1、1、應力和應變 應力和應變的概念可以通過考慮一個棱柱形桿的拉伸這樣一個簡單的方式來說明。一個棱柱形的桿是一個遍及它的長度方向和直軸都是恒定的橫截面。在這個實例中，假設在桿的兩端施加有軸向力F，并且在桿上產生了均勻的伸長或者拉緊。 通過在桿上人工分割出一個垂直于其軸的截面mm，我們可以分離出桿的部分作為自由體【如圖1(b)】。在左端施加有拉力P，在另一個端有一個代表桿上被移除部分作用在仍然保存的那部分的力。這些力是連續分布在橫截面的，類似于靜水壓力在被淹沒表面的連續分布。 力的集度，也就是單位面積上的力，叫做應力，通常是用希臘字母，來表示。假設應力在橫截面上是均勻分布的【如圖1(b)】，我們可以

2、很容易的看出它的合力等于集度，乘以桿的橫截面積A。而且，從圖1所示的物體的平衡，我們可以看出它的合力與力P必須的大小相等，方向相反。因此，我們可以得出 等式(1)可以作為棱柱形桿上均勻應力的方程。這個等式表明應力的單位是，力除以面積。當桿被力P拉伸時，如圖所示，產生的應力是拉應力，如果力在方向是相反，使桿被壓縮，它們就叫做壓應力。 使等式(1)成立的一個必要條件是，應力，必須是均勻分布在桿的橫截面上。如果軸向力P作用在橫截面的形心處，那么這個條件就實現了。當力P沒有通過形心時，桿會發生彎曲，這就需要更復雜的分析。目前，我們假設所有的軸向力都是作用在橫截面的形心處，除非有相反情況特別說明。同樣，

3、除非另有說明，一般也假設物體的質量是忽略的，如我們討論圖1的桿一樣。 軸向力使桿產生的全部伸長量，用希臘字母表示【如圖1(a)】，單位長度的伸長量，或者應變，可以用等式來決定。 L是桿的總長。注意應變是一個無量綱的量。只要應變是在桿的長度方向均勻的，應變就可以從等式(2)中準確獲得。如果桿處于拉伸狀態，應變就是拉應變，代表材料的伸長或者延長如果桿處于受壓狀態，那么應變就是壓應變，這也就意味著桿上臨近的橫截面是互相靠近的。 當材料的應力和應變顯示的是線性關系時，也就是線彈性。這對多數固體材料來說是極其重要的性質，包括多數金屬，塑料，木材，混凝土和陶瓷。處于拉伸狀態下，桿的應力和應變間的線性關系可

4、以用簡單的等式來表示。E是比例常數，叫做材料的彈性模量。 注意E和應力有同樣的單位。在英國科學家托馬斯·楊(1773 1829)研究桿的彈性行為之后，彈性模量有時也叫做楊氏模量。對大多數材料來說，壓縮狀態下的彈性模量與處于拉伸時的彈性模量的一樣的。 2、拉伸應力應變行為 一個特殊材料中應力和應變的關系是通過拉伸測試來決定的。材料的試樣通常是圓棒的形式，被安置在測試機上，承受拉力。當載荷增加時，測量棒上的力和棒的伸長量。力除以橫截面積可以得出棒的應力，伸長量除以伸長發生方向的長度可以得出應變。通過這種方式，材料的完整應力應變圖就可以得到。 圖1所示的是結構鋼的應力應變圖的典型形狀，軸向

5、應變顯示在水平軸，對應的應力以縱坐標表示為曲線OABCDE。從O點到A點，應力和應變之間是直接成比例的，圖形也是線性的。過了A點，應力應變間的線性關系就不存在了，因此A點處的應力叫做比例極限。隨著荷載的增加，應變比應力增加的更快，直到在B點，在拉應力沒有明顯增大的情況下，物體也發生了相當大的伸長。這種現象叫做材料的屈服，點B處的應力叫做屈服點或者屈服應力。在區域BC材料開始具有塑性，棒也開始塑性伸長，伸長量是在比例極限處伸長量的10或者15倍。 在C點，材料開始應變硬化，并且進一步的阻力，阻止載荷的增加。這樣，隨著進一步的伸長，應變增加，并且在D點達到最大值，或者極限應變。過了這一點，棒的拉伸

6、伴隨著載荷的減少，試樣最后在圖上E點斷裂。 在棒伸長期間，發生了側面的收縮，導致棒的橫截面積減小。這個現象在C點之前，對應力應變圖沒有影響，但是過了這一點，面積的減小對應力的計算值有明顯的影響。棒就會發生明顯的頸縮(如圖2所示)，并且如果頸處狹窄部分的實際橫截面積被用于計算，將會發現真實的應力應變曲線是虛線CE。盡管在極限應力達到之后，棒上的總荷載有實際的減小，這個減小是由于面積的減少，而不是材料強度的減小。 在失效點之前，材料實際經受了應力的增加。然而，為了多數實用目的，常規的應力應變曲線OABCDE是基于試樣最初的橫截面積，為設計目的提供了令人滿意的信息。 圖1的圖形，畫出來是為了表示應力

7、應變曲線的一般特性。在應力應變曲線的最初區域，材料表現的既有彈性又有線性。鋼材的應力應變圖上的從O到A的區域就是很好的例子。緊接著大的塑性應變，明顯屈服點的出現，對于在今天是很普通的結構化金屬鋼材來說稍微有點獨特。鋁合金從線性到非線性區域是更漸漸的轉變。 在失效之前，鋼和許多鋁合金承受了更大的應變，所以被歸類為易延展的。另一方面，脆性材料在很低的應變時就失效了。實例包括陶瓷，鑄鐵，混凝土，某些金屬合金，和玻璃。 3、 圓棒的扭轉 讓我們設想一下，一個具有圓形橫截面的棒被作用在其末端的力偶扭轉(如圖1)。以這種方式加載的棒據稱是處于純扭轉。從考慮對稱性可以看出，圓棒的橫截面在縱軸方向是作為剛體扭

8、轉的，半徑依然是直的，橫截面是圓形的。并且，如果棒扭轉的總角度比較小的話，棒的長度和半徑r都不會改變。 在扭轉期間，對應于棒的一端，棒的另一端繞著縱軸會發生扭轉。例如，如果我們把棒的左端看做固定的，那么對應于棒的左端，棒的右端會旋轉一個角度。同時，棒表面的縱向線例如nn，會旋轉一個小的角度到位置。因為扭轉，棒表面的矩形單元，例如圖中所示的在兩個橫截面之間相距的單元，被扭轉成長菱形。 當一個桿狀物承受純扭轉時，扭轉角的變化率沿著棒的長度方向是恒定不變的。這個常數代表單位長度的扭轉角，用符合表示。這樣，我們得出，L是軸的長度。然后，我們可以得到切應變。作用在單元邊線處的切應力有圖1所示的方向。對于

9、線彈性材料，切應力大小是。等式(1)(2)把桿狀物的應變和應力與單位長度的扭轉角聯系起來。桿狀物內部的應力表述用的方式類似于用于桿狀物表面的表述方式。因為棒橫截面的半徑依然是直的，在扭轉時沒有扭曲，我們看到位于半徑為的圓柱體表面的內部單元，是純剪切并伴隨著對應的切應變，應力可以從下述的表達式得出。這些等式表明，從軸心處切應力和切應變隨著徑向距離是線性變化的，并且在外表面達到最大值。 作用在橫截面的切應力，由等式(3b)給出，伴隨著作用在桿狀物縱向平面的相等的切應力。這個結果是從這樣一個事實得到的，就是相等的切應力總是存在于相互垂直的平面。如果材料縱向受剪弱于側向受剪(例如，木材)，受扭桿狀物的

10、第一次斷裂將會出現在它的縱向表面。桿狀物表面的純剪切應力的表述等效于，對于桿狀物軸扭轉45。的單元上的拉應力和壓應力。如果一種受拉比受剪弱的材料受扭，那么材料將會沿著與軸成45。的螺旋線處以收縮的方式失效。通過扭轉一支粉筆的方式就可以很容易的演示這種失效。 可以建立施加的扭矩T和產生的扭轉角間的關系。切應力的合力必須靜定的等于合扭矩。作用在單元面積dA上的剪切力是，這個力對于棒軸的力矩是。在等式(3b)中，力矩等于。合力矩T是整個橫截面上的單元力矩的總和，因此，總和，因此，是圓截面的極慣性矩。從等式(4)我們可以得到，是單位長度的扭轉角，與扭矩T成正比，與乘積，是相反的，是桿的扭轉剛度。 4、

11、 梁的撓曲一根承受軸橫向力的棒叫做梁。圖1中的梁，一端是針狀支撐，另一端的滾動支撐，叫做簡支梁或者簡單的梁。簡支梁的本質特征是在彎曲時梁的兩端可以自由轉動，但是它不能夠橫向移動。另外，梁的一端可以沿軸向自由移動。一端是嵌入式或者固定，另一端的自由的梁，叫做懸臂梁。梁的固定端既不可以轉動也不可以移動，自由端則可以轉動和移動。 梁上的荷載可以分為集中力，例如圖1中的力，或者分布載荷，可以表述為沿著梁軸單位距離作用單位力。軸向力作用于橫截面的法向，通過橫截面的質心。剪力?平行于橫截面，彎矩作用于平面梁，被叫做合應力。 剪力、彎矩和梁上荷載的關系可以表述為。這個等式表示，在分布載荷(或者沒有載荷)作用

12、于梁上時，彎矩的變化率等于剪力的代數值。如果梁上作用有集中力，那么在集中力作用點剪力處，將會有突變，或者不連續。 作用在梁側面的載荷將會引起梁的撓曲。如圖所示，在力作用前，梁的縱軸是直的。在彎曲后，梁的軸變成了曲線，表現為曲線，讓我們假設xy平面是對稱與梁的平面，并且所有的載荷都作用在平面內。那么曲線，叫做梁的撓曲線，也會在平面內。 從圖形的幾何形狀可以看出，是曲率，等于曲率的半徑的倒數。這樣，曲率等于角度在沿著撓曲線測量的長度方面的變換率。 梁撓曲線的基本微分方程可以表述為，是梁從初始位置的撓度。必須在每個事例中求積分來獲得撓度。這個步驟包括方程的連續積分，作為結果的積分常數從梁的邊界條件獲

13、得。應該明白，只有在材料適用于胡克定律并且撓曲線的斜率是很小的時候，方程才是有效。 另一種獲得梁撓度的方法是力矩面積法。這個方法得名于它利用了彎矩圖的面積。當想得到撓度或者梁上一點處的斜率，而不是獲得撓曲線的整個方程，這個方法是特別有用的。 作用在橫截面上任意一點處的正應力和切應力，可以使用方程，其中是在橫截面中性軸方面的第二力矩(或者慣性矩)，Q是梁平面面積的第一力矩(或者靜態矩)。可以看出梁外緣處正應力是最大的，在中性軸處為零，在外緣處切應力為零，在中性軸處經常達到最大。 梁上的剪力V和彎矩M經常隨著距離變化，距離規定是從它們作用在梁上的橫截面處開始的。當設計一個梁時，非常想知道梁上所以橫

14、截面處和的值，提供這方面信息的一個很簡便的方法是畫一個表達它們沿著梁軸變化的圖。為了畫出圖，我們把橫截面的位置作為橫坐標，把對應的剪力或者彎矩的值作為縱坐標。這樣的圖像叫做剪力圖或者彎矩圖。 圖1中的簡支梁是靜定梁中的一種。這種梁的特征的它所有的反作用力都是由靜力平衡方程決定的。反作用力的數目多于靜力平衡方程數目的梁叫做超靜定梁。對于靜定梁，我們可以通過求解靜力平衡方程快速獲得梁的反作用力。然而，當梁是超靜定時，我們不能僅從靜力方面求解解決。取而代之的是，我們必須考慮梁的撓度，并且獲得相容方程作為靜力方程的補充。 6、剛體的平衡 靜力學的主要目標是建立一個基本理論，來管理作用在處于平衡狀態的物

15、體上的力。描述阻止物體移動的力的一個手段是自由體受力圖，它使物體從周圍的事物中隔離出來。在受力圖中，我們展示了施加在物體上的所有力，記住牛頓第三定律告訴我們的，力是物體之間相互作用的結果。構建受力圖的過程幫助我們理解系統的參數是很重要的。 構建自由體受力圖的部分任務的為了檢查支撐結構，以便我們可以推導出應用在物體上的什么類型的力。這些力有時叫做約束力，因為它們代表支撐結構約束物體移動的方式。對這些力的另一個術語是反作用力，因為它們代表支撐結構對物體移動趨勢做出反應的方式。反作用力被用來約束物體的移動，反作用力偶被用來約束物體的轉動。在任何時候支撐結構的類型允許物體在特定方向移動，或者是繞著特定

16、軸轉動，那么在哪個方向將沒有反作用力或力偶。 我們可以為條件建立一個數學推導公式，如果物體處于精力平衡狀態，那么這個公式必須滿足。在我們研究作用在處于靜力平衡的物體上的力之間的關系之前，讓我們想象用作用在一些合適點C的等效的力偶系，來代替作用在物體上的真實的力。力R是真實力的合力，描述了在點C處合力壓或拉的效果。力偶是在點C真實力的力偶之和。這個力偶描述了真實力引起的物體繞著點C轉動的合趨勢。為了使一個剛體處于靜力平衡狀態，應該使作用在物體上的力系滿足合力為0，合力偶為0。 設定合力和合力偶為0的最直接的方式是，實際計算所以力的合力和在任意點處力偶的和。我們接著使合矢量等于0，這樣我們就得到F

17、 = 0，Mc= 0 。在空間力系的事例中，力和合力偶每個有三個組成部分，因此等式，1，等效于下面的六個靜力平衡的標量等式。Fx= 0，Fy= 0，Fz= 0 ， Fcx= 0，Fcy= 0，Fcz= 0 。對于并發系統力的平衡方程是方程式，2a，b，的特殊例子，可以從令點C成為并發點看出。 一個求解靜力平衡方程的方法，得出了反作用力和自由體受力圖上顯示的未知力。點C對于合力偶來說是任意的。我們一般應該選擇點C沿著至少一個未知反作用力的作用線的方向，這是為了從力偶方程中消除未知力。這個過程簡化了要求解的方程。簡化方程的能力啟發我們考慮可供選擇的公式時，選擇力偶是在超過一點處的合力偶。 在平面力

18、學的例子中，只有三個不尋常的靜力平衡標量方程。這些方程可以從三個可供選擇的公式之中獲得，如下所示：(1) . 在一點處的力偶等于0，在兩個方向的合力等于0。這是方程，2a，b，的方法。 (2). 在兩點處的合力偶等于0，在不垂直所選兩點連線方向上的合力等于0。 (3). 在三個不共線點處的合力偶等于0 對于空間力學的例子，簡化并不是必須的，由于在空間力系中力偶的測定比平面力要稍長一些。 14、圓柱的屈曲 圓柱的選擇通常是結構設計中非常關鍵的部分，因為圓柱的失效經常會產生災難性的影響。而且，在彎曲或者撓曲狀態，圓柱比桿更難設計，因為圓柱的行為更加復雜。如果一個與寬度相比很長的圓柱承受軸向力，它可

19、能一屈曲失效，也就是，當載荷接近臨界值撓度快速增加。這個值叫做臨界載荷。當達到臨界載荷時，與圓柱形狀轉變有關的屈曲現象，從穩定平衡狀態到不穩定平衡狀態。 為了研究圓柱的行為，我們通過考慮一個細長的、理想的，長度為L的直圓柱來開始研究，并且圓柱在底端固定，在頂端自由如圖1所示。如果軸向載荷小于臨界值，棒將保持豎直，并且只承受軸向壓縮。這個平衡直型是穩定的，也就意味著，如果施加有側向力，并且產生了小的撓度，將會發生撓曲，當側向力移除后，棒將會恢復到直型。 然而，隨著p逐漸增加，當等于時，達到中性平衡狀態。在這個載荷時，圓柱理論上可以有任意小的撓度，一個很小的側向力就可以產生一個在側向力移除后也不會

20、消失的撓曲。在載荷的更大值時，圓柱失穩并將會被破壞。 圓柱的臨界載荷可以通過使用撓曲線方程來計算。對于圖1(b)所示的圓柱，方程是，式中是自由端的撓度。使用記號，我們可以寫處方程(1)的通解，形式為。圓柱嵌入端的邊界條件，得出 和，撓曲線方程變成。利用圓柱頂端的邊界條件，頂端的邊界條件，我們得出，于是我們可以得出結論或者= 0或者，= 0。 如果= 0，那么就沒有圓柱的撓曲因此沒有屈曲。圖1(a)可以表現這樣一個事實。其他的可能性是，= 0，我們可以從方程(3)看出可以有任意小值。 = 0成立需要，并且= 1，3，4···。因此，我們可以得到無數的臨界值。這個方程

21、表明，隨著的增加，撓曲線將會有更多的波在上面。當= 1時，曲線上有12波，如圖1(b)所示。對于= 3和= 5的撓曲線在圖1(c)和(d)各自顯示。盡管它們代表圓柱屈曲的理論可能模型，它們沒有實際價值，因為圓柱在對應于圓柱最小臨界載荷的第一模型就屈曲了。 一端簡支，一端固支的圓柱的臨界屈曲載荷，可以從前面例子的解中得到。例如，在對稱中很明顯，處于屈曲第一模型時的，帶有鉸接端的圓柱的撓曲線在中點處有垂直切線。因此，棒處于圖1(b)時，圓柱的二分之一處都是同樣的狀態，通過把，取代為2也就是，我們可以從方程(4)得到臨界載荷。如果圓柱兩端固支，對于第一屈曲模型的撓曲線是余弦曲線，這個曲線在從末端起，

22、距離處有拐點。所以，通過把L取代為也就是，我們可以得到臨界載荷。 從方程(4)我們可以看出，圓柱的臨界載荷正比于抗彎剛度，反比于長度的平方。因此，臨界載荷的增加可以通過增大橫截面的慣性矩。這個結果的實現可以通過盡可能地從橫截面的形心處分布材料。因此，對于圓柱體，管狀構件比具有同樣橫截面積的實體構件要更加經濟。 通過減小這樣形式截面的壁厚，增加橫向尺寸，圓柱的穩定性增加了，因為更大了。對于壁厚有一個很低的限制，然而，低于這個限制，壁本身就會不穩定。因此，不是從整體來研究圓柱的屈曲，在壁上會有以壁的起皺形成的波紋形式的局部屈曲。這種形式的屈曲叫做局部屈曲，需要更詳細的研究。 15、 什么是動力學問

23、題， 當一個結構受到動荷載作用時，整體或局部的加速伴隨著慣性力的產生。由于慣性力的影響，在加載過程中和之后應力是變化的，因此在加載過程中只有在對應的瞬時才有對應力的特別描述。然而，在許多情況下，當載荷是逐漸加上去或是變化的很慢，動力的影響是不重要并且是可以忽略的。當突然加荷載時，慣性力是必須考慮的而且在極端情況下，例如撞擊或共振，動力的影響是主導的。 正如前面提到的，動力的影響，換言之，也就是物體上應力在變化的過程中慣性力的影響，是依賴于動荷載的情況。有三組典型的現象可以區別。是，1，應力的準靜態描述，2，共振，和，3，應力波。這幾組的的范圍并沒有清晰的定義，然而，與許多組相聯系的現象經常可以

24、發生在同一動態事件中。 物體的動態響應不僅依賴一作用力的重要性，對于一個決定性的程度，也依賴于它們改變的頻率。這樣的話，當作用力的改變產生應力波時，這些波的頻率是由于作用力改變的頻率決定的。如果力的改變是由于撞擊或是沖擊物，這意味著物體被撞擊的響應是依賴于兩物體的接觸時間。 當作用在物體上的力變化很慢，因此頻率是很低的，那么波長與物體的尺寸相比是很大的。在一個極端的例子中，應力的分布是獨立于力的變化率的。盡管在加載過程中，應力隨尺寸變化，它們的分布至始至終是一樣的，并且與靜態加載下的情況是一樣的。作用在物體上的外力在整個過程中始終平衡，而且當撤去外力后應力就消失了。在這種情形下的問題叫做準靜態

25、。 當循環加載的頻率與物體的共振頻率是同階的，應力波和它們的響應產生振動，換言之，就是縱向的或撓曲的振動。由于慣性力，應力的分布在一些范圍與同類的靜態或準靜態的例子是不同的，并且外力在整個過程中是不平衡的。 如果物體上的作用力改變的頻率是很高的，換言之，就是與物體尺寸相比很短的波的產生，應力波的影響是主要的。在這種情況下，應力的分布與在靜態或準靜態下的分布是有很大不同的。 經常遇到的一個問題是，在包含應力波，或在有缺口或在外形不規則物體下振動的動力狀態下，決定應力集中的因素是什么。在這種情況下，采用的順序依賴于波長和缺口的相關尺寸。如果缺口的尺寸與波長相比是很小的，那么缺口附近的應力分布與同規

26、格靜力加載下是相似的。與物體上一小部分相關的模型上的加載，將會產生同樣的應力分布。 當應力波的波長和物體的尺寸是同階或是更小時，例如，有個缺口在上面，將會用動態的方法解答。這在振動中也是一樣的。由于應力集中系數依賴與所包含的應力波的波長，很明顯并沒有一般的實用的動態下的應力集中系數。 17、 勢能法 勢能的概念在結構力學中是非常重要的。在接下來的討論中，我們將講述勢能在結構分析中是如何應用的，它與應變能的聯系，和位移法。另外，可以看出在精確分析不可行的情況下，勢能經常被用于結構的近似分析。 在某些實際結構中，任何力學的或者結構系統的勢能被定義為功，如果系統從實際結構移動到參考結構，那么所有的作

27、用力所產生的就是功。總的來說，參考結構經常被認為是未加載結構的形狀。因此，勢能就是，當結構從加載結構移動到它未加載時的位置時，所有作用力做的功。 結構上的作用力由外力和內力組成。內力被認為是連續固體問題的應力或者是梁、桁架或者框架例子中的合應力。內力的勢能很顯然是儲存在承載結構中應變能，因為如果結構從實際情況移動到它未加載的形狀，恢復做的功等于應變能。 外力的勢能是負的，因為如果結構從最終位置恢復到它的最初位置，結構上的載荷做的是負功。因此，載荷的勢能可以表示為，式中代表結構上的載荷，是對應的位移，是載荷的數量。 特別需要注意，載荷 的勢能不同于結構加載期間做的功。在加載過程中，力逐漸從零增加

28、到最終值，這個載荷做的功可以表示為。另一方面，當結構從最終位置恢復到參考狀態時，勢能的力做的功(作用在最終值)。 對于用勢能法進行結構分析的目的，未知位移1，2，···，必須首先被確定。然后應變能，可以表示成那些位移的函數。另外，假設結構上的所有載荷，記為 ，對應于未知位移。在這些條件下，結構系統的總勢能可以通過合并結構的應變能和載荷的勢能獲得，所以。總勢能的這個表達式可以用于任何彈性結構，不論它表現的線性或者非線性。 通過采用勢能關于任何一個位置位移i的偏導數，可以得到下面的方程。從卡式第一定理，我們知道，所以可以得到n維方程組，表達如下。 從概念上來看，方程(

29、5)有特別的意義，因為它表明，當結構的勢能有駐值時，或者是最小值、最大值或者是中性值，結構的平衡條件是滿足的。因此，方程(5)被認為是位移法的平衡方程。或者，方程(5)被認為是勢能駐值原理的數學表達式。 勢能駐值原理表明，如果彈性結構(線性或者非線性)的勢能表述為未知位移的函數，那么當假定總勢能有一個駐值，而位移有這樣一個值時，結構將處于平衡狀態。通常結構處于穩定平衡，然后總勢能是最小值。在這些條件下，方程(5)闡述了最小勢能原理。對于不穩定結構，勢能有最大值或者中性值。 勢能駐值原理的應用導致有許多和聯立方程一樣多的位置位移。這些方程是位移法的平衡方程，它們可以解出未知位移。如果結構表現為線

30、性，方程(5)導出了剛度法的平衡方程，這個方程被看做是位移法的特例。然而，必須意識到，在應用力學中勢能駐值原理是基本原理，而且在實際中被用于種類繁多的復雜結構。另外，除了結構分析它也可以用于其它方面。 、 虛功原理 在學習靜力學的過程中，通常會介紹虛位移和虛功的概念，它們被用于解決靜力平衡問題。“虛”這個字意指完全假設的量，它在真實意義或者物理意義上并不存在。因此，虛位移是一個假想的位移，可以任意的應用在一個結構系統中。它不是一個真實的位移，不同于作用在梁上載荷引起的撓度。在虛位移上真實力作用產生的功叫做虛功。 虛位移的概念適用于在一組載荷作用下處于平衡狀態的剛體，這組載荷可能包括力、力偶和均

31、布載荷。剛體被給予一個虛位移，這個虛位移包括一個任意方向的平移，一個繞著任意軸的轉動，或者是轉動和平移的組合。在所有的例子中，如果物體處于平衡狀態，那么力做的虛功都等于零。一般我們必須限制虛位移為一個很小的量，以使力的作用線在虛位移中不會改變。 在結構分析的使用中，我們必須擴展虛位移原理，以包括變形結構的例子。對于這種結構，我們不僅要考慮外力的虛功，也要考慮內力的虛功。為了表明這是如何實現的，讓我們考慮一個在力、彎矩、扭矩和均布載荷，作用下處于完全通用樣式的結構。當然了，結構在多種載荷作用下處于靜止平衡狀態。 現在，假設結構被賦予一個虛變形，這個虛變形包括它的變形形狀的小改變。這個虛變形以非特定的方式強加于結構上，并且完全獨立于這樣一