1、勾股定理及其逆定理（復習課）【理論支持】課堂教學的重要任務之一就是要使教學過程成為學生獲取 知識 發展能力的活動過程，成為科學知識內化為學生精神 財富的過程.知識的獲得與內化必須符合學生的認知規律， 并借助學生已有的經驗對知識進行自主性地構建.因此，教 師在課堂教學過程中需要運用一定的教學策略，幫助學生打 開知識之窗，重現知識的形成過程；引導學生體驗知識，感 受知識的存在；指導學生應用知識，增強對知識的記憶與理 解；幫助學生回歸知識，促使教材知識活化.勾股定理及其逆定理是通過代數計算的方法來證明的.而運 用勾股定理求直角三角形的邊長和運用勾股定理的逆定理 判斷一個三角形是不是直角三角形時，經常

2、要用到數式變形 和方程等知識.同時，作為一種數學模型，勾股定理及其逆 定理在日常生活中也有著廣泛的應用.所以在本節課，既要 注重勾股定理及其逆定理的應用，又要關注“數形結合.方程”等數學思想方法和數學建模能力.教學對象分析：前面學生已經學習了勾股定理及逆定理，學生容易把勾股定 理及逆定理使用的條件混淆，在本節課中，為學生提供多種題型，創造自主學習，合作學習的機會，讓他們主動參與、 勤于動手，從而樂于探究，讓學生體會到數學與實際生活的 密切聯系.【教學目標】知識技能勾股定理及其逆定理. 長為無理數的線段的回 法.互逆命題（定理）及勾股數的概念.能靈 活運用勾股定理及逆定理數學思考通過對勾股定理及

3、逆定理的復習鞏固， 進一步 掌握數形結合的思想方法，提高解決幾何問題 的能力.解決問題長為無理數的線段的回法.互逆命題（定理） 及勾股數的概念.能靈活運用勾股定理及逆定理解決直角三角形相關問題情感態度1 .通過勾股定理及逆定理綜合運用體驗數與 形的內在聯系，感受勾股定理及逆定理之間的 和諧及辨證統一的關系.2 .通過小組活動培養學生合作交流的意識和 探索精神.教教學重難點】重點：勾股定理及逆定理的應用.難點：靈活運用勾股定理及逆定理.【教學方法】啟發引導.分討論組【課時安排】一課時【教學設計】課前延伸1 .在 RtAABC 中，/ C=90(1)已知 a=6, b=8,貝U c=;(2)已知

4、a=b, c=4,貝U a=;2 .在 ABC中，a、b為兩邊，c為另一邊；若 a=6, b=8, 則c的范圍是;3 .已知兩條線的長為 5cm和4cm,當第三條線段的長為美好的未來不是等待，而是孜孜不倦的攀登!導入新課：創設情境，回顧勾股定理及其逆定理如果知道一個三角形是直角三角形，你可以得到哪些結論？有什么方法可以判斷一個三角形是直角三角形？【設計說明】為本節課綜合應用，做好知識準備及理論支持2揭示課題，整理概念，板書勾股定理：勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；如果兩條直角邊長為 a. b,斜邊長為c ,則 c2= a2+ b2.運用：已知直角三角形任意兩邊可求第三邊勾

5、股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a b c 有下列關系：a2+b2=c2,那么這個三角形為直角三角形.運用：勾股定理的逆定理可用來判定直角三角形或用來確定直角二檢查預習情況：明確檢查方法學生口答后論證三布置學生自學：1學生自主探究題：（ 1 ）若直角三角形兩直角邊的比是3： 4，斜邊長是 20 ，求此直角三角形的面積【設計說明】前面學生已經學習了勾股定理，直角三角形邊的有關計算中，常常要設未知數，然后用勾股定理列方程(組)求解，用代數方法解決幾何問題是常用的方法，這里進一步加以復習鞏固，學生有能力自己完成.I參考答案設此直角三角形兩直角邊分別是3x, 4x,根據題意得：(3x) 2+ (4x

6、) 2=202化簡得x2=16;12，直角二角形的面積 =2 X 3xX4x=6x=96(2)等邊三角形的邊長為 2,求它的面積.【設計說明】作高是常用的輔助線，要利用等邊三角形的高又是底邊上的中線的性質解決.A/!I參考答案作AD± BC于D./ | 1 B D C則：bd=2bc (等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合); AB=AC=BC=2 (等邊三角形各邊都相等)，BD=1在直角三角形 ABD 中 AB2=AD2+BD2,即：AD2=AB2 BD2=4 1=3，AD= 31Saabc= 2 BC - AD= 3等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a,則其面積為3 2

7、a4I講評策略以上兩題直接由兩位學生板演，其余在座位上 完成，然后由學生點評板演的同學的解題過程.(3).直角三角形周長為 12cm,斜邊長為5cm,求直角三角 形的面積.I點撥方法這個問題中的直角三角形有一條邊是已知的，另外兩邊的和可以由已知條件求生是7,所以需要設兩個未知數I參考答案設此直角三角形兩直角邊分別是x, y,根據題意得：x y 5 12,(1)x2 y2 52.(2)由(1)得：x+y=7, (x+y) 2=49, x2+2xy+y2=49(3)(3)(2),得：xy=1211，直角三角形的面積是 2xy=2 x 12=6 (cm2)(4)在銳角 ABC中，已知其兩邊 a=1,

8、 b=3,求第三邊的 變化范圍.【設計說明】第三邊為c,b a<c<b+a,但這只是能保證三條邊能組成一個三角形，卻不能保證它一定是一個銳角三角形.為此，先求 ABC為直角三角形時第三邊的值.注意ABC為直角三角形時斜邊可能是 c或b,要 分兩種情況.CI參考答案設第三邊為 C,并設 ABC是直角三角形當第三邊是斜邊時，C2=b2+a2,，c=J，0當第三邊不是斜邊時，則斜邊一定是b,b2=a2+c2,，c=2正（即.ABC為銳角三角形所以點A應當繞著點B旋轉，使/ ABC成為銳角(如圖)， 但當移動到點 A2位置時/ ACB成為直角.故點 A應當在Ai 和A2間移動，此時2匿&l

9、t; c <V10(5) .以下列各組數為邊長， 能組成直角三角形的是 ()A. 8, 15, 17 B. 4, 5, 6 C. 5, 8, 10 D. 8, 39, 40 【設計說明】此題是為復習勾股定理的逆定理設計的.I點撥方法此題可直接用勾股定理的逆定理來進行判斷， 對數據較大的可以用 c2=a2+b2的變形：b2=c2 a2= (ca) (c+a) 來判斷.例如：對于選擇支D, 82+(40+39) X (4039), .以8, 39, 40為邊長不能組成直角三角形.I參考答案答案：A(6) .四邊形 ABCD 中，/ B=90 , AB=3, BC=4, CD=12, AD=1

10、3,求四邊形 ABCD的面積.【設計說明】此題是為復習勾股定理及其逆定理設計的.I點撥方法要求四邊形 ABCD的面積，顯然要把圖形進行 分割，需要連接 AC, ABC是直角三角形， ADC呢？需要 判斷.I參考答案連結AC./ B=90 , AB=3, BC=4AC2=AB2+BC2=25 （勾股定理）.AC=5,. AC2+CD2=169, AD2=169. AC2+CD2=AD2. / ACD=90 （勾股定理逆定理）11. S 四邊形 abce=Smbc+Sacd=2AB - BC+2 AC - CD=36.2.小組合作探究題(1)如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6on, BC

11、=8cm.現將直角邊 AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊 AB上， 恰與AE重合，則CD等于()A. 2 cmB. 3 cm C. 4 cmD. 5 cmCAI點撥方法在直角三角形 ABC中，由直角邊AC=6on, BC=8 cm可知 AB=10, AE是AC沿直線 AD折疊的，AE=6, BE=4,設 CD=x則 DE=X, DB=，怎樣求 DE?參考答案b(2)如圖所示，在 Rt ABC 中，BAC 90, AC AB, DAE 45，且 BD 3, CE 4,求DE的長.【設計說明】此題是一條綜合題，為培養學生能靈活運用勾股定理及其逆定理其他所學知識解決實際問題的能力I點撥方法因為ABC為

12、等腰直角三角形，所以 ABD C 45 .所以把 AEC繞點A旋轉到 AFB,則AFB AEC ,由于 BF EC 4,AF AE, ABF C 45 , DBF 為直角三角形.，容易求生DF也就彳#到DE的長I參考答案:如圖，因為ABC為等腰直角三角形，所以 ABD C 45 .所以把 AEC繞點A旋轉到 AFB,則AFB AEC .所以 BF EC 4, AF AE, ABF C 45 .連結 DF .所以 DBF為直角三角形.由勾股定理 將DF2 BF2 BD2 42 32 52 .所以DF 5 .因為 DAE 45,所以 DAF DAB EAC 45 .所以 ADE ADF SAS .

13、所以DE DF 5 .(3) ABC 中，BC a,AC b, AB c,若 C 90 ,如圖 1,根據 勾股定理，則a2 b2 c2,若ABC不是直角三角形，如圖 2和 圖3,請你類比勾股定理，試猜想 a2 b2與c2的關系，并證明 你的結論.I點撥方法當 ABC是銳角三角形時，如圖4 設 CD=xJJ!fJ美好的未來不是等待，而是孜孜不倦的攀登!BD=a-x根據勾股定理，得b2 x2 c2即b2x2c2a22ax x2. 222_ a b c 2 ax.; a 0,x 0,. 2ax 0. 2,22 a b c .當ABC是鈍角三角形時，圖 5,證明：過點B作BD AC,交AC的延長線于點

14、D.設CD為x ,則有DB2 a2 x2.根據勾股定理，得即b2 2bx x2a2 b2 2bxb 0,x 02bx0.2,22a b c .I參考答案若ABC圖5是銳角三角形，則有若ABC是鈍角三角形，C為鈍角，則有、反饋練習1 .等腰三角形的兩邊長為 4和2,則底邊上的高是 , 面積是.12 .四個三角形的邊長分別是 3, 4, 54, 7, 8a7,24,2511132,42,52其中是直角三角形的是（）A.B. C.D.3 .已知直角三角形中，兩邊的長為3. 4,求第三邊長.4 . ABC中，/ C=90 , a=5, c- b=1,求 b, c 的長.5 .如圖： ABC中，AD是角

15、平分線， AD=BD, AB=2AC.求證：AACB是直角三角形.a練習題解答1 . J15,舌52 . DDC3 .解：設第三邊長為 x,/加當第三邊是斜邊時：x2=32+42=25,即x=5A B當第三邊不是斜邊時，則斜邊長為4: x2=423：即x="4 .此題類似于例322. 2a c b (c b)(c b) 25 c b 25 c 13解：根據題意得：c b 1c b 1 b 125.證明：作DEL AB于E,.AD=BD,DE! AB. 2AE=AB (等腰三角形底邊上的中線和底邊上的高互相重合)/ DEA=90 (垂直的定義)又 AB=2ACAE=AC.AD是角平分線

16、./ 1 = /2在4ACD和 AED中AC AE12AD AD， ACgMED （SAS；）./ C=/ AED=90（全等三角形對應角相等）.ACB是直角三角形三教師精講點撥：1知識點辨析：勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關如果用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（如：C,但不要認為最大邊一定是C）（2）驗證c2與a2 b2是否具有相等關系，若c2 = a2 b2,則4ABC 是以/C為直角的三角形.（若c2>a2 b2則4ABC

17、是以/C為 鈍角的三角形，若c2<a2 b2則4ABC是以/ C為銳角三角形）2探究題評析：（ 1）必須在直角三角形中才能應用勾股定理解決問題；必須在已知三角形三條邊大小的情況下才能應用勾股定理的逆定理解決問題（ 2 ）體驗并掌握勾股定理及逆定理在實際問題的應用；3規律總結：遇到直角三角形要求邊長首先要想到勾股定理的運用；已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理4方法指導：分類討論和數形結合的思想方法課后提升一、課后練習題1 如圖， 有一塊直角三角形的紙片， 兩直角邊 AB=6， BC=8， 將直角邊AB折疊，使它落在斜邊 AC上，折痕為AD,則AD 的長為多少？美好的未來不是等待，而是孜孜不倦的攀登！A2 .已知： ABC 中，AD 是高，AB+ DC=AC+BD 求證：AB=AC.二、課后練習題情況反饋：教師對課后練習題進行批改檢查，然后將具體情況記錄在教 案上，主要包括整體完成情況.學生答題存在的主要問題及 形成原因，同時設計適量的有針對性的變式訓練及時糾偏.美好的未來不是等待，而是孜