1、求值域方法函數(shù)值域的求法方法有好多 ，主要是題目不同，或者說稍微有一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)問題，對(duì)我們來說，解題的思路可能就會(huì)出現(xiàn)非常大的區(qū)別這里我主要弄幾個(gè)出來，大家一起看一下吧函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法那么，求函數(shù)的值域要注意優(yōu)先考慮定義域常用求值域方法1、直接觀察法：利用已有的根本函數(shù)的值域觀察直接得出所求函數(shù)的值域?qū)τ谝恍┍葦M簡單的函數(shù)，如正比例，反比例，一次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，等等，其值域可通過觀察直接得到。1 y -，x i,2例1、求函數(shù) X的值域。例2、求函數(shù)y 3x的值域。答案：值域是：，3i【同步練習(xí)1】函數(shù)y的值域.2 X21解: y 0 y 2 、配方法：二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化

2、為形如 Fx afx2 bfx c類的函數(shù)的值域問題，均可用配方法，而后一情況 要注意f x的范圍；配方法是求二次函數(shù)值域最根本的方法之一。例1、求函數(shù)y2 x2x5,xR的值域。()例2、求函數(shù)y2 x2x5,x1,2的值域。()解：將函數(shù)配方得:y(x1)24. x 1,2由二次函數(shù)的性質(zhì)|可知：當(dāng)x=1時(shí), ymin 4 ,當(dāng) x 1 時(shí)，ymax 8故函數(shù)的值域是：4,8例 3、求 y 2 log 2 2x 2 6log2 x 62 log 2 x 2 22。配方法、換元法解：所以當(dāng)x 1時(shí)，y有最小值-2。故所求函數(shù)值域?yàn)?2, +*。例4、設(shè)0 x 2，求函數(shù)fx 4x 3g2x

3、11的值域.解：f(x) 4x 3g2x 1 1 (2x 3)2 8,/ 0 x 2，二 2x 0),f(x) f(1 t2)1 t2 t21 55 ,2 44所以函數(shù)值域?yàn)?，4 評(píng)注：利用引入的新變量t，使原函數(shù)消去了根號(hào)， 轉(zhuǎn)化成了關(guān)于t的一元二次函數(shù)，使問題得以解決.用換元法求函數(shù)值域時(shí)，必須確定新變量的取值范圍，它是新函數(shù)的定義域.小結(jié)：2“ ，2“ ，21口1t口1 t彳曰V千電tt 1得x,于是 y222【同步練習(xí)3】求函數(shù)y x . 1 2x的值域。解：由 1 2x 0,得 x 1。令 1 2x t t 01，因?yàn)閠 0 ,所以y -。故所求函數(shù)值域?yàn)?卜32例2、求函數(shù)y x

4、 d x2 x2的值域。解：設(shè) x sin-，那么2ysin cossi n2si n21 1 cos2221恵11所以y，故所求函數(shù)值域?yàn)?22 1 J22 2【同步練習(xí)4】求函數(shù)y X 45 X?的值域。12sin2。2 24解：由5 x20，可得|x| 5故可令 x 5 cos ， 0,y 5 cos 45 sin-10sin() 440_ 5_44 4當(dāng) /4 時(shí)，ymax 4、10當(dāng)時(shí)，y min 4-5故所求函數(shù)的值域?yàn)?4-5,4,10小結(jié)：【同步練習(xí)5】1、求函數(shù)yx .12x的值域.()2、求函數(shù)yx 21(x 1)的值域。()解：因1(x1)20即(x 1)21故可令x1c

5、os ,0, y cos1、1cos2sin cos1、2 si n(4)150,0442T sin(4)10,2s in(4)1 1.2故所求函數(shù)的值域?yàn)椤荆?2()3、函數(shù)f(x)的值域?yàn)?3 -，求函數(shù)y f(x) 1 2f(x)的值域 89(4)、函數(shù)有界性法(方程法)直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。 我們所說的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。例1、求函數(shù)y SinX_3的值域。sin x 3解：因?yàn)?sinx 3 ，所以 ysin x 3y sinx 3，那么 sinx由于sin x1，所以| |1，解得 2 y1-。故所函數(shù)的值域?yàn)?-2

6、，-2 。求函數(shù)yx21的值域x2 J 01 y 1原函數(shù)的值域?yàn)?11 y例2、求函數(shù)y 3曲1的值域。2cosx 3解：因?yàn)?2cosx 30,所以 2ycosx 3y 3sin x 1 ,即 3sinx 2y cosx33y 1，所以sin x 0,解得 1 y 1,函數(shù)f(x) = logax在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值之差為1 ,那么a等于()A.B.2C.2.2設(shè)a、b R,a+2b2= 6,那么a+b的最小值是()A.B.5-33D.10、假設(shè)動(dòng)點(diǎn)(x,y)在曲線b24,0 b 4A. 42b,b 4B.b24,0 b 242b,b 2b2C 411、設(shè) a,b R,記 ma

7、xa,ba, ab, ab,函數(shù) f(x) = max|x+1|,|x-2|(x R)的最小值是b.12、規(guī)定記號(hào)“盛示一種運(yùn)算，即ab ab a b,a、b R+.假設(shè) 1 Ak3,那么函數(shù) f(x) = kAx的值域是13、函數(shù) f(x) = 2+log3X,x 1,9:,那么函數(shù)y= f(x): 2+f(x2)的值域?yàn)?4、假設(shè)變量x和y滿足條件y 3，那么z= 2x+y的最小值為2y 0,;-的取值范圍是x15、求以下函數(shù)的值域：()(1)y = x2-4x+6,x 1,5);5x 1y4x 2 ；y2xx 1.131216、(2021山東煙臺(tái)高三模塊檢測，20)設(shè)函數(shù)g(x) x a

8、x bx(a,b R)在其圖象上一點(diǎn)P(x,y)處的3 2切線的斜率記為f(x).(1)假設(shè)方程f(x) = 0有兩個(gè)實(shí)根分別為-2和4,求f(x)的表達(dá)式；假設(shè)g(x)在區(qū)間-1,3上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a2+b2的最小值【答案】1、解析:f(x) = ax+loga(x+1)是單調(diào)遞增(減)函數(shù)原因是y= ax與y= loga(x+1)單調(diào)性相同，且在0,1 :上 的最值分別在兩端點(diǎn)處取得，最值之和為f(0)+f(1) = a0+ioga1+a+loga2 = a,. 1 -loga2+1 = 0. a . 答案:B22、解析:y= Iog2x+logx(2x) = log 2 x1 log

9、 2 xlog 2xlog 2 x1log 2 x Ilog? x1_log 2 xI I log 2 x |1I log2 x|2,.log 2 x1log 2 xU : 3,+ s 應(yīng)選 D.3、解析：設(shè)x 0,那么-xv 0, f(x) = -f(-x) = - (-x)2+3(-x)+2= -x2+3x-2.31在1,3上，當(dāng) x 時(shí) f(x) max=，當(dāng) x= 3 時(shí) f(x) min = -2.2419m?一且 nw -2.故 m-n .答案:A444、 解析：設(shè)其中一段長為3x,那么另一段為12-3x,那么所折成的正三角形的邊長分別為x,4-x,它們的面積分別為空X2，仝(4

10、x)2，那么它們的面積之和為S44呂x2 旦(4 x)244-(2x2 8x 16)4(x2)24,可見當(dāng)x= 2時(shí),兩個(gè)正三角形面積之和的最小值為22、3 cm2.答案:D5、解析:g(x) x 12(x 1) x1113,當(dāng)且僅當(dāng) x= 2 時(shí),g(x)min = 3, f(x) = (x-2)2+3.在區(qū)間:,3 上 ,f(x)max = f(3) = 4.應(yīng)選D.6、解析:將方程x2+ax+b= 0看作以(a,b)為動(dòng)點(diǎn)的直線l:xa+b+x2= 0的方程，那么a2+b2的幾何意義為l上的點(diǎn)(a,b)2(占2x2(x21) J 2(x2),令u = x2+i,易知f(u)2 (u 5)

11、在: 5,+ a上單調(diào)遞增,那么 f(u) f(5) = 16 ,5 a2+b2的最小值為16 應(yīng)選B.57、解析:f(x) = |x-1|+|x- 2|+ +|x9|+|x-10|+|x- 11|+ +|x18|+|x-19|, 由|a-b| w |a|+|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab |x-1-x+19| = 18,|x-2|+|x-18| |x-2-x+18| = 16,|x-9|+|x-11| |x-9-x+11| = 2,|x-10| 0.上面各式當(dāng)x= 10時(shí)同時(shí)取等號(hào)，10 (18 0) f(x)最小值為18+16+2=90.答案:C2118、解：由a 1知f(x)為增函數(shù)，所以Ioga2

12、a-logaa=，即Ioga2 =,解得a = 4.所以選D.229、2 a 解析：6b21,故令a 6 cos , b 3 sin a b 6 cos 3 sin 3sin( ). a+b的最小值為-3.答案:C10、解析：令 x= 2cos 0 = bsin 那么 x2+2y= 4cos2 0 +2bsin =0-4sin2B +2bsin 0 =+44(sin )2+4+b441即0v b v 4時(shí),x2+2y取最大值4b2，此時(shí)sin44；當(dāng)41即b4時(shí),x2+2y的最大值為2b,此時(shí)bv4sin 0=1.應(yīng)選A.11、解析:如右圖所示，函數(shù)y= max|x+1|,|x-2|的圖象為圖

13、中實(shí)線局部1T* 十 11少燉-21.yi af% z Mr1i丁J02X3 3 max|x+1|,|x-2|的最小值為.答案：一2212、解析：由題意1 k k 1 k 3,解得k= 1,f (x) x 1 x.而f (x) x . x 1在0,+ a上遞增, f(x) 1.答案：:1,+ 8)13、解析:/ f(x) = 2+log3x,x : 1,9:1 x 9, y= f(x): 2+f(x2)的定義域?yàn)?1 x 9.解得1 XW 3,即定義域?yàn)?,3: 0 Iog3xw 1.又 y = f(x): 2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3X)2+6log3X

14、+6=(log3x+3)2-3, Ow Iog3xw 1, 6 y 0),221 2 15.y= 2(t2+1)-t = 2t2-t+2 = 2(t)2+4 8/ t 0,15-y?.815.函數(shù)的值域是，+ g).816、解 :(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f(x) = g (x)x2+ax-b,由-2、4是方程x2+ax-b= 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)，由韋達(dá)定理a,b,a 2, f(x) = x2-2x-8.b 8,(2)g(x)在區(qū)間-1,3 上是單調(diào)減函數(shù)，.在-1,3區(qū)間上恒有 f(x) = g =)x2+ax-b0)的值域是的值.1 1 、C. (0, 3】D. 3，+o)4. 函數(shù)y= x2

15、2x+ 3在區(qū)間0，m上有最大值3,最小值2，那么m的取值范圍是()A. 1，+C. (o,5. 假設(shè)函數(shù)y= f(x)的值域是?, 3,那么函數(shù)F(x) = f(x)+oo )2A.C.6.B. 0,2D. 1,21扶的值域是()f(x)【2，35 10【2，D. 3,(2021海南/寧夏高考)用mina, b, c表示B. 2,那么f(x)的最大值為A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空題(每題5分，共20分)10亍103a, b, c三個(gè)數(shù)中的最小值. 設(shè) f(x)= min2x, x+ 2,10 x(x0) ( )2x 57. 函數(shù)y=的值域是y|ywo或y4那么此函數(shù)的定義域?yàn)?.

16、x 33 4& f(x)的值域是8，9，g(x)= f(x)+71 2f(x)，那么 y= g(x)的值域是 .9 .函數(shù)f(x)=寸x2 2x + 2px2 5x+ 4的最小值為 .10. (2021泉州質(zhì)檢)在實(shí)數(shù)的運(yùn)算法那么中，我們補(bǔ)充定義一種新運(yùn)算“如下：當(dāng)a為時(shí)，a b = a ;當(dāng)a0)得 0y= x2+ X+ 1 =3、解析:1 13,因此該函數(shù)的值域是(0,刁,選C.4、解析:5、解析： 當(dāng)t = 1時(shí),當(dāng)t = 3時(shí),x= 1時(shí)，y取最小值2;令y= 3,得x= 0或x= 2故1呦 2答案：D1 1令t = f(x),那么t , 3 , F(t)= t + ，根據(jù)其圖象可知：

17、F(x)min = F(t)min = F(1)= 2 ；10F(X)max= F(t)max= F(3) = ，102,亍.答案：B6、解析：令 2x= x+ 2X10(舍)或 X2 = 2, 令 2x= 10 x 即 2x + x= 10,那么 2x3. 那么可知f(x)的大致圖象如圖2所示.故 f(x) 2+J2x 52亠丄7、解析:y= 2+,x 3x 312 或口25w 22 *31 11 2f(x) 9, 4 1令 t = ：1 2f(x) ,1 t2那么 f(x) =, g(x)=t2+ 2t + 11， 屮t，即 g(x)=，對(duì)稱軸t = 1 ,g(x)在 t 3,9、解析：由

18、21|上單調(diào)遞增,x2 2x0x2 5x+ 407777g(x) 9, 答案：9，8】X?或xWQX?或x 1由x23冷.答案:|, 3) U (3, 28、解析：- f(x) 函數(shù)f(x)= lg(4 x)的定義域?yàn)镃.x|2 x2 3x+ 4, (2021江西高考)函數(shù)y =的疋義域?yàn)?環(huán)，那么 2f(x) 4, 9,M , g(x)=錯(cuò)誤！的定義域?yàn)镹，那么M AN=(W x4D.x| 2 W x0= x| x 呼x| xW 2,那么M nN= N. 答案：ByJ x2 3x+ 4 ,.、4、 解析：要使 y =亠 x有意義,只要x2 3xx 0所以所求定義域?yàn)?,0) U (0,1.答案：D1 1 1 1 12 1 15、解析：令f(x) = t, t 阪,3,問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=t + $在?3的值域.又 y= 1尹=石，當(dāng)t ?,1 1 101 ,yW0=t + 為減函數(shù)，在1,3, y絞0 = t + -在1,3上為增函數(shù)，故 t = 1 時(shí) ymin = 2, t = 3 時(shí) y =為最大.1 1 10 y= t + , t 2，3的值域?yàn)? ,亍. 答案：B6、解析：T 1 W(x) 3 1W(x+ 3) 3 6 2f(x+