1、復變函數復變函數1第一節 解析函數的洛朗展式1. 雙邊冪級數雙邊冪級數2. 解析函數的洛朗展式解析函數的洛朗展式3. 洛朗級數與泰勒級數的關系洛朗級數與泰勒級數的關系4. 解析函數在孤立奇點鄰域內的洛朗展式解析函數在孤立奇點鄰域內的洛朗展式5. 典型例題典型例題第五章第五章 解析函數的洛朗展式與孤立奇點解析函數的洛朗展式與孤立奇點復變函數復變函數21. 雙邊冪級數雙邊冪級數), 2, 1, 0(ncn定義定義 稱級數稱級數（1）為雙邊冪級數（為雙邊冪級數（1）的系數。雙邊冪級數）的系數。雙邊冪級數為為雙邊冪級數雙邊冪級數，其中復常數，其中復常數nnnnnnnzzczzczzczzczzcczz

2、c)()( )()()(02020100100負冪項部分負冪項部分非負冪項部分非負冪項部分主要部分主要部分解析部分解析部分注注: 主要部分與解析部分同時收斂稱冪級數收斂主要部分與解析部分同時收斂稱冪級數收斂 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 復變函數復變函數3nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1若若1R 011zzrR收斂域為收斂域為的收斂半徑為的收斂半徑為R,0zzR收斂域為收斂域為時收斂時收斂,1 ( ):rR 若若 兩收斂域無公共部分兩收斂域無公共部分,2( ):rR 兩收斂域有公共部分兩收斂域有公共部分H:0.rzzR

3、這時這時,級數級數(1)在在圓環圓環H:r|z-a|R 收斂于和函數收斂于和函數f(z)=f1(z)+ f2(z)復變函數復變函數4定理定理5.15.1 設雙邊冪級數設雙邊冪級數(1)(1)的收斂圓環為的收斂圓環為 H: r|z-a|R (r0, R+)則則(1) 級數在級數在H內絕對收斂且內閉一致收斂于內絕對收斂且內閉一致收斂于: f(z)=f1(z)+f2(z).(2) f(z) 在在H內解析內解析.nnnazczf)()( (3)函數在在H內可逐項求導內可逐項求導p次次(p=1,2,).(4) 函數函數f(z)可沿可沿H內曲線內曲線C逐項積分逐項積分.復變函數復變函數5 定理定理5.2

4、(洛朗定理洛朗定理) 在圓環在圓環H:r|z-a|R,(r0,R+)內解析的函數內解析的函數f(z)必可展成雙邊必可展成雙邊冪級數冪級數)()nnnczfaz 其中其中110122( ),(,),()nnfcdnia (2)2. 解析函數的洛朗解析函數的洛朗(Laurent)展式展式 |(),( ).narRf zHc并并且且展展式式是是唯唯為為圓圓周周即即及及圓圓環環唯唯一一地地決決系系數數一一定定了了的的定義定義5.15.1 (2)(2)式稱為式稱為f(z)在點在點a處的處的羅朗展式羅朗展式，(3)(3)稱稱為其為其羅朗系數羅朗系數，而，而(2)(2)右邊的級數則稱為右邊的級數則稱為羅朗級

5、數羅朗級數。(3)注注: : 泰勒級數是羅朗級數的特殊情形。泰勒級數是羅朗級數的特殊情形。3. 洛朗級數與泰勒級數的關系洛朗級數與泰勒級數的關系復變函數復變函數632 z 32 1 z例例1 1 求函數求函數 分別在圓環分別在圓環 及及 的洛朗級數。的洛朗級數。 (1)在圓環在圓環 內，內， ,于是有洛朗級數于是有洛朗級數13 1,|z2|z 3/13/21132zzzzzzzzf011032nnnnnnzz(2)在圓環在圓環 上上, , ,于是有洛朗級數于是有洛朗級數 z313 1,|z2|z0032nnnnnnzz123nnnnz z3 2 )3)(2 (zzzzf解解 zzzzzzzf/

6、 311/ 21132復變函數復變函數7 z0 2sinzzzf例例2 求函數求函數 在在 內的洛朗級數。內的洛朗級數。 z0 zezf1例例3 求函數求函數 在在 內的洛朗級數。內的洛朗級數。31 z ) 3)(1(12zzzf例例4 求函數求函數 在在 內的洛朗級數。內的洛朗級數。復變函數復變函數84. 4. 解析函數在孤立奇點鄰域內的洛朗展式解析函數在孤立奇點鄰域內的洛朗展式 定義定義5.25.2 如果如果f(z)在點在點a的某一去心鄰域的某一去心鄰域K-a： 0|z-a|R 內解析，點內解析，點a是是f(z)的奇點，的奇點，則稱為則稱為f(z)的的孤立奇點孤立奇點. 如果如果a為為f(

7、z)的一個孤立奇點，則的一個孤立奇點，則f(z)在在點點a的某一去心鄰域的某一去心鄰域K-a：0|z-a|R內能內能展成洛朗級數。展成洛朗級數。將函數展成洛朗級數的常用方法。將函數展成洛朗級數的常用方法。1. 1. 直接展開法直接展開法: :利用定理公式計算系數利用定理公式計算系數nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 然后寫出然后寫出.)()(0nnnzzczf 2. 2. 間接展開法間接展開法根據正、負冪項組成的的級數的唯一性根據正、負冪項組成的的級數的唯一性, , 可可用代數運算、代換、求導和積分等方法去展開用代數運算、代換、求導和積分等方法去展開 . .復變函數

8、復變函數9例例1 1內將函數在 0 z3 ( )zef zz 展開成洛朗級數展開成洛朗級數.5. 典型例題典型例題 z0 2sinhzzzf例例2 求函數求函數 在在 內的洛朗級數。內的洛朗級數。Rz 0 zzf1tan例例3 試問函數試問函數 能否在能否在 內展成內展成洛朗級數？洛朗級數？復變函數復變函數10第二節第二節 解析函數的有限孤立奇點2. 孤立奇點的性質3. Picard定理4 . Schwarz引理1. 孤立奇點的分類復變函數復變函數111. 1. 孤立奇點的分類孤立奇點的分類.)()()()(01nnnnnnnnnazcazcazczf0nnnazc)( 如如a為為f(z)的孤

9、立奇點的孤立奇點,則則f(z)在在a的某去心鄰域的某去心鄰域K-a內可以展成羅朗級數內可以展成羅朗級數則稱則稱為為f(z)在點在點a的的正則部分正則部分,而稱而稱1nnnazc)(為為f(z)在點在點a的的主要部分主要部分。定義定義5.35.3 設設a為為f( (z) )的孤立奇點的孤立奇點. (1). (1)如果如果f(z)在點在點a的主要部分為零的主要部分為零, ,則稱則稱a為為f(z)的的可去奇點可去奇點;(2);(2)如如果果f(z)在點在點a的主要部分為有限多項的主要部分為有限多項, ,設為設為則稱則稱a為為f(z)的的m階極點階極點，一階極點也稱為，一階極點也稱為簡單極點簡單極點；

10、 (3)如果如果f(z)在點在點a的主要部分有無限多項的主要部分有無限多項,則稱則稱a為為f(z)的的本性奇點本性奇點.),0()()(11)1( mmmmmcazcazcazc復變函數復變函數12定理定理5.35.3 若若a為為f(z)的孤立奇點，則下列三條是等價的孤立奇點，則下列三條是等價的的。因此，它們中的任何一條都是可去奇點的特征。因此，它們中的任何一條都是可去奇點的特征。)()(limbzfaz (2)(1) f(z)在點在點a的主要部分為零的主要部分為零; (3) f(z)在點在點a的某去心鄰域內有界的某去心鄰域內有界。2.2.可去奇點的性質復變函數復變函數13 Razazcazc

11、czf02210 0limczfaz證 (1) (2). 由(1)有因此因此(2) (3). 因,|)(|,|0:, 0, 0bzfazz有則 bzfazlim的去心鄰域內有界。在即有于是azfbzf)(,| )(|,(3) (1). 因主要部分的系數其中 ,可任意小，故 daficnn121a: nnnnMMdafc2212111, 210，ncn復變函數復變函數14Schwarz引理引理 如果函數如果函數f(z)在單位圓在單位圓|z|1內解析內解析,并且滿足條件并且滿足條件 f(0)=0,|f(z)|1(|z|1)，則在單位圓，則在單位圓|z|1內恒有內恒有|f(z)|z|,且有且有 .3

12、. 施瓦茨施瓦茨(Schwarz)(Schwarz)引理引理如果上式等號成立如果上式等號成立,或在圓或在圓|z|z|r0內解析內解析, ,則稱點則稱點為為f(z)的一個的一個孤立奇點孤立奇點. .設點設點為為f(z)的孤立奇點的孤立奇點, ,利用變換利用變換 ,于是于是)()1() (zfzfz在去心鄰域在去心鄰域: :)10(1| |00rrrzK規定如：(5.12)zz1的孤立奇點。就為)(0zz內解析，則內解析，則復變函數復變函數20(1)對于擴充對于擴充z平面上無窮遠點的去心鄰域平面上無窮遠點的去心鄰域N-,有擴充有擴充z/平面上的原點的去心鄰域平面上的原點的去心鄰域; (2)在對應點

13、在對應點z與與z/上上, ,函數函數) ()(zzf(3),(lim)(limzzfzz0或兩個極限都不存在或兩個極限都不存在. .注：注：復變函數復變函數21定義定義5.55.5 若若z/=0為為) (z的可去奇點的可去奇點( (解析點解析點) )、m級極點或本性奇點級極點或本性奇點, ,則相應地稱則相應地稱z=為為f(z)的可去奇點的可去奇點( (解析點解析點)、m級極點或本性奇點級極點或本性奇點.設在去心鄰域設在去心鄰域 內將內將) (z展成羅朗級數展成羅朗級數: :nnnzcz) (rzK/1|0:0復變函數復變函數22定理5.3/ (對應于定理5.3)f(z)的孤立奇點z=為可去奇點

14、的充要條件是下列三條中的任何一條成立: (1)f(z)在 的主要部分為零; (2) (3)f(z)在 的某去心鄰域N-內有界.z);()(limbzfzz復變函數復變函數23定理5.4/(對應于定理5.4)f(z)的孤立奇點z =為m級極點的充要條件是下列三條中的任何一條成立: );0(221 mmmbzbzbzb(1) f(z)在 z=的主要部分為),()(zzzfm(2) f(z)在z =的某去心鄰域N-內能表成(3) g(z)=1/ f(z)以z =為m級零點(只要令g()=0).其中 在z =的鄰域N內解析,且)(z; 0)(復變函數復變函數24定理5.5(對應于定理5.5) f(z)

15、的孤立奇點為極點的充要條件是定理5.6(對應于定理5.6) f(z)的孤立奇點為本性奇點的充要條件是下列任何一條成立:(1)f(z)在z=的主要部分有無窮多項正冪不等于零.)(limzfz)(limzfz廣義不存在(即當z趨向于時,f(z)不趨向于任何(有限或無窮)極限).(2)復變函數復變函數25第四節第四節 整函數與亞純函數整函數與亞純函數1. 整函數整函數2. 亞純函數亞純函數復變函數復變函數26在整個z平面上解析的函數f(z)稱為整函數.).|0()(0zzczfnnn(5.14) 設f(z)為一整函數,則f(z)只以z=為孤立奇點,且可設1. 整函數整函數復變函數復變函數27定理5.10 若f(z)為一整函數,則(1)z=為f(z)的可去奇點的充要條為:f(z)=c. (2)z