1、4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 傅里葉級數(shù)的三角形式傅里葉級數(shù)的三角形式 波形的對稱性與諧波特性波形的對稱性與諧波特性 傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式 周期信號的功率周期信號的功率ParsevalParseval等式等式一、傅里葉級數(shù)的三角形式一、傅里葉級數(shù)的三角形式1.1.三角函數(shù)集三角函數(shù)集 在一個周期內(nèi)是一個完備的正交函數(shù)集。在一個周期內(nèi)是一個完備的正交函數(shù)集。0sincos22dttmtnTTnmnmTdttmtnTT, 0,2coscos22nmnmTdttmtnTT, 0,2sinsin22由積分可知由積分可知1,cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,2級數(shù)形

2、式設(shè)周期信號設(shè)周期信號f(t)，其周期為，其周期為T，角頻率，角頻率=2/T，當滿，當滿足狄里赫利足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角條件時，它可分解為如下三角級數(shù)級數(shù) 稱為稱為f(t)的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù) 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系數(shù)系數(shù)an , bn稱為傅里葉系數(shù)稱為傅里葉系數(shù) 22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可見，可見， an 是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， bn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。其他形式其他形式10)cos(2)(nnntnAAtf式中，式中，A0 = a022nnnba

3、Annnabarctan上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 A0/2為直流分量為直流分量 A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，其角頻率與原周稱為基波或一次諧波，其角頻率與原周期信號相同期信號相同 A2cos(2t+2)稱為二次諧波，其頻率是基波的稱為二次諧波，其頻率是基波的2倍倍一般而言，一般而言，Ancos(nt+n)稱為稱為n次諧波。次諧波。 可見：可見：An是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， n是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,將上式同頻率項合并，可寫為將上式同頻率項合并，可寫

4、為二、波形的對稱性與諧波特性二、波形的對稱性與諧波特性)()(tftf1 .f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù)對稱縱坐標對稱縱坐標22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0，展開為余弦級數(shù)。，展開為余弦級數(shù)。2 .f(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù)對稱于原點對稱于原點an =0，展開為正弦級數(shù)。，展開為正弦級數(shù)。)()(tftf例例3 .f(t)為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tT/2)f(t)t0TT/2此時此時 其傅里葉級數(shù)中其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量而不含偶次諧波分量即即 a0=a2=b2=b4=0 4 f(

5、t)為偶諧函數(shù)為偶諧函數(shù)f(t) = f(tT/2)此時此時 其傅里葉級數(shù)中其傅里葉級數(shù)中只含偶次諧波分量，只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量而不含奇次諧波分量即即 a1=a3=b1=b3=0 三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式 e)(jtnnnFtf三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。 de )(122jTTtnnttfTF系數(shù)系數(shù)Fn 稱為復傅里葉系數(shù)稱為復傅里葉系數(shù) 利用利用 cosx=(ejx + ejx)/2可從三角形式推出：可從三角形式推出：推導推導虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejntejnt，n=0n=0，1 1，2 2，傅里葉系數(shù)之間關(guān)系nnnnAbaF212122 nnnabarctan)j(21e21ejnnnnnbaAFFnnn的偶函數(shù)：的偶函數(shù)：an ， An ， |Fn | n的奇函數(shù)的奇函數(shù): bn ，n nnnAacosnnnAbsin四、周期信號的功率四、周期信號的功率Parseval等式等式nnnnTFAAdttfT2122002|21)2()(1直流和直流和n次諧波分量在次諧波分量在1 電阻上消耗的平均功率之和。電阻上消耗的平均功率之和。 n0時，時， |Fn| = An/2。