1、第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法1第四講 插值與擬合之插值(上)內容：內容：插值是離散函數逼近的重要方法，利用它插值是離散函數逼近的重要方法，利用它 可通過函數在有限個點處的取值狀況，估可通過函數在有限個點處的取值狀況，估 算出函數在其他點處的近似值算出函數在其他點處的近似值目的：目的：學習插值的基本思想和方法，掌握學習插值的基本思想和方法，掌握Matlab 的的一維一維/二維等距和非等距二維等距和非等距插值函數插值函數要求：要求：掌握掌握Matlab插值函數，處理插值應用問題插值函數，處理插值應用問題了解拉格朗日和分段線性插值的基本思想了解拉格朗日和分段線性插值

2、的基本思想了解三次樣條插值的提法和思路了解三次樣條插值的提法和思路(條件數條件數)掌握插值函數掌握插值函數 interp interp1 interp2 griddata掌握水塔用水量的計算掌握水塔用水量的計算(水位水位-體積體積-流速流速-積分積分)第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法2關于插值與擬合的區別 面對工程實踐和科學計算中的采集得到數據面對工程實踐和科學計算中的采集得到數據(xi,yi)，我們總是試圖去揭示我們總是試圖去揭示x與與y之間的關系之間的關系，即，即用近似的用近似的y=f(x)來表示，那么我們通常可以采用兩來表示，那么我們通常可以采用兩種方法：種

3、方法：插值與擬合插值與擬合(均要求自變量單調均要求自變量單調) 插值與擬合的插值與擬合的區別區別在于在于插值試圖去通過插值試圖去通過已知點已知點了解了解未知未知點點處的函數值；而擬合則在于在處的函數值；而擬合則在于在整體上用某種整體上用某種已知函數已知函數去擬合數去擬合數據點列所在據點列所在未知函數未知函數的性態。的性態。 關鍵區別關鍵區別在于插值要求在于插值要求必須經過必須經過已知點列，擬已知點列，擬合只求合只求盡量靠近盡量靠近不必經過！擬合將在本講下介紹不必經過！擬合將在本講下介紹第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法3引例引例1 函數查表問題：函數查表問題：已知標

4、準正態分布函數表，求已知標準正態分布函數表，求表中沒有的值表中沒有的值 (2.34)=0.99036 (2.35)=0.99061求求 (2.3457) (2.35-2.3457)/(2.35-2.34)* (2.34)+ (2.3457-2.34)/(2.35-2.34)* (2.35)引例引例2 地圖繪制問題：地圖繪制問題：假如我們在地圖邊界獲取了一些邊界點的坐標，假如我們在地圖邊界獲取了一些邊界點的坐標，連接這些邊界點形成閉合曲線，可以用來近似表連接這些邊界點形成閉合曲線，可以用來近似表示真實邊界線，如何示真實邊界線，如何更準確地逼近更準確地逼近真實邊界線？真實邊界線？函數查表與地圖邊界

5、線繪制 (2.3457)=？第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法4如何更準確地逼近真實邊界線？第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法5插值在數碼圖像放大中的應用引例引例3 圖像插值放大：圖像插值放大：數碼相機運用插值的方法可以數碼相機運用插值的方法可以創造出創造出比傳感器實比傳感器實際像素更多的圖像，這種處理稱為際像素更多的圖像，這種處理稱為“數碼變焦數碼變焦”。106*40原始圖像：原始圖像：左邊：左邊：最近鄰插值最近鄰插值放大放大450%右邊：右邊：雙三次插值雙三次插值放大放大450%第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬

6、合方法6插值在圖像三維重建中的應用Surface recostruction from scattered points cloud 第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法7分段線性插值和拉格朗日插值分段線性插值：分段線性插值：用直線用直線(線性線性)連接數據點列上相鄰的兩點。連接數據點列上相鄰的兩點。比如比如在兩點在兩點xi-1,xi上線性插值函數為上線性插值函數為11111( ),0,1,2,.,iiiiiiiiiixxxxq xyyxxxxxxxin拉格朗日插值：拉格朗日插值：用用n次拉格朗日插值多項式次拉格朗日插值多項式0()()nnkkkLxylx連接數據點列

7、上相鄰的連接數據點列上相鄰的n+1個點。個點。Pszjs71第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法8拉格朗日插值基函數的構造比如比如 在三個點在三個點x0,x1,x2上上lagrange插值函數為插值函數為(線性插值線性插值是拉格朗日插值是拉格朗日插值最簡單最簡單的情形的情形) 2200011221220010202110120122021()()()()()() ()()() ()() ()() ()() ()() ()kkkLxylxylxy lxylxxxxxLxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxx第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬

8、合方法9拉格朗日插值基函數的構造題例題例 f(x)=ln(x)的數值表為的數值表為用用Lagrange插值計算插值計算ln(0.54)的的近似值近似值x=0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8; xi=0.54;y=-0.916291, -0.693147, -0.510826, -0.357765, -0.223144;n=length(x); L=zeros(n,1); yi=0;for i=1:n L(i)=1; for j=1:n if j=i L(i)=L(i)*(xi-x(j)/(x(i)-x(j); end end yi=yi+y(i)*L(i);endx0.40.50.

9、60.70.8ln(x)-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法10分段三次埃爾米特插值條件數分段三次埃爾米特插值：分段三次埃爾米特插值：線性插值線性插值在每一小段上在每一小段上(兩點之間兩點之間)，用到，用到2個個條件條件q(xi)=yi，所以確定了一個所以確定了一個線性線性插值函數；插值函數；三次埃三次埃爾米特插值爾米特插值在每一小段上，用到在每一小段上，用到4個個條件條件q(xi)=yi， q(xi)=yi,所以確定一個所以確定一個3次多項式次多項式插值函數。插值函數。 分段插

10、值主要是為了避免高次插值可能出現的分段插值主要是為了避免高次插值可能出現的大幅度振蕩大幅度振蕩現象，在實際應用中通常采用分段低現象，在實際應用中通常采用分段低次插值來次插值來提高近似程度提高近似程度，比如可用分段線性插值，比如可用分段線性插值或分段三次埃爾米特插值來逼近已知函數，但它或分段三次埃爾米特插值來逼近已知函數，但它們的們的總體光滑性較差總體光滑性較差，為了克服這一缺點，三次，為了克服這一缺點，三次樣條插值成為比較理想的工具。樣條插值成為比較理想的工具。第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法11三次樣條(spline)插值的概念 樣條的概念出自工程設計和機械加工

11、樣條的概念出自工程設計和機械加工(飛機、船飛機、船舶外形曲線設計舶外形曲線設計)中的繪圖工具中的繪圖工具(曲線尺曲線尺)，簡單說，簡單說就是具有就是具有連續二階導數的三次插值多項式函數。連續二階導數的三次插值多項式函數。 第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法12三次樣條(spline)插值的條件數 首先從段數首先從段數n=2分析：我們知道在每一小段的分析：我們知道在每一小段的三次多項式有三次多項式有4個系數，所以如下圖，總共需要有個系數，所以如下圖，總共需要有4*2=8個方程來確定；個方程來確定； 由由q(xi)=yi可以確定可以確定2*2=4個個方程，又由內部節點方

12、程，又由內部節點q1(xi)= q2(xi)和和q1(xi)= q2(xi)可以確定可以確定2*(2-1)=2個方程，看來剩下的個方程，看來剩下的8-(4+2)=2個方程只有靠個方程只有靠外部給定外部給定(邊界條件邊界條件)了了q1q2x0 x1x2第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法13一維曲線等距插值函數interpinterps syntaxOne-dimensional r times longer data interpolation y = interp(y,r)題例題例 在原始數據點中在原始數據點中增倍增倍插值插值x=0:0.001:1; y=sin(2

13、*pi*30*x)+sin(2*pi*60*x); yi=interp(y,4);subplot(1,2,1); stem(y(1:30); title(Original Points);subplot(1,2,2); stem(yi(1:120); title(Interpolated Points);第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法14一維曲線等距插值函數interp1interp1s syntaxOne-dimensional data interpolation yi = interp1(x,y,xi,method)nearest Nearest neig

14、hbor interpolationlinear Linear interpolation (default)spline Cubic spline interpolationcubic Piecewise cubic Hermite interpolation題例題例 在一天在一天24小時內小時內,從零點開始每間隔從零點開始每間隔2小時測小時測得的環境溫度，推測在得的環境溫度，推測在15點點6分的的溫度分的的溫度x=0:2:24; y=12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13;plot(x,y,-ro); hold on; xi=15.1; yi=interp

15、1(x,y,xi,spline),xi=0:1/3600:24; yi=interp1(x,y,xi,spline); plot(xi,yi,b-);第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法15二維曲面等距插值函數interp2interp2s syntaxTwo-dimensional data interpolation ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)nearest Nearest neighbor interpolationlinear Bilinear interpolation (default)spline Cubic spl

16、ine interpolationcubic Bicubuc interpolation第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法16二維曲面等距插值函數interp2動畫展示：三維空間中的曲面等距格點動畫展示：三維空間中的曲面等距格點第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法17二維曲面等距插值函數interp2題例題例 粗糙山頂曲面的平滑處理粗糙山頂曲面的平滑處理(等距情形等距情形)load mountain.mat %載入山頂地形數據載入山頂地形數據mesh(x,y,z) %繪制原始山頂地形圖繪制原始山頂地形圖xi=linspace(0,5,50)

17、; yi=linspace(0,6,80); xii,yii=meshgrid(xi,yi); zii=interp2(x,y,z,xii,yii,spline); %三次樣條插值三次樣條插值%zii=interp2(x,y,z,xii,yii,nearest); %最近鄰插值最近鄰插值%zii=interp2(x,y,z,xii,yii,linear); %線性插值線性插值figure;surf(xii,yii,zii) %繪制平滑處理后的山頂曲面繪制平滑處理后的山頂曲面hold on;xx,yy=meshgrid(x,y);plot3(xx,yy,z+0.1,ob);第四講第四講 曲線曲面

18、的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法18二維曲面等距插值函數interp2題例題例 粗糙山頂曲面的平滑處理粗糙山頂曲面的平滑處理(等距情形等距情形)第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法19二維曲面散亂插值函數griddatagriddatas syntaxData interpolation for scattered points ZI = griddata(x,y,z,XI,YI)XI,YI,ZI = griddata(x,y,z,xi,yi). = griddata(.,method)linear Triangle-based linear interpol

19、ationcubic Triangle-based cubic (default) nearest Nearest neighbor v4 MATLAB 4 griddata methodMATLAB二維插值函數二維插值函數griddata，可以將平面或曲面上的可以將平面或曲面上的散亂點散亂點插值為插值為規則網格規則網格第四講第四講 曲線曲面的曲線曲面的插值與擬合方法插值與擬合方法20二維曲面散亂插值函數griddata題例題例 粗糙山頂曲面的平滑處理粗糙山頂曲面的平滑處理( (散亂情形散亂情形) )rand(seed,0)x = rand(100,1)*4-2; y = rand(100,1)*4-2;z = x.*exp(-x.2-y.2);plot3(x,y,z,o);hold onti = -2:.25:2; XI,YI = meshgrid(ti,ti);ZI = griddata(x,y,z,XI,YI);mesh(XI,Y