1、王家臣礦山壓力研究方法（1）理論分析方法（2）模擬實驗方法（3）數值計算方法 有限元 邊界元 離散元 有限差分第一章 彈性力學基礎任何彈性體都占有三維空間,在載荷或溫度等作用下,彈性體內產生的應力、應變、位移等必然是三維的,一般來說,它們都是空間坐標x、y、z的函數,這樣的問題稱為空間問題。從空間彈性體中任意取出一個六面單元體，則一個單元體共有六個獨立的應力分量和六個獨立的應變分量。應力分量:x，y，z，zx = xz ，xy =yx，zy =yz 應變分量: x，y，z， zx = xz ， xy = yx， zy = yz 1.1 空間問題的基本方程yxzxyzzyxzyxzyzxxydx

2、dydz單元體邊長分別為:dx dy dz ,每個面上有三個應力的分量，其中xz表示x面上z方向上的剪應力。且有:zx = xz ， xy = yx，zy = yz 。任取一空間六面單元體xyyxyx xy yxdx彈性體在外載作用下處于平衡狀態時,彈性體內任意一點的力都應處于平衡狀態,根據任意點對各個坐標軸的力與矩的之和為零的平衡關系有:000zzzyzxyyzyyxxxzxyxpzyxpzyxpzyx彈性體內任意點平衡方程彈性體的邊界處也必須滿足平衡方程(又稱邊界條件)nmlpnmlpnmlpzzyzxzyzyyxyxzxyxxzyxppp、其中,為彈性體內單位體積的體積力分量;zyxpp

3、p、為彈性體邊界處單位面積的力在各坐標軸投影。彈性體內任意點的位移必須連續,即不能撕裂,也不能重疊，有彈性體內任意點的位移和應變之間需要滿足關系,(又稱幾何方程）xwzuzwzvywyvyuxvxuzxzyzyxyx,其中:u、v、w是在x、y、z方向上的位移分量。對于彈性體，聯結應力與應變關系的方程，稱為胡克定律，也稱為本構關系,或應力應變關系。zxzxyzyzxyxyxyzzxzyyzyxxGGGEEE111)(1)(1)(1)1 (2EG剪切彈性模量G不是獨立的常數，它與彈性模量E和泊松比的關系:1.2 平面問題的基本方程如果彈性體有特殊的尺寸,如:一個方向的尺寸遠大于或小于另外兩個尺寸

4、,并且有特殊的外力分布,這時空間問題可以簡化為平面問題,只需考察平行于某一平面的應力、應變和位移，這些量僅僅是兩個坐標，如x、y的函數。平面應變問題xyyx長直巷道長直擋土墻00yyyxxxyxpyxpyx平衡方程mlpmlpyyxyxyxx邊界條件yuxvyvxuxyyx,幾何方程1,1)(1)111211111EEGEEyxzxyxyxyyyxx胡克定律EE1111可以證明:上述應力、應變只與x、y有關。除上述所列的應力應變分量外,其余均為零。平面應力問題yxtyz平面應力問題的平衡方程、邊界條件和幾何方程與平面應變的相同,但是胡克定律有所差別：xyxyyxzxyyyxxGEEE1)1)1

5、11.3 外力的功與應變能Pl有一桿受軸向力P作用，長度l，斷面面積F，彈性模量E，與P力對應的伸長量。由胡克定律：FElPlEFP,一般情況下，如果載荷：ddPPP則伸長量：（1）外力的功PP+ dP+ddPP21在獲得微小增量過程中,載荷平均值:dPP21在獲得微小增量過程中,載荷所做的功:ddPdPddPPdW21)21(略去二階小量:dPdW應用載荷與位移成正比關系:ldEFdPPldEFPldElEFdPFPdPFEldPdPFEldW當P從零增加到任一值Pi時,所做的功為:iiiPPPEFldWWi212120PPiiddP應用這一簡單公式注意兩點:(1)位移i必須是力Pi作用點沿

6、力Pi方向的位移;(2)力與位移都是分別從零增加到Pi、i值的.（2）應變能彈性體在外力作用下彈性體在外力作用下, ,會產生變形，外力在彈會產生變形，外力在彈性體變形過程中性體變形過程中, ,對彈性體做功對彈性體做功, ,同時同時, ,彈性體彈性體的變形也會積蓄能量，產生變形能的變形也會積蓄能量，產生變形能, ,通常稱為通常稱為應變能應變能, ,或彈性位能或彈性位能, ,在數值上在數值上, ,彈性體所積蓄彈性體所積蓄的應變能等于外力對彈性體所做的功。的應變能等于外力對彈性體所做的功。 dxdydzDdxdydzdxdydzUTVTVzxzxyzyzxyxyzzyyVxx2121)(21、 D

7、D分別稱為應變分別稱為應變列陣、應力列陣、彈性矩陣。列陣、應力列陣、彈性矩陣。彈性體所積蓄的應變能：彈性體所積蓄的應變能： zxyzxyzyxzxyzxyzyx, DD是彈性矩陣,是聯結應變列陣與應力列陣關系的矩陣,可以從胡克定律中獲得.1.4 虛功原理(虛位移原理)一受力的彈性體處于平衡狀態時一受力的彈性體處于平衡狀態時, ,若給它任意微小的、實際約若給它任意微小的、實際約束所許可的虛位移束所許可的虛位移, ,并同時在彈性體內產生虛應變時，體力與并同時在彈性體內產生虛應變時，體力與面力在虛位移上所做的虛功等于整個彈性體內的虛應變能面力在虛位移上所做的虛功等于整個彈性體內的虛應變能. .力學中

8、的普遍原理虛位移:任意微小的、約束條件所允許的假想位移.虛應變:由虛位移所引起的微小應變.虛功:在虛位移發生過程中,真實外力所做的功.*虛位移固定端不能有虛位移虛功方程(虛位移方程)：wvu、是受力點在x、y、z方向上的虛位移分量。zxyzxyzyx、是虛應變分量。zyxzyxpppppp、分別是不同坐標方向的單位體積力和單位面積力分量。虛應變能,由于給定需位移時，真實的力是先存在的,所以沒有1/2AzyxVzyxzxzxyzyzxyxyzzyyVxxdAwpvpupdxdydzwpvpupdxdydz)()()(面力的虛功體力的虛功平面問題的虛功方程(虛位移方程)：FsyxyxFxyxyyy

9、xxtdsvpuptdxdyvpuptdxdy)()() tdsptdxdyptdxdyTsTFTF用矩陣表示的平面虛功方程：第二章 有限單元法簡單引例qLdxxx有一受自重作用的等截面桿,上端固定,下端自由.單位桿長的重力q,桿長L,橫截面面積A,桿的彈性模量E,求桿各截面上的應力.該問題材料力學有精確答案。任意x截面開始取一微段dx，令該截面上的軸力為N(x),則該微段的伸長量為:AEdxxNdx)(任一x截面的軸向位移:xAEdxxNxu0)()(2.1 2.1 簡單引例的理論解簡單引例的理論解)()(xLEAqdxxdux由幾何方程:)(xLAqExx由胡克定律:上述材料力學的精確解。

10、這個例子是先求位移上述材料力學的精確解。這個例子是先求位移, ,然后很然后很容易求得應變和應力容易求得應變和應力, ,這種先求位移這種先求位移, ,然后由位移求應然后由位移求應變和應力的方法變和應力的方法, ,稱為彈性力學解題的位移法稱為彈性力學解題的位移法. .)()(xLqxN由于:)2(2)()(20 xLxEAqdxAExLqxux任一x截面的軸向位移:2.2 2.2 引例的有限元解引例的有限元解（1 1）劃分單元，確定單元的位移函數）劃分單元，確定單元的位移函數R2R1R3R4L/3L/3L/33142x把桿分成若干小段(長度不一定相等),把每個小段的重力等效地移置到分點上去,稱為結

11、點載荷.分點和小段分別稱為結點和單元.該例子分成3個等長的單元,共有4個結點.xuijuiujue=1+2xo由精確解知道,無論桿怎樣分割,每個單元的位移都是x的二次函數,但是單元足夠短,結點較多,對每個單元可以用線性函數近似地描述它的位移。eij表示e單元,i、j為其兩端結點編號.設單元位移函數為:ue=1+2x， 1、2 為待定系數jijiijjijiiijjuxxuxxuxxxuxxx1121jjiixuxu2121對于單元結點有:xue2112 euf 記: jiijiijjuuxxxxxxxxf3ijiijjxxxxxxxx,與x成直線關系,它們反映了單元的位移形態,所以稱其為形函數

12、.令:ijijijjixxxxNxxxxN jiNNN jieuu形函數矩陣:結點位移列陣:單元位移列陣: eNf（2 2）通過載荷移置確定節點載荷）通過載荷移置確定節點載荷把單元載荷移置到結點上的基本原則是靜力等效原則:在任意給定的虛位移上,移置前單元載荷所做虛功等于移置后結點載荷所做的虛功.利用虛功原理把單元的重力等效移置到結點上去,對于單元eij來說,如果把單元的重力移置到節點i,j上,節點載荷分別用Rie、Rje表示,現在則要計算Rie、Rje的大小.先看Rie。設單元eij發生這樣的虛位移,結點i沿x方向移動一個單位,而節點j不動,即:.0, 1jiuuijux11RieRje這相當

13、于把單元看作i端自由,j端固定鉸支,在重力作用下的壓桿.單元虛位移也選為線性函數.與真實位移具有同樣的形函數. eNf f單元任意點的虛位移列陣 01jiuu單元結點的虛位移列陣 jiijiijjuuxxxxxxxxfijjxxxxu由單元重力所做的虛功:)(2ijxxijjxxxxqqdxxxxxqdxujijiRie所做的虛功為 1Rie, Rje不做功,因為j點不動,沒有虛位移. 由靜力等效原則,單元重力移置到i點的結點載荷:)(2ijiexxqR再看Rje,設:.1,0jiuu)(2ijjexxqR 11)(2ijjeieexxqRRR單元的結點載荷列陣:本例中,3LxxijR1=R2

14、=R2=R3=R3=R4=QL/6再考慮到處于固定端的結點1,還受有約束反力R=-qL,于是單元載荷移置后,各結點的結點載荷分別為:qLRRqLRRRqLRRRqLRRR61313165)3(44)3(3)2(33)2(2)1(22)1(11（3 3）確定單元應變矩陣、應力矩陣、單元剛度矩陣）確定單元應變矩陣、應力矩陣、單元剛度矩陣用幾何方程、物理方程與虛功方程分析單元的應變、應力、和節點受力與結點位移的關系。由幾何方程及 eNf edxNddxdu jiijiijjuuxxxxxxxxf ejijijiijijBuuBBuuxxxx11B稱為應變矩陣.由物理方程: jijieeuuGGGBE

15、EG稱為應力矩陣. ijijjixxExxEBEGGG應力矩陣反映了單元的應力與結點位移之間的關系 ejijiBuuBB jijieeuuGGGBE上述是用節點位移表示的單元應變和單元應力,下面通過虛功原理分析單元的結點受力與結點位移的關系.直桿分成三個單元后,相鄰單元間的作用力通過結點來傳遞,把結點對單元和單元對結點的作用力統稱為接結點力.規定結點i、j對單元作用的結點力Vi、Vj，沿x軸正方向為正。對單元來講,結點力為外力. ejieVVF結點力列陣:jViuiix則對單元來講,外力的虛功: jjiieTeuVuVF而內力的應變能: AdxjixxT根據虛功原理: AdxFjixxTeTe

16、 eB 由: ;eeGBE單元的虛位移與結點位移有類似的關系: eB根據虛功原理: exxTTeeTeAdxGBFji由于虛位移是任意的,所以, Te可取為任意值.有:根據虛功原理: exxTeAdxGBFji AdxGBKjixxTe exxTeAdxGBFji若記: AdxGBKjixxTe單元剛度矩陣 eeeKF jjjiijiiijijTxxTxxTeKKKKxxEAxxBBEAdxBBEAAdxGBKjiji1111)(由應變矩陣B與應力矩陣G,可計算單元剛度矩陣 ijijjixxxxBBB1,1,ijrsxxEAK其中,r,s=i,j,當r=s時,取”+”號,而rs時,取”-”號.

17、jijjjiijiiejeiuuKKKKVV)()(單元結點力:（3 3）形成總體剛度矩陣）形成總體剛度矩陣, ,建立以結點位移為未知量的建立以結點位移為未知量的線性代數方程組線性代數方程組所有結點在單元對結點的結點力與結點載荷共同作用下,應處于平衡狀態,所以以結點為分離體可列出結點的平衡方程.由于單元對結點的結點力與結點對單元的結點力互為作用力與反作用力,Vi(e)、Vj(e)分別表示結點i、j作用在單元(e)上的界結點力,那么單元(e)作用在結點i、j上的結點力分別為：-Vi(e)、-Vj(e)，各結點受力情況見下圖.(1)(3)(2)1234V1(1)R1(1)R結點1V2(1)V2(2

18、)R2(2)結點2R2(1)V3(2)V3(3)R3(3)結點3R3(2)V4(3)結點4R4(3)建立各結點的平衡方程:qLRRRVRRV6501)1(1)1(1)1(1)1(1結點1:qLRRVRV6104)3(4)3(4)3(4)3(4結點4:qLRRRVVRRVV3103)3(3)2(3)3(3)2(3)3(3)2(3)3(3)2(3結點3:qLRRRVVRRVV3102)2(2)1(2)2(2)1(2)2(2)1(2)2(2)1(2結點2:寫成矩陣的形式:4321)3(4)3(3)2(3)2(2)1(2)1(1)3(4)3(3)2(3)2(2)1(2)1(1000000RRRRRRR

19、RRRRVVVVVV結點2單元1結點4結點3結點1單元3單元24321)3(4)3(3)2(3)2(2)1(2)1(1RRRRVVVVVV即:若對具體單元,用補充零的辦法,把各單元的剛度矩陣升階到444321)1(22211211)1(2100000000000000uuuuKKKKVV4321)2(33322322)2(3200000000000000uuuuKKKKVV單元(e)=1結點 i=1 j=2單元(e)=2結點 i=2 j=34321)3(44433433)3(4300000000000000uuuuKKKKVV單元(e)=3結點 i=3 j=4各結點的節點力相加,獲得結點位移為

20、未知量的線性代數方程組43214321)3(44)3(43)3(34)3(33)2(33)2(32)2(23)2(22)1(22)1(21)1(12)1(11000000RRRRuuuuKKKKKKKKKKKKRK總體剛度矩陣，總體結點位移列陣,總體載荷列陣由于各單元的長度均為 L/3，所以可得:)4 , 3 , 2 , 1,(3srLEAKrsr=s時, 取”+”,否則取”-”12256110012100121001134321qLuuuuLEA上述方程組不能直接求解,因為是奇異矩陣(任一行或任一列所有元素之和為零),有無窮多組解,這就要考慮位移邊界條件,修正總體剛度矩陣.（4 4）位移邊界

21、條件處理）位移邊界條件處理邊 界 條 件力的邊界條件:無論邊界上是集中力還是面力都需要按靜力等效原則移置到結點上成為結點載荷位移邊界條件是考慮物體是如何被支承在空間的給定邊界條件會對包括總體剛度矩陣在內的線性方程組進行修正下面看一般情況的處理過程4321432144434241343332312423222114131211RRRRuuuuKKKKKKKKKKKKKKKK4444343242141343433323213124243232221211414313212111RuKuKuKuKRuKuKuKuKRuKuKuKuKRuKuKuKuK4443432421413433332321312

22、42323222121141313212111KRuKuKuKKRuKuKuKKRuKuKuKKRuKuKuK4u寫成線性方程組形式4u設給定邊界條件 為已知這個聯立方程組只有u1、u2、u3三個未知量,前三個方程就足夠了,第四個方程是多余的,可寫成:寫成矩陣表達式34324214143213332312322211312111000000KRKRKRuuuuKKKKKKKKK給定位移邊界條件后,總體剛度矩陣有兩點修正:（1）K44=1，R4=（2）剛度矩陣第四行中,除K44外,其它元素均為零.若, =0，則上式降階為:321321333231232221131211RRRuuuKKKKKKK

23、KK但u4=0未包括在算式中432432444342343332242322RRRuuuKKKKKKKKK該例的實際情況是,結點1受到位移約束,u1=0,所以按照前面的方法是從總體算式中劃去第一行和第一列的全部元素:12261101210123432qLuuuLEA（5 5）解線性代數方程組）解線性代數方程組985182432EAqLuuu解上述線性代數方程組,可得結點的位移:這是有限元計算結果)2(2)()(20 xLxEAqdxAExLqxux代入材料力學的任一x截的軸向位移公式:EAqLuEAqLuEAqLu294185432LxLxLx432,32,3將u2u3u4ux材料力學精確解有

24、限元近似解材料離力學經典解材料離力學經典解和有限元近似解在和有限元近似解在單元結點處的值是單元結點處的值是一樣的一樣的 11311LxxxxBijij 113LEBEG單元的應變矩陣:單元的應力矩陣:單元1 AqLuuLEGEAqLuuuuji65113185021221 AqLuuLEGEAqLuuEAqLuuji211394185322322 AqLuuLEGEAqLuuEAqLuuji6113294432423單元2單元3前面是各單元的平均應力,也正好是材料力學的單元中點應力,這說明了有限元的有效性和正確性.)(xLAqExxx單元1單元2單元3理論解有限元解（6 6）有限元的基本步驟）

25、有限元的基本步驟第一步，連續體的離散化：把連續體分割成許多有限大小的單元，并把單元載荷等效地移置到結點上成為結點載荷。把連續體離散為一個僅由結點連接、僅靠結點傳力、僅受結點載荷,也僅在結點處受約束的單元組合體,所有結點都假想為鉸鏈，僅傳遞集中力,不傳遞力矩。第二步,單元特征分析:以結點位移為基本未知量,設選一個單元位移函數,并用結點位移表示單元位移等 eeeeeeKFGBNf幾何方程物理方程虛功方程位移函數總之，先離散連續體總之，先離散連續體, ,然后以結點位移為基本未知然后以結點位移為基本未知量量, ,分析單元特征，建立并求解線性代數方程組分析單元特征，建立并求解線性代數方程組, ,最最后由

26、結點位移求單元應力后由結點位移求單元應力, ,這種以結點位移為基本這種以結點位移為基本未知量的求解方法未知量的求解方法, ,稱為位移法。稱為位移法。第三步，總體結構合成：通過結點的平衡方程并結合邊界條件，建立以結點位移為未知量的以總體剛度矩陣為系數的線性代數方程組 ,求解這個線性代數方程組,進而由 求得單元應力。 RK eG 第三章 三角形單元對于平面和空間問題,在進行有限元計算時,與前面的一維桿單元分析類似,同樣將連續體離散成僅在結點處鉸接的單元組合體,但是連續體離散時,可以采取多種形式的單元三角形單元矩形單元八結點斜直邊四邊形單元斜直邊四邊形單元三角形單元是最常用和最簡單的平面單元三角形單

27、元是最常用和最簡單的平面單元3.1 3.1 連續體的離散化RLBHA計算區域邊界應力變計算區域邊界應力變化幅度小于化幅度小于5%5%為界為界R.E.GoodmanR.E.Goodman指出指出: : L5R;AH,B6HL5R;AH,B6H對于連續體來說,在相鄰單元的公共邊界上,本來位移和應力都是連續的,現在假定各單元只在公共結點上相互聯結起來,所以兩相鄰單元只能保證在公共結點上具有相同的位移,計算結果是在相鄰單元公共邊界上的位移和應力可能是不連續的.因而會帶來誤差.為了保證必要的計算精度,就應加密網格,使整個連續體內保證位移協調的結點增加,在應力集中區,如巷道、采場、邊坡面附近，應局部加密網

28、格,同時在單元的位移函數選取上進行研究,以增加計算精度。對于軸對稱問題,可利用對稱條件，使計算區域成倍縮小。采用三角形單元時,每個內角都要小于120，最好為60。3.2 3.2 位移函數jimvjujvivmumui(e)yx設任意點的位移都是坐標的線性函數,即: 65432110000001yxyxvuf寫 成 矩陣 形 式位移函數應滿足三個條件,以便在單元尺寸逐步取小時能夠收斂于正確答案:當單元逐步取小時,單元的應變趨于常量;單元產生的剛體位移不引起單元應變發生變化;保證單元內部位移的連續性和相鄰單元公共邊界上的位移協調經證明,前面選擇的位移函數滿足上述條件yxvyxu654321（1）j

29、imvjujvivmumui(e)yx(x,y)vu從離散的連續體中,任意選一單元來分析,設單元編號為e,三個結點按逆時針編號:i,j,m.相應坐標為(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym).單元的位移函數即適用單元內部,也適用單元結點,所以對于單元結點:mmmjjjiiiyxuyxuyxu321321321mmmjjjiiiyxvyxvyxv654654654(2)(3)上式可以用來確定用結點坐標和結點位移表示的各個系數（2）式寫成矩陣形式mjimmjjiiuuuyxyxyx321111mjimmjjiiuuuyxyxyx1321111 mmjjiiyxyxyxA111記:emmjji

30、iSyxyxyxA2111A的行列式: TijjiijjimiimmiimjmmjjmmjxxyyyxyxxxyyyxyxxxyyyxyxA*A的伴隨矩陣:Se是三角形單元的面積的元素是A中對應元素的帶代數余子式.A*ijmjimijjimmijimjmiimjjmimjijmmjixxcyybyxyxaxxcyybyxyxaxxcyybyxyxa,令: mjimjimjiTmmmjjjiiicccbbbaaacbacbacbaA* *1211ASAAAe由矩陣求逆公式:將A-1代入結點位移表達式,有:mjimjimjimjieuuucccbbbaaaS21321mjimjimjimjievv

31、vcccbbbaaaS21543（4）（5）將（4）、（5）代入（1），得單元位移:mmmmjjjjiiiiemmmmjjjjiiiievycxbavycxbavycxbaSvuycxbauycxbauycxbaSu2121ycxbaSNycxbaSNycxbaSNmmmemjjjejiiiei212121令:mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu單元位移: mmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNf000000單元位移寫成矩陣形式: eNfN單元位移形函數. e單元結點位移列陣3.3 3.3 單元載荷移置把體力、面力、單元自重等按照靜力等效原則移置到單元結點成為結點載荷

32、.靜力等效原則:單元的原載荷與移置后的結點載荷在任何虛位移上的虛功相等。Jm邊上作用有均布且垂直邊上的面力,如m點先有個x方向的虛位移,um=1,其余的虛位移為零.利用靜力等效原則進行計算.yxRiyRjxRmxRmyRjyRixxijmqyijm載荷移置結果ijmlqlq2lq2ijmlqlq6lq3w3w3w3wijm均布載荷三角分布載荷單元自重載荷載荷移置的普遍公式（1）集中力設單元e中任意一點(x,y)受有集中力P,其分量為Px Py,即: yxPPP假想該單元發生一個微小的虛位移,其中集中力作用點(x,y)的相應虛位移為: vuf而結點相應的虛位移為 .按著靜力等效原則,單元的原載荷

33、與移置后的結點載荷在任何虛位移上的虛功相等,有: e PfRTeTe由前面得知: eNf PNRPNRTTeeTeTeeTe(1)(2)(3) PNRTe由于 的任意性 e mmjjiiTNNNNNNN ymxmyjxjyixiyxmmjjiiePNPNPNPNPNPNPPNNNNNNR單元載荷列陣:（2）體積力設單元e有單位體積力p,其分量為px , py,將微分體積tdxdy上的體積力ptdxdy當作集中力P,這樣利用前述集中力的積分可得: eesTsTedxdypNttdxdypNR dxdypNpNpNpNpNpNtRRRRRRResymxmyjxjyiximymxjyjxiyixe單

34、元載荷列陣:（3）面力 sTsTedspNttdspNR dspNpNpNpNpNpNRRRRRRRsymxmyjxjyiximymxjyjxiyixe單元載荷列陣:設單元e的一邊上有分布的單位面積力p,其分量為px , py,將微分面積tds上的面力pds當作集中力P,這樣利用前述集中力的積分可得:3.4 3.4 單元應力計算在選設了單元位移函數,并用結點位移確定其待定系數后,就可以通過幾何方程用結點位移表示的單元應變,再通過物理方程用結點位移表示的單元應力.（1）單元應變由平面問題幾何方程 xvyuyvxuxyyx mmjjiimmjjiimjimjievuvuvubcbcbccccbbb

35、s00000021 mjimjieBBBB ),(21mjiibccbsBiiiieiB成為單元的應變矩陣.由前面知識:（2）單元應力通過物理方程用結點位移表示單元的應力.平面應力問題: DExyyxxyyx2100010112或記為: mjimjiemjimjiGGGGBBBDGG稱為應力矩陣稱為應力矩陣 ),(2)1 (2)1 ()1 (20021000101)1 (222mjiibccbcbsEbccbsEBDGiiiiiieiiiieii平面應變問題:),()1 (221)1 (22111)21)(1 (2)1 (2mjiibccbcbsEGiiiiiiei3.5 3.5 單元剛度矩陣 eeeKF結點力與結點位移的關系:平面應力問題: eTsTetsGBdxdytGBKe mmmjmijmjjjiimijiimTm