1、初中數學概念課堂教學設計杜紅衛學生在數學學習中有一個現象：當解決數學某一問題遇到困難時，如果追根求源，就會發現，往往是由于他們在某一個或某一些概念處產生問題，而導致思維受阻。許多事實例證了正確地理解 數學概念是牢固掌握數學知識， 靈活運用數學知識解決問題的金鑰匙。 基于此，我們就要對數學概念的本質進行分析，并且希望找到合理的概念教學的模式，以使教師的教課與學生的數學學習輕松而有成效。一、什么是數學概念？概念是反映客觀事物本質屬性的思維形式。數學概念，就是事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性，是人們通過實踐，從數學所研究的對象的許多屬性中，抽出其本質屬性概括而形成的。它是進行數學推理、判斷的依

2、據，是建立數學定理、法則、公式的基礎，也是形成數學思想方法的出發點。可見，數學概念是學生必須掌握的重要基礎知識之一，是數學基本技能的形成與提高的必要條件，也是數學教學的重點內容。 為什么學生對數學概念的理解總是停留在表層，往往知其然，并不知其所以然？教學中如何進行有效地概念教學，以使學生真正的理解概念？這是每名教師都在思考的問題。二、 目前概念教學的現狀數學概念具有抽象性、發展性、生成性等特點，它的特點以及初中學生認知的思維水平的限制性，決定了他們在學習過程中，會對一些抽象的、不常接觸的概念不容易理解，需要教師進行合理的教學設計，使學生能夠參與到概念的發生與形成過程中，了解概念的來龍去脈，理解

3、概念的內涵與外延，弄清概念之間的區別與聯系，在頭腦中形成相關概念的網絡，以達到掌握并靈活運用的程度。對于概念教學這個問題，在新課程實施以來，廣大教師都有了一定的認識，加強了對概念教學的重視程度。但由于各種各樣的原因，事實上，大部分教師只是停留在思想的層面上，而行動上仍然是傳統的教學模式。案例 1 ：前不久聽一位教師關于“平方根”的概念教學課，上課開始，教師呈現一組面積不同的正方形，要求學生求邊長 x 。這組題對于初二的學生來講，能夠很快的得到答案。由于邊長都非負，所以學生的第一反應說出的都是這組數的算術平方根，因為教師設計要講平方根，所以要求學生寫出計算過程，并強調，然后取正舍負，再由這四個例

4、子進行抽象概括出平方根與算數平方根的定義：即時，我們把叫做的平方根，其中正值又叫做的算術平方根。接下來就是根據定義求一些非負數的平方根與算術平方根的題組訓練。表面上看，教師似乎讓學生經歷了從特殊到一般的抽象概括的過程，但實質上，教師的設計只是形式化的，并沒有使學生真正的參與到平方根的發生與形成過程中， 沒有使學生真正弄清楚為什么 叫做的平方根，所以可以想到學生只是機械的接受概念，在此基礎上照貓畫虎式進行解題練習，這種做法一定會造成學生后期將平方根與算術平方根混淆。案例 2 ：關于“同類項”的教學：教師往往采用如下引入：下面各式有何共同特點，請用簡潔的語言敘述：（ 1 ）；（ 2 ）, 而后師生

5、共同歸納出同類項的概念。這樣的教學只是揭示了“同類項是什么”，而沒有揭示“為什么提出同類項的概念，為什么教學中這樣定義同類項概念”。這里涉及到科學分類的問題，分類是自然科學中的基本邏輯方法，通常是根據所研究的具體問題，選取恰當的標準，然后根據對象的屬性，把他們不重不漏地劃為若干類別，再分別加以研究，從某種程度上說，概念是對客觀事物按照某種需要進行分類的產物，僅僅以事實為基礎形成的概念難以遷移。案例 3 ：“矩形”概念的教學：首先采用合作學習：用6 根火柴棒首尾順次相接擺成一個平行四邊形。議一議：（ 1）能擺成多少個不同的平行四邊形？他們有什么特點？（ 2）在這些平行四邊形中，有沒有面積最大的一

6、個平行四邊形？說出你的理由。（學生分組討論）生 1 ：我們這組認為，可以擺成無數個平行四邊形，他們的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。師：這些特點都是平行四邊形的性質，鄰邊有什么特點嗎？生 1 ： ( 猶豫 ) 鄰邊不相等，其比值始終是2 ： 1.生 2 ：有一個面積最大的平行四邊形，即長方形，因為平行四邊形的面積等于底邊乘以高，如果擺成長方形，高與平行四邊形的一邊相等，這樣面積才是最大的。（眾生疑惑）師：你能說一下這個平行四邊形一個內角的特點嗎？生 2 ：每個角都是直角。師：實際上，平行四邊形有一個內角是直角，我們把這樣的平行四邊形就叫做矩形。生 ( 嘩然）：這不是小學的長方形嗎？教師在學

7、生的疑惑聲中，畫出圖形，板書課題及矩形定義。在這個案例中，教師創設情境，采用小組合作學習的形式，通過“平行四邊形什么時候面積最大”的問題引導學生動手操作， 從而引入矩形的定義， 卻沒有取得很好的教學效果： 1. 很多學生對“當平行四邊形是矩形時，面積最大”的知識沒有真正理解，實質上這個問題是平行四邊形面積與垂線段性質兩方面知識的綜合， 它與矩形的定義沒有多大關系； 2. 矩形的邊沒有特殊性，但教師卻要求學生說出鄰邊之比 2 ： 1 ，這無意中強調矩形鄰邊的不等性，使得在生成矩形概念時，學生錯誤的認為，矩形就是長方形； 3. 這樣的問題設計很難在學生頭腦中形成“矩形是平行四邊形一個內角的特殊化”

8、的概念。教材把“矩形”安排在平行四邊形之后，就是因為它是特殊的平行四邊形，因此完全可以用概念同化的方法進行矩形概念的教學，這與以前學過的平行四邊形和將要學習的菱形、正方形在研究思路、方法上一脈相承，這樣的設計充分尊重學生的實際情況，可以使學生在獲得知識的同時，培養其類比思維的能力。盡管新課程倡導動手操作、自主探究、合作交流的學習方式，但更應該根據具體的教學內容和學生的已有知識經驗為基礎制訂教學策略，應該以有利于學生知識的獲得、數學活動經驗的積累和數學思想的領悟為標準。在我們的日常教學中，類似于以上的概念教學并不是少數，我們將目前部分教師的概念教學模式進行簡單的歸納，可以分為以下幾類：（一）開門

9、見山，教師直接給出定義，歸納注意事項、舉例讓學生反復練習；（二）認為概念教學=解題教學，所以通過大容量訓練，使學生逐步認識概念；（三）創設情境，但情境的選擇并不能揭示概念的本質，只是為了設計情境而刻意安排的，讓人感到前后不夠協調；（四）注意到讓學生參與概念的形成過程，但在概念的分析過程中，缺乏與學生已有知識的聯系，總感覺每個概念都是孤零零的，沒有形成系統。這些模式的教學，其效果往往事倍功半，耗費學生大量的時間與精力，但知識掌握的一知半解，吃夾生飯，對問題的解決，依靠簡單的機械模仿，所有的訓練都游離在知識的表層甚至知識之外。長此以往，必將使學生成為并不優秀的“做題機器”，數學雙基也無法落實。鑒于

10、此，反思我們的概念教學就顯得尤為重要， 到底什么樣的概念教學模式可以稱之為好的，有效的教學模式是什么呢？我認為應該沒有統一的模式，教學有法、教無定法，只要教師能重視基本概念蘊含的智力開發價值， 注意充分挖掘基本概念蘊含的數學思想方法的教育價值，能夠使學生掌握知識、發展能力的概念教學都是有效的、好的教學。三、初中數學課堂概念教學的一些想法從教育與發展心理學的角度出發，概念教學的核心就是“概括”：將凝結在數學概念中的數學家的思維活動打開，以若干典型事例為載體，引導學生分析各事例的屬性、抽象概括其共同的本質屬性，歸納得出數學概念等思維活動而獲得概念。數學概念要講背景、講思想、講應用，概念教學則強調讓

11、學生經歷概念的概括過程，由于數學能力是以數學概括為基礎的能力，因此重視數學概括過程對發展學生的數學能力具有基本的重要性。概念的課堂教學大致經歷以下幾個環節：概念的引入、概念的生成、 概念的剖析及辨析、相關概念的聯系與區別、概念應用舉例、概念的鞏固練習。下面結合實例就其中關鍵環節談談在設計時的注意事項。（一）概念的引入概念的引入是概念課教學的起始步驟，是形成概念的基礎。傳統教學中在教學方式上是以教師傳授為主，學生被動接受學習，這顯然不利于新課程背景下創造型人才的培養。課程標準中提出“ 抽象數學概念的教學，要關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式”。通過概念引入過程的教學

12、，應該使學生明確：“概念在生活中的實際背景是什么？”“為什么引入這一概念”以及“將如何建立這一概念”，從而使學生明確活動目的，激發學習興趣，提取有關知識，為建立概念的復雜智力活動做好心理準備。在引入過程中教師要積極地為學生創設有利于他們理解數學概念的各種情境，給學生提供廣闊的思維空間，讓他們逐漸養成主動探究的習慣，從而實現新課程標準中提出的通過主動探究來獲取知識，使學生的學習活動不再單純地依賴于教師的講授，教師努力成為學習的參與者、協作者、促進者和組織者。我認為在概念課的引入上，要樹立起讓學生自己去發現的觀念，如果能讓學生產生認知沖突，對學習新概念的必要性產生需求，并主動發現新概念是最佳途徑。

13、這樣學生們在運用概念時不但“知其然”也“知其所以然”，同時還能培養他們的探究精神，激發學生的潛能。所以對于情境的設計，要結合概念的特點恰當地選取，特點不同，引入形式也就會存在差異：我們提倡借助生動、豐富的實際問題引入概念，能夠與學生的生活密切結合，這樣往往比較具體、形象，學生容易理解，也比較容易從中提煉出概念的本質屬性，比如數與代數中的同類項、分式等，空間與圖形中的角、平行線、三角形等；但并非所有的數學概念都適宜用這種方法，比如前面提到的平方根，我認為從數學內部的運算關系角度入手，更容易理解（后面會具體分析）。下面介紹概念引入的三種想法：1. 聯系概念的現實原理引入新概念。在教學中引導學生觀察

14、有關實物、模型、圖示等，讓學生在感性認識的基礎上，建立概念，理解概念的實際內容，搞清楚這些概念是從什么問題上提出來的。例如：在平面幾何平行線的教學中，可以讓學生觀察單線練習本中的一組平行線，分析這組線的位置特點，再利用相交線作對比，然后概括出平行線的定義；在圓的概念的教學時，讓學生動手做實驗，取一條定長的細繩，把它的一端固定，另一端栓一支鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形是什么？學生通過動手實踐，觀察所畫出來的圖形，歸納總結出圓的定義。2. 從具體到抽象引入新概念。 數學概念有具體性和抽象性雙重特性。 在教學中就可以從它具體性的一面入手，使學生形成抽象的數學概念。例如：在講線線垂直的概念時，

15、先讓學生觀察教室或生活中的各種實例，再模擬出線線垂直的模型，抽象出其本質特征，概括出線線垂直的定義，并畫出直觀圖，即沿著實例、模型、圖形直至想像的順序抽象成正確的概念，再比如對于一元一次方程的概念，可以借助一些簡單的實例，讓學生列方程，然后觀察這些具體方程的共同點，從具體到抽象歸納概括出一元一次方程的定義。案例 4 ：對于“用字母表示數”的教學，教師展示熟悉的生活實例，確立了一個學生熟悉的認知對象，由學生熟悉的鋪地用的各種形狀、各種顏色的地磚鋪地時的圖案入手。提出問題 1 ：觀察圖案 1 至 4 ，用正六邊形黑白兩色地磚鋪地時黒磚塊數與圖案序號之間的數量關系是什么？學生答案是：圖案中的黒磚塊數

16、與圖案的序號相等。提出問題 2 ：如果用正六邊形黑白兩色地磚鋪地時的鋪法不變，請問第五個、第六個圖案中黑磚塊數是多少？與圖案序號之間的關系是什么？理由是什么？學生答案是：第五個圖案中的黑磚塊數是 5 ，第六個圖案中的黑磚塊數是 6 ，理由是鋪法不變，就是“圖案中的黒磚塊數與圖案的序號相等”的規律不變。提出問題 3 ：請同學們思考，如何使圖案序號與黒磚塊數之間的關系一目了然呢？（學生思考，最后達成共識：列一個圖案序號為第一行，黒磚塊數為第二行的表格，學生順便體會到了在處理大量數字或者相關問題時的處理方法）圖案序號 123456黒磚塊數 123456提出問題 4 ：如果用正六邊形黑白兩色地磚鋪地時

17、的鋪法不變， 請問第任意個圖案中黒磚塊數是多少？與圖案序號之間的關系是什么？理由是什么？學生 1 的解答：第任意個圖案中黒磚塊數是任意個，與圖案序號之間是相等關系，理由是鋪法不變，就是“圖案中的黒磚塊數與圖案的序號相等”的規律不變，即：圖案序號 123456第任意個圖案黒磚塊數 123456任意個學生 2 的解釋：學生 1 列的表格中的“第任意個圖案”、“任意個”我覺得可以不用文字，但是也不能用具體的數來說明“第任意個圖案”中黒磚塊數的任意性，怎么表示呢？學生 3 解釋：用字母表示“任意個”，因為“任意個”可以是 23 、123 、100 等等，但是一個具體的數不能表示任意性、一般性，我認為用

18、一個字母就可以表示任意性，字母可以表示任意一個整數。學生 3把表格改寫為：圖案序號1 2 3 4 5 6 第 n個圖案黒磚塊數1 2 3 4 5 6 n至此，學生初步體會到表示任意性、一般性的問題時需要一個新的表示數的方法，體會到這類問題不用字母表示不行了，為學生創設了一個“字母表示數”的必要性的學習情節，使學生認識到“字母表示數”的重要性，從而激發了學生進一步探索有關內容的欲望，學生自己認為重要的、有用的東西，他們才能百分之百的經歷、主動、積極地投入到所要做的事情中來，這樣的學習才是最有效果的。3. 用類比的方法引入概念。類比不僅是一種重要形式，而且是引入新概念的重要方法。例如：可以通過同類

19、項的定義類比地歸納出同類二次根式的定義，通過類比分數得到分式的概念，類比一元一次方程得到一元一次不等式、二元一次方程、一元二次方程、一次函數等概念。作這樣的類比更有利于學生理解和區別概念，在對比之下，既掌握了概念，又可以減少概念的混淆。概念的引入方法很多，設計時不僅要考慮概念自身的特點，還要結合學生的認識水平及生活經驗，本著有利于突顯概念本質的原則。就拿上面提到的平方根概念的教學引入為例，我認為首先要思考為什么要學習這個概念？不學行不行？其次還要弄清這個概念對學生來講產生理解它的困難的原因：以前學生大多接觸的是答案唯一的情況，而正數的平方根都是兩個，互為相反數，答案不唯一了，這與學生已有的思維

20、習慣產生了沖突，所以學生非常不習慣，而前面所提到的這位教師所借助的利用已知正方形面積求邊長的問題設計，并沒有突破這個難點，相反，容易造成平方根與算術平方根的混亂，實際上，在他所設置的背景下，應該先介紹算術平方根更好，因為實際生活中， 涉及到開方問題的結果，絕大部分都是非負數，并不能形象地揭示平方根的兩個結果，所以，人教版教材就先安排的是算術平方根，然后，在不限定字母的取值范圍時，再引入平方根的概念，有利于突出兩個概念的區別，在對比中加深對平方根概念的理解。其實我認為，平方根的概念與其以生活實際為背景引入，不如從平方與開平方互為逆運算的角度引入更有利于突出重點、突破難點。因為學生已學過的加減互為

21、逆運算、乘除互為逆運算，在此基礎上研究乘方的逆運算- 開方。案例 5 ：設計如下：教師首先利用競賽的形式，給出兩組練習，要求學生口答后，觀察兩組題目的區別與聯系：這種引入概念的方法，是建立在新舊知識的聯系上，充分考慮學生已有的知識經驗，使學生在具體數值的計算中，發現規律：第一組題已知底數、指數，求冪，第二組已知冪、指數，求底數，在此基礎上學生能夠從特殊推廣到一般。當學生由具體到抽象得到時，教師可以提出：此時將已知數a仍叫做冪、x叫做底數合適嗎？學生回憶加減法互逆后以及乘除法互逆后各數的名稱都發生了變化，所以中各部分的名稱也應相應改變。教師可以不急于給出平方根的概念，而讓學生結合式子的特點給x命

22、名，由于 a是已知數，此式從形式上看是一元二次方程，而求 x 就相當于求方程中的未知數，結合已有知識，學生能夠想到諸如“二次方程的根 ( 解 ) ”“平方的根”等，在此基礎上，教師再規范成“平方根”，這樣會更有利于學生對平方根的理解，因為在參與命名時，學生就要認真分析式子以及結果的特點，對理解概念有幫助，在此基礎上，創設生活中的實例，使學生感受到生活中更多的是應用平方根中那個非負的，順勢提出非負的平方根如何命名？學生結合小學學的都是算術，很容易說出算術平方根。這也保證與數學結果唯一的特性一致了。此外，在分析時，也可以引導學生總結出，式子中的三個量，知其二，可以求第三個，為后續高中學習奠定基礎。

23、再比如，前面舉過的“矩形”概念的教學，另一位老師是這樣設計的：案例 6：首先借助幾何畫板：師：如圖，四邊形ABCD 是平行四邊形，那么它的邊、角、對角線有什么性質？他有什么樣的對稱性？生（齊答）：對邊相等、對角相等、對角線互相平分；是中心對稱圖形。師：它具有穩定性嗎？那么，若把一個內角A 變成一個直角，（如圖，拖動點A ，使角A 變成 90 度）。這時，平行四邊形ABCD是我們熟悉的什么圖形？生：正方形！我知道了，當平行四邊形有一個角是直角時，這個四邊形就是長方形或正方形。從而引入矩形的概念。在這個教學案例中，教師充分考慮了所教內容的系統性及學生的已有知識及認知水平，概念的形成給人水到渠成的感

24、覺。此外，函數概念的教學一直是初中教學中的難點，因其抽象性而令學生“望而卻步”。函數的特點是什么？學生感到困難的主要原因是什么？我們在進行概念教學時， 都要考慮到。函數從學科角度看，研究對象由定到動，思維方式由靜止到運動，而學生的困難主要源于函數概念的高度抽象性以及函數表達形式的多樣性和思維方式的變化。教學時，就要考慮到這些問題，生活中存在大量的函數實例，在選擇時要注意所選實例不僅應該是學生熟悉的、感興趣的，還要考慮到實例中要包含函數的三種表示形式-解析法、列表法、圖像法，使學生從不同的角度，多方位地理解函數概念 - 從變化、對應到形成概念，繼而概念辨析，分層次使學生逐步加深對函數本質的認識。

25、對于三角形中位線概念的教學設計，有老師可能利用生活中的實例引入，也有的老師利用它與三角形中線的區別與聯系引入，其實還可以借助學生動手實驗引入。案例 7 ：事先讓每位學生準備一張三角形紙片和剪刀，課上讓學生思考，只剪一刀，將剪成的兩張紙片拼成一個平行四邊形。 學生很樂于參與這種動手操作的活動，根據生活經驗也不難完成活動（如圖），但當教師提出“說說你的裁剪方法”時，學生只能用生活語言，如“沿三角形的中間剪的”，說不出準確的數學語言。此時教師引導學生觀察裁剪線的端點具有什么樣的特征？有實物模型加上學生動手剪拼，可以得到D 、 E 均為各邊的中點。那么，它能叫中線嗎？如果不能，我們可以給它起個什么名字

26、？讓學生嘗試命名，根據它位置的特殊性，學生在教師的啟發下，可以得到中位線的概念。這樣的設計激發了學生的探究欲望，而且為后續探究中位線的性質埋下了伏筆，可謂一舉多得。由上面的分析可以看出，概念的引入方式沒有統一的模式，總的原則是通過教師創設典型、豐富的具體實例（可以讓學生自己舉例），引導學生展開分析、比較、綜合等活動，在此基礎上，概括出共同本質特征，得到概念的本質屬性。為了激發學生的學習興趣，促進學生的思考，引入的形式應該多種多樣，可以是問題導入、游戲導入、史話導入等等。（二）概念的剖析及辨析概念生成之后，應用概念解決問題之前，往往要進行概念剖析，即用實例（包括正例與反例）引導學生分析關鍵詞的含

27、義，包括對概念特性的考察，可以達到明確概念、再次認識概念本質的目的，還可以從中體會概念中所呈現的轉化問題的方法，這是最基本、最重要的方法。案例 8 ：函數定義： 在某一變化過程中有兩個變量 x ， y ，對于 x 的每一個值， y 都有唯一確定的值與它對應， y 叫作 x 的函數，其中 x 叫做自變量， y 叫做因變量。教師引導學生分析概念中的關鍵詞：兩個變量；對應；x 的每一個值；y唯一確定 .關鍵詞中的“每一個”、 “唯一確定”是指對于 x取值范圍內的每一個值，y 都有唯一確定的值與它對應，不能有兩個或者兩個以上與其對應。在此基礎上練習，進一步加強對概念的理解。如，給出一些具體問題，讓學生

28、嘗試利用概念進行辨析有一位學生的考試情況是這樣的：讓學生分析每次考試的分數與序號之間是否具有函數關系？再比如：在中， y是不是 x的函數？那么反過來x是不是 y的函數呢？還可以給出右圖，讓學生對圖像中 y 與 x 的關系進行判斷，是否具有函數關系然后利用兩個圖像進行對比，從中體會“唯一”的含義。還可以讓學生自己舉出一些例子， 大家一起判斷所舉例子是否存在函數關系。在概念剖析練習中，進一步體會概念的內涵與外延， 認識函數的本質。此外，在剖析概念時通常要對概念的多種表示語言進行轉化，數學語言主要是文字敘述、符號表示、圖形表示，要會三者的翻譯，同時更重要的是強調符號感。三種語言的轉換在空間與圖形的教

29、學中體現得較為充分。例如：在講三角形的中位線的概念時，得到定義“聯結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線”后，往往會要求學生根據定義畫出與之相對應的圖形， 然后，要求學生嘗試用符號語言來表示定義。 即：在 ABC 中， D 為 AB邊中點， E 為 AC邊中點， DE 為 ABC 的中位線。（三角形中位線定義）反之，已知： DE 為 ABC 的中位線， D 為 AB 邊中點， E 為 AC 邊中點。（三角形中位線定義）兩個角度的描述，體現定義的雙重性（性質、判定），然后讓學生畫出三角形中所有的中位線，進一步體會它的位置特征。往往還會要求學生將中位線與三角形的中線進行對比，找相同點與差異，在對

30、比中進一步熟悉三角形的中位線。再比如案例 9 ：全等三角形的概念：引入全等形的概念“能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形 ”后 , 給出一組判斷題：判斷下列三組圖形是否是全等形：第一組：兩個三角形；第二組：兩面中國國旗第三組：兩個六邊形其中第三組圖片，教師根據學生回答，利用幾何畫板動態演示其中一個圖形通過平移、旋轉后是否與另一個圖形重合的過程，從而驗證學生的判斷，鞏固全等形的概念 . 提問 ：你認為兩個圖形是全等形應具備哪幾個條件？教師引導學生歸納總結出：（1 ）形狀相同；（2 ）大小相等。你還能再舉出生活中具有全等形的例子嗎？學生在思考問題的過程中，進一步認識全等形的概念。其中對于概念中所涉及到

31、的圖形，要注意采用圖形變式，加強對概念的理解。比如，圓中直徑的概念，有的教師教學中一般畫出的圖形如圖 1 ，忽視了其他的情況，造成有些不愛動腦筋的學生的定勢思維，認為只有滿足圖 1 的情形， AB 才叫直徑，對于變式圖形中的直徑識別不出來。所以在概念教學中圖形的變式訓練，有利于突出概念的本質，只要抓住概念的本質，就可以保證無論圖形如何改變，都能從中找到研究的對象。（三）相關概念的區別與聯系數學概念不是孤立存在的，概念間都有著千絲萬縷的聯系，概念教學還應該承擔著建立與相關概念的聯系的任務，教學時，要引導學生試著對概念進行適度的聯系與發散，努力找出概念間一些體現共性的東西，以使學生形成功能良好的認

32、知結構。案例 10 ：對于三角函數的教學，我們先對函數概念的本質特征進行逐層剖析，再通過類比，來學習銳角三角函數： 如圖，在銳角 （不妨令 BAC= ）的一邊上任取一點B ，作 BC AC ，垂足為點 C ，當確定時，三個相應的比值、隨之確定，與點B 的位置無關；而當銳角變化時，三個相應的比值隨之變化說明變量的存在性“存在某個變化過程”；“在某個變化過程中有兩個變量”（不妨令，以此為例）說明三角函數同樣是研究兩個變量之間的依存關系；“對于在某一范圍內的每一個確定的值”說明變量的取值是有范圍限制的，即在銳角范疇內研究它們；“有唯一確定的值和它對應”說明有唯一確定的對應規律，由以上類比剖析可知，銳

33、角三角函數概念的本質同樣是一種對應關系，這種對應關系不能像一次函數那樣用解析式表示，只能用特定的符號來表示，這也是它與以前所學代數函數的區別所在。另外，教學中還要使學生明白：銳角三角函數概念的建立，是對函數概念的一種升華，即從對應的角度來認識函數。對應的角度的認識：可以 是一對一，也可以是多對一（如二次函數），但不能是一對多的，掌握了這一點，我們可以據此進行一些訓練，概念通過這樣的聯系與發散，同學們一定會對三角函數有進一步的認識。再比如，對于二次函數的教學，可以類比一次函數進行定義，此外還要引導學生分析它與二次方程、二次不等式以及二次代數式四者之間的關系。使學生對它們有全面的認識，知識點串成線

34、，最后結成網，必然有利于知識的理解與應用。再有，對于梯形的教學，教師首先要認識到，它是一個組合圖形，是由特殊的平行四邊形和三角形組合而成的，所以它基本上沒什么性質，而是通過圖形分解，轉化為平行四邊形和三角形來解決問題的。其次教師要將這一點傳遞給學生，學生如果明確了，那么也就能自覺地添加輔助線解決問題了。如果進一步能夠弄清四邊形與三角形如何拼成梯形，那么，對于如何添加輔助線將梯形轉化為特殊的平行四邊形以及三角形就不是特別困難了。（四）概念的應用舉例與訓練鞏固概念的形成是一個由個別到一般的過程，而概念的運用是一個由一般到個別的過程，它們是學生掌握概念的兩個階段。通過運用概念解決實際問題，可以加深、

35、豐富和鞏固學生對數學概念的掌握，并且在概念的運用過程中培養學生的實踐能力。因此在數學教學中不僅要注意概念的形成過程，也要注意概念的應用。根據不同概念的特點，采用恰當的教學手段，激勵學生實現對概念的理解，才能使學生學得好、學得牢。這一階段，主要是選用有代表性的簡單例子，使學生形成用概念做判斷的具體步驟。例如：在全等三角形的教學中，對于定義不難理解，但是在應用定義的性質解決問題時，學生往往由于找不準對應邊與對應角而出現問題，為了突破這個難點，可以安排如下例題：（ 1）指出對應頂點、對應邊和對應角；（ 2）在此圖形中，你還能得到哪些結論？闡述你的理由。預案 ： AB FD， AC FE， BD=CE

36、等等。（ 3）教師拖動三角形的一個頂點，學生觀察圖形的變化情況，引導學生得出結論：兩個三角形形狀雖然改變了，但它們全等的關系仍舊保持不變。得出結論后，教師繼續引導學生觀察對應邊、對應角的變化，并得出結論：雖然長度和角度發生了變化，但對應邊相等、對應角相等這一結論卻始終保持不變。這一環節通過改變三角形的形狀，讓學生感受到全等三角形對應邊、對應角在圖形變換中相等這一關系始終保持不變的性質，從而樹立“對應”思想。（ 4）教師將 FDE 進行 平移，改變兩個全等三角形的位置關系，讓學生觀察對應邊、對應角的變化，并引導學生思考在圖形的運動變換過程中還有哪些關系保持著不變的性質。通過改變兩個全等三角形的位

37、置關系，讓學生體會全等變換，培養學生的識圖能力。接下來可以讓學生自己動手操作：兩人一機，利用幾何畫板操作平臺探究并完成實驗報告（見下表）.要求： 1 對實驗報告中的由全等三角形圖形變換得到的組合圖形進行探究，指出對應邊和對應角；2 通過幾何畫板課件動態操作演示，研究每組圖形所具有的特殊的數量關系或位置關系，將結論填寫在實驗報告上， 然后全班交流、師生共同評價，并對學生給予及時的鼓勵。通過學生的小組合作探究，培養學生的交流能力和語言表達能力，幾何畫板的動態演示可幫助學生識別對應邊、對應角，從而突破教學難點。例 2 ：已知 : 如圖，長方形 ABCD沿 AM 折疊，使點 D 落在 BC 上的 N 點處如果 AD=10， DAM=25°， 則 AN=_ , NAB=_通過此題的解決，教師引導學生反思得出：全等三角形的性質提供了相等的線段和相等的角，為今后的證明開拓了解題的思路。通過例題配備，對所學知識進行及時反饋，使學生能夠利用全等的概念和性質解決問題。再比如，對于二次函數概念教學中的例題配備，要注意梯度與層次。練習 1：下面各函數中，哪些是