1、1.31.3 1 1、表面積：幾何體、表面積：幾何體表面表面的面積的面積 2 2、體積：幾何體所占空間的大小。、體積：幾何體所占空間的大小。知識回顧：知識回顧：1、直棱柱：、直棱柱：2、正棱柱：、正棱柱：3、正棱錐：、正棱錐：4、正棱臺：、正棱臺：側棱和底面側棱和底面垂直垂直的棱柱叫直棱柱的棱柱叫直棱柱底面是底面是正多邊形正多邊形的的直直棱柱棱柱叫正棱柱叫正棱柱 底面是底面是正多邊形正多邊形，頂點在底面的頂點在底面的射影射影是是底面中心底面中心的棱錐的棱錐正棱錐正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫正棱臺間的部分叫正棱臺作直三棱柱、正三棱錐、正

2、三棱臺各一個，找出作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺各一個，找出斜高斜高：CBAA1B1C1COBAPDC1D1A1ODBACB1斜高：斜高： 棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，h它們的側面展開圖還是平面圖形，它們的側面展開圖還是平面圖形，計算計算表面積表面積就是就是計算它的各個側面面積和底面面積之和。計算它的各個側面面積和底面面積之和。棱柱的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？棱柱的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？h正棱柱的側面展開圖正棱柱的側面展開圖底側表面積SSS2把直三棱柱側面沿一條側棱展開，得到什么圖形？把直三棱柱側面

3、沿一條側棱展開，得到什么圖形？側面積怎么求？側面積怎么求？chhcbaS )（直棱拄側直棱拄側habcabchh棱錐的側面展開圖是什么？如何計算它的棱錐的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積表面積？/h/h正三棱錐的側面展開圖正三棱錐的側面展開圖把正三棱錐側面沿一條側棱展開，得到什么圖形？側面積怎么求？hh21chS正棱錐側正棱錐側側面展開正五棱錐的側面展開圖正五棱錐的側面展開圖底側表面積SSS把正三棱臺側面沿一條側棱展開，得到什么圖形？側面積怎么求？（類比梯形的面積類比梯形的面積）hh) 21hccS （正棱臺側正棱臺側側面展開側面展開hh正四棱臺的側面展開圖正四棱臺的側面展開圖棱臺的側面展

4、開圖是什么？如何計算它的表面積？棱臺的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？下底上底側表面積SSSS例1：一個正三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側棱長為4，則其側面積為 _;60例2：正四棱錐底面邊長為6 ,高是4，中截面把棱錐截成一個小棱錐和一個棱臺，求棱臺的側面積。例3：一個正三棱臺的上、下底面邊長分別是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱臺的側面積. 分析：關鍵是求出斜高，注意圖中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E思考：思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側面分別沿著一條母線展開，把圓柱、圓錐、圓臺的側面分別沿著一條母線展開，分別得到什么圖形分別得到什么圖形? 展開的圖形與原圖有什么關

5、系？展開的圖形與原圖有什么關系？rlr2 長長寬寬llSSr2 長長方方形形圓圓柱柱側側 圓柱的表面積呢？圓柱的表面積呢？2222()rrlr rlOOrl2 r 底側表面積SSS2思考：思考：把圓柱、把圓柱、圓錐圓錐、圓臺的側面分別沿著一條母線展、圓臺的側面分別沿著一條母線展開，分別得到什么圖形開，分別得到什么圖形? 展開的圖形與原圖有什么關系？展開的圖形與原圖有什么關系？rl180nlL扇lR 扇扇213602n lrLlSSl圓側扇扇錐12L R扇12lc2crrl圓錐的側面展開圖是扇形圓錐的側面展開圖是扇形r2lOr=SS 底底表表S側圓錐的圓錐的表面積表面積為為1r2rl12)SSr

6、r l圓臺側扇環 （圓臺的側面展開圖是圓臺的側面展開圖是扇環扇環圓臺的圓臺的表面積表面積呢？呢？=SS 底底表表S側221212()()rrrr l221212()rrr lr l lOrO r圓柱、圓錐、圓臺圓柱、圓錐、圓臺三者的三者的表面積公式表面積公式之間有什么之間有什么關系關系？lOOrrr上底擴大上底擴大lOrr0上底縮小上底縮小2222()Srrlr rl 2()Srrlr rl22()Srrr lrl 例例 4 一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，則一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的表面積與底面積的比是這個圓柱的表面積與底面積的比是_變式、 圓臺的上、下底面半徑分別為2

7、和4，高為 ，求其側面展開圖扇環所對的圓心角32例例6、圓臺的上、下底面半徑分別是圓臺的上、下底面半徑分別是10 cm和和20 cm，它的，它的側面展開圖的扇環的圓心角是側面展開圖的扇環的圓心角是180，那么圓臺的表面積，那么圓臺的表面積是多少？是多少？小結：1、弄清楚柱、錐、臺的側面展開圖的形狀是關鍵； 2、對應的面積公式。)cc21hS（正正棱棱臺臺C=021chS三三棱棱錐錐C=CchchS 直直棱棱柱柱S圓柱側= 2rlS圓錐側= rlS圓臺側=（r1+r2)lr1=0r1=r2r2lOrO r2 rxrxrxl rxr xr l S側側()()r lxr xrlrxr x ()r l

8、rl ()rr l 體積：體積：幾何體占有空間部分的大小幾何體占有空間部分的大小。公理公理1、長方體長方體的體積等于它的長、寬、高的積的體積等于它的長、寬、高的積.V長方體長方體= abc推論推論1 、長方體長方體的體積等于它的底面積的體積等于它的底面積s和高和高h的積的積.V長方體長方體= sh推論推論2 、正方體正方體的體積等于它的棱長的體積等于它的棱長a 的立方的立方.V正方體正方體= a3定理定理1： 柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積 s 和和 高高 h 的積。的積。V柱體柱體= sh一、一、柱體柱體的體積的體積推論推論 ： 底面半徑為底面半

9、徑為r，高為高為h圓柱的體積是圓柱的體積是V圓柱圓柱= r2h二、二、錐體錐體體積體積例例1 1： 如圖：三棱柱如圖：三棱柱ADAD1 1C C1 1-BDC,-BDC,底面積為底面積為S,S,高為高為h.h. ABD C D1C1CDA BCD1ADCC1D1A答答:可分成可分成棱錐棱錐A-D1DC, 棱錐棱錐A-D1C1C, 棱錐棱錐A-BCD. 問：（問：（1 1）從）從A A點出發棱柱能分割成幾個三棱錐？點出發棱柱能分割成幾個三棱錐？ 錐體（棱錐、圓錐）的體積錐體（棱錐、圓錐）的體積 （底面積底面積S，高高h） 注意：注意：三棱錐的三棱錐的頂點頂點和和底面底面可以根據需要可以根據需要變

10、換變換，四面體的，四面體的每一個面都可以作為底面，可以用來求點到面的距離。每一個面都可以作為底面，可以用來求點到面的距離。13Vsh三棱錐定理定理如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面 積是，高是，那么它的體積是：積是，高是，那么它的體積是：推論：推論：如果圓錐的底面半徑是如果圓錐的底面半徑是，高是，高是， 那么它的體積是：那么它的體積是：hSS錐體錐體 1313圓錐圓錐 Shss/ss/hx四四.臺體的體積臺體的體積V V臺體臺體= =1 1h(s+ss +s)h(s+ss +s)3 3上下底面積分別是上下底面積分別是s/,s,高是高是h，則，則推論：推論：如果圓臺

11、的上如果圓臺的上, ,下底面半徑是下底面半徑是r r1 1.r.r2,2,高是高是，那么它的體積是：，那么它的體積是：31圓臺圓臺 h)(222121rrrr五五.柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關系？柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關系？hSSSSV)(31S為底面面積，為底面面積，h為柱體高為柱體高ShV 0SS分別為上、下分別為上、下底面底面面積，面積，h 為臺體高為臺體高ShV31SS S為底面面積，為底面面積，h為錐體高為錐體高上底擴大上底擴大上底縮小上底縮小例例2 2 從一個正方體中，如圖那樣截去從一個正方體中，如圖那樣截去4 4個三棱錐后，得個三棱錐后，得到一個正三棱錐到

12、一個正三棱錐A ABCDBCD，求它的體積是正方體體積的，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？幾分之幾？例例3 如圖是一個底面直徑為如圖是一個底面直徑為20 cm20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為璃杯，水中放著一個底面直徑為6 cm6 cm，高為，高為20 cm20 cm的圓錐形鉛錘，的圓錐形鉛錘，當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降多少？當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降多少？表面積與體積的綜合應用表面積與體積的綜合應用把幾何體的表面積與體積的計算與三視圖結合考查是高考的把幾何體的表面積與體積的計算與三視圖結合考查是高考的一個熱點，解決此類問題

13、的關鍵是正確地觀察三視圖，把它還原一個熱點，解決此類問題的關鍵是正確地觀察三視圖，把它還原為直觀圖為直觀圖例例4 (2010年高考福建卷年高考福建卷)若一個底面是正三角形的三棱柱的正視若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其表面積等于圖如圖所示，則其表面積等于_練習練習1：(2010年高考天津卷年高考天津卷)一個幾何體的三視圖如圖所示，一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為則這個幾何體的體積為_3練習練習2(2011年高考陜西卷年高考陜西卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則它某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是的體積是()A球的表面積和體積球的表面積和體積球的表面積球的表面積

14、334RV球的體積球的體積: :2 24 4R RS S 2.半圓面以它的直徑所在的直線為軸旋轉所成的幾何體叫做球體。(球是旋轉體 )3.注意：球面和球體的區別：球面僅僅是指球的表面，而球體不僅包括球的表面，而且還包括球面所圍成的幾何空間。球心球心球的半徑球的半徑球的直徑球的直徑球的旋轉定義球的旋轉定義：1.半圓以它的直徑所在的直線為軸旋轉所成的曲面叫做球面。222dRrrdRO球的截面的性質：球的截面的性質：球心和截面圓心的連線垂直于截面球心和截面圓心的連線垂直于截面球心到截面的距離為球心到截面的距離為d d，球的半徑為，球的半徑為R R，則，則截面問題用一個平面用一個平面去截一個球去截一個

15、球O，截面是，截面是圓面圓面基本計算問題O O1.如圖如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑徑,求證求證:(1)球的表面積等于圓柱的側面積球的表面積等于圓柱的側面積.(2)球的表面積等于圓柱全面積的三分之二球的表面積等于圓柱全面積的三分之二.2. (2. (1)1)把球的半徑擴大為原來的把球的半徑擴大為原來的3 3倍，則體積擴大為原來的倍，則體積擴大為原來的_倍倍. . (2) (2)把球隊表面積擴大到原來的把球隊表面積擴大到原來的2 2倍，那么體積擴大為原來的倍，那么體積擴大為原來的_倍倍. (. (3)3)三個球的表面積之比為三個球的表面積之比為1:2:31:

16、2:3，則它們的體積之比為，則它們的體積之比為_._. (4) (4)三個球的體積之比為三個球的體積之比為1:8:271:8:27，則它們的表面積之比為，則它們的表面積之比為_._.“接”與“切”：兩個幾何體兩個幾何體:一個幾何體的各個面與另一一個幾何體的各個面與另一個幾何體的各面相切個幾何體的各面相切兩個幾何體兩個幾何體:一個幾何體的所有頂點都在另一個一個幾何體的所有頂點都在另一個幾何體的表面上幾何體的表面上解決解決“ “接切接切” ”問題的關鍵是畫出正確的問題的關鍵是畫出正確的，把空間，把空間“ “接切接切” ”轉化為平面轉化為平面“ “接切接切” ”問題問題中截面中截面球內切正方體ABC

17、DD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O中截面中截面.球內切于正方體的棱球內切于正方體的棱ABCDD1C1A1OB1A1AC1CO對角面對角面球外接于正方體球外接于正方體例例1.1.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為a,a,它的各它的各個頂點都在球個頂點都在球O O的球面上，問球的球面上，問球O O的表面積的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O 分析：分析：正方體內接于球，則由球和正方體都是

18、中心對稱圖形可正方體內接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。略解：略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中變題變題1.1.如果球如果球O O和這個正方體的六個面都相切，則有和這個正方體的六個面都相切，則有S=S=。變題變題2.2.如果球如果球O O和這個正方體的各條棱都相切，則有和這個正方體的各條棱都相切，則有S=S=。2a2 2 a 關鍵關鍵：找正方體的找正方體的棱長棱長a a與與球半徑球半徑R R之間的關系之間的關系OABCO 例例

19、2、已知過球面上三點已知過球面上三點A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距離等于球半徑的一半，且離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體，求球的體積，表面積積，表面積解：解：如圖，設球如圖，設球O半徑為半徑為R，截面截面 O的半徑為的半徑為r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例例3、有三個球有三個球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一球切于一球切于正方體的各側棱正方體的各側棱,一球過正方體的各頂點一球過正方體的各頂點,求這三個求這三個球的體積之比球的體積之比.作軸截面作軸截面變式變式 已知球的半徑為已知球的半徑為R R，在球內

20、作一個內接圓柱，這個圓柱底面，在球內作一個內接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何值時，它的側面積最大？側面積的最大值是多少？半徑與高為何值時，它的側面積最大？側面積的最大值是多少？ 解解 如圖為軸截面如圖為軸截面. . 設圓柱的高為設圓柱的高為h h，底面半徑為，底面半徑為r r， 側面積為側面積為S S，則，則,)2(222Rrh.2414,2,22,21.41)21(4)(442.2242242222222222RRRhRrRrRRrrRrrRrrhSrRh最大值是最大圓柱側面積時即當且僅當即補形：補形：例例4.4.球面上有四個點球面上有四個點P P A A B B C,C,如果如果PAPA

21、PBPB PCPC兩兩兩兩互相垂直互相垂直, ,且且PA=PB=PC=a,PA=PB=PC=a,求這個球的表面積求這個球的表面積. .解解: :要求球的表面積要求球的表面積, ,只要求出球的半徑只要求出球的半徑R.R.分析題設條件可知分析題設條件可知把把P P看作是球內接正方體的一個頂點看作是球內接正方體的一個頂點, ,把三棱錐把三棱錐P-ABCP-ABC補成一補成一個球內接正方體個球內接正方體, ,其棱長為其棱長為a.a.22323.4 3.2RaRaSRa球例例5、229400cm一個球內有相距的兩個平行截面，它們的面積分別為49 cm 和cm，求這個球的表面積。注意：注意：兩個平行截面在

22、兩個平行截面在同側同側還是還是異側異側，易漏一側。，易漏一側。練習題：練習題：練習冊練習冊P17：變式訓練：變式訓練例例6：練習冊練習冊P18：變式訓練：變式訓練 有一個倒圓錐形的容器，它的軸截面是個正三角形，有一個倒圓錐形的容器，它的軸截面是個正三角形，在這個容器內注入水，并且放入一個半徑為在這個容器內注入水，并且放入一個半徑為r的鋼球，這的鋼球，這時球面恰好與水面相切，那么將球從圓錐器中取出后，水時球面恰好與水面相切，那么將球從圓錐器中取出后，水面高是多少？面高是多少？等體積法等體積法例例7、（1）求棱長為求棱長為a的正四面體的外接球的表面積和體積；的正四面體的外接球的表面積和體積；（2）

23、求棱長為求棱長為a的正四面體的內切球的表面積和體積。的正四面體的內切球的表面積和體積。（1）求底面邊長求底面邊長a，棱長為，棱長為2a為的正三棱錐的外接球的表為的正三棱錐的外接球的表面積和體積；面積和體積；（2）求底面邊長求底面邊長a，棱長為，棱長為2a為的正三棱錐的外接球的表為的正三棱錐的外接球的表面積和體積。面積和體積。變式：變式：正四面體的外接球與內切球的球心重合都在高上且正四面體的外接球與內切球的球心重合都在高上且其半徑之比為其半徑之比為3:1結論結論1：正正三棱錐三棱錐的外接球與內切球的球心不一定重合但都的外接球與內切球的球心不一定重合但都在高上且其半徑之比不定。在高上且其半徑之比不

24、定。結論結論2：求棱長為求棱長為 的正四面體的外接球和內切球的半徑。的正四面體的外接球和內切球的半徑。練習：練習：6 6例例8、“5+3”P20第第11題題 四面體四面體ABCD中，中，AB=CD=4，BC=AC=AD=DB=5，求四面體外接球的表面積。求四面體外接球的表面積。對稱性對稱性BCDA445555EFG題型一題型一 幾何體的展開與折疊幾何體的展開與折疊 例例1 1、有一根長為有一根長為3 cm3 cm，底面半徑為，底面半徑為1 cm1 cm的圓柱形鐵的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2 2圈，并使鐵絲的兩個端點圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩

25、端落在圓柱的同一母線的兩端, ,則鐵絲的最短長度為多少？則鐵絲的最短長度為多少？ 把圓柱沿這條母線展開，將問題轉化為平面上兩點間把圓柱沿這條母線展開，將問題轉化為平面上兩點間的最短距離的最短距離. .題型分類題型分類 深度剖析深度剖析解解 把圓柱側面及纏繞其上把圓柱側面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到的鐵絲展開，在平面上得到矩形矩形ABCDABCD（如圖所示），（如圖所示），由題意知由題意知BCBC=3 cm=3 cm，ABAB=4 cm=4 cm，點，點A A與點與點C C分別是鐵絲的起、止位分別是鐵絲的起、止位置，故線段置，故線段ACAC的長度即為鐵絲的最短長度的長度即為鐵絲的最短長度.

26、 .故鐵絲的最短長度為故鐵絲的最短長度為5 cm.5 cm.cm,522BCABAC題型二題型二 旋轉體的表面積及其體積旋轉體的表面積及其體積 例例2 2、如圖所示如圖所示, ,半徑為半徑為R R的半圓內的陰影部分以直徑的半圓內的陰影部分以直徑ABAB所在直所在直線為軸線為軸, ,旋轉一周得到一幾何體旋轉一周得到一幾何體, ,求該幾何體的表面積求該幾何體的表面積( (其中其中BACBAC=30=30) )及其體積及其體積. . 先分析陰影部分旋轉后形成幾何體的形狀先分析陰影部分旋轉后形成幾何體的形狀, ,再再求表面積求表面積. .解解 如圖所示如圖所示, ,過過C C作作COCO1 1ABAB于于O O1 1, ,在半圓中可