1、空間平面與直線方程教學設計公共教學部數學教研室 余黎1. 教材內容分析 ： 本教學設計所使用的教材是高等數學應用教程許艾珍、黃麗萍、李明主編，航空工業出版社 2010 年 8 月第一版。本節是第七章空間解析幾何與向量代數中的第三節內容。前面已經學習了向量的相關知識并已 經建立了空間直角坐標系，本節內容是向量和立體幾何的第一次“結合”，同時也為下面繼續學習 曲面曲線方程等打下基礎。因此，本節的學習有著極其重要的地位。2. 學情分析： 目前數學都是大班上課，相對小班上課學生注意力不容易集中，需要教學更加“跌宕起伏”來 吸引學生的注意力。目前教材內容多課時少，每節課的容量巨大，而本校的學生學習的自覺

2、性較差，很少有學生會課后預習或復習，甚至不能獨立完成作業。這就要求教師充分利用好課堂 45 分鐘，合 理安排每個環節，增加學生課堂練習鞏固的時間。3. 設計思想 結合學生學情和本教材的特點使用情景教學的方法。首先構造數學思維活動的情節，以探索啟 發為主，運用合理的推理和擬真推理進行教學；設計教學活動過程聯系學生的情感、意志、水平， 使學生在興奮狀態下經歷潛伏存疑豁然開朗的過程，也就是提出問題試一試不斷 嘗試中增強信心下決心證明得到正確結果的過程。在新課一開始就提出了富有挑戰性的問 題，激發學生的濃厚興趣和積極的求知態度。但情景只是手段、不是目的，是開端、不是終點；良好的開端是成功的一半，情景的

3、創設不應只在課的開始階段，而是存在于整個知識的發生、發展、 規律的揭示、形成和應用過程中，也就是說在整個課堂教學過程中，都根據具體情況創設合理的情 景來進一步激發學生的參與熱情。4. 教學目標：我確定教學目標的依據有以下三條：（ 1 ）教學大綱、考試大綱的要求（ 2 ）教材的特點：例題 簡單，練習有一定難度（3 ）所教學生的實際情況已有的認知結構及心理特征：學生觀察力已具有一定的目的性、精細性、持久性，有意識記占主導地位、意義識記以占重要地位，同時概念理解能力、 推理能力有所提高，具有一定的掌握和運用邏輯法則的能力，但由于認知水平的不同，學生掌握和 運用邏輯法則的能力存在不平衡性。基礎知識目標

4、：掌握平面方程的三種形式，能利用它們解決相關的問題。能力訓練目標：逐步培養學生觀察、分析、綜合和類比能力，會準確地闡述自己的思路和觀點，通過轉化問題探究公式條件的過程， 培養學生探索問題的精神， 提高學生化歸的意識和轉化的能力14個性品質目標：培養學生勇于探索，善于發現，獨立的意識，不斷超越自我的創新品質。5. 教學重點、難點： 重點：點法式的推導證明及平面的一般方程的幾種特殊情形的推導應用 難點：靈活應用各種形式平面方程進行解題。6. 教學程序廠第一課時空間平面方程1環節教學程序及設計設計意圖及效果11.給出定義分析定 義法向里：垂直于干面的任意零向里稱為該平面的法向量。同(1)平面有多少法

5、向量？他們之間的關系怎樣？(2)法向量與平面內的向量有什么關系？教師通過兩個問題讓學生深刻理解法向量的定義.弁為下面推導點法式方程作鋪墊.廠2 .設置問題，創設情景平面的點法式方程在空間中給定一點 Mo和向量n,要求平面 過M。、且以n為法向量，那么平面就唯一被 確定了 .如果已經建立了空間直角坐標系，就可以具體描述構成平面的點的條件，這就是平面在該坐標系中的方程.如圖7.16,設點 Mo坐標為(xo,yo,zo), n=(A,B,C), 把n平移到以Mo為始點.點M(x,y,z)平面1 .提出問題：已知平面過一個已知點和法向量,如何求平面方程.2 .畫出圖形，標出字母，邊問邊答推導點法式方程

6、我們知道，學習總與 定知識月景即月景 相聯系，在實際情境卜進行學習，可以使學生利用已有知識與經驗同化和索引出當前學習的新知識，這樣獲取的知識，不但便于保持，而且易于遷移到陌生的問題情境中。M 0M n M 0 M n=0 ,M 0M =(x-x o,y-yo,z-z。),據向建數單積坐標公式得點M(x,y,z)在平面上的充分必要條件是A(x-x o)+B(y-y o)+C(z-z o)=O .(7-12)稱方程(7-12)為平面的點法式方程(no rmal form equati on)3.趁熱打鐵,完成練習口答滿足下列條件的平面方程過點（2,-3,0）,n 1,2,3的平面方程過點（i,2,

7、-i） ,n 1,0,3的平面方程過點（2,i,-3） , n 0,0,3的平面方程歸納思考：這些方程有什么特點？通過練習一方面鞏固點法式,另一方面讓 學生自己歸納出一般式方程。學生在這個 過程中自然的融入教師創設的情景中。圖象有什么特點？4.延伸，進行重構結論？74 -川!>=<0 ' “口仔7-jJIrA.'!'.T IF柚門EBr+a +會=曦羊孟0=0r"iT + 1 P +r=c=oAr ¥1. > P - f) (HUI)FT仁仙A=0Sr+C- 0過詢II0=0.ir+fr = Ij伸評宓賽1q =: i'lc

8、=o.Ir+fh = II1p =門.r L-.:仁 + D=Q IE YWTf:,玳萬ii i' ; T</;i Jr.p f ; ' = 11 - a-, mft、7 h,曲-2.和二維平面中的情況進行類比得到什么1.教師引導：當一般方程缺了某些項后他的1 .學生在教師引導下，在積累了已有探索 經 驗的基礎上進行討論交流，相互評價，共同總結完成了表格。2 .這一問題設計試圖讓學生自己得到結論，這個過程可以提高學生思維能力，得到的結果也不必死記硬背，卻能讓知識深刻的 印在腦海中。根據以上知識填空做兩個練習5.主動嘗3pr 2=a>Tir F血nW韻平二#! 2r

9、+ 3 = O制:h' J' ih Ifj"' iF| ,!H3 丁 7=()仁 J Jill J ; hl l.vi 1 的面這兩個練習都應用了上面的表格中的知識，設計練習一是讓學生掌握觀察方程特 點說出圖象特點。而練習二正相反，讓學 生練習的是由圖象特點說出方程一般式磬習 耳出卜解f半ifci的一融式r = 0<3> g曲二二什Tn- J j.t? : rmrjrih .ivi-D = o山+ By = a荷Tif+x#的日勺+i上十打cr>r mi 皿十的-+C ii6 .綜合應用知識進行解題程。已知一平面過三點A (1,1 , -1)

10、, B(-2 , -2 , 2) C (1, -1, 2),求這個平面的方程。例1 求平行于x軸且過點A ( 1,-2, 3)B (2, 1 , 2)的平面方程。練習1求通過z軸且過點M (2, 4, -3) 的平面方程。例2求過點(-2, 1 , 3)且平行于向量rra 2, 2,3 , b1,3, 5 的平面方選取這四個題目難度逐漸加深，目標是讓 學生真正理解和應用平面的點法式和一般 式。弁歸納總結出什么場合用哪種方程。本節課小結主要由學生完成知識總7.當/-P學生結，通過學習知識所體驗到的數學思想方通過師生共同小結，鞏固所學知識，提煉用到的解決問題的方法，其中蘊涵的數學小結法，由學生總結

11、和相互補充，教師適當點評,思想方法，培養學生歸納概括能力教師加以經驗總結.點評 第二課時仝間直線方程在空間直角坐標系中：1 .引一個二兀一次方程表示一個平面;一個二兀二次方程表示一個曲面;兩個曲面交線是空間曲線，通過圖形給學生直觀的創設情景，用平面、曲面、曲線、直線與方程進行類比。課兩個平面的交線(？)2.給面的交線，故我們可以直接從平面的一般方出定程得到空間直線方程？義分Ax Biy Gz D 0,析定Ax B2y C2z D 0義稱為空間直線的一般方程.由于空間的每一條直線都可以看作是兩個平師生共同歸納出直線的一般方程3.設置問題，創設情景設直線L的方向向量為s= m, n, p, Mo(

12、xo, yo, zo)為直線L上的一定點(如圖), 求L的方程？在L上任取一點M (x, y, z),則向量uujujnM0Mx xo, y yo,z Z0與 s 平行.由兩個向量平行的充分必要條件，有XX。y y0z z0(716)(7-l6)m n p顯然，當且僅當點 M在直線L上時,方程組(7-16)成立.方程組(7-16)叫做直線的 點向提問：那么和平面一樣如何求空間直線的方 程呢？給出基本條件：已知 方向向量為s = m, n, p ,直線L上的一定點M (X0,y0,Z0),這又給學生創設情景。學 生開始畫圖，討論，推導，教師進行指導。 最終給出結論，求出方程，教師給出命名一 一點

13、向式方程式方程或對稱式方程由直線的點向式方程容易導出直線的參4.變數方程，如設式延伸，進行重構教師講解3 丫 % z勺珂(t為參數)，m n pxx。mt,則有yy。nt,zZ。pt方程組叫做直線的 參數方程求過M/xAyAzJ5.繼續變式延M2(X2,y2,Z2)兩點的直線方程？解 所求直線的方向向量可取為UUUUUI Ds= MMx> X1, yay、Z2Z1 ,因此，直線的方程可寫為點向式XXiyyizZiX2 xiy2yiZ2 乙方程稱為直線的兩點式方程(two pointsequati on)教師繼續給出直線的不同條件，讓學生探索直線方程的第三種類型。盡管該問題是新知識，但可當

14、做例題，讓學生利用已有的知識(直線的點向式)進行求解，這樣學生不僅 的到了新的知識，也鞏固了已學的知識。例2設一直線過點A(2,-3,4),且與y軸垂直相交，求此直線方程？解因為所求直線與 y軸垂直相交，故6.趁在y軸上的交點為 B (0,-3,0),由此得方向向執打鐵，再舉一例UUU量s= BA =2,0,4,根據(7-16)得所求直線方程為x2y3z4本例可由學生在黑板上書寫求解過程，除了掌握直線方程的求法，更練習了解析幾何解答題的書寫方法。教師和其余同學幫助共同訂正。y3 0,z 2x7.小練習組合1 .求過點P(4,-1,3)且平行于直線作，x 1y3z132 1讓學生分組討論，三個聯

15、系，得出解決的方法。最終的出結論這三種類型均要轉化為點 向式。開展探究2.求過點P(4,-1,3)且平行于直線x y z 1, y z 43.求過點P(4,-1,3)且平行于x 2z 1 和 y 3z 2兩平面f2x4y z u,例3化一般式方程3xy 2z 9 U為點向式方程和參數方程解先在直線上找一點令x U,得到4y z 3,解得y 1,y 2z 9z 4,8.即(0,1,4)是直線上的一點.鞏固再求直線的方1可向量s. s=拓mxh2=(9,7,10),因此，所給直線的點向式方程展，為 x y 1 z4,應用97IU令上式各比值為參數t ,得所給直線的參數知識方程為x 9t,y 1 7

16、t,z 4 1Ut練習：將方程x 1 y 4z 1,工1化為一般式141和參數式一9.學點向式方程乙兇止z z生小mhP結“、十 Ax By CzD U,教師一般方程M1'1Ax B 2y C2zD U通過這個例子和配套練習讓學生掌握三種基本的直線方程之間的互化，從而把整節課的知識內容融會貫通起來。具體處理是，例子可由學生講解，教師板書，練習由學生分 組討論，每組派代表在黑板上板書結果，身后大家一起討論，訂正，老師給每組打分。這樣可已加深學生對知識的理解，也可激發興趣。教師要求學生不僅要記住三種形式，而且要引導學生要掌握三種形式之間的互化，以及他們的適用范圍。點評Xomt,參數式方程y

17、yoZont, Pt7 ?教學小結與反思我這節課的特點是讓學生“動”起來。“動”體現在各個方面：即嘴動，眼動，耳動，手動，腦動。嘴動。嘴巴是表情達意的器官，所有得人心思想，觀念，感情都要通過它來傳送。課堂上我讓學生盡情地讀，說，議，問。要創造讓學生發問的機會，培養對問題尋根究底的精神。耳動。學會傾聽別人的發言，領會教師的意圖。眼動。學會觀察，能有順序地觀察，發現題目的特點。手動。課堂上，我們盡量讓學生的手動起來，讓他們主動地獨立地獲取知識，自己獨立的完成練習。腦動。也就是讓學生的充分思考。無論是推導還是解題過程都讓學生有充分的思考過程。附：教學PPT一、平面的方程法向量：垂直于平面的任意非零向

18、量稱為該平面的法向量基本結論:（1） 一個平面有無數多個法向量，并且 所有法向量互相平行。（2）平面上任意向量都與該平面的法向 量垂直。設平面n過點Mo （ xo, yo,（A,B,C不全為零）是它的一個法向量 求此平面的方程。設M （x, y, z）是平面n上任一點，那么向量MJU0UM1n,所以它們的數uuuu un r量積為零,即 MoM ?n 0由于 n= A , B , C,并且 MoMz),向量 “TAB, C如下圖所示x x°, y y°, z Zo故有 A(x X o ) B(y yo) C(z z ) o練習寫出滿足下列條件的平面方程。(1)過點(2,-3,o) , n 1 2,3的平面方程為1(x 2) 2(y 3) 3( z o) o即 x 2y 3z 80過點(1,2, -1 ),n 1,0,3的平面方程為1(x1) 0(y 2)3(z 1) 0即x3z 2 0 過點(2,1,-3),n 0,0,3的平面方程為0(x2) 0(y 1)3(z 3) 01方程特點圖象特點D=0Ax By Cz 0缺缺常數項）過原點（0,0,0）D 0A=0By Cz D 0 (缺 x 項)平行于X