1、線性代數同濟六版第3章 矩陣的初等變換與線性方程組 第一節 矩陣的初等變換 -附(初等矩陣)2018年年9月月 定義定義1下面三種變換稱為矩陣的下面三種變換稱為矩陣的初等行變換初等行變換: : ）；記記作作兩兩行行對對調調兩兩行行（對對調調jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以數數 k）記記作作行行乘乘（第第krkii , .3）行行上上記記作作倍倍加加到到第第行行的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行對對應應的的把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 變變換換”）換換法法變變換換（也也稱稱“調調行行變變換換”）倍倍法法變變換換（也也稱

2、稱“倍倍行行變變換換”）消消法法變變換換（也也稱稱“倍倍加加定義定義2 2 矩陣的矩陣的初等列變換初等列變換與與初等行變換初等行變換統稱統稱為為初等變換初等變換 初等變換的逆變換仍為初等變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類且變換類型相同型相同 同理可定義矩陣的同理可定義矩陣的初等列變換初等列變換(所用記號是所用記號是把把“r”換成換成“c”)jirr kri 逆變換逆變換;jirr 逆變換逆變換;)1(krkrii 或或jikrr 逆變換逆變換.)(jijikrrrkr 或或定義定義 由單位矩陣由單位矩陣 經過一次初等變換得到的方經過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣陣稱為初等矩陣.

3、.e三種初等變換對應著三種初等方陣三種初等變換對應著三種初等方陣. 矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運算，應矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運算，應用廣泛用廣泛. 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以數以數乘某行或某列；乘某行或某列；以數以數對調兩行或兩列；對調兩行或兩列；kk. 30. 2. 1，得得左左乘乘階階初初等等矩矩陣陣用用nmijmaajiem )(),( mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaajie21212111211),(行行第第 i行行第第 j).( jirrjiaa行對調行對調行與第行與第的第的第把把：施行第一種初等行變換施行第一

4、種初等行變換相當于對矩陣相當于對矩陣1例例 56024135201010000125 3065142行行對對調調行行與與第第第第32，右乘矩陣右乘矩陣階初等矩陣階初等矩陣以以類似地，類似地，ajienn),( mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiae12222111111),().( jiccjiaa列對調列對調列與第列與第的第的第把把：施行第一種初等列變換施行第一種初等列變換相當于對矩陣相當于對矩陣2例例 010100001560241352235 12405 6列列對對調調列列與與第第第第32 乘乘某某行行或或某某列列、以以數數02 k).()(0 kiekriki矩矩

5、陣陣，得得初初等等行行乘乘單單位位矩矩陣陣的的第第以以數數 1111)(kkie行行第第 i mnmminiinmaaakakakaaaaakie212111211)(行行第第 i類似地，類似地，左乘矩陣左乘矩陣以以akiem)(3例例 56024135210002000125 328406 5；行行的第的第乘乘相當于以數相當于以數)(kriaki 2 4例例 100020001560241352210 31820125 ).( )(kciakakiein 列列的第的第乘乘相當于以數相當于以數，其結果，其結果矩陣矩陣右乘右乘以以2 上上去去列列加加到到另另一一行行列列乘乘某某行行、以以數數)(

6、)(03 k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjikccjiekkrrijek 1111)(kkije行行第第i行行第第j，左乘矩陣左乘矩陣以以akijem)( mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaakije2121221111211)().(jikrrikja 行上行上加到第加到第行乘行乘的第的第把把5例例 560241352100010201271314206 5，加加到到第第一一行行上上去去行行乘乘以以將將第第232 ).()(jinkccikjaakije 列上列上加到第加到第列乘列乘的

7、第的第把把，其結果相當于，其結果相當于右乘矩陣右乘矩陣類似地，以類似地，以 mnmjmjmimnjjinjjinaakaaaaakaaaaakaaakijae1222221111111)(6例例 10201000156024135285 35421065列上去列上去后加到第后加到第列乘以列乘以將矩陣的第將矩陣的第1232 定理定理1 1 設設 是一個是一個 矩陣，對矩陣，對 施行一施行一次初等行變換，相當于在次初等行變換，相當于在 的左邊乘以相應的的左邊乘以相應的 階初等矩陣；對階初等矩陣；對 施行一次初等列變換，相當于施行一次初等列變換，相當于在在 的右邊乘以相應的的右邊乘以相應的 階初等矩陣階初等矩陣. .nm mnaaaaa初等變換初等變換初等矩陣初等矩陣初等逆變換初等逆變換初等逆矩陣初等逆矩陣 ),(),(1；則則的