1、投影與任意軸測圖的生成論圖形變換和投影的若干問題之二何援軍（上海交通大學計算機科學與工程系 上海 200030）摘要：此系列文章討論了圖形變換和投影中的若干問題，包括圖形變換、投影變換和透視變換問題。本文討論了投影變換矩陣中的“投影”問題，對已出版圖書中的投影變換幾乎均忽略了第三維坐標的敘述方法發表了評論，認為在齊次投影變換矩陣中應該保持信息的完整性，指出了已出版圖書中的“投影”（正投影和透視投影）插圖的錯誤，分析了產生這些錯誤的原因，并給出了正確的表示形式。最后給出了一個產生任意軸測圖的統一的齊次變換矩陣生成公式，它保持了原物體的深度方向。關鍵詞：圖形變換，投影變換，齊次矩陣，CG中圖法分類

2、號：TP391Projective Transformation and Generation of Arbitrary Axonometric DrawingHe Yuanjun(Department of Computer Science and Engineering,Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030,China)Abstract: Problems in graphics transformation and projection are discussed in this series of papers, including

3、 transformation, projection and perspective. This paper is focused on “projection” of projective transformation matrix, first innovative comments are made on the ignorance of the third dimension coordinator in published books, and the authors opinion is presented that information integrality of homo

4、genous projective transformation matrix should be kept. Secondly errors in “projective” figers in published books are pointed out, the reasons analyzed and the right formats proposed. Finally homogenous transformation matrix is supplied, which can generate any axonometric drawings with original obje

5、cts depth direction reserved.Keywords: graphics transformation, geometric transformation, homogeneous matrix, CG1. 引言圖形變換通常指在二維平面和三維空間內的變換。但是，計算機繪圖和圖形顯示都是在二維平面內實現的，因此，為了解決三維物體的顯示，必須將三維空間的物體投影到二維平面上去。“投影”是三維物體的二維表示手段，這種投影有“二維”性質的機械制圖中的三視圖，有顯示“三維”性質的軸測圖以及在土木建筑中較好反映立體感的透視圖等等。本文討論了投影變換矩陣中的“投影”問題。投影變換的目的

6、是顯示圖形，可以不考慮第三維（深度）坐標，因此國內出版的有關計算機圖形學、計算機繪圖、機械制圖等圖書或教材1-3中，在用齊次矩陣表述投影變換時大多采用將三維空間變換（透視變換、軸測變換等）和投影變換矩陣級聯構成一個總變換陣，即采取簡單的將第3維有關列（行）置為零的方法形成所謂的“透視投影矩陣”或“軸測投影矩陣”，損失了近1/3有效（深度）信息，導致在三維圖形處理時（例如消隱處理等）信息的不完整。而那些“投影”（軸測投影或透視投影）的插圖由于不考慮相互間的圖示關系，幾乎都是錯的。本文分析了產生這些錯誤的原因，并給出了正確的表示形式。對于軸測圖和變換矩陣，本文從機械制圖的原型出發，分析了軸測圖產生

7、的基本原理和已有的產生方法，提出了一個產生任意軸測圖的統一的齊次變換矩陣生成公式。2. 關于投影變換2.1 投影變換與深度坐標投影變換的目的是顯示圖形，即投影變換本身可以不考慮第三維坐標，但投影變換往往和三維圖形處理（例如隱藏線消除等）聯系在一起，而這些圖形處理必須有完整的深度信息。然而，幾乎所有已出版的同類書籍涉及到投影變換時常采用如下的矩陣形式1-3， (U V W H)=(x y z 1) (x y z 1)T（1）參閱（3）式中的斜等測變換陣T斜等測，它的前2個矩陣用作“三維空間到自身的變換”（此變換必須有深度坐標，第3列（行）不能為零），第3個矩陣用作投影變換（為產生正投影圖），而將

8、這3個矩陣乘積的結果T斜等測定義為“軸測投影變換矩陣”。但是，三維觀測流水線的處理過程均須特別注意投影要放在隱藏線消除的處理之后，即深度信息必須在投影前利用完畢，投影后不能再用。其實際處理過程是：先實行“三維空間到自身的變換”（這個變換必須有深度坐標）圖形處理（例如隱藏線消除）實行“從三維到二維的變換”，即無深度的“投影變換”顯示。問題是和這2個過程必須分離。而這個“投影變換矩陣”實際上可在圖形處理后取變換得到的任2維坐標x和y，y和z，z和x達到（實現“從三維到二維的變換”或“投影變換”），最后用于顯示即可。不能將變換和級聯成形如（式（1）矩陣T的所謂“軸測投影變換矩陣”或“透視投影變換矩陣

9、”，而將三維觀測流水線的次序變成：（·）。這種實際上把第三維置為0的辦法（式（1）將變換后的齊次坐標W強制置為零，在三維處理中就失去了深度坐標，損失了1/3的有效信息。因此，建議仍采用下列完整的變換公式：(U V W H)=(x y z 1) （2）得到的(U V W H)齊次坐標信息可根據需要向某一方向作正投影，第三維信息也是完整的。2.2 投影示圖的討論正確的圖示有助于讀者理解所述理論的確切含義，作為教科書或圖書，更需要正確的圖示。但是，幾乎所有已出版的計算機繪圖、計算機圖形學等一類書籍3-10所給的三維投影示意圖均未有確切的表達。這些錯誤由于出現在圖書之中，有些還是在教科書中，

10、甚至于在機械制圖教材和21世紀高校教材中，因此需要明確指出，予以糾正。a. b. c.d.a.錯誤的投影圖示 b.正確的投影圖示 c.在3個坐標平面上的正投影顯示 d.錯誤的透視投影圖示圖-1 投影示圖產生機理的討論圖-1a所示的圖形是一些圖書中引用的一個典型錯誤圖例，現在分析其錯誤之處及其產生的原因。這個圖示關系在空間是這樣的：S是一個（完全的）空間立方體（除非S本身是一個空間平面上的特殊體），而S'是S在空間某一平面上（圖中為XY平面）的平行（正）投影圖，即S'上的點全部位于空間的一個（投影）平面上（S'實際上是一個“空間的平面圖形”）。而投影圖示的目的是將這兩者一

11、個空間物體和它在某一平面上的投影體（一個空間的平面體），經過某個相同的“三維到二維的變換”后同時顯示到畫面上，達到“看上去是立體的投影圖示”效果。這2個示圖是不太可能一樣的，通常，它們也不“相似”。圖-1b是圖-1a的正確圖示。圖-1c顯示這種投影圖的產生機理。對一三維物體（S）先作繞Y軸旋轉（20°，旋轉變換陣Ry），再繞X軸旋轉（30°，旋轉變換陣Rx），最后作平移（為分離各正投影示圖，3個方向均不為零，平移變換陣T），設統一的軸測變換矩陣為A，則顯示立方體S及其在3個坐標平面上的正投影圖形Sx'、Sy'和Sz'（正投影變換矩陣分別為Px、Py和

12、Pz）的顯示坐標可由如下變換得到：l Sx'的顯示坐標：（x y z 1）·Ry·Rx·T·Px·A，取x和y坐標顯示；l Sy'的顯示坐標：（x y z 1）·Ry·Rx·T·Py·A，取x和y坐標顯示；l Sz'的顯示坐標：（x y z 1）·Ry·Rx·T·Pz ·A，取x和y坐標顯示；l S的顯示坐標：（x y z 1）·Ry·Rx·T·A，取x和y坐標顯示。對于圖-1d，它

13、的目的是示意立方體在XY平面上的“透視投影圖”效果，至少有兩個錯誤：第一，與圖-1a一樣，可見面的對應關系“示意”錯了；第二，要“圖示”出“透視”效果來（應是一個有一滅點的透視圖），而不應該“示意”成一個有“平行”邊界的“平行投影圖”來。3. 關于軸測投影3.1 軸測投影的定義在機械制圖中，將物體和連同確定它的空間直角坐標系，用平行投影法一起投影到選定（軸測）投影面上，這種方法稱為軸測投影法。在面上得到的投影稱軸測投影，簡稱軸測投影圖。依投影方向與面的相互位置關系可分為：正軸測投影（投影方向垂直面）和斜軸測投影（投影方向傾斜面）。圖-2中a為正軸測投影，b為傾斜軸測投影。其中空間坐標系OXYZ

14、在軸測投影面上的投影o1x1，o1y1，o1z1稱軸測軸，相鄰兩軸測軸間的夾角稱軸間角。而按照軸向系數間的關系又可分為如下三類軸測投影：正等測投影、正二測或斜二測投影和正三測或斜三測投影等等。a. 正軸測投影 b. 斜軸測投影圖-2 軸測投影的產生機理3.2 已有的工作現有計算機圖形學文獻11-12大多采用將三維物體先作沿X方向含Y軸錯切，再作沿Z方向含Y軸的錯切變換（雙向錯切），最后向V面正投影的辦法構筑軸測投影變換矩陣。【11】采用的變換矩陣是（為遵照原作，式中保留了第3個所謂的“投影變換矩陣”）：T斜等測（3）文中只對變換矩陣中參數d和f的符號選擇所引起的投影方向的不同作了定性的分析，也

15、因為采用了“投影變換矩陣”而未提及第三維（在這里是Y）坐標的變換關系。文獻【13】則只將正軸測圖簡化為p=q=r=1，得到軸測變換矩陣。3.3 軸測投影變換的一般公式下面給出軸測投影變換的一般公式：若給定從平面上一點引出三條不在同一直線上的單位向量，其與X軸夾角分別是，和，軸間夾角分別為1，2和3（圖-3），以這三條向量作為軸測軸，并分別以，作為其軸向變形系數，試求取其軸測變換矩陣。設三軸測軸的單位向量為i，j，k，二維坐標系的單位向量為e1，e2（圖-3）。軸測軸在二維平面上與X軸夾角分別是，和。有：i= cose1+sine2j= cose1+sine2k= cose1+sine2圖-3軸

16、和軸一致的任意軸測投影一空間點p(x，y，z)在三維及二維坐標系中可分別表示為：xi + yj + zk 與 Xe1 + Ye2于是有：xi +yj + zk = Xe1 + Ye2即：x(cose1+sine2)+ y(cose1+sine2)+ (cose1+sine2)= Xe1 + Ye2展開并移位，可得：X = Y = 用矩陣形式可表達為：（4）為了應用軸間角來代替上述公式，當選取三維z軸和二維Y軸一致時，有：，。于是有：在計算機圖形學中，常采用三維軸y與二維軸Y軸一致（圖-4），則有： ，。可得軸測變換為：圖-4軸測投影坐標系的選取圖-5任意軸測投影變換3.4 軸測投影變換齊次矩陣

17、的求取上面給出的算法只是產生軸測圖的坐標變換，為了采用齊次變換矩陣，保證三維信息的完整性，需要給出第三維坐標的變換公式。這需先根據軸測坐標系是仍保持右手坐標系狀態（圖-5之z1和z2）還是呈左手坐標系（圖-5之z3和z4）狀態決定。不計軸變形系數，設軸測坐標系的z、x和y軸上的點分別為Pz(cos,sin)、Px(cos,sin)和Py(cos,sin)，將Pz變換到軸測坐標系x和y軸構成的二維坐標系xy上，有yPz=- cos sin+sin cos。如果yPz<0，軸測坐標系呈右手坐標系狀態，yPz>0，軸測坐標系呈左手坐標系狀態。如果軸測坐標系仍保持右手坐標系，則可根據（4）

18、由向量和的向量積構造第三維向量：×最后，得到軸測投影變換的齊次變換矩陣如下：T（5）于是，軸測投影變換的齊次公式如下：（X Y Z H）（x y z 1）T（6）（式5）和（式6）將原右手坐標系仍變換成右手坐標系，經變換后保持了原物體的深度方向，因此保證了對三維物體進一步處理（例如消隱等）的正確性。圖-6是一些軸測圖應用的例子。如果軸測坐標系呈左手坐標系，只要將（式5）的第3列改成相反的值即可，但是此時對三維物體的處理（例如消隱）需相應的調整到左手坐標系下能適應的方法。圖-6任意軸測投影變換的例子4. 結論本文指出，為了正確處理三維物體，保持信息的完整性，在投影齊次變換矩陣中不能忽略

19、第三維坐標，糾正了已出版圖書中的“投影”（正投影和透視投影）插圖的錯誤，最后給出了一個產生任意軸測圖的統一的齊次變換矩陣生成公式，它保持了原物體的深度方向。參考文獻1 Xu Shejiao et at. Computer Plot, Bejing, Publishing House of Electronics Industry, 2003, P253-2254;(許社教等，計算機繪圖，北京，電子工業出版社，2003年1月，P253-2254)2 Wei Mingtao, Computer Graphics, Bejing, Publishing House of Electronics In

20、dustry, 2001, P135-138;(魏明濤，計算機圖形學，北京，電子工業出版社，2001年11月，P135-138)3 Tong Bingshu, Fundamentals of Mechanism CAD, Bejing, Tsinghua University Press, 2003,P130;(童秉樞，機械CAD技術基礎，北京，清華大學出版社，2003年8月第10次印刷，P130)4 Wang Yingfu, Modern Engineering Plot, Beijing University of Aeronautics and Astronautics Press, 2

21、002,Page 139(王穎福主編，現代工程制圖，北京航空航天大學出版社，2002年8月，P139，圖7.1)5 Yang Huiying, Mechanism Plot, Tsinghua University Press,2000,Page 96(楊惠英，機械制圖，清華大學出版社，2000年9月，P96，圖6-1)6 Wang Xiuying, Engineering Plot, Science and Technology Press,21 Century University Course Materials, Page 169(王秀英，工程制圖，科學技術出版社，21世紀高校教材，P

22、169，圖5-2)7 Xin BangShen, Machine Engineering Plot, South East University Press, 2003,Page 162(邢邦圣，機械工程制圖，東南大學出版社，2003年4月,P162，圖7-2)8 He Xingming et at. Machine Plot, High Education Press, 2002,Page 96(何銘新等，機械制圖，高等教育出版社，2002年1月第12次印刷，P96，圖6-1)9 Engineering Drawing Institute of Beijing University of Posts and Telecommunications, Fundamentals of Engineerin