1、第三節(jié)第三節(jié) 函數的微分及應用函數的微分及應用一、問題的提出一、問題的提出二、微分的定義二、微分的定義三、可微的條件三、可微的條件四、微分的幾何意義四、微分的幾何意義五、五、* *微分形式的不變性微分形式的不變性六、六、* *微分在近似計算中的應用微分在近似計算中的應用七、小結七、小結一、問題的提出一、問題的提出近似計算問題近似計算問題實例：實例：正方形金屬薄片受熱后面積的改變量。正方形金屬薄片受熱后面積的改變量。20 xA 0 x0 x, 00 xxx 變變到到設設邊邊長長由由, 20 xA 正正方方形形面面積積2020)( xxxA .)(220 xxx )1()2(; , 的的主主要要部

2、部分分且且為為的的線線性性函函數數Ax . , 很很小小時時可可忽忽略略當當的的高高階階無無窮窮小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0再如再如,. , 03yxxxy 求求函函數數的的改改變變量量時時處處的的改改變變量量為為在在點點設設函函數數3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時時當當 x .320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值問題：問題：是否所有函數的改變量都有這樣的線性函數是否所有函數的改變量都有這樣的線性函數(改變量的線性主要部分改變量

3、的線性主要部分)？如果有，它是什么？如？如果有，它是什么？如何求？何求？二、微分的定義二、微分的定義定義定義.)(d d ) ( )( A )( ) A ( )(A)()( x )( 0000000 xxxxxfyxxxfyxxxfyxxoxxfxxfyxfy或，記作的相應于在為，并稱在，則稱無關與其中成立，如果增量的某個鄰域內上有定義在設微微分分可可微微; )(|A-| 1)( xoxy 絕絕對對誤誤差差注注：(2) dd ( )A ;yf xxxx 是是和和的的函函數數.的的線線性性主主部部叫叫做做函函數數增增量量微微分分ydy ( (微分的實質微分的實質) )(3) d .xxx 自自變

4、變量量的的微微分分三、可微的條件三、可微的條件. ) )( A ( )( )(000 xfxxfxxf 且且可可導導在在可可微微在在定理定理證證 (1) 必要性必要性, )( 0可可微微在在 xxf, )(A xoxy , )(A xxoxy xyx0lim 則則, A. ) )( A ( )( 00 xfxxf 且且可可導導在在即即(2) 充分性充分性, )( 0可可導導在在 xxf, )(lim 00存存在在即即xfxyx . )( 0可微可微在在 xxf0(x)fxylim0 x0 x(x)xf-ylim0 xx)o(x(x)f-yx)o(x(x)fy )(A; 0，且且可可微微可可導導

5、xf xxfxfxx )(| )(d00即即 d )(0，xxf |d)(dd| )(d )(000，xxxxxxfxxfxf dd ，即即xyy ”。導導數數又又叫叫做做“ 微微商商 例例1 1解解. 02. 0, 2 33時時的的微微分分當當）（ xxxy dy求求下下列列函函數數的的微微分分： 321sin2 ; 2;yxyx(1) d(sin2 )2cos2.yx dxxdx 21 332(2) d().3yxdxxdx 20.02(3) xxdy 220.023xxxx 23 20.020.24 63 1P練練習習：(5)(7)(8)(9) 63:1 5lntan,.2xPydy 求

6、求2211tansec222tantan22111cscsinsin2sincos2222cos2cos2xxxyxxxxxxxxx cscdyy dxxdx 1 cos63:1 72,.xPydy 求求 11 coscos secs12 ln2 2ln2cecsos 2ln2ec tanxxxxxxyx sec2sectanln2xdyy dxxxdx 363:1 8,.xxPyeedy 求求 223 3xxxxxxxxyeeeeeeee 23xxxxdyeeeedx sin63:1 9ln57,.xPyxxxdyx 求求2sinln57cossin ln6xyxxxxxxxxx 2coss

7、in ln6dyy dxxxxxdxx 四、微分的幾何意義四、微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x C: y=f(x) 在在 M(x0, f(x0)的切線的切線T：y- f(x0)= f (x0)(x- x0) = f (x0) x。點點的的在在是是切切線線縱縱坐坐標標的的增增量量 )(,M( )( :C )( |d 0000 xfxxfyxxfyxx xx0 P = dyQ ,M,.xQPQN 當當很很小小時時 在在點點的的附附近近1. 基本函數的微分公式基本函數的微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cscd dtanse

8、c)(secddcsc)(cotd dsec)(tanddsin)(cosd dcos)(sindd)(d 0)(d221 xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaaxxxxd11)cotarc(d d11)(arctandd11)(arccosd d11)(arcsindd1)(lnd dln1)(logdd)(d dln)(d2222 P602. 2. 函數和、差、積、商的微分法則函數和、差、積、商的微分法則. ) 0)( ( )(|d)(|d)(| )(d;|d)(/d)(| )(d;|Cd| )C(d;|d|d| )(d )( )( 0200000000000000000

9、xvxvvxuuxvvuvxuuxvvuuuvuvuxxvxuxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx若可微，則有在、若P61例例2 2解解. d , )eln( 2yxyx求求設設 ,ee2122xxxxy .dee21d22xxxyxx 例例3 3解解. d , cose 31yxyx求求設設 )(cosde)e (dcosd3131xxyxx 乘法乘法. dsincosd,e3)e (3131xxxxx xxxxyxxd)sin(ed)e3(cosd3131 .d)sincos3(e31xxxx ; d)(d , )1(xxfyx 則則自自變變量量是是若若則則的的可可微微函函數數為為

10、另另一一變變量量中中間間變變量量是是若若),( , )2(txtx , )( 可可微微設設函函數數xfy , d)()(dttxfy , dd)( xtt 又又. d)(d xxfy 結論結論：的微分形式總是的微分形式總是函數函數是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論 )( , xfyx 微分形式的不變性微分形式的不變性xxfyd)(d 五、微分形式的不變性五、微分形式的不變性)()()(txytxf利用微分的形式不變性。利用微分的形式不變性。例例4 4解解. d , bsine ayxyx求求設設 )bsine (ddaxyx )b(dbcosebsin)a(deaaxxxxxx

11、.d)bsinabcosb(eaxxxx 例例3 3解解.d ),12sin(yxy求求設設 )12sin(dd xy)12(d)12cos( xxxxd2)12cos( . d)12cos(2xx )12(d) )12(sin(12 xxxxxxxbsindebsindeaa )bd(bcosebsin)ad(eaaxxxxxx 例例5 5解解在下列等式左端的括號中填入適當的函數在下列等式左端的括號中填入適當的函數, 使等式成立使等式成立.).(d)()(sind)2(;dcos)(d)1(2xxtt ,dcos)(sind)1(ttt )(sind1dcosttt .dcos)Csin1(

12、dttt );sin1(dt xxxxxxxd21dcos2)(d)(sind)2(22 ,cos42xxx ).(d)cos4()(sind22xxxxx * *例例6 6 求由方程求由方程 cos(xy)=x2y2 所確定的所確定的 y=y(x) 微分及導數微分及導數. 解解對對方方程程兩兩邊邊微微分分，得得)(d)(d)(d)sin(2222yxyxxyxy xxyxyxxyyxyyd)sin(2)sin(2d 22 yyxxxyyxyxxyd2d2)dd)(sin( 22 .)sin(2)sin(2dd 22xyxyxxyyxyxy : 1.函函數數增增量量的的近近似似值值求求.)(|

13、d)()(|00000 xxfyxfxxfyxxxx )0)(0很很小小時時且且xxf *六、微分在近似計算中的應用六、微分在近似計算中的應用例例7 7少？少？厘米，問面積增大了多厘米，問面積增大了多，半徑伸長了，半徑伸長了厘米的金屬圓片加熱后厘米的金屬圓片加熱后半徑半徑05. 010 解解，面面積積為為記記金金屬屬圓圓片片的的半半徑徑為為Ar厘厘米米時時，厘厘米米、當當05.010 rrrrAA 2d05. 0102 ).(2厘米厘米 答：答：平平方方厘厘米米。面面積積增增大大了了約約 ,2rA 則則,2 rA : )( 2.0附附近近的的近近似似值值在在點點求求xxxf .)()()(00

14、0 xxfxfxxf )(很小時很小時x . 05. 1 的近似值計算例例8 8解解, )( xxf記, 21)( xxf則, 05. 0, 1 0 xx取. 21) 1 (, 1) 1 ( ff由)05. 1 (05. 1 f有05. 0) 1 () 1 (ff05. 0211025. 1025. 105. 1)05. 01 ( f練習：練習：P63：3（1）（）（2）七、小結七、小結微分學所要解決的兩類問題微分學所要解決的兩類問題:函數的變化率問題函數的變化率問題函數的近計算似問題函數的近計算似問題微分的概念微分的概念導數的概念導數的概念求導數與微分的方法，叫做求導數與微分的方法，叫做微分

15、法微分法.研究微分法與導數理論及其應用的科學，做研究微分法與導數理論及其應用的科學，做微分學微分學.導數與微分的聯(lián)系導數與微分的聯(lián)系:.可可微微可可導導 . )d()(d , d)(d)(xxfxfxxfxf 導數與微分的區(qū)別導數與微分的區(qū)別:. ) 0 , ( , )(d , )( )(. 1000000時時當當無無窮窮小小它它是是線線性性函函數數的的是是而而微微分分處處的的導導數數是是一一個個定定數數在在點點 xxxxxxxxxfyxfxxf. )( ,( )( )(d , )(,( )( )( , . 2000000000時時縱縱坐坐標標的的增增量量到到從從處處的的切切線線當當橫橫坐坐標

16、標在在點點是是曲曲線線而而微微分分處處切切線線的的斜斜率率在在點點是是曲曲線線從從幾幾何何意意義義上上來來看看xxxxxfxxfyxxxfyxfxxfyxf 思考題思考題 因因為為一一元元函函數數)(xfy 在在0 x的的可可微微性性與與可可導導性性是是等等價價的的，所所以以有有人人說說“微微分分就就是是導導數數，導導數數就就是是微微分分”，這這說說法法對對嗎嗎？思考題解答思考題解答說法不對說法不對. 從概念上講，微分是從求函數增量引從概念上講，微分是從求函數增量引出線性主部而得到的，導數是從函數變化出線性主部而得到的，導數是從函數變化率問題歸納出函數增量與自變量增量之比率問題歸納出函數增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念的極限，它們是完全不同的概念. 第二章第二章 重點重點（星號部分屬于專插本）（星號部分屬于專插本） 導數的定義（導數的定義（P38） 導數幾何意義：求切線和法線導數幾何意義：求切線和法線(P41-42) 可導的判斷可導的判斷(P40先求左右導數先求左右導數) 隱函數求導隱函數求導(P51) 冪指函數求導冪指函數求導(P51-52) 參數方程所確定的隱函數求導參數方程所確定的隱函數求導(P52-53) 高階導數（高階導數（P54-55觀察規(guī)律觀察規(guī)律） 求微分求微分(P