1、高中數學概率與統計知識點總結一、統計1、抽樣方法：簡單隨機抽樣（總體個數較少）系統抽樣（總體個數較多）分層抽樣（總體中差異明顯）注意：在N個個體的總體中抽取出 n個個體組成樣本，每個個體被抽到的機會（概率）均為。N2、總體分布的估計：一表二圖：頻率分布表一一數據詳實頻率分布直方圖一一分布直觀頻率分布折線圖一一便于觀察總體分布趨勢注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。莖葉圖：莖葉圖適用于數據較少的情況，從中便于看出數據的分布，以及中位數、眾位數等。個位數為葉，十位數為莖，右側數據按照從小到大書寫，相同的數據重復寫。3、總體特征數的估計：平均數：X x1 x2 x3xn ;n取值為Xi,X2

2、, ,xn的頻率分別為Pl,P2, ,Pn,則其平均數為xipi x2 P2xn Pn ；注意：頻率分布表計算平均數要取組中值。方差與標準差：一組樣本數據X1,X2, ,xn方差:(Xi2X)；nil注：方差與標準差越小，說明樣本數據越穩定。平均數反映數據總體水平；方差與標準差反映數據的穩定水平。線性回歸方程變量之間的兩類關系：函數關系與相關關系；制作散點圖，判斷線性相關關系 線性回歸方程：y bx a （最小二乘法）nXi 小 nx yi 1b n2 Xii 1-2 nxbx注意：線性回歸直線經過定點(x,y)。二、概率1、隨機事件及其概率：事件：試驗的每一種可能的結果,用大寫英文字母表示;

3、必然事件、不可能事件、隨機事件的特點；隨機事件A的概率：P(A) m,0 P(A) 1 . n2、古典概型：基本事件：一次試驗中可能出現的每一個基本結果；古典概型的特點：所有的基本事件只有有限個；每個基本事件都是等可能發生。n個，事件A包含了其中的個基本事件，則事件 A發生的概率mP(A)一 n古典概型概率計算公式：一次試驗的等可能基本事件共有高中數學資料共享群 2841107363、幾何概型：幾何概型的特點：所有的基本事件是無限個；每個基本事件都是等可能發生。幾何概型概率計算公式：P (A)其中測度根據題目確定，一般為線段、4d的測度.D的測度'角度、面積、體積等。不可能同時發生的兩

4、個事件稱為互斥事件；Ai，A2，, An彼此互斥。如果事件Ai，A2， ,An任意兩個都是互斥事件，則稱事件如果事件A , B互斥，那么事件 A+B發生的概率，等于事件 A , B發生的概率的和, 即：P(A B) P(A) P(B)如果事件Ai,A2, ,An彼此互斥，則有：P(Ai A2An) P(Ai) P(A2)P(An)對立事件：兩個互斥事件中必有一個要發生，則稱這兩個事件為對立事件。事件A的對立事件記作AP(A) P(A) 1, P(A) 1 P(A)對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事件。三、排列組合與二項式定理1、基本計數原理分類加法計數原理：(分類相加)做一件事情，完

5、成它有 n類辦法，在第一類辦法中有 m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法在第 n類辦法中有 叫種不同白方法.那么完成這件事情共有N m1 m2mn種不同白方法.分步乘法計數原理：(分步相乘)做一件事情，完成它需要n個步驟，做第一個步驟有 m1種不同的方法，做第二個步驟有 m2 種不同的方法做第 n個步驟有mn種不同的方法.那么完成這件事情共有N m1 m2mn種不同的方法.2、排列與組合排列定義：一般地,從 n個不同的元素中任取 m m n個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同的元素中任取 m個元素的一個排列.組合定義：一般地,從 n個不同的元素中任取 m m n個元素并

6、成一組，叫做從 n個不同的元素中任取 m個元素的一個組合.排列數：從n個不同的元素中任取 m m n個元素的所有排列的個數，叫做從 n個不同 的元素中任取 m個元素的排列數，記作 Am.n個不同組合數：從n個不同的元素中任取 m m n個元素的所有組合的個數，叫做從的元素中任取 m個元素的組合數，記作 Cm.排列數公式： Am n n 1 n 2 n m 1.m n An n m !Ann!,規定0! 1.組合數公式:m!1 m一或Cnn!；m! n m !Cm Cn:規定CO 1.排列與組合的區別：排列有順序,組合無順序.排列與組合的聯系：Am Cm Am,即排列就是先組合再全排列.Amn

7、(n 1) L (n m 1) n!Cnm 禺 (m n)排列與組合的兩個性質性質Amm (m 1) L 2 1 m! n m !排列 Ami a； mAm 1 ；組合 cmi cm cm1（io）解排列組合問題的方法特殊元素、特殊位置優先法（元素優先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）.相鄰問題捆綁法 （把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）不相鄰（相間）問題插空法（

8、某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法， 即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之 間）.有序問題組合法.選取問題先選后排法.至多至少問題間接法.相同元素分組可采用隔板法 .分組問題：要注意區分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n!.3、二項式定理二項展開公式：a b n C0an C：an 1b C；an 2b2 L C：an rbrL C；bn n N .二項展開式的通項公式：Tr 1 C；an rbr 0 r n,r N,n N .主要用途是求指定的 項.項的系數與二項式系數項的系數與二項式系數是不同的兩個概念，但當二

9、項式的兩個項的系數都為1時，系數就是二項式系數.如在（ax b）n的展開式中，第r 1項的二項式系數為 C；,第r 1項的系數為C；an rbr;一 1 n 而（x -）的展開式中的系數等于二項式系數；二項式系數一定為正，而項的系數不一定x為正.x n的展開式： 1x n C；xnC：xn 1 Cn2xC：x°,若令x 1 ,則有11n 2n C； cn C2C二項式奇數項系數的和等于二項式偶數項系數的和C； C：C： C32n 1二項式系數的性質：（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即 C Cn m；n 1n 1（2）增減性與最大值：當r 時，二項式系數 Cn的

10、值逐漸增大，當r 時,C22的二項式n的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當 n為偶數時，中間一項（第 -+1項）2L和+1項）的二項式系數22n系數cn2取得最大值.當n為奇數時，中間兩項（第n 1 n 1Cn Cn相等并同時取最大值.系數最大項的求法、一A Ar 1設第r項的系數Ar最大，由不等式組A Ari可確定r.賦值法n 2 n右（ax b）ao aix a?x . anx ,則設 f (x) (ax b)n.有: ao f (0); a。aa2.an f (1); aoa1a2a3.( 1)nanf ( 1);f(1) f( 1). a。 a? a4 .；2f(1) f( 1) a

11、a3 a§ a7 .2互斥事件：不可能同時發生的兩個事件隋凱堂如果事件A、B、C ,其中任何兩個都是互斥事件，則說事件A B、C彼此互斥.當A、B是互斥事件時，那么事件 A B發生（即 A B中有一個發生）的概率，等于 事件A、B分別發生的概率的和，即P(A B) P(A) P(B).對立事件：其中必有一個發生的兩個互斥事件.事彳A的對立事件通常記著 A .對立事件的概率和等于 1. P(A) 1 P(A).特別提醒：“互斥事件”與“對立事件”都是就兩個事件而言的，互斥事件是不可能同 時發生的兩個事件， 而對立事件是其中必有一個發生的互斥事件，因此，對立事件必然是互斥事件，但互斥事件

12、不一定是對立事件，也就是說“互斥”是“對立”的必要但不充分的條件.相互獨立事件：事件 A (或B)是否發生對事件 B (或A)發生的概率沒有影響，( 即 其中一個事件是否發生對另一個事件發生的概率沒有影響).這樣的兩個事件叫做相互獨立 事件.當A、B是相互獨立事件時，那么事件 A B發生(即 A B同時發生)的概率，等于 事件A、B分別發生的概率的積.即P(A B) P(A) P(B)._若A、B兩事件相互才虹二則 A與B、A與B、A與B也都是相互獨立的.獨立重復試驗一般地，在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗.獨立重復試驗的概率公式如果在1次試驗中某事件發生的概率是p ,那么在n

13、次獨立重復試驗中這個試驗恰好發生k次的概率Pn(k) Ckpk(1 p)nk k 0,1,2,L n .條件概率：對任意事件A和事件B,在已知事件 A發生的條件下事件 B發生的概率，叫 做條件概率.記作P(B|A),讀作A發生的條件下B發生的概率.公式：P(B A)P(AB)P(A),P(A) 0.2、離散型隨機變量隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示,那么這樣的變量叫做隨機變量.隨機變量常用字母 X,Y,等表示.離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機 變量叫做離散型隨機變量.連續型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區間內的一切值，這樣

14、的變量就叫做連續型隨機變量.離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系：離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出， 而連續性隨機變量的結果不可以列出 若X是隨機變量，Y aX b(a,b是常數)則Y也是隨機變量.并且不改變其屬性(離散型、連續型).3、離散型隨機變量的分布列概率分布(分布歹U)設離散型隨機變量 X可能取的不同值為 XnX2，Xi,，xn,X的每一個值Xi (i 1,2, ,n)的概率P(X xi) pi ,則稱表XXiX2XixnPPiP2PiPn為隨機變量X的概率分布，簡稱 X的分布列. n性質： pi0,i

15、1,2,.n；pi 1.i 1兩點分布如果隨機變量X的分布列為X01P1 pp則稱X服從兩點分布，并稱p P(X 1)為成功概率.二項分布如果在一次試驗中某事件發生的概率是p,那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率是k kn kP(X k) Cnp(1 p)其中k 0,1,2,., n, q 1 p ,于是得到隨機變量X的概率分布如下:X01knP_ 00 nCn p q- 11 n 1CnPq._ k k n kCnP q_ n n 0Cn P q我們稱這樣的隨機變量 X服從二項分布，記作X B n, p ,并稱p為成功概率判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有三點：對立性：即

16、一次試驗中事件發生與否二者必居其一；重復性：即試驗是獨立重復地進行了 n次；等概率性：在每次試驗中事件發生的概率均相等.注：二項分布的模型是有放回抽樣；二項分布中的參數是p,k,n.超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品數，則事件X k發生的概率為P(X的概率分布如下：k)cMccN(k 0,1,2,L ,m),于是得到隨機變量 X其中 m min M ,n ,*n< N,M < N,n,M,N NX01mPp0 p n 0CM CN M11n 1CM CN Mcmn m CM CN McncNcN我們稱這樣的隨機變量 X的分布列為超幾何分布列，且

17、稱隨機變量 X服從超幾何分布 注:超幾何分布的模型是不放回抽樣；超幾何分布中的參數是 M ,N,n.其意義分別是總體中的個體總數、N中一類的總數、樣本容量 .4、離散型隨機變量的均值與方差離散型隨機變量的均值一般地，若離散型隨機變量 X的分布列為XX1X2XiXnPp1p2pipn則稱E XXiPi X2P2 L XiPi L XnPn為離散型隨機變量 X的均值或數學期望(簡稱期望).它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.性質： |E(aX b) aE(X) b.X服從兩點分布，則 E(X1p，XBn,p，則 E(X)港離散型隨機變量的方差一般地，若離散型隨機變量 X的分布列為XX1X2Xix

18、nPp1p2pipn則稱nD(X) (x E(X)2pi為離散型隨機變量 X的方差，并稱其算術平方根 JD(X)為隨 i 1機變量X的標準差.它反映了離散型隨機變量取值的穩定與波動，集中與離散的程度.D(X)越小，X的穩定性越高，波動越小，取值越集中； D(X)越大，X的穩定性越差，波動越大，取值越分散.性質： |D(aX b) a2D(X).，X服從兩點分布，則 D(X) p(1 P).，XBn, p ,則 D(X) np(1 P).5、正態分布正態變量概率密度曲線函數表達式:1J20,.記作N(2、).如下圖:五、統計案例1、回歸分析回歸直線方程?甘小b其中nxi 1 nXi Yi nx y相關系數:i 1bxn2xi 12nxxii 1x Vnxii 12yi ynxy_2 nxn2_2yi ny12xeRk,x R,其中，是參數，且2、獨立性檢驗假設有兩個分類變量 聯表為：它們的值域分另為x i, x 2和y i, y 2,其樣本頻數2 2列y1y2總計x