1、簡單多面體外接球球心的確定一、知識點總結1. 由球的定義確定球心長方體或正方體的外接球的球心是其體對角線的中點.正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心連線的中點.直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心連線的中點.正棱錐的外接球球心在其高上，具體位置可通過建立直角三角形運用勾股定理計算得到.若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心.2構造長方體或正方體確定球心正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是直角三角形的三棱錐.同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐.若已知棱錐含有線面垂直關系，則可將棱錐補成長方體或正方體.若三棱錐的三個側面兩

2、兩垂直，則可將三棱錐補成長方體或正方體.3. 由性質確定球心利用球心 O 與截面圓圓心O1 的連線垂直于截面圓及球心O 與弦中點的連線垂直于弦的性質，確定球心 .二：常見幾何體的外接球小結1、設正方體的棱長為a ，求（ 1）內切球半徑；（2）外接球半徑；（3）與棱相切的球半徑。（ 1）截面圖為正方形 EFGH 的內切圓，得aR；2（ 2）與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點為各棱的中點，如圖4 作截面圖，圓 O 為正方形 EFGH 的外接圓，易得R2 a 。2（ 3）正方體的外接球： 正方體的八個頂點都在球面上，如圖 5，以對角面 AA1 作截面圖得， 圓 O為矩形 AA1C1C

3、的外接圓，易得 RA1O3 a 。21圖 1圖 2圖 32、正四面體的外接球和內切球的半徑（正四面體棱長為a ， O 也是球心）內切球半徑為：r6 a12外接球半徑為：R6 a4三：常見題型1. 已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是解析： 本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質來求解的.補形法2. 若三棱錐的三個側棱兩兩垂直，且側棱長均為3 ，則其外接球的表面積是.解析：一般地，若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且其長度分別為a、b、c ，則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設其外

4、接球的半徑為R ，則有 2Ra2b2c2 .23. 正四棱錐 S ABCD 的底面邊長和各側棱長都為2 ，點S、A、B、C、D 都在同一球面上，則此球的體積為.解析： 尋求軸截面圓半徑法SDCO1A圖3B4. 在矩形 ABCD 中， AB 4, BC3 ，沿 AC 將矩形 ABCD 折成D一個直二面角 B ACD ，則四面體 ABCD 的外接球的體積為 （） AOC解析： 確定球心位置法圖4 B四：練習1、已知點 P 、 A、 B、 C、D 是球 O 表面上的點，PA平面 ABCD ，四邊形 ABCD 是邊長為23 的正方形 . 若 PA26 ，則OAB 的面積為多少？2、設三棱柱的側棱垂直于

5、底面，所有棱長都為a ，頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為多少？3、三棱錐 SABC 中， SA平面 ABC ， SA2 ，ABC 是邊長為 1 的正三角形，則其外接球的表面積為多少？34 、點 A、B、C、D 在同一個球的球面上，ABBC2 ， AC2 ，若四面體ABCD 體積的最大值為2 ，則這個球的表面積為多少？35、四面體的三組對棱分別相等，棱長為5,34,41 ，求該四面體外接球的體積.6、正四面體ABCD 外接球的體積為4 3，求該四面體的體積.7、若底面邊長為2 的正四棱錐PABCD 的斜高為5 ，求此正四棱錐外接球的體積.8、一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為9 ，底面周長