F.(1)ABEFEFDC(2)E-BC-A例2.如圖，在以為頂點的五面體中，面為正

7、方形，2，AFFD，且二面角與二面角都是60證明：平面平面；求二面角的余弦值ABEFDCMxyzNABCDAB=2 2,AD= 2,MDCADMAMADMABCM.(1)ADBM2EDBE5E-AM-D.5例3.如圖,已知長方形中,為的中點，將沿折起，使得平面平面求證：；（ ）若點 是線段上的一個動點，問點 在何位置時，二面角的余弦值為ABCDMABCMEDxyz00P-ABCDABCDBAD=APDABCDPA=PD=AD=MPCPMMM-BQ-C.PC如圖，四棱錐中，底面為菱形，60 ，若平面平面，且2，點在線段上，試確定點的位置，使二面角的大小為60 ，并求的值PABCD11111011

8、111ABC-A B CA ABBA AB=45BCC BAC=5AB=4BC=3(1)ABA BCC-B如圖，三棱柱中，四邊形為菱形，四邊形為矩形，若，求證：平面；(2)求二面角AA的余弦值.ACBA1B1C1xyZ0ABCDAB120GDFPCEAPBECBPAB=AD=E-AG-C例1如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形（及其內部）以邊所在直線為旋轉軸旋轉得到的， 是弧的中點.(1)設 是弧上的一點，且，求的大小；（2）當3，2時，求二面角的大小.ABCDEFGPxyz0ABCDAB120GDFPCEAPBECBPAB=AD=E-AG-C例1如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形（及其

9、內部）以邊所在直線為旋轉軸旋轉得到的， 是弧的中點.(1)設 是弧上的一點，且，求的大??；（2）當3，2時，求二面角的大小.ABCDEFGPMABCDOOBEFOBEFABCDGABAB=BE=-EF-O如圖，正方形的中心為 ，四邊形為矩形，平面平面，點 為中點，2，求二面角C的余弦值.ABCDEFO課前自測課前自測00IP-ABCDAB CD90 .1PABPAD2PA=PD=AB=DCAPD=A-PB-C.BAPCDP (2017年全國 卷）如圖，在四棱錐中，且（）證明：平面平面；（ ）若，90 ，求二面角的余弦值 ，高考在線高考在線Fxyz00P-ABCDAB CD90 .1PABPAD

10、2PA=PD=AB=DCAPD=A-PB-C.BAPCDP 如圖，在四棱錐中，且（）證明：平面平面；（ ）若，90 ，求二面角的余弦值 ，Fxyz|ABCDPD ABPDABAPABPADABPAB PABPADCD解、(1)，而平面，而平面平面平面 (2)PADPFADFABPADABPFPFABCDFFA|FA|x 在平面內作，垂足為 ，平面，平面，以 為原點，以為 軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標系F-xyz(1,0,0), (1,2,0), (0,0,1),C( 1,2,0)AP( 1,0,1),AB(0,2,0),BC( 2,0,0),BP( 1,2,1),ABP ABCDAB=2 2,AD= 2,MDCADMAMADMABCM.(1)ADBM2EDBE5E-AM-D.5如圖,已知長方形中,為的中點，將沿折起，使得平面平面求證：；（ ）若點 是線段上的一個動點，問點 在何位置時，二面角的余弦值為ABCDMABCMEDxyz22 2練習練習ABCMEDxyzADMDDOAMODOABC