1、控制網的優化設計 摘要 優化設計是最優化理論和方法在設計中的應用，力求以最低的 成本、最高的效率達到最優的目標。本文通過一系列的分析，對 控制網的優化方法進行分析，說明可行性。gps 為了解決控制網優化設計問題，本論文分兩大部分，gps 網的 優化設計和 gps 網的精度和可靠性，在 gps 網形設計中，首先根據 工程的特點和 gps 網設計規范的要求，大致確定網的規模，用圖論 和樹的有關算法推導出 gps 網形中點、邊、異步環之間的關系，然 后給出一種生成網形的算法，自動生成初步網形，并用模擬法在顧 及精度和可靠性準則下對初步網形進行優化設計，確定最終網形， 并按最小路徑方法生成觀測方案。

2、關鍵詞：關鍵詞： gpsgps 控制網，優化設計，精度，可靠性控制網，優化設計，精度，可靠性 optimizing designing of control network abstractabstract the optimization design is a application of the most optimizative theory and method in the design. it is hopeful that the best target obtained through the expenditure of the fewest cost and the be

3、st efficient. the essay is a feasibility report of the optimization design of gps control networks methods by a series of analysis. this paper consists of two parts: optimizing designing of gps control network and the precision and reliability of gps network. when designing a gps control network ,it

4、s scale should be predicted as the project requested and the gps surveying standard disciplined. according to the relationship among gps points , edges and nonsynchronous loops, we can use an algorithm of graphic theory to produce a network when given the number of points and the maximum edges of ea

5、ch nonsynchronous loop, after being modified by using simulate optimizing method we can draw the ultimate network, then the observation plan can be gained by using the best way algorithm. keywords：gps control network, optimizing designing, precision, reliability 目錄目錄 摘要.2 abstract.3 1 緒論 .5 1.1 控制網優

6、化設計的發展歷史 .5 1.2 gps 控制網的發展歷史.7 1.3 gps 網形的特點.8 1.4 gps 系統的應用前景.9 2 gps 網的精度和可靠性 .11 2.1 gps 網平差的數學模型.11 2.2 誤差的傳遞與轉換 .12 2.3 相對點位精度的合理評定 .14 2.4 gps 控制網的可靠性.18 3 gps 控制網優化設計 .22 3.1 gps 網優化設計的數學模型.22 3.2 一階段優化設計 .24 3.3 三階段優化設計 .27 結論.30 參考文獻.31 致謝.32 前言 全球定位系統（global positioning system-gps）是美國從 20

7、世紀 70 年 代開始研制，歷時 20 年，耗資 200 億美元，于 1994 年全面建成，具有在海、 陸、空、進行全方位實時三位導航與定位能力的新一代衛星導航與定位系統。 最近十年我國測繪等部門的使用表明，gps 以全天候，高精度，自動化，高效 益等顯著特點，贏得廣大測繪工作者的信賴，并成功的應用于大地測量、工程 測量、航空攝影測量、運載工具導航和管制、地殼運動監測、工程變形監測， 資源勘探、地殼運動學等多種學科，從而給測繪領域帶來了一場深刻的技術變 革。 隨著全球定位系統的不斷改進，硬、軟件的不斷完善，應用領域正在不斷 的開拓，目前已遍及國名經濟各不呢不，并開始逐步深入人們的日程生活。 1

8、 緒論 1.1 控制網優化設計的發展歷史 最優化問題是一個具有很久的研究歷史和廣闊的應用前景的領域，早在 公元前 500 年畢達哥拉斯就發現了黃金長方形，即長方形的長與寬的最佳比率 為 1.61 8， 稱為黃金分割比，在建筑或繪畫中應用這個比例將使建筑和藝術最 優美、協調。在微積分出現以前，己有許多人開始應用代數的或幾何的方法來 解決最優化問題;在微積分出現以后，利用求導法、變分法和拉格朗日乘數法， 有效地解決了可導函數的極值問題，這類方法也稱為古典最優化問題。近 30 年 來，由于科學技術發展的需要，實踐中許多最優化問題已無法用古典方法來解 決，因此，許多新的最優化技術應運而生，為解決各種優

9、化設計問題提供了有 效的方法。目前最優化設計己普遍應用于國民經濟的各個領域，如生產管理、 運輸調度、服務系統、信息系統等等。 在測繪學科方面，高斯所創立的最小二乘法至今仍是應用最廣的數據處理 方法。18 年 helmert 發表了關于“測量的合理性研究” 的論文，1882 年 shreibe : 曾提出過著名的“線網最適當權分配”的方法，對基線擴大網的測角 觀測方案進行了優化設計，這可以看作是對測量控制網的優化設計所做的開創 性工作。但是在相當長的一段時間內，這一問題未得到深入而系統的研究。直 到六十年代，由于整個科學技術的發展和電子計算機的應用，測量控制網的優 化設計問題引起了測繪學者的重視

10、，尤其是近 2 0 年來，控制網的優化設一直 是人們感興趣的課題之一。值得提及的是 baarada 對控制網的質量標準問題進 行了入的研究，提出了評價控制網質量的三項標準，即精度、可靠性(即抵抗觀 測粗差即其影響的能力)和經濟性，并于 1971 年首先引入了準則矩陣的概念， 提供了一種更為全面和密的精度標準。grafarend 對控制網優化設計問題作了廣 泛的理論研究，提出了現已為國際上所公認的四階段優化分類概念，系統地應 用了各種數學規劃方法來解決控制網優化設計問題。在 1972 年 grafarend、schaffin 導出了具有均勻和各向同精度結構的準則矩陣，即著名的 taylor -

11、karman 結構，簡稱 tk 結構。他們的工作為控制網的優化設計奠定了 理論基礎。 在 gps 技術廣泛應用于測量工作以前，控制網的優化設計理論與方法主要 應用于傳統的二角網、邊角網、導線網以及變形監測網，其內容涉及:各種準則 矩陣的構成，網形優化設計、觀測權優化設計和附加觀測值的優化設計，其目 標函數主要有精度(包括整體精度與局部精度)、可靠性(內部可靠性和外部可靠 性)、經濟性、靈敏度等。采用的主要方法主要有解析法( analytical method)和 機助模擬法(computer aided simulative method)，解析法設計的原理為在各階段 設計中根據固定參數及有關

12、的約束條件，對待定參數求最優解，其函數模型可 表示如下: llvxd ssxb rrxa l s , 2 , 1 2 , 1min , 2 , 1max 1 r 約束條件： ：目標函數： 式中( )表示不等式或不等式或等式 求待定參數的方法主要是線性規劃法，但由于實際的控制網約束條件 復雜，不確定因素很多，很難計算出可行解，因此解析法主要用于小范圍的精 密工程控制網。 模擬法是指對于初步確定的網形與觀測精度，模擬一組起始數據與觀 測值，輸入計算機，然后根據平差原理計算出未知參數及其函數的精度，估算 成本，或進一步計算觀測值的可靠性、敏感性等信息，與預定的精度要求、成 本約束、可靠性約束等相比較

13、;根據計算機所提供的信息與設計者的經驗，對控 制網的基準、網形、觀測精度等進行修正;然后重復計算，直至獲得符合各項設 計要求的較理想的設計方案。其工作流程可示如下: 顯然，模擬法由于所得的最后結果會受到設計者經驗的影響.只是一種相對 的最優，而非嚴格最優方案，但是這種方法的數學模型不需建立?？梢杂糜谌?何類型的設計優化問題，同時，它的最后結果一定是滿足要求的、切實可行的 近似最優方案。 1.2 gps 控制網的發展歷史 近十年來，隨著 gps 技術的出現，由于其具有控制點間不需要相互通視、 測量速度快、精度高、能全天侯作業等常規測量方法無法比擬的優點，在城市 或工程控制網的測量中，它基本己取代

14、了常規的測量方法，因此對 gps 網的設 計與優化進行研究具有較強的現實意義和廣闊的應用前景。目前，人們對 gps 網形設計主要形成了以外一些觀點，一些人認為 gps 網的圖形矩陣 a 類似于水 準網，而在水準網中的設計矩陣 a 與網的點位無關，也就是說 gps 網的優化設 計類似于相應的水準網的優化設計，也有文章認為 gps 網的網形，即點位的分 布， 則主要考慮點的觀測條件及未來擴展的方便，觀測權的優化設計對 gps 網 意義不大，也有一些人主張加測 gps 基線以增加網的圖形強度。但還未和常規 控制網的優化設計一樣，對 gps 網的優化設計進行系統的研究，其主要原因在 于和常規的測量方法

15、相比較，gps 觀測具有以下特點： 具有更為復雜的函數、隨機模型，這些模型的先驗信息在設計階段難于 獲取和準確估計，即在實測前，各基線觀測向量的誤差(權逆陣)與模型誤差一 樣屬于非參數估計； 基線觀測問題不受或幾乎不受)通視條件限制，因而 gps 網具有更為 靈活，多樣的布網形式，為優化設計提供了更為確實可行的條件。 這些特點決定了 gps 網優化設計與實測方案難于完全吻合，即“最優”設 計僅有理論上的意義而并非能在實測中完全準確實現，對 gps 網的優化不僅對 網形進行優化，而且還應對基線向量的觀測時段、每時段的觀測長度、地面點 的幾何精度因子(gdop)等指標進行優選，因而導致了 gps

16、網優化設計的復雜性。 1.3 gps 網形的特點 (1) gps 網的同步環與異步環 gps 同步觀測是指使用臺 gps 接收機，同時在相同的時段內連續2mm 跟蹤接收相同的衛星組信號。通常稱同步觀測的時間段為時段或測段，臺m gps 接收機在一個時段內同步觀測，可以由軟件算得各點間的 gps 基線向量(或 簡稱 gps 邊)，這些 gps 邊可以構成一個完全圖，圖形中包括的 gps 邊的邊數為: （1-3-1）2/1mmnb 但其中僅有 m-1 條是獨立的 gps 邊，其余的都是非獨立的 gps 邊，非獨 立的 gps 邊可以由獨立的 gps 邊推算得到。 當同步觀測的 gps 接收機數時，

17、獨立的 gps 邊和非獨立的 gps 邊將3m 構成閉合的多邊形環，稱為多邊形閉合環，同步閉合環的最少個數為: （1-3-2） 2/211mmmnn br 理論上，同步閉合環中各 gps 邊的坐標差之和（即閉合差）應為 0，但 因為有時各 gps 接收機并不是嚴格同步和各種誤差的影響，使得同步閉合環的 閉合差并不等于零，只要同步閉合環的閉合差不超過限差，則認為此測段的 gps 觀測是合格的，但并不能說明 gps 邊的觀測精度較高，也不能發現接收機 的信號受到干擾而產生的粗差。 為了確定 gps 觀測效果的可靠性，有效地發現觀測值的粗差，必須使 gps 網的獨立邊構成一定的幾何圖形，這種幾何圖形

18、可以由數條 gps 獨立邊構成非 同步多邊形 （或稱為非同步閉合環、異步環） ，如四邊形、五邊形等，gps 網中的圖形設計，就是根據所布設的 gps 網的精度、可靠性及其它方面的要求， 設計出由獨立 gps 邊構成的多邊形網（ 簡稱為 gps 網） 。 (2)gps 網中各要素之間的關系 gps 網形可以由圖論來描述，從其組成要素上來看，它類似于 gis 空間數 據的構成要素，也是由點、線、面構成的，這里的點是指已選定位置的 gps 點， 線表示兩點之間存在獨立的 gps 邊，面指由獨立的 gps 邊構成的異步環。 gps 網形是靠一定數量的 gps 接收機在野外觀測一定數量的時段而實現的，

19、因此在設計網形、編制觀測綱要時一定要建立這些量之間的關系。設為 gps p n 點的個數，為整個網中的獨立邊數，為異步環的個數。在 gps 測量規范 b n r n 中，有的要求網中異步環的邊數小于某個給定的整數值，有的要求每個點上至 少應設站兩次，實際上這兩個規定有其一致性。 （）當要求 gps 網由 m 邊形組成時，存在以下關系: （1-3-3） 1 1 21 pbr b nnn kmkn 其中： 2 2 int 1 m n k p 0 2 2 1 0 2 2 2 2 2 mod 2 m n m n m n k p pp int( )表示取整數，mod ( )表示取余數，對于不同的和 m

20、，按上式 p n 計算出相應的和，從上式可以看出，在根據測區范圍和精度要求確定 b n r n 和 m 以后，可以由上式求出需 要觀測的獨立的 gps 邊數和，從而對 p n b n r n 布設 gps 網的工作量有一個恰當的估計。 （）當要求每個點上至少設站次時:2tt 對于一個有個點的控制網，如果在每個點上至少設站 t 次，則共應 p n 設站次，如果用于觀測的 gps 接收機有 m 臺，則需要觀測的總時段數 k 為: p tn （2-3-4） m tn m tn m tn m tn m tn m tn k ppp ppp int1int intint ， ， 此時，獨立的 gps 邊和

21、網中閉合環數為: （2-3-5） 11 1 pr b nmkn mkn 1.4 gps 系統的應用前景 當初，設計 gps 系統的主要目的是用于導航、手機情報等軍事目的。但是， 后來的應用開發表明，gps 系統不僅能夠達到尚書目的，而且用 gps 衛星發來 的導航定位信號能夠進行厘米級甚至毫米級精度的靜態相對定位，米級至亞米 級精度的動態定位，亞米級至厘米級精度的速度測量和毫微秒級精度的時間測 量。應此 gps 系統展現了極其廣闊的應用前景。 其主要應用有： (1)在控制測量中的應用； (2)在精密工程測量及變形監測中的應用 (3)在航空攝影測量中的應用 (4)在線路勘測及隧道貫通測量中的應用

22、 (5)在地形、地籍及房地產測量中的應用 (6)在海洋測繪中的應用 (7)在智能交通系統中的應用 (8)在地球動力學及地震研究中的應用 (9)在氣象信息測量中的應用 (10)在航海航空導航中的應用 2 gps 網的精度和可靠性 2.1 gps 網平差的數學模型 大地測量控制網的優化設計是通過調整觀測點的位置及觀測方案來達到使 目標函數最優的目的，為此，首先要建立起觀測量、未知參數、觀測量的權以 及未知參數的方差、協方差矩陣之間的函數關系。 gps 接收機的初始觀測量是瞬時載波相位差.而未知參數包括衛星坐標的改 正量、地面點的坐標以及一些系統誤差參數 (衛星鐘差、接收機鐘差、電離層、 對流層的折

23、射延遲以及整周模糊度等)，作為第一步，首先要解出基線向量，文 獻2對 gps 基線向量的解算已有詳細敘述，本文不再述及。而以基線向量作 為觀測值的網平差的數學模型和隨機模型正是本文所關心的。 “基線選擇法”是 gps 控制網平差最常用的方法，它通過選擇獨立基線來組 成平差網形，分為兩個過程，首先解算出同一時段的基線向量，然后從基線向 量中選取獨立的基線向量進行網平差。在網平差階段，將地面點在的三維坐標 當成待求的未知參數，從而得到以下的 gauss-markov 模型: axre )( (2-1-1) r crd )( 這里 a 是由 0，1 組成的圖形矩陣，x 是待定點的近似坐標改正數向量，

24、而r 則由下式給出 : （2-1-2）)( 21 t n tt rrrr (2-1-3) i i i k k k j j j kji z y x z y x z y x rrr 獲得 (3-1-1)式基線向量方差的方式有兩種，第一種方法是采用基線 向量解算時計算出的方差和協方差陣作為驗前協方差陣，第二種方法是在基線 向量的經驗公式。的基礎上采用驗后最小范數二次無偏估 2222 sba i 計(minque 估計)得到，其中常數 a、b 分別為接收機的固定誤差和比例誤差系 數，s 為基線長度。 在 gps 網的優化設計中，由于沒有實際觀測值，采用以下的經驗公式作為 基線向量各分量的近似精度: (

25、2-1-4) 2222222 3/ izyx sba iii 若某 gps 網有 n 條基線，并不考慮同一基線各坐標分量之間的相關性，則 所有基線分量的方差、協方差陣可表示為: （2-1-5） iirr idiagcdiagc j 2 ni2 , 1 其中 diag是一個由 n 個的單位矩陣所組成的對角陣。 ii i 2 33 2.2 誤差的傳遞與轉換 gps 網精度估算是指在選定的基準條件下，通過誤差傳播律來近似計算待 定點的方差和協方差、各點之間的相對中誤差、或邊長、方位角誤差等。若以 表示 gps 網中所有點的協方差陣，由于其它量 (如邊長、方位角等)均為坐 xx q 標未知數的函數，因

26、此也可以用誤差傳播律來求坐標未知數函數的協方差( ),因此 gps 網的精度評定主要是計算精度估算與網平差的區fqfq xx t ff xx q 別在于:精度估算中作為觀側值的基線向量是一個未知量，其先驗的協方差未知， 而在網平差中，基線向量的協方差陣己在基線解算中獲得，其次，網平差中常 數項可以準確地計算出，而在設計階段，其值未知。在精度估算中，基線向量 各分量的先驗精度采用 (3-1-4)式的計算方法獲得，在網形設計階段，我們最 關心的是在獨立坐標系下的精度，因此誤差要經過以下一系列的計算和傳播過 程。 1 gps 網的三維平差 設任意兩點 i, j 的 gps 基線向量觀測值為(),它門

27、是 wgs- ijijij zyx, 84 坐標系中的空間直角坐標差，又設待定點在 wgs-84 坐標系中的空間直角坐 標為未知參數并記為: （2-2-1） i i i z y x i i i i i i z y x z y x 0 0 0 其中，()為坐標近似值，()為坐標平差值，(,)為 000 , iii zyx iii zyx , , i x i y i z 坐標改正數，容易得出 gps 基線向量觀測值()與未知參數存在以 ijijij zyx , , 下關系: (2-2-2) i i i j j j zij yij xij ij ij ij z y x z y x vz vy vx

28、z y x y y y _ 式中，()表示為()的改正值，從而寫成 ijijij zyx vvv, ijijij zyx , , 誤差方程的形式: （2-2-3） 設某 gps 網中共有 m 個點，觀測了 n 條基線，則上式寫成矩陣的形式為: （2-2-4）lxav v: 3n 1 階矩陣，表示基線向量的改正數 a: 3n 3m 階矩陣，稱為系數矩陣或圖形矩陣，與網形有關 :3m 1 階矩陣，坐標未知數的改正數:x l:常數項向量。 (2-2-4)式是不包含基準條件的誤差方程，其系數矩陣是秩虧的，無法求解， 對于三維控制網而言，本應包含三個位置基準，一個尺度基準，三個方位基準， 在網平差時可以

29、通過以下約束條件來獲得網的基準: (1)固定約束 (即固定點的坐標值): (2)條件約束 (即通過使某些未知參數之間滿足給定的條件); (3)權值約束 通過給某些觀測量或未知量分配很大或很小的權)。 對于 gps 網，作為觀測值的 gps 基線向量包含了尺度和方位信息，因此， 在 wgs-84 坐標系中平差時，可以取 gps 基線向量提供的尺度基準和方位基準， 在此，我們取 b 點的單點定位的三維坐標作為固定值，從而可以寫出基準方程: （2-2-5） 0 0 0 b b b z y x 寫成矩陣形式為:0 1 xgt （2-2-6） 00000 00100 00010 1 t g (2-2-4

30、), (2-2-6)式聯立，即為附加基準條件的 gm 模型，在最小二乘準則 下求解得: (2-2-7)plaqplaggpaax tttt 1 1 11 (2-2-8) 11 paqaqq t xx 需要說明的是，在城市或大型工程控制網中，經常采用分級布網的方案， 對于分級布設的 gps 網，首級網一般采用只固定一個位置基準的無約束條件的 0 0 0 _ ijij ijij ijij z y x z y x z y x zz yy xx v v v i i i j j j ij ij ij 三維平差，而次級網是在固定多個首級網點的情況下的有約束條件的三維平差， 很明顯，次級網的誤差也包含首級網

31、的誤差，在次級網點的精度評定時，一定 要考慮首級網的誤差，具體的估算方法將在以后的章節中詳細述及。 2 gps 網空間直角坐標的協方差陣轉換成大地坐標協方差陣 gps 網在空間直角坐標系下進行三維平差之后，需要在橢球下(wgs-84 橢球、國家橢球或地方區域橢球) 將空間直角坐標( x y z ) 轉換成大地坐 標 ( b l h)，有以下熟知的公式: （2-2-9） nbyxh yxbnezarctgb xyarctgl cos/ /sin / 22 222 其中 為橢球的第一偏心率，n 為卯酉面的曲率半徑，對 e be a w a n 22 sin1 上式微分，得出大地坐標與空間直角坐標的

32、微分關系: t xyzblh rqrq 11 3 gps 網大地坐標協方差陣轉換為高斯坐標協方差陣: gps 的大地坐標要變換成平面坐標，要通過高斯投影來得到，而高斯 投影要先選擇中央子午線，中央子午線可以按國家坐標系的 3 度、6 度帶來選 擇，也可以選擇任意的中央子午線，如在城市獨立坐標系中，一般選擇過城市 中心區域的經線做為中央子午線。通過高斯投影的正算可以得到各網點的高斯 坐標及其協方差陣。其協方差計算可以采用如下: dl db r d d g y x b l bnblm blbnb l m rg 2 2 2 2 sin21 2 1cossin cossinsin21 2 1 其中:

33、m , n 分別為子午面和卯酉面的曲率半徑，經差(為 中 0 lll 0 l 央子午線經度),按誤差傳播公式，存在下式: t gblhgxy rqrq 2.3 相對點位精度的合理評定 普通的( 絕對)點位精度是指控制點相對于一組起算數據(包括起算點 的坐標、起算方位角和起算邊長)的精度，而傳統的相對點位精度評定方法是利 用坐標差來確定兩點之間的相對點位精度: (2-3-1) kjj kkjkkjjjkjj yykyy yxyxyxyxxxkxx yxy yxx ddd ddddddd dd dd 2 2 對稱 這種相對點位精度的評定方法與絕對點位精度相比較，僅僅是改變了起算 點的位置，而沒有改

34、變起算方位角和起算邊長的位置，因而理論上是不嚴密的 訓，不能合理地評定兩點之間的相對精度，而在實際工作中，有時需要根據不 同位置的起算數據來分析控制網的精度。例如在工程控制網中，為確定離起算 數據較遠的控制點是否滿足精度要求，有時并不要求這些點相對于原起算數據 有很高的精度，而只要求它們相對于鄰近某個點、某個方位和邊長的相對精度， 為了便于合理地評定相對點位精度，我們把平差基準分為坐標基準和方差基準。 1 坐標基準 在平差問題中，待估的未知參數往往不是觀測值，例如在 gps 網平差中， 觀測值更準確地說應該是偽觀測值)為基線向量，而取點的坐標為參數，如果 沒有足夠的基準條件，這種坐標參數是無法

35、確定的，這種起算數據稱為平差問 題的基準。為了便于和后面提出的方差基準區分，我們稱此基準為坐標基準。 gps 測量的基準條件可統一表示成為下式: (2-3-2)0xgt 若在基準條件為的條件下，則附基準條 件的 guass-markov 模型表示為: 1 g (2-3-3) 0 11 1 xg lxav t 在最小二乘準則下組成法方程:( 其中: k 為附加的參數向量): (2-3-4) 0 11 11 xg plakgxn t t 上式中由于 n 秩虧，令， 對上面兩個方程進行矩陣的初等 t ggnn 11 變 換，可以證明 n 是滿秩的，按文獻的分塊矩陣求逆公式，可得到(3-3-5) ，

36、這與文獻的附參數條件的間接平差計算結果是一致的。 = 000 2212 1211 1 11 pla qq qqpla g gn k x tt t (2-3-5) 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 11 pla gngnggng gnggnggnggnn t ttt ttt 即： (2-3-6)plarplanggnggnnx t n ttt ) ( 1 1 1 1 1 11 1 11 (2-3-7) nnx nrrq 1 在只固定一個基準點的情況下，上式可簡化為： (2-3-8)plaggnx tt 1 111 (2-3-9) 1 11 1

37、 111 tt x ggnnggnq 但在城市控制網的首級網和工程控制網中，一般只取 gps 基線的尺度基準， 采用固定一個地面網的基準點和一個起始方位的無約束條件的三維平差，因此， 在 wgs-84 坐標系中對基線向量進行三維平差時應加入方位角信息。若以為 0 p 基 準點，以的大地方位角為方位基準，由 gps 三維坐標差求得的大地坐 10,p p 標方位角為: (2-3-10) 0100100100 010010 01 cossincossin cossin zbylxlb ylxl arctga g 令 ， 0100100100100100 cossin,cossincossinylxl

38、vzlylxlbu 對上式線性化，得 （2-3- 22 000100010133 22 00010010122 22 00010010111 /coscoscossin/ /coscossin/ /cossinsin/ 1 1 1 vublybbxddaa vublzbxddaa vublzbyddaa z g y g x g 11） 在加入方位角條件下，基準變為： （2-3- 332211 2 000 000100 000010 000001 aaa g 12） 為方便計算，可以將基準條件中的方位角條件作為偽觀測值，取其權值為 無窮大，在有 m 條基線的情況下，在附加第 3 m + 1 個條

39、件方程(3-3-13) ，從 而仍可以沿用(3-3-8)和(3-3-9)式: (2-3-13) 1313 mm lxav 2 方差基準 在選定的坐標基準下，若同時默認起始數據的方差為零，即可得出重 合于坐標基準的協方差基準，在此基準條件下得出的平差后網點坐標的協方差 陣就是通常所說的相對于起算數據的絕對點位精度(絕對點位精度) 。如圖，設 4,7 點 為某隧道控制網的兩個洞口點，設所選定的坐標基準條件為固定 1 點即 1 g 1-2 方位，而我們所關心的并非洞口點的絕對點位精度，而是在固定 7 號點和 7 -3 方位條件下(稱為)4 號點的點位精度。在測量控制網中，我們關心的是平 2 g 面坐

40、標系 f 的點位精度，由于大地方位角和地面獨立坐標系的起始方位角只差 一個極小量的旋轉角，因此在空間三維直角坐標系中固定大地方位角與在平面 上固定坐標方位角是等價的，完全可以在二維的獨立坐標系下對控制網進行協 方差基準變換，若以點為墓準點，兩點的方位角為起算方位角,(2-3-12)的 0 p 10,p p 三維基準條件與下面的二維基準條件是一致的: （2-3-14） 00cossincossin 000010 000001 01010101 1 t g 故在三維平差中，由三維基準條件與二維基準條件的一致性，將空間三維 直角坐標下的坐標協方差陣轉換成平面坐標協方差陣后.再沿用文獻列出的 19 協

41、方差基準的性質和轉換公式，并由這些性質檢驗協方差基準的正確性，具體 的公式在此不再推導。 3 在不同的方差基準下求相對點位梢度的實用公式 設在給定的坐標基準條件下，未知點的協方差陣經過三維平差以后，經過 前已述及的一系列變換，得到了其高斯坐標的協因數陣，設新的方差基準 1 x q 條件 為固定 點及之間的坐標方位角，?。?2 giji, （2-3-15） 2 2 1 1 101010 010101 mm t xyxyxy g 式中，。 ij il l s xx x ij il l s yy y mi1 條件也可寫為: 2 g （2-3-16） 0cossincossin00 0001000 0

42、000100 2 ijijijij t g 如果求出所有點在新方差基準下的協因數陣，其計算量會相當龐大，也會 占用較多的內存，而在實際工作中，我們只需要評定某兩個點的相對點位精度， 即某個點如 k 點)在新的方差基準下的點位精度，故可對式簡化。 2.4 gps 控制網的可靠性 控制網的可靠性概念是為研究模型誤差 (土要是粗差和系統誤差)而提出來 的，用來描述網本身發現某一模型誤差的能力的指標稱為網的內部可靠性，控 制網抵抗模型誤差的能力稱為網的外部可靠性。 在工程實踐中，人們往往傾向于注重控制網的精度，而忽略了控制網的可 靠性，實際上可靠性與精度同樣重要，而且_者不是等價的，高精度的控制網不

43、一定有好的可靠性，而可靠性好的控制網也不一定具有較高的精度，因此在網 的設計階段一定要考慮到網的可靠性。對于 gps 網而言，gps 網的原始觀測值 轉換成為平差中的基線向量經過了若干次轉換，也包含了較常規測量更多的系 統誤差源，在網形設計階段充分考慮可靠性指標更有其必耍性。 和常規網相比，gps 基線向量網的數據的平差處理由兩個階段組成，一是 對相位觀測值進行基線向量解算，二是以基線向量為觀測值進行網平差計算。 第一階段，可靠性研究側重于如何通過殘差分析剔除劣質相位觀測值，包括消 除小的周跳，確定好整周模糊度的偏差值等。第二階段，主要研究以基線向量 為觀測值的可靠性問題。 1 網的可靠性矩陣

44、 以 gauss-markov 模型為例，在最小二乘準則下，未知參數的解為 （2-4-1）plaqplapaax t xx tt 1 （2-4-2）rlplqlipaaqv t x （2-4-3） nnnn n n vv rrr rrr rrr pqr 21 22221 11211 若觀測值中有一模型誤差，則對改正數的影響為 t n 21 （2-4-4）rv 由式 (3-4-3), (3-4-4)可以看出，任何一個模型誤差一般對每一個改正 數均有影響，其影響系數為矩陣 r 的元素，r 的對角線上的元素為 的模型誤 ii r i l 差對 本身改正數的影響系數，非對角線元素表示的模型誤差對 的

45、i i l i v ij r j l j i l 改正數的影響函數，因此，矩陣 r 反映了模型誤差對改正數的作用程度，而 i v 改正數是用來探測模型誤差的主要依據，所以 r 矩陣包含了控制網的可靠性信 息，稱之為可靠性矩陣，對于常規的測量控制網和 gps 網上式同樣適用。 2 gps 網的內部可靠性 當某一觀測值包含模型誤差式中 h 為系數矩陣，s 為 p 維模型 1 1 ppn n sh 誤差系數向量，則 gm 模型變為帶模型誤差的擴展模型: （2-4-5）lshxav 在最小二乘準則下，解出得： （2-4-6） 1 1 1 1 ahhhhahaaq shaqplapaax phpqhq

46、pvhqs tttt vv t vv tt vv t ss t ss 為了檢查模型誤差是否存在，提出以下的原假設和備選假設： 原假設: （2-4-7） 0 , | 00 sxahleh或 備選假設： （2-4-8）0 , | 11 sshxahleh或 在有多個粗差的情況下，能以一定的檢驗功效，通過顯著水平為的統 0 計檢驗可發現的(s 為的單位向量)方向可發現粗差的下界值為:ss （2-4- spsss ss t /| 000 9） 式中是 單 位 權中 誤 差，為 非中 心 化 參 數 0 s 0 。 針對 gps 基線向量為觀測值的 g p s 網，設基線向量的粗phpqhp vv t

47、ss 差向量的單位向量部分為: , （2-4- t x s001 t y s100 t z s100 10） 在網形設計階段，我們討論的是單基線的可靠性問題，其特點是各個 單基線向量之間不相關，而一條基線的三個分量之間相關。因此 g p s 基線向 量觀測值的權陣是一個分塊對角陣。根據這一特點，對于 gps 網，可以得出下 式: （2-4- ivivv t ss pqpphpqhp ii 11） 式中，和分 別 是 權 陣和陣的第 個 三 階 主 子 塊 。 由( 2 i p ii v q v qi - 4 - 9 ) 式 可 求 得 某 一 基 中 式線向量的三個坐標分量方向上的內可 靠性為

48、: （2-4-12） z zsszlz y yssyly x xssxlx rsps rsps rsps 00000 00000 00000 / / / 式中： （2-4-13） x xk ixkikxivi xrppqpr ii 0 0 1 001 （2-4-15） x xk i yk i yk yrpr i （2-4-16） x xk i ykixk yrpr i 上式中的為第 i 條基線向量三個坐標分量的多余分量主子塊陣， 在無 i r 需 顧及方向的前提下，可按下式來求出單條基線向量可發現粗差的下界值: （2-4-17） 2 0 2 0 2 00 lzlylxl 它是一種平均意義下的定

49、義，即假設某條基線在空間各方向上可發現 的粗差的下界值是相等的，因此單條基線向量可發現粗差的下界域也是一個球 形域。若假設某基線向量的各分量是等權的，則 ( 2-4-12 )式可以變為: （2-4- xiiilx rr / 0 18） 為了比較各種不同精度的觀測值之間發現粗差能力的差別，將上式中 的觀測精度口去掉，得到的無量綱的內部可靠性指標與文獻的內部可靠性指 i 標完全等價，這說明若將基線觀測分量作為觀測值，可以得到與常規網一樣的 內部可靠性指標。 3 gps 網的外部可靠性 外可靠性是指不可發現的最大模型誤差對平差結果的影響，一般將這種 模型誤差對平差未知數的影響長度定義為外部可靠性指標

50、。在 ( 2-4-5 )的數 學模型下，外部可靠性可表述如下: （2-4-19） sps spps ssxs ss t ssss t 00 | 式 中 :類似于內部可靠性的討論,可求得一個基線向量在三個phhp t ss 坐標分量方向上的外部可靠性指標為: （2-4-20） 1 1 1 00 00 00 z zz z y yy y x xx x r p r p r p 式中，分別是該基線向量的權陣中的對角元素， 同樣， zzyyxx ppp , 定義一個基線向量平均意義下的外部可靠性指標為: 2 0 2 0 2 00zyxb 4 控制網可靠性的一些性質 矩陣為可靠性矩陣，內部可靠性和外部可靠性

51、都由其決定，panair t 通過對它的分析，可以得到以下一些性質: (1)tr(r)=r 二其中 r 為多余觀測數，對于有 m 個點，n 條基線的 gps 網， 則；nmr33 (2)r 的對角元素滿足: ；1 0 , ii n li ii rrr (3)對于某個觀測值 而言，其可靠性權陣與自身的精度權陣成反比， i l i r i p 而與其它觀測值的權陣成正比； j l i p (4)增加新觀測值，既能提高其它原有觀測值的可靠性，又能提高網的總 體可靠性； (5)衡量網的可靠性的準則，不僅取決于多余觀測數值，也取決于各觀測 值的可靠性權陣分配是否均勻。 3 gps 控制網優化設計 3.1

52、 gps 網優化設計的數學模型 (1) 常規網的優化設計模型 我們做任何一項工作時，總是希望在所有可行的方案中選擇一種某種意義 上最優的方案，這就是最優化設計問題，數學上的優化設計可以用以下的函數 模型來表示: （3-1） nixh pjxg exxf i j n , 2 , 10 , 2 , 10 min 式中為設計變量，可以由設計人員調整，其不同的取 t n xxxx, 21 值 表示 不同的設計方案，是優化設計問題中最終要確定的變量。 為設計變量的函數，稱為目標函數，其函數值的大小決定了設計方案 f 的好壞，也稱為優化設計的準則矩陣;不等式約束條件，為 等式 xgj xh j 約束條件，

53、統稱為約束條件。約束條件是為了確保設計方案能夠滿足使用上的 要求而建立的，以使設計方案最終是確實可行的。滿足約束條件的所有設計變 量組成的集合稱為可行域，可行域內的每一個點所代表的方案都是可行的。 數學最優模型應用到測量控制網中，用數學語言可以描述如下， （3-2） xhnmpast erp ，或, min 其中分別為精度、可靠性、經濟指標，分別為圖形矩陣和權矩erp,pa, 陣， 分別為未知數個數和觀測值個數，限制條件函數，為常nm, xh、 數。(3 - 2)即顧及精度、可靠性、經濟性等綜合指標的大地控制網優化設計的 數學模型。按照提出的，目前國際上廣泛采用的分類方法，控制網的grafra

54、end 優化設計分為以下幾個階段: (1)零階段設計問題(或稱基準選擇問題)，對一個已知圖形結構和觀測計劃 的自由網，為控制網點的坐標及其方差陣選擇一個最優的坐標系。即在己知設 計矩陣 a 和觀測值權陣 p 的條件下，確定網點的坐標向量 x 及其協因數陣， xx q 使 x 的目標函數達到極值，因此，零階段設計問題就是一個平差問題； (2) 一階段設計問題(或稱圖形設計問題)，即在已知觀測值的權陣 p 的條 件下，確定設計矩陣 a，使網中某些元素的精度達到預定值或最高精度，或者 使坐標的協因數陣最佳逼近某個給定的矩陣(準則矩陣)； xx q (3)二階段設計問題(或稱觀測值權的分配問題),即已

55、知設計矩陣 a，確定 觀測值的權陣 p，使網的精度(整體精度或局部精度)達到預定值或最高精度； (4)三階段設計(或稱為網的改造或加密方案的設計問題)，通過增加新點 和新的觀測值，以改善網的質量。在給定的改善質量前提下，使改造測量工作 量最小?；蛘咴诟脑熨M用一定的條件下，使改造方案的效果最佳。 以上各階段的設計既相互區別，義是相互聯系的，如三階段設計問題可 以看成是一階段和二階段設計問題的混合，各階段設計問題的己 知量與設計量 之間的變換關系可以用下表來表示: 類 別已知量設計變量 零階段設計pa, xx qx, 一階段設計 xx qp, a 二階段設計 xx qa, p 三階段設計 xx q

56、pa, 2 gps 網的優化設計 具體到 gps 控制網,其數學模型與常規大地測量控制網一樣采用(3- 2)式， 其優化設計步驟也可以按上述的四個階段逐步優化，但是，應該和常規網有所 區別: gps 網平差廣泛采用的方法是在 wgs-84 空間直角坐標系中進行無約束條 件的平差，然后將平差后的坐標及其協因數陣轉換到高斯平面上，再在平面上 建立坐標轉換模型，根據 gps 網和地面網的公共點的坐標及坐標約束條件。求 解轉換參數，然后將 gps 點坐標及相關的精度信息，根據轉換模型一次性轉換 到國家或地方坐標系下。若只固定一個點和一個已知方位，這稱為無約束條件 的 gps 網平差，若固定點的個數在兩

57、個以上，則稱為約束條件的 gps 網平差。 前者最大限度地保留了 gps 技術高精度的特點，但地面公共點的坐標發生了變 化，后者雖然可保持約束點的坐標不變，但約束平差后 g p s 網的尺度保持了 常規網的尺度，其度可能是虛假的，特別是當約束點中存在較大誤差或顯著位 移時。選擇哪種平差法應根據建網的目的來考慮，當對城市控制網進行新建或 大規模地擴建時，應選擇無約束條件的網平差模型，當對原有地面網局部加密 時。應采用約束轉換。而對于工程控制網，大多采用無約束條件的網平差，以 保持網的較高精度，如隧道網，它一般選擇洞口點作為基準點，橋梁控制網， 則選擇其主軸線作為基準方向，軸線的某一端點作為基準點

58、，對于變形監測 51 網一般采用自由網平差或擬穩基準。故對于基準條件的選取受網的用途和目的 的限制，其選擇的自由度不大，故對于零階段優化設計沒有多大的實際意義， 但要注意基準的選擇引起 gps 網點位誤差變化的規律。 控制網優化設計的方法有許多種，目前廣泛采用的方法主要是解析法 (analyticalmethod )和機助模擬法(computer aided simulative method ) ， 解析法是通過建立優化設計的數學模型，包括目標函數和約束條件.選擇一種優 算法,求出問 題的最優解;機助模擬法則是將電子計算機的計算功能和判別能力 同設計者的知識和經驗結合起來，通過一個憑經驗擬訂

59、的初始觀測方案，進行 分析計算，求出各項質量指標，并對設計方案進行不斷的修改，直到滿足設計 者的要求為止的一種方法。 對于 gps 控制網，由于解析法優化設計模型比較復雜，難以解出可行解， 目前編制出的控制網的優化設計軟件一般都采用模擬法，需要指出的是模擬法 的最終結果相對于解析法而言，在嚴格的數學意義上并非最優，而只是一種相 對最優，下面將模擬一小型 gps 網，在顧及精度和可靠性的準則下，對 gps 網 的優化設計進行探討。 3.2 一階段優化設計 1 點位的移動及異步環的數盆對精度和可靠性的影響 一階段設計即 gps 網形設計，主要是指在控制點的個數。多余觀測數大致 確定的情況下，設計出

60、最優的網形，以使整個控制網具有較好的精度和可靠性。 在常規測量中，點位的位置移動對精度和可靠性的影響較大，主要原因是 點位的移動將改變傳遞三角形的角度，從而會改變點位誤差橢圓的大小和方向， 如三角網布網時就規定傳遞三角形的角度一般不得小于 30 度。而 gps 觀測類似 于水準測量，只要不改變點間的連接方式，其誤差方程就不會改變(即圖形矩陣 a 不變)，點位的移動對權陣 p 會不會有影響呢?gps 基線向量的精度估算公式 (3-2 -1)對基線長度微分得: (3-2-1) iii dssbd 22 2 在上式中，取 s=20km ,ds=1km ,b=2ppm，計算出，在進行08 . 0 /