1、3.4 行列式的計算 3.4.1 降階法降階法 內容內容小結小結 3.4.2 三角化方法三角化方法 3.4.3 歸納法歸納法 3.4.4 遞推法遞推法 3.4.5 分拆法分拆法 3.4.6 升階法升階法 第1頁/共29頁2/29行列式計算常用方法常用方法有:降階法、三角化方法、歸納法、遞推法、分拆法、升階法等. 行列式計算的理論根據理論根據:行列式的按行(列)展開法則行列式初等變換的性質行列式乘積法則 第2頁/共29頁3/29例3.9 計算四階行列式 613325332731117|41319A.3.4.1 降階法降階法 應用初等變換使行列式的某行或某列的零元充分多, 然后按該行或該列展開,

2、化為低階行列式來計算.415cc第3頁/共29頁4/294156132533231124131|ccA解421,2,31439013590113504131irri4 41439( 1)( 1)13591135 2314392 1121135rr12321411011192 1120817rrrr2 11119( 1)( 2)817 70 .第4頁/共29頁5/29解 將 | A| 按第 n 行展開, 得|xyxyxyyx.例3.10 計算 n 階行列式 11|( 1)|nnyxyyxyxy11( 1)nnyy()nnxy .1( 1)nnnxyxyxxyx 1( 1)nnnxx第5頁/共29

3、頁6/29例3.11 計算 n 階行列式 |abbbbabbbbabbbbaA.解將第 2, 3, , n 列都加到第一列得3.4.2 三角化方法三角化方法 利用行列式的初等變換將其化為三角行列式.第6頁/共29頁7/29(1)|(1)(1)(1)anbbbbanbabbanbbabanbbbaA11(1) 11bbbabbanbbabbba12,3,irrin第7頁/共29頁8/2912,3,1(1) irrinbbbabanbabab1(1) ()nanb ab.第8頁/共29頁9/29例3.12 計算 121212|nnnabaaaabaaaabA. 解 先把第一行乘以 (1) 加到以下

4、各行, 再把后面各列加到第一列. 1220000nnaaabaabb112()nnaaab b.120|0nabaabbbbA第9頁/共29頁10/293.4.3 歸納法歸納法 通過計算低階行列式, 發現某種規律, 進而猜想 k 階行列式符合這種規律, 然后證明 k1 階行列式也呈現此規律, 這就是數學歸納法的思想.第10頁/共29頁11/29 證 對行列式的階數 n 用數學歸納法.21211Vxx21xx12(),ijj ixx 例3.13 證明 Vandermonde 行列式行列式1222212111112111()nnnijj i nnnnnxxxVxxxxxxxx .因為 所以 n 2

5、 時, 等式成立. 第11頁/共29頁12/29112131122133112222213311,1,2111100()()()0()()()iinrx rnnnnninnn nnxxxxxxVx xxx xxx xxxxxxxxxxx 假設等式對 n 1階 Vandermonde 行列式 Vn 1 成立, 232131122223111()()(),nnnnnnxxxxxxxxxxxxn 1階階Vandermonde行列式行列式則第12頁/共29頁13/29213112()()()()nnijj i nVxx xxxxxx 1(),ijj i nxx 因此由歸納法假設得 所以等式對所有 n

6、2 都成立. 第13頁/共29頁14/293.4.4 遞推法遞推法 利用按行 (列) 展開法則, 將 n 階行列式化成形式相同的 n 1 階行列式, 從而建立遞推關系, 反復應用這個遞推關系便可求出 n 階行列式.第14頁/共29頁15/29例3.14 計算 111nababababDababab.解 將 Dn 按第一行展開, 得11()1nna baba b abDa ba b=110,1naba bababa bDn 1Dn 2第15頁/共29頁16/2912(),nnnDab DabD從而112()nnnnDaDb DaD因2212,Da b Daab b 222321()(),nnnb

7、 DaDbDaD故1nnnDaDb.再把第二個行列式按第一列展開, 得3,4,n 第16頁/共29頁17/291nnnDaDb212nnna Dabb32213nnnna Da babb12211nnnnaDababb12()nnna aDbb1221nnnnnaabababb.于是 第17頁/共29頁18/293.4.5 分拆法分拆法 分拆法是指利用行列式的性質將復雜的行列式分解為簡單的行列式之和或之積.nxyyyzxyyDzzxyzzzx.例3.15 計算 n 階行列式 解 先將 Dn 的最后一行拆開, 得第18頁/共29頁19/29nxyyyzxyyDzzxyzzzz 000 xyyyz

8、xyyzzxyxz 1()nz xy將 y 與 z 互換, 行列式 Dn 不變, 11()(),nnnDy xzxy D從而 1()nxz D.第19頁/共29頁20/29當 z y 時, 解得()()nnnz xyy xzDzy.當 z y 時, 由例3.11 的結果知1(1) ()nnDxny xy.第20頁/共29頁21/29解 細心觀察可以發現, 當 n 3 時, 有例3.16 計算行列式211 2122 122212|111111111|nnnnnaa aa aa aaa aa aa aa.=第21頁/共29頁22/291212111111nnaaaaaa=1212100111100

9、,000100000nnaaaaaa從而當 n 3 時, A 0.第22頁/共29頁23/2921|1|a.211 222 12|1111|aa aa aa =當 n 1 時, 顯然 當 n 2 時, 有 212()aa.第23頁/共29頁24/293.4.6 升階法升階法 為便于應用行列式的性質, 有時在原來的行列式中添加一行一列, 即把行列式的階數增加1, 這就是升階法.升階必須給計算帶來方便, 而且要求升階后的行列式與原來的行列式相等.升階法也叫加邊法.第24頁/共29頁25/29解 將行列式升階, 得13131321111102222222,03333336|0|nnnnnnnnnnn

10、nnnn=1313132222222233333|36nnnnnnnnnnnnnn=.例3.17 計算 第25頁/共29頁26/29將新行列式的第二列依次與第 3, 4, , n 列交換, 再將新行列式第二列依次與第 3, 4, , n1 列交換, 再將新行列式第二列依次與第 3, 4, , n2 列交換, , 得 將新行列式第一行乘 i 加到第 i 行, 得 13213213211111222223333|3|nnnnnnnnnnn=1221221221111112222!133331nnnnnnnnnnn.第26頁/共29頁27/29221(1)(2)22122211111112222( 1)!133331nnnnnnnnnnnnn (1)(2)21( 1)!nnnkk .轉置的轉置的Vandermonde行列式行列式將新行列式第一行的元乘 i 加到第 i 行, 得 13213213211111222223333