1、探析小學數學教學中問題解決的策略摘要： “問題解決”是美國數學界在80年代的主要口號，認為應當以“問題解決”作為學校數學教育的中心。問題解決策略的意義在于減少問題解決中嘗試與錯誤的任意性、盲目性，節約解決問題時間，提高解決問題成功概率。本文分低、中、高三個年級段從方法和思維兩個角度對小學數學教學中問題解決的策略進行探析，旨在培養學生問題意識、探究和創新能力，促進學生主體性發揮。關鍵詞： 小學數學教學；問題解決；策略一、問題的提出21世紀的競爭就是人才的競爭，那什么樣的人才才是21世紀真正需要的人才呢？這對學校教育提出了嚴峻的挑戰。“問題解決”是美國數學界在80年代的主要口號 劉來福,問題解決的

2、數學模型方法，北京師范大學出版，1999年，p2，這口號已成為近年來數學教育的主題之一，即是認為應當以“問題解決”作為學校數學教育的中心。學生的認知活動是從問題開始的，問題是數學的中心，數學問題是數學思維的動力，并為思維指出了方向。學生的認知過程主要是思維的過程，是不斷地提出問題和解決問題的過程。問題解決的教育價值在于提高小學生的基本技能，能更好的適應生活，逐步養成良好的思維習慣，幫助他們掌握學習的研究方法，培養他們的探索意識和創新精神。策略是問題解決的重要因素，它的作用在于減少數學問題解決中嘗試與錯誤的盲目性，節約解決問題所需的時間，提高解決問題的成功率，進而培養創新思維和探索意識。我國小學

3、數學教育，問題解決沒有得到應有的重視，教學大綱和數學課本都很少甚至沒有涉及到這塊內容，教師也沒有著意培養學生的問題解決能力。隨著“問題解決”教學作用的日益突出，小學數學課程內容中新增了“解決問題的策略”這一內容。對此內容的教育功能和教學策略進行研究，有助于加深對新課標的理解和認識，樹立正確的課程觀，更重要的是，通過數學問題解決發展他們的數學思維和推理能力，更好地適應于以后的生活和實際。標準把“解決問題”作為一個重要的學習領域。解決問題的教學，就是要讓學生通過親身經歷觀察、分析、操作、實踐等解決問題的過程，積累經驗，獲得解決數學問題時廣泛使用的方法和策略。明確提出“要形成解決問題的一些基本策略，

4、體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神。”在小學數學教學領域，有人認為“數學問題解決教學的主要策略”有四 李愛霞,數學問題解決教學的主要策略，寧夏教育，2004/2 ：創設生動的問題情景，激發學生的學習欲望；恰當地提出高質量的問題，引導學生進行積極思維和探索活動；在問題解決中貫穿思維訓練；以學生為主體尋求開放答案。有人認為“問題解決”教學策略是在教學實踐中形成的 宋作斌,新課程理念下“解決問題”的教學策略與反思，現代教育科學， 2006年第4期：解讀信息，啟動問題；分析信息，尋求解決問題策略多樣化，序列化思考是解決問題的一種重要策略；動手實踐、數形結合主要應用到小學生的平面幾何中；梳

5、理思路，經驗提升，教師有意識地引導學生對各種方法進行比較，結合本人的思維水平形成解決問題的策略。還有的學者認為問題解決是一種復雜的、高級的學習活動，“算法”和“啟發”是問題解決的基本策略 曹榮譽，問題解決策略及其在教學中的應用，北華大學學報（社會科學版）2004年8月第5卷第4期。但“問題解決”教學仍是我國數學教育的薄弱環節，對“問題解決”策略教學的應用意識不強，這與一貫強調應試教育有一定的聯系。新的課程標準出臺后，關于“問題解決與小學數學教學”的研究才逐步發展。二、問題解決的內涵及教育價值（一）“問題解決”的概念問題：是一種情景，個體想做某一件事，但不能馬上知道這件事情所需要采取的一系列行動

6、。數學問題：學生從數學的角度出發，不能用現成的數學經驗和方法解決的一種情景狀態。什么是“問題解決”？對問題解決的理解眾說紛紜，在王子興的數學方法論-問題解決的理論 王子興，數學方法論-問題解決的理論，中南大學出版社，2001，第21頁中給出了下面三方面的含義。 1、“問題解決”是數學教學的一個目的。這個目的就是要幫助學生提高解決實際問題的能力。將問題解決作為目的，不僅可以增強數學教學目的的完善性，而且可以更加突出問題解決是數學的核心。 2、“問題解決”是一個過程。具體表現為教師對學生運用數學知識進行思維活動的指導過程。這個過程是一個創造性的活動，是一個發現問題和探索問題的過程。將問題解決作為過

7、程，有助于學生去發現、去設計、去創新、去完成。 3、“問題解決”是個基本技能。但它并非是一個單一的技巧，而是若干技巧的一個整體。將問題解決作為基本技能，可以幫助我們組織日常教學中的技能，以及概念和問題解決的具體內容。由此，可將“問題解決”定義為：學生在面對問題時，把已有的知識、技能和經驗，經過思維加工、綜合運用和轉化，達到未知目標的過程和方法，以及所表現出來的情感、態度、價值觀。它是數學教學的一個目的，旨在提高學生基本技能的一個過程。可見，“問題解決”與“解決問題”是不同的兩個概念，解決問題只是問題解決的其中一個過程，是由初識狀態向目標狀態移動或逼近的過程。解決問題是一方法和解決這一問題的最后

8、答案，而問題解決不僅包括這些更是指過程。問題解決包括解決問題，問題解決的內涵包括解決問題的內涵，解決問題的外延包括問題解決的外延。“問題解決的策略”的基本含義是指解決數學問題的全過程中，借以思考假設、選擇和采取解決方法與步驟的方針與原則，是對解決數學問題途徑的概括性認識。（二）問題解決在小學數學教學中的價值數學問題解決策略的作用在于減少數學問題解決中嘗試與錯誤的任意性、盲目性，節約解決問題所需要的時間，提高解決問題的成功概率，是解決者找到正確解決辦法的有力武器。新課程標準中提出了劃分數學課程目標的四個維度：知識與技能、數學思考、解決問題、情感與態度，依據學生的特點進行設計，有利于學生能力和思維

9、的發展，解決問題與數學思維是緊密聯系的，沒有數學思維就沒有真正的解決問題。在解決問題的過程中，學生應用并逐步發展各種數學思考的基本方法，如歸納、類比、猜想與論證等。解決問題的過程也是學生思維發展的過程，在解決問題的過程中學生嘗試用各種“方法”尋找答案，對已有的知識進行組織，并找出相應的對策。在問題解決的過程中，不僅能發展學生的策略性知識，還有助于發展學生思維的新穎性和獨創性。三、小學數學“問題解決”教學的過程與策略（一）小學數學問題解決的一般過程美國著名數學家波利亞在怎樣解題一書中提出問題解決包括理解題目、擬定方案，執行方案和回顧四步驟。鑒于上述一般的教學過程，從數學角度可制定如下問題解決的教

10、學過程，大致包括感知問題、分析問題、解決問題和檢驗評價四個環節。感知問題分析問題解決問題檢驗評價這是基于一般情況所作的劃分，這幾個是典型步驟，在有些情況下，某一步可包含在另一步中，從而使問題解決過程縮減，使某種特殊的解題策略實施。感知問題是解決問題的第一步，也是分析問題的前提條件，即波利亞提出的理解題目。感知問題要分清已知什么、未知什么，還需要在頭腦里建立起整個問題的映像，如果只注意局部的了解，就難以進行解題，也難以引起思維與感知的“共振”。例如，小明騎自行車回家，小時千米，他1小時行多少千米？感知這一問題，僅僅讓學生說出已知條件和未知條件，那就等于將題目重讀一遍，對探尋算法并無多大幫助。借助

11、圖示很容易明確分析的方向是搞清1等分與5等分的關系。圖示既是感知問題的形式，也是分析問題的一種手段，而且把這兩個環節自然銜接。感知問題的策略主要有復讀策略、核心策略、內化策略和定向策略等。問題解決的第二步是分析問題，即解題策略的尋求和確定。經過對問題的感知和理解，接下來的步驟就是尋求和確定解決問題的策略。問題不同，解題的策略也有所不同，同一問題在不同的環境、不同的時間，也可采用不同的方法和策略。主要有：建模策略、猜測驗證策略、嘗試策略、推理策略、簡化策略、逆向策略、操作策略、情境策略、核心策略、圖示策略。解決問題是問題解決的核心步驟，所有的步驟都是為了解決問題而實施的，如果問題沒有得到解決，那

12、所有的步驟都得重新開始。解決問題亦即解決問題策略的實施和調整。學生在確定了解決問題的方案后，就要按照方案開始實施。在實施過程中，學生經常會遇到一些新問題，就需要及時進行調整。再次理解問題：你再看看問題，有沒有新的思考？你又想到了什么新方法？述說解題思路：你是怎么想的，可以說說自己的想法嗎？是的讓他在闡述中檢索自己的思維過程，重新調正思考方向。當學生用一種方法無法解決時，教師可以啟發學生尋找其他途徑：這個問題的解合理嗎？看看你能不能換一個角度思考？最后一步就是檢驗評價。問題解決的檢驗是指對問題答案、結論的檢查與驗證。通過檢驗，引導學生從其他角度深入審視問題，增強對結論的確信感；評價是指對問題解決

13、過程的合理性、簡捷性等因素作出判斷；對問題解決的策略、方法進行總結。因為我們的目的是在獲得陳述性知識的同時積累程序性知識，所以評價是問題解決教學應當重視的環節。結合實踐，可總結問題解決一般經歷以下四個步驟：理解問題 選擇解題策略 化解題策略 反思提高。（二）小學數學教學中問題解決策略數學問題解決策略可以分為方法策略和思維策略。由于兒童的各個年齡階段思維發展水平和認知發展水平不同，因此，各個年齡階段的兒童數學問題解決策略的應用也有所不同。問題解決的過程就是學生思維和方法不斷發展的一個過程，策略有很多種，有些偏重于方法，有些偏重于思維。本文主要介紹了如下幾種策略：數形結合策略、利用圖表策略、枚舉策

14、略、動手操作策略、建模策略、化簡策略、猜想嘗試策略、推理策略、探究啟發策略、類比策略、逆推策略等。1、低年級。低年級數學教學內容主要是萬以內數的認識、運算及表內乘除法，問題解決策略運用的種類較少，一般采用直觀的策略，這與他們所學的知識思維認知發展水平有關。從方法上看主要策略有數形結合、利用圖表表格等；從思維上看主要策略有枚舉等。（1）數形結合策略所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形之間的相互轉化來解決數學問題的方法。在數學學習中這種策略是最基礎、最常用的一種策略，在以后的學習中這種策略會尤顯重要，小學低年段這種策略的學習既是從學生的思維與認知的直觀特點出發，又為以后的學習打下

15、基礎。在方法上低年級采用最多的問題解決策略是數形結合，數的認識幾乎都采用這種策略。例1：在人教版國標本一年級上冊課本中，第一塊內容是數一數，在小朋友剛入學，初接觸數學時，采用圖形并茂的方式來識數，這樣直觀的方式，易于學生理解和掌握。每一個具體的數字都有相應的圖相對應，每幅圖中有與數字相一致的事物個數，如“1”對應“1面國旗”，“2”對應“2副單杠”“10”表示“10個小朋友”；110各數的認識是從數數的基礎上抽象出來的，形與數是直觀與抽象的關系，在數數的基礎上，結合具體事物的個數會識數。在數的認識中大都采用了這種策略，在數的運算中呢？例2：低年級的學生對數的抽象能力較弱，數的運算還存在一定的難

16、度，借助與具體的圖形“12個大風車”，從中圈去9個，還剩下的個數，數一數剩下的風車數便是這道題的答案，用數形結合的策略很直觀很輕松的就把問題解決了，還降低了退位減法的難度，使學生很容易理解減法的含義。例3：二年級下冊找規律中，找規律在低年級先從圖形開始，逐漸過渡到數字。對低年級的學生來說，直接從數字上找到規律可能還存在一些困難，但從方塊圖入手，讓學生一目了然，很容易想到“規律”是方塊越來越多，多多少呢？可以數一數，那么題目就在學生自己的觀察與思考中發現：第2幅圖比第一個圖多1個方塊，第3幅比第2幅圖多2個方塊以此類推，后一幅圖的方塊比前一幅圖的方塊多，而且多的塊數每次增1，這樣再回歸到數，把問

17、題輕松的解決了。上面這一例題通過數形結合，既從學生的思維和認知發展著手使問題很好的得到了解決，又使學生的思維得到了發展。（2）利用圖表策略表格圖表策略就是利用圖示或表格的形式將題目的意思表征出來，有些題目比較復雜或條件比較多，在解題時對理解問題和解決問題存在麻煩，于是就用另一種方式來表示題意，即用圖示或表格的方法。利用策略解題的目的有二：一是為了能理清題意，縮短解題的時間，二就是為了提高解題的準確率。利用圖表策略將雜亂的事物和數量整理得有條有理，便于發現規律，找出關系和特點，在解題時很管用，利用圖表策略解題是一項重要藝術。圖示主要線段圖、長方形圖、關系圖和交集圖，在低年段較少碰到，在中年段再作

18、介紹，這里就介紹利用表格解題的策略。例4：2002年世界杯預選賽亞洲區十強賽B組主客場的得分情況如下，中國隊客場得分為7分，主場得分比客場多5分，阿聯酋主場得分為3分，客場比主場多5分，烏茲別克斯坦主場得分為9分，客場比主場少8分，卡塔爾客場得分為6分，主場比客場少3分，阿曼主場比客場多4分，客場得分為1分，求每個國家的總分、各個國家的主場得分總和與客場得分總和？像解決這類題目條件比較多的問題時，直接解題有點困難，理清題意是解題的第一步，為了更好的理清題意，并為解題提供方便，我們就想到了如何表征題意的問題？那么，如果列成表格的形式就一目了然了。表1 2002年世界杯預選賽亞洲區十強賽B組得分統

19、計表球隊主場得分客場得分總分中國比客場多5分7阿聯酋3比主場多5分烏茲別克斯坦9比主場少8分卡塔爾比客場少3分6阿曼比客場多4分1總分列成圖表后非常清楚，只需做簡單的加減即可，就不需要花太大的時間去研究和解決。這種策略的培養只要學生具有一定的閱讀和分析能力，再適當的介紹一兩道題目，學生大都能掌握了。（3）枚舉策略。枚舉是一種最原始、有時也是最管用的一種方法，就是例舉所有的可能性，然后在這些可能的答案中，找出一個或幾個符合題意的答案。在思維上，低年級的學生直觀思維占首要地位，因此在數學中也以具體形象為主要特點，那么問題解決策略枚舉策略為主，例5：解決這一問題可采用枚舉的方法，首先從第一個已知條件

20、“他兩只手分別那著紅花和藍花”，例舉出所有可能的結果：“他左手拿紅花，右手拿藍花”和“他左手拿藍花，右手紅花”，然后再看另一已知條件“左手拿的不是紅花”，可以從這一條件推斷出“他左手拿的是藍花”，這樣問題就迎韌而解了。這是一種思路，還可以和書上一樣，從第一已知條件“他兩只手分別拿著紅花和藍花”，可以得出“紅花要么在左手，要么在右手”，從第二個已知條件“左手拿的不是紅花”，就可以得出“紅花在右手”，這樣一來問題也就解決了。因此，枚舉的方法在很多時候對解決問題也很有幫助，尤其在低年段，題目還比較簡單，用枚舉的方法既不會太復雜，而且有利于鍛煉學生的思維，考慮問題更加全面。低年段的學生在方法上主要采用

21、的策略有數形結合、利用圖表，在思維上主要采用的策略有枚舉。這是有學生的心理發展為依托的，一二年級的小學生，以具體形象思維占主導地位，認識事物的規律要具體直觀。2、中年級。三四年級的學生較之低年級的學生在思維上有明顯的變化，以具體形象思維為主逐步過渡到以抽象邏輯思維為主，思維上經歷一個重要的過渡期。因此在數學問題解決的過程中策略也相應的有所增加，在方法策略上主要有利用圖表策略圖示、動手操作策略、建模策略、化簡問題策略（化整為零逐個解決）等；在思維策略上主要有猜想和嘗試、推理原理等。（1）利用圖表策略圖示利用圖表策略已經作了簡要說明，主要從列成表格角度來介紹，中年級就從圖示這一角度做分析，圖示就是

22、用圖形把問題的條件和數量關系表示出來，它可以使抽象的問題具體化、形象化，幫助我們理解題意，明確數量關系，從而找到解法，主要包括線段圖、長方形圖、關系圖和交集圖，尤其是線段圖，是學生解決問題是最常用的圖示，用途很廣泛，下面就以線段圖為例。例6：（國標本蘇教版四年級下冊第11章解決問題的策略例2）小明和小芳同時從家里出發走向學校，小明每分鐘走70米，小芳沒分鐘走60米，經過4分鐘兩人在校門口相遇。他們兩家相距多少米？問題并不難，關鍵是讓學生選擇合適的策略，這一章的內容也是策略，就對整理題目提出了要求，這道題讓學生自己分析，但是中間給了提示，“你能用畫圖或列表整理題目的條件和問題嗎？”激起了學生的探

23、求欲，最主要也給學生指明了解題的方向。按照這種思路，繪出線段圖，如下： 70米 70米 70米 70米 60米 60米 60米 60米小明家 學校 小芳家 這只是問題解決的第一步整理題目，把線段圖畫出來，問題就變得直觀了，就能迎刃而解了。線段圖是問題的解決的一種策略，讓學生掌握了一種新的策略，無論對這類題還是以后的數學學習，都很有幫助。此題也可以用列表的方法來整理題目，即體現了與前面知識的聯系，還體現了解題策略的多樣化，。用圖示和表格的方法歸納起來就是利用圖表的策略。（2）動手操作策略動手操作策略就是學生通過動手實踐，自己在動手實踐中發現規律，得出結論，不是教師的教授，而是充分體現學生的主體地

24、位，教師是整個教學過程的組織者和引導者。例6：用字母表示數第一課時教學設計（實習教案）導入：呈現撲克牌A2345678910JQK新授：(出示小黑板)擺一個三角形需要 根小棒 擺二個三角形需要 根小棒 擺三個三角形需要 根小棒 擺四個三角形需要 根小棒 擺n個三角形需要 根小棒學生分組，動手操作，完成表格。學生通過動手操作能直觀理解擺一個三角形需要幾根小棒，那么兩個、三個呢？要讓學生從中得出所需小棒根數=三角形個數×每個三角形所需的根數，那么最后一個“擺n個三角形需要多少根小棒”就很好解決了。“新課標”倡導要充分體現學生的主體地位，以學生為中心，“動手操作，自己實踐”就走進了課堂，可

25、能不能真正落到實處，是個問題？許多時候“動手操作”流于形式化，看上去課堂很活躍，學生在“活動”，課堂相當活躍，可是學生是否能從“動手實踐”中真正獲得知識呢？在學生動手操作的過程中，教師的巡視、指導非常重要，要從學生發現問題，及時糾正上課方案。尤其我們這樣準教師，風風火火的一段動手實踐后，發現學生什么也沒發現，于是開始“滿堂灌”，那么，時間浪費了，學生的精力分散了，結果還是灌輸，那么動手操作的意義就沒有了。要實施這種策略，對教師要求很高：首先要了解學生，知道學生的知識掌握情況；其次是引導，這是關鍵，怎樣引導直接關系到學生的發展；最后，在操作過程中要及時發現問題。這個問題在“動手操作后變得直觀具體

26、、易于理解。而且過渡很自然，從具體的數字過渡到字母的引出，讓學生體會到用字母表示的簡便，也從數的概念上來了擴充，從“有知數”到“未知數”。（3）建模策略“新課標”強調“書本世界”與學生“生活世界“的溝通，認為學生的學習應該從生活出發，從學生平時看得見、摸得著的周圍事物出發，在具體、形象的感知中，使學生真正認識數學知識。數學的生命力也在于它能有效地解決現實世界向我們提出的各種問題，而數學模型正是聯系數學與現實世界的橋梁。建模一般經歷如下四個過程：觀察分析和處理（簡化）抽象檢驗和修改。引導學生建構數學模型的過程，就是數學化的過程，也是思維訓練的過程，這將有助于提高他們發現數學、“創造”數學、運用數

27、學的能力和數學素養。數學中一些簡單問題的原理，可以作為解決問題的“模型”。例8這是利用解題來建立模型的一個例子，新教材的編排更體現整體性，融數學模型于整章的教學中，人教版國標本四年級上冊三位數乘兩位數。它注意書本知識與生活常識的結合，例1與本單元45頁主題圖中以列車和普通列車的運行為題材，后面例2和例3也是生活中的行程問題，與“速度”、“時間”、“路程”有關，一方面使學生體會計算因解決問題的需要而產生，另一方面為學生理解“速度”概念以及理解速度、時間和路程之間的關系作又一次鋪墊。例3通過解決簡單行程問題，引導學生自主探索速度、時間和路程之間的關系，構建數學模型“速度×時間路程”。并應

28、用它去解決實際問題。前面例題的介紹就是讓學生從中“觀察”，利用“時間”和“速度”求路程是對問題的“分析和處理”，在例題的解決過程中抽象出數學模型“速度×時間路程”，最后用這一模型在回到路程問題，來驗證這一“模型”是否正確。雖然一般都經歷這四個過程，但抽象出數學模型是關鍵，教師要注重引導和找出合適的例子，而且要留給學生充分的時間來發現。建模教學有利于激發學生學習數學的興趣，豐富學生數學探索的情感體驗；有利于學生自覺檢驗、鞏固所學的數學知識，促進知識的深化、發展；有利于學生學會并養成合作與交流的方法、習慣，特別是促進學生學會在交流中學習數學及數學地交流；有利于培養學生的數學應用意識，提高

29、解決實際問題的能力；有利于培養學生的創造性思維能力；有利于學生體會和感悟數學思想方法。（4）化簡問題策略這種策略，對于敘述比較復雜的問題非常必要。簡化去掉無關的因素，也可以把大問題變化為幾個小問題，是因果關系更清晰。簡化的策略一是化繁為簡，去掉一些無關的因素或多余信息，減少解決問題時的干擾。二是化大為小，把大問題化解成幾個小問題，使問題的數量關系更清晰。例9：開一水龍頭刷牙，平均每10秒鐘流失的水約有500毫升，如果一個人每天刷牙兩次，每次大約用180秒，全國約13億人，那么流失的水是多少千克？合多少噸？一年365天又將流失多少噸？為了是學生在解決此類問題時，其敘述相對復雜。分析問題時，可以采

30、用簡化的策略，先去除一些無關的因素，然后引導學生把問題化解成一些小問題，如每秒流失多少升？一天流失的水有多少千克？全國13億人，一天流失的水有多少千克？365天流失的水是多少噸？這樣簡化，有利于學生有條理的思考問題、解決問題。（4）用猜想和嘗試策略    心理學研究表明：學生的思維活動總是由問題開始的，在解決問題中得到發展。學生學習的過程本身就是一個不斷提出問題，又不斷解決問題的過程。哥德巴赫猜想成為數學界的驕傲，用事實來證明猜想的偉大。猜想和嘗試是學生思維的生命線，學生的猜想是學生思維的先導。 嘗試是一種常用的、基本的解題策略。例：在平面上畫100條直

31、線，這些直線最多能形成多少個交點？由于100條直線太多，無法畫出，更無法數出交點的個數。多的不會，那么，只能嘗試從少的開始，看看是否能找出，或者說有什么規律，能從中推導出規律，求出100條直線的交點。先看下面的分析。一條直線 兩條直線 三條直線 四條直線0個交點 1個交點 3個交點 6個交點觀察這幾個圖形可以分析出，要想使交點數最多，必須滿足兩個條件：每兩條直線不能平行和每三條直線不能交于同一點，而且與前面幾條線都恰有一個交點。由于一條直線有0個交點；兩條直線最多有1個交點；三條直線最多有3個交點，它們是在兩條直線形成的一個交點的基礎上增加兩個交點；同樣地，第四條直線添加上去，與前面三條直線各

32、有一個交點；依次類推直線數1234交點數00+10+1+20+1+2+3從中留給學生發現、總結的時間。發現如下規律：N條線段最多形成的交點數就是0+1+2+3+（N-1），那么，100條直線最多形成的交點數為0+1+2+3+99=4950。剛開始嘗試從少數開始來探求100條直線的交點數，在完成四條線段后，從中探索規律，利用這一規律來猜想100直線最多形成的交點數，最后來驗證一下，這是解題時常用的一種解題藝術。（5）推理策略推理是從一個或幾個判斷得出一個新判斷的思維形式。推理所依據的判斷是前提，推出的新判斷是結論。人們在實踐中常常用邏輯推理的方法獲得新知識，推理在數學學習中有及其重要的地位，大部

33、分數學知識是依靠推理而獲得的。從前提的的數目來看，可以把推理分為直接推理和間接推理，這里介紹簡單的推理，高年段中介紹其中一種間接推理類比推理。例12：甲、乙、丙、丁四個人比賽乒乓球，每兩個人都要賽一場，結果甲勝丁，并且甲、乙、丙三人勝的場數相同，問丁勝了幾場？解決問題的重點不是具體的解，而是解決問題策略的學習和思維的發展上，解決這一問題方法就比較有限了，可通過推理的方法解決它。根據題意可畫一個圖，使題目易于理解。 從上圖可以看出，四個人賽球，每兩個人賽一場，共賽了六場，題中已知“甲、乙、丙三人勝的場數相同”，那么，不是各勝一場，就是各勝兩場。如果甲、乙、丙各勝一場，丁應該勝了三場，事實上丁已經

34、敗給了甲，他不可能勝了三場。因此，只可能是甲、乙、丙各勝兩場，所以丁一場也沒有勝。這是簡單的推理，也是解決一般問題應具備的思維能力。三四年級的學生是整個思維、性格形成與轉變的關鍵期，如果這一時期能啟發好學生的思維，引領學生在正確的思維軌道上發展，那么對學生的一生都是有用的，要強調學生的思維主體性，讓他們在數學學習中自己探索出規律，激發他們學習的興趣，在解決問題的過程中要讓學生多接觸一些解題策略，體會解題策略的多樣化，豐富學生的數學體驗。3、高年級。高年級的學生學生思維以抽象邏輯為主，但仍帶有很大的具體性。所以在解題策略可在中低年級的基礎上進行深化與拓展。在方法上采用方法較多，主要是思維上獲得了

35、大的發展，新策略往往偏向與思維，在思維上常采用的策略有：探究啟發式、類比推理（從特殊到一般）、逆向思維（倒推法）（1）建模策略高年段的建模策略，較之中年段，在方法上相似，只是對學生的要求更高，“模型”不像中年段那么直觀易懂，需要學生多作分析，而不是簡單的模型套用。例13：小明從家到公園有3條路可以走，從公園到學校有4條路可以走，那么從小明家經過公園到學校，有幾種不同的走法？學生在剛接觸此類題目時，一般會用分支圖解答。通過畫圖，問題很容易得到解決。但有沒有一個方便的方法呢？ 以后碰到這種題目可以很快做出來，或者別的題線路多不容易數呢？這個問題也可以這樣想：從小明家到公園3條路，沿其中任何一條走到

36、公園后，再從公園到學校都有4條路，所以從小明家到學校共有不同走法4×3=12（種）從這一例題來看，所求的走法，恰好等于把每兩地之間道路的條數都乘起來，那是不是對所有這一類型的題目都適合呢？可以再引入相似的幾道例題，從而總結出一條規律，就是：完成一件事，如果要分幾步來做，每步各有幾種方法，那么要求完成這件事共有多少種方法，只要把每一步的方法種數都乘起來就行了。如果要進一步發展“如果小明在學校放學后，然后去了外婆家，從學校到外婆家又有2條路可走，那么從小明家經過公園和學校再到外婆家，共有幾種走法？”這個問題可以仿照前面的方法解答。我們已經算出，小明家到學校共有12種走法，按其中任何一種走

37、到學校后，再到外婆家都有2種走法，所以共有12×2=24（種）即3×4×2=24（種）（2）探究啟發式策略所謂“啟發探究式策略”就是在關鍵地方、關鍵問題、關鍵時候,給學生一些啟發,不要講那么多,要留有余地,讓學生在老師的啟發下，自主探究。這種策略在課堂教學活動中使教師的主導作用和學生的主體作用得以充分體現,師生的雙主體作用更加明朗、和諧與統一。例14：梯形的面積公式的教學設計一鋪墊孕伏，激發興趣1下圖是( )形，誰能說出它各部分的名稱和特征。2口答：計算下面圖形的面積。（單位：厘米）44432.演示：平行四邊形和三角形面積的計算公式是怎樣推導出來的？二、自主探究，

38、掌握新知1問：那么，梯形的面積計算公式又如何推導出來的呢？2探究推導過程。（1）啟發提問并討論：如果老師把研究梯形面積計算方法的任務交給你，你有辦法嗎？你想怎么辦？（2）動手操作并思考如下問題：兩個完全一樣的梯形可以轉化成一個學過的什么圖形？梯形的底和高與轉化后圖形的底和高有什么關系？梯形的面積與轉化后圖形的面積有什么關系？請試著推導出“梯形的面積公式”？ 3根據學生的操作，讓生上臺展示5種梯形面積計算公式的推導過程。探究啟發式包括教師的啟發和學生的探究的融合，這邊教師的啟發在于：一復習三角形和平行四邊形的面積計算公式是如何推導出來的，他們的剪、拼、割、補等方法對推導梯形的面積公式很有啟發意義

39、；二是啟發學生用轉化的方法，激發學生的求知欲，語言的啟發性和探究的價值性非常重要。探究性教學本身注定在課堂上不可避免地會出現許多問題，“問題解決”自然而治地就成為探究性教學最為重要的教學策略，正如弗蘭登塔爾所說：“問題解決是數學教學唯一正確的方法”。“問題解決”就是根據教材特點，積極創設問題情景，充分暴露學生在學習過程中還到的各種問題，通過問題解決讓學生在主動獲取知識的同時，提高學生應用數學知識于各種情形的能力。例如梯形的面積公式一課教學中“可以用多少種方法，計算出這個梯形的面積？”這個問題的解決，充分體現了教學的探究性，而正是由于這種探究才使學生產生了五種計算梯形面積的計算方法，這正是傳授式

40、課堂教學中所無法比擬的，這正是“研究性教學”的成功，也是實施“問題解決”教學策略的成功。（3）逆向思維策略思維有兩種基本形式，逆向思維即是思維的特殊形式，對培養學生的創新思維很有幫助。例15：某人去儲蓄所取款，第一次取了存款數的一半還多5元，第二次取了余下的一半還10元，這時還剩125元，他原有存款多少元？這道題如果順著思考，難以得出答案，如果從最后結果出發，利用已知條件一步一步倒著分析，就可以逐步靠攏答案，這種思考方法稱為逆推法。這是一道典型的逆推問題，應先求出第一次取款后的余下的錢，然后再求出全部存款。用逆推法解題，要注意以下幾點：a從結果出發，逐步向前一步一步推理，每一步運算都是原來的逆運算，即變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘。b列式時要注意運算順序，正確使用括號。（4）類比推理策略數學上的類比思想是指依據兩類數學對象的相似性，有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想，它能夠解決一些表面上看似復雜困難的問題。就遷移過程來說，有些類比十分明顯、直接、比較簡單，如由加法交換律a+b=b+a的學習遷移到乘法分配律axb=bxa的學習；長方形的面積公式為長x寬=axb,通過類比，三角形的面積公式也可以理解為長（底）x寬（高）÷2=axb(h)÷2.類比思想不僅使數學知識容易理解,而且使公式的記憶變得順水推舟得自然和簡潔,從而可