1、MODULE_3_UNIT_6_PPT東北大學自動控制原理課程組2 一個線性系統正常工作的首要條件，就是一個線性系統正常工作的首要條件，就是它必須是它必須是穩定穩定的。的。 用代數的方法判斷線性系統的穩定性，分用代數的方法判斷線性系統的穩定性，分析系統參數變化對穩定性的影響，是本節要介析系統參數變化對穩定性的影響，是本節要介紹的內容。紹的內容。 東北大學自動控制原理課程組3穩定的充分必要條件穩定的充分必要條件系統特征方程的根（即系統閉環傳遞函數的系統特征方程的根（即系統閉環傳遞函數的極點）全部負實數或具有負實部的共軛復數，也極點）全部負實數或具有負實部的共軛復數，也就是所有的閉環特征根就是所有

2、的閉環特征根 分布分布在在s s平面平面虛軸的左虛軸的左側側 ，即即Re 0jpjp東北大學自動控制原理課程組4 不需要求不需要求“根根”，直接利用特征方程的系數，直接利用特征方程的系數就可以判斷系統的穩定性的方法。就可以判斷系統的穩定性的方法。 勞斯判據是其中的一種。勞斯判據是其中的一種。代數判據代數判據東北大學自動控制原理課程組5（1 1）列勞斯表的建立列勞斯表的建立1011000nnnna sa sasaa，勞斯表：勞斯表：2131111bbaabc3151121bbaabc3120111aaaaab5140121aaaaab特征方程式：特征方程式：原始數據原始數據計算數據計算數據024

3、61135721234312342121101nnnnsaaaasaaaasbbbbsccccseesfsg 系統特征方程的全部根都在系統特征方程的全部根都在 s s 左半平面（左半平面（）的充分必要條件是勞斯表的第）的充分必要條件是勞斯表的第1 1列列元素全部是元素全部是數數（或不變號）。（或不變號）。 若勞斯表中第若勞斯表中第1 1列元素改變符號（不全為列元素改變符號（不全為正），則系統不穩定。方程在正），則系統不穩定。方程在 s s 右半平面根的右半平面根的個數等于元素個數等于元素變號的次數變號的次數。（2 2）勞斯判據）勞斯判據注意：注意：a00東北大學自動控制原理課程組7例例3-4

4、系統的特征方程如下，試用勞斯判據判斷系系統的特征方程如下，試用勞斯判據判斷系統的穩定性。統的穩定性。07146435223456ssssss711515897181151171875257144576320123456sssssss解：列勞斯表解：列勞斯表該系統不穩定，有該系統不穩定，有2個個根在根在S右半平面右半平面 東北大學自動控制原理課程組8例例3 3-5 -5 系統的特征方程如下系統的特征方程如下, ,試用勞斯判據判斷系統的穩定性。試用勞斯判據判斷系統的穩定性。處理方法：可以用一個小的正數 代替它，而繼續計算其余各元，完成勞斯表。0122234ssss432101112201221ss

5、sss解：列勞斯表解：列勞斯表第一列元素有為零項，系統必不穩定；變號兩次，有兩個第一列元素有為零項，系統必不穩定；變號兩次，有兩個右半右半S S平面的根。平面的根。系統閉環極點：系統閉環極點：-1.8832 -1.8832 0.2071 + 0.9783i0.2071 + 0.9783i 0.2071 - 0.9783i 0.2071 - 0.9783i -0.5310 -0.5310 例例3 3-6 -6 系統的特征方程如下系統的特征方程如下, , 判斷系統的穩定性。判斷系統的穩定性。解：列勞斯表解：列勞斯表第第1 1列各元中的上面和下面的系數符號列各元中的上面和下面的系數符號不變，故有一對

6、虛軸上的根。不變，故有一對虛軸上的根。將特征方程式分解，有將特征方程式分解，有解得根為解得根為 02223sss222110123ssss2(1)20ss2,132, 1pjp東北大學自動控制原理課程組10處理方法：處理方法：利用全利用全 0 0 行的上一行各元構造一個行的上一行各元構造一個輔輔助方程助方程，式中均為偶次。以輔助方程的導函數的，式中均為偶次。以輔助方程的導函數的系數代替勞斯表中的這個全系數代替勞斯表中的這個全 0 0 行，然后繼續計算行，然后繼續計算下去。這些大小相等而關于原點對稱的根可以通下去。這些大小相等而關于原點對稱的根可以通過求解這個輔助方程得出。過求解這個輔助方程得出

7、。 這表明方程有一些大小相等且對稱于原點的根。這表明方程有一些大小相等且對稱于原點的根。 例如例如 顯然，系統是顯然，系統是的。的。, , ppjpj 3.5自動控制系統的代數穩定判據自動控制系統的代數穩定判據 解：列勞斯表解：列勞斯表例例3-7 3-7 系統的特征方程如下系統的特征方程如下, ,試用勞斯判據判斷系統的穩定性。試用勞斯判據判斷系統的穩定性。0161620128223456ssssss0008610161221620813456ssss由上表可以看出，由上表可以看出，s3行的各項全部為零。為了求出行的各項全部為零。為了求出s3s0各項，各項，用用s4行的各元構成輔助方程式行的各元

8、構成輔助方程式 86)(24sssp3.5自動控制系統的代數穩定判據自動控制系統的代數穩定判據 它的導函數為它的導函數為用導函數的系數用導函數的系數4 4和和1212代替行相應的元繼續算下去，得代替行相應的元繼續算下去，得勞斯表為勞斯表為 ssdssdp1243834831248610161221620810123456sssssss結論：在新得到的勞斯表中第結論：在新得到的勞斯表中第1 1列沒列沒有變號，因此可以確定在有變號，因此可以確定在S S右半平面右半平面沒有特征根。另外，由于行的各元均沒有特征根。另外，由于行的各元均為零，這表示有共軛虛根。系統處于為零，這表示有共軛虛根。系統處于臨界穩定狀態臨界穩定狀態。 3.5自動控制系統的代數穩定判據自動控制系統的代數穩定判據 這些虛根可由輔助方程式求出。本例的