1、4.2 4.2 傅里葉級數傅里葉級數 傅里葉級數的三角形式傅里葉級數的三角形式 波形的對稱性與諧波特性波形的對稱性與諧波特性 傅里葉級數的指數形式傅里葉級數的指數形式 周期信號的功率周期信號的功率ParsevalParseval等式等式一、傅里葉級數的三角形式一、傅里葉級數的三角形式1.1.三角函數集三角函數集 在一個周期內是一個完備的正交函數集。在一個周期內是一個完備的正交函數集。0sincos22dttmtnTTnmnmTdttmtnTT, 0,2coscos22nmnmTdttmtnTT, 0,2sinsin22由積分可知由積分可知1,cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,2級數形

2、式設周期信號設周期信號f(t)，其周期為，其周期為T，角頻率，角頻率=2/T，當滿，當滿足狄里赫利足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角條件時，它可分解為如下三角級數級數 稱為稱為f(t)的傅里葉級數的傅里葉級數 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系數系數an , bn稱為傅里葉系數稱為傅里葉系數 22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可見，可見， an 是是n的偶函數，的偶函數， bn是是n的奇函數。的奇函數。其他形式其他形式10)cos(2)(nnntnAAtf式中，式中，A0 = a022nnnba

3、Annnabarctan上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 A0/2為直流分量為直流分量 A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，其角頻率與原周稱為基波或一次諧波，其角頻率與原周期信號相同期信號相同 A2cos(2t+2)稱為二次諧波，其頻率是基波的稱為二次諧波，其頻率是基波的2倍倍一般而言，一般而言，Ancos(nt+n)稱為稱為n次諧波。次諧波。 可見：可見：An是是n的偶函數，的偶函數， n是是n的奇函數。的奇函數。 an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,將上式同頻率項合并，可寫為將上式同頻率項合并，可寫

4、為二、波形的對稱性與諧波特性二、波形的對稱性與諧波特性)()(tftf1 .f(t)為偶函數為偶函數對稱縱坐標對稱縱坐標22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0，展開為余弦級數。，展開為余弦級數。2 .f(t)為奇函數為奇函數對稱于原點對稱于原點an =0，展開為正弦級數。，展開為正弦級數。)()(tftf例例3 .f(t)為奇諧函數為奇諧函數f(t) = f(tT/2)f(t)t0TT/2此時此時 其傅里葉級數中其傅里葉級數中只含奇次諧波分量，只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量而不含偶次諧波分量即即 a0=a2=b2=b4=0 4 f(

5、t)為偶諧函數為偶諧函數f(t) = f(tT/2)此時此時 其傅里葉級數中其傅里葉級數中只含偶次諧波分量，只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量而不含奇次諧波分量即即 a1=a3=b1=b3=0 三、傅里葉級數的指數形式三、傅里葉級數的指數形式 e)(jtnnnFtf三角形式的傅里葉級數，含義比較明確，但運算常感三角形式的傅里葉級數，含義比較明確，但運算常感不便，因而經常采用指數形式的傅里葉級數。不便，因而經常采用指數形式的傅里葉級數。 de )(122jTTtnnttfTF系數系數Fn 稱為復傅里葉系數稱為復傅里葉系數 利用利用 cosx=(ejx + ejx)/2可從三角形式推出：可從三角形式推出：推導推導虛指數函數集虛指數函數集ejntejnt，n=0n=0，1 1，2 2，傅里葉系數之間關系nnnnAbaF212122 nnnabarctan)j(21e21ejnnnnnbaAFFnnn的偶函數：的偶函數：an ， An ， |Fn | n的奇函數的奇函數: bn ，n nnnAacosnnnAbsin四、周期信號的功率四、周期信號的功率Parseval等式等式nnnnTFAAdttfT2122002|21)2()(1直流和直流和n次諧波分量在次諧波分量在1 電阻上消耗的平均功率之和。電阻上消耗的平均功率之和。 n0時，時， |Fn| = An/2。